1、2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,1,第三章 弹性与塑性应力应变关系,前面两章分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡（微分）方程和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅用这些方程还不能求解土木工程领域的实际力学（弹塑性）问题。对土木工程领域的一个实际力学问题（正问题），需要求解的未知量通常包括应力、内力和位移。由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,2,间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类
2、完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法利用这两类方程求得全部未知量。为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即本构方程。也就是反映可变形固体材料应力和应变之间关系的方程。下面我们仅以简单拉压为例来介绍一下本构方程。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,3,第一节 拉伸和压缩时的应力应变曲线,一、低碳钢的拉伸实验 图3-1为简单拉伸时的应力应变曲线。,1、比例变
3、形阶段 ： OA段,在此阶段中，应力和应变之间的关系是线性的，即可用胡克定律(Hooke) 表示。,（31）,式中：E弹性模量（moculus of elastics） ；,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,4,A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit）,2、弹性变形阶段 ： AB段这时， 与 之间的关系不再是线性，但变形仍然是弹性的； B点对应的应力称为弹性极限(elastic limit)。,注：对许多材料来讲，A，B 两点非常接近，所以工程上对弹性极限和比例极限并不严格区分。,3、屈服阶段： BD段当应力超过弹性极限之后，将出现应变增加很快，而
4、应,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,5,力则在很小范围内波动，这种应力变化不大而应变显著增加的现象称为屈服或流动。,C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限，但在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限 (yield limit)记作 。,4、塑性流动阶段： DH段在这一阶段中，虽然应力没有增加，应变却在不断增加。 Hb段：强化阶段 由H点开始出现强化现象，即试件上只有应力增加时，应变才能增加。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,6,如果在材料的屈服阶段或强化阶段卸载，则卸载线为图3-1中的 ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和
5、应变关系将沿着与OB平行的斜线 和 回到 点和 点。,如果由点 开始再加载，则加载过程仍沿 线进行，直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提高。,5、局部变形阶段： b点以后,在b点之前，试件处于均匀的应变状态，到达b点之后，试件出现颈缩现象，如果再继续拉伸，则变形将集中在颈缩区进行，最后试件将被拉断。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,7,二、没有明显屈服阶段的材料的拉伸实验（图3-2）,如：中碳钢、高碳钢、黄铜，对于没有明显屈服阶段的,材料，通常以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限用 表示。,2018/9/7周书敬,第三章
6、 弹性与塑性应力应变关系,8,三、包辛格 效应：见图3-3。,若自点 继续卸载（即压缩），则反向加载时屈服极限 不仅比 小，而且还比初始屈服极限 小，这里的 是自点 点拉伸到屈服时的屈服极限，这种具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向降低的效应称为包辛格反应。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,9,一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。理想包辛格效应：若一个方向屈服极限提高的数值和相反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。包辛格效应的数学描述比较复杂，因而在塑性力
7、学中，对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。,四、名义应力与真实应力,在一般的拉伸实验中，设 为初始截面积，P为外载，则有：,名义应力：,若试件标距长度为 ，伸长为 ，则有：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,10,名义应变：,这里的 并不是试件截面上的真实应力，这是因为在拉伸过程中，试件截面是逐渐缩小的。这种现象在应力到达 b点之前，往往可以认为对应力应变曲线的精度影响不大。但过了b点之后，试件发生颈缩，截面面积的较大变化对于应力的计算将有明显的影响。,若试件截面上的真实应力用 表示，A为某一瞬间试件的实际截面积，则应有：,由于 ，所以有 。,2018/9/7周书敬
8、,第三章 弹性与塑性应力应变关系,11,根据体积不可压缩假设，应有：,（33）,（34）,（35）,由（3-5）式很容易由应力应变曲线得到真实应力应变曲线（图3-4）。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,12,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,13,五、压缩实验关于通过压缩试验，获得塑性变形时的真实的应力应变曲线的过程，见书P7780。,（36）,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,14,第二节 简单应力状态的本构方程,对于不同的材料，不同的应用领域，其本构方程是完全不同的 ，特别是对于塑性力学问题其应力应变关系为非线性，叠加原理
9、不能应用，而且应力应变关系还和变形的历史有关。根据不同材料简单拉压试验，提出以下几种不同的简化力学模型（本构方程），在第0章已给出过，在此给出具体分析。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,15,在弹性变形阶段，把应力与应变之间看成是一种线性关系。,1、理想弹性塑性（材料）模型（见图a）,（39）,当材料进入塑性状态后，若不考虑材料的强化性质，则可得到理想弹塑性模型。这里的强化指的是当材料在经过塑性形变后，于第二次加载时的弹性极限提高了。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,16,分析式（3-9），该式中只包含了材料常数 和 ，故不能描述应力应变曲线的全
10、部特征；又由于在 处解析表达式有变化，给具体计算带来一定困难。该力学模型抓住了韧性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。,2、(双)线性强化弹塑性模型（图b）,当考虑材料强化性质时，可采用该模型。其解析表达式为（3-10）,（3-10）,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,17,具有这种应力应变关系的材料，称为弹塑性线性强化材料。这种近似的力学模型对某些材料是足够精确的。如果AB的斜率足够小，则作为理想弹塑性体考虑并不致于产生很大的误差,但计算却可大为简化。如果AB的斜率大到不能忽略时，则应按式（3-10）进行计算。这个模型和理想弹塑性模型虽然相差不大，但具体计算却要复
