1、1热力学与统计物理练习题一、填空题1、在范德瓦耳斯方程中， 是考虑分子之间的斥力而引进的改正项， 是考虑到分子之间的 Van2而引进的改正项。2、在等压过程中，引进一个函数 H 名为焓则其定义为 ，在此过程中焓的变化为 ，这正是等压过程中系统从外界吸收的热量。3、所在工作于一定温度之间的热机，以 的效率为最高，这是著名的 。4、一个系统的初态 A 和终态 B 给定后，积分 与可逆过程的路径无关，克劳修斯根据这个性质引进一个态函数熵，它的定义是 ，其中 A 和 B 是系统的两个平衡态。5、在热力学中引入了一个态函数 有时把 TS 叫做 ，由于 F 是一个常用的函数，需要TSUF一个名词，可以把它
2、叫做 。二、判断题1、系统的各宏观性质在长时间内不发生任何变化，这样的状态称为热力学平衡态。（ ）2、温度是表征物体的冷热程度的，温度的引入和测量都是以热力学定律为基础的。（ ）3、所谓第一类永动机，就是不需要能量而永远运动的机器。（ ）4、自然界中不可逆过程是相互关联的，我们可以通过某种方法把两个不可逆过程联系起来。 （ ）5、对于处在非平衡的系统，可以根据熵的广延性质将整个系统的熵定义为处在局域平衡的各部分的熵之和。（ ）三、计算题（一）已知厄密算符 BA,，满足 12，且 0AB，求1、在 A 表象中算符 、 的矩阵表示；2、在 A 表象中算符 的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B
3、 表象的幺正变换矩阵 S。（二）线性谐振子在 0t时处于状态线性谐振子在 时处于状态)21exp(31)0,(x，其中 ，求1、在 t时体系能量的取值几率和平均值。22、 0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值（三）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个?（四）将质量相同而温度分别为 和 的两杯水在等压下绝热的混合，求熵变。T12（五）试计算单原子分子的定压热容量与定容热容量之比。四、问答题1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？ 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两
4、个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。4、在一维情况下，求宇称算符 P和坐标 x的共同本征函数。5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t和能量 E的测不准关系。五、简述题1、简述理想气体卡诺循环四个过程，并说明其吸或放热的多少。2、简述热力学第二定律的三种表述。六、证明题1、证明 1)()(VTPT2、证明在理想气体在绝热过程中 常量3、求证绝热压缩系数 与等温压缩系数 之比等于定容热容量与定压热容量之比。kSkT4、试利用固体热容量的爱因斯坦理论，证明 （ 为爱因斯坦特征温度） 。)1(223eCTENkVE练习题答案一、填空题1、nb，吸收力 2、 VPUHVPUH3、可逆机，卡诺定理
5、4、 BATdQBATdQS5、束缚能 自由能二、判断31、 2、 3、 4、 5、三、计算题（一） 、1、由于 12A，所以算符 A的本征值是 1，因为在 A 表象中，算符 的矩阵是对角矩阵，所以，在 A 表象中算符 的矩阵是： 0)(设在 A 表象中算符 B的矩阵是 21b，利用 0B得： 021b；由于12B，所以021b21 102， 21b；由于 B是厄密算符， 12*12b*12令 ieb12， （ 为任意实常数）得 B在 A 表象中的矩阵表示式为： 0)(iieA2、在 A 表象中算符 B的本征方程为：0iie即ie ii和 不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0ii
6、e012 1对 1有： 12iB，对 有： 2iBe所以，在 A 表象中算符 的本征值是 1，本征函数为 1i和 2ie3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符 在 A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即12iieS（二） 、解：1、 0t的情况：已知线谐振子的能量本征解为： )2(nE)2,(， )(exp(!2)(2xHnxnn 当 1,0时有：ep)0x，)( 21于是 t时的波函数可写成：)(2)()0,(10xx，容易验证它是归一化的波函数，于4是 0t时的能量取值几率为： 31),2(EW， 32)0,(1EW，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为： 6702、 0
7、t时体系波函数)23exp()32)exp()3),( 10 tititx 显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故 0时体系能量的取值几率和平均值与 t的结果完全相同。（三） 、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以 iq表示第 i)3,21(个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1） )()(3121)( qs；（2） 2（3） )()()()()( 3121321321)3( qqCs ； （4）4 22q（四）解：两杯水等压绝热混合后，终态温度 以 T 和 P 为状态参量，两杯水的初态分别为1（ ）和（ ） ；终态为（ ，P） 。
8、据热力学基本方程，PT,1,221dVUS在压强不变时 PdH故 TC积分后两杯水的熵变为 2 121 ln1dSPP2 2l1T总熵变等于两杯水熵变之和 CSP21214ln)(（五）解：单原子分子只有平动，其能量 )(pzyxm5根据能量均分定理，在温度为 T 时，单原子分子的平均能量为kT23单原子分子理想气体的内能为 NU定容热容量 为：CVNk23由热力学工式 为可 求 得 定 容 热 容 量 CPP,kP25因此定压热容量与定容热容量之比 为67.13V四、问答题一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一
9、个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： )()(211212qqS 4、宇称算符 P和坐标 x的对易关系是： Px,，将其代入测不系知，只有当 0Px时的状态才可能使 和 同时具有确定值，由 )(知，波函数 )(x满足上述要求，所以 )(是算符 和 的共同本征函数。5、设 F和 G的对易关系 kiFG， 是一个算符或普通的数。以 F、 G和 k依次表示 F、 G和k在态 中的平均值，令 ， G，则有 422)(，这个关系式称为测不准关系。时间 t和能量 E之间的测不准关系为： 2Et五、简述1、答：（1）等温膨胀过程这个过程中气体吸收热量 为：Q1VTLnR121（2）绝热膨胀过程这个过程中气体吸收热量为零（3）等温压缩过程6此过程中气体放出热量为 VTQLnR432（4）绝热压缩过程此过程中气体吸收热量为 02、简述热力学第二定律的三种表述（1）克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。（2）开氏表述：不可能人单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其变化。（3）第二类永动机是不可能制成的。六、证明题 1-4 题答案见教材