11、杂的多。,为了避免解析式在 处的变化，有时可采用幂强化力学模型。（见图c）,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,18,3、幂强化（效应）力学模型,（3-11）,上式所代表的曲线在 处与 轴相切，而且有：,当 时，为理想弹性模型；,当 时，为理想刚塑性模型(图c)；,当 时，没有线弹性阶段。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,19,在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小的多，因而可以忽略弹性应变，这时采用幂强化模型较合适。对于“刚塑性力学模型” ，其假设为：在应力达到屈服极限之前应变为零。,具有线性强化性质的刚塑性力学模型（见图d）,其卸载线也是平行
12、于 轴的。,（d）线性强化刚塑性模型,E1为该线的斜率。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,20,4、强化后卸载，再进行反向加载的模型,（1）等向（各向同性）强化模型,这种模型表示材料当由于拉伸而提高了反向屈服应力，且反向屈服应力得到同样大的提高。,（2）随动强化模型,符合理想包辛格效应的情况，即若一个方向屈服极限提高的数值和反向屈服极限降低的数值相等。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,21,在塑性成形理论中的多数情况下，塑性应变一般都比弹性应变大得多，所以忽略弹性应变而只考虑塑性应变是合理的，对总体的计算结果影响不大。采用刚塑性模型给数学计算带来
13、较大的简化，是许多复杂问题能获得完整的解析表达式。应用比较广泛的力学模型是：理想弹塑性力学模型，幂强化力学模型，理想刚塑性力学模型。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,22,第三节 广义胡克定律,这里研究的是复杂应力状态下的弹性本构方程。,对各向同性均匀材料，其广义胡克定律为：,（31） （书：313）,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,23,其中，E为弹性模量（modulus of elasticity）,为泊松比(Poissons ratio),G为剪切弹性模量(Shear modulus of elasticity),（32）,将式（31）的
14、前三式相加后，则有:,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,24,而：,上式表明，体积应变与三个主应力之和成正比。引入上式则广义胡克定律又可写为：,（34）（书：314）,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,25,由式（34）和（35）可以得出：,即得应变偏量分量 与应力偏量分量 的关系式,式中， ， 。,同理可得：应变偏量分量 和 ， 即有（36）（书：316）：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,26,（36） （书：316）,由式（35）和（36）可知：在弹性阶段中有：,用主应力偏量和主应变偏量表示时，则有：,2018/9/7周
15、书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,27,由此可得：,此式可用下式表示：,（37）（书：317）,（37）式说明：在弹性变形阶段，应力莫尔圆与应变莫尔圆是成比例的。,由（37）式可得出：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,28,或,因此可得：,由此可见：在弹性阶段由于应力莫尔圆与应变莫尔圆相似，所以有以下结论：,应力与应变洛德参数相等： ；,应力与应变型式指数相等： ；,应力主轴与应变主轴重合；,各应力分量与相应的应变分量的比值相同。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,29,上面的广义胡克定律是用应力来表示应变的，下面给出用应变来表示应力的的广义胡
16、克定律：,由广义胡克定律的第一式可得到：,由此可得到：,引入拉梅常数（Lame Contants）：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,30,并利用 可得：,用相同的方法可求出其它各量，即有式（3-8）,同样若用平均应变表示平均应力时，有：式（3-9）,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,31,其中K 称为体积弹性模量（bulk moculus of elasticity）,（3-9）式可写为：,该式反应了体积应变与平均应力之间的关系，称为体积应变的胡克定律。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,32,第四节 特雷斯卡和米泽斯屈服条
17、件 (Tresca and Mises Yield criterion),塑性力学：研究塑性变形和作用力之间的关系以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科。一、塑性力学问题的几个特点：,（1）应力与应变之间的关系（本构关系）是非线性的，其非线性性质与具体材料有关；（本构关系是非线性的）（2）应力与应变之间没有一一对应关系，它与加载历史有关；,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,33,（3）在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；（4）在分析问题时，需要区分是加载过程还是卸载过程，在塑性区，当加载时要使用塑性本构关系，而卸载时，要使
18、用广义胡克定律。从这里我们可以看出对弹塑性力学问题，如何判断材料是处于弹性阶段还是处于塑性阶段是一个很重要的问题。这个判别准则称为屈服条件或塑性条件。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,34,二、屈服条件（塑性条件） 1、在简单应力状态下，问题很容易解决，即当应力小于屈服极限时，材料处于弹性状态；应力等于屈服极限时，便认为材料进入塑性状态。2、在复杂应力状态下，问题就不这么简单了。因为我们知道一点的应力状态是由六个应力分量确定的，因而不能选取某个应力分量的数值作为判断材料是否进入了塑性状态的标准，而是应该考虑所有这些应力分量对材料进入塑性状态时的影响。,2018/9/7周
19、书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,35,即：受力物体内质点处于多向应力状态时，必须同时考虑所有的应力分量。在一定的变形条件（变形温度、变形速度等）下，只有当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，也称塑性条件。它是描述受力物体中不同应力状态下的质点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须遵守的力学条件，这种力学条件一般可表示为：,又称为屈服函数，式中 C 是与材料性质有关而与应力状态无关的常数，可通过试验求得。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,36,3、有关材料性质的一些基本概念（回忆） （1）理想弹性材料物体发生弹性变形时，应力与
20、应变完全成线性关系，并可假定它从弹性变形过渡到塑性变形是突然的。（2）理想塑性材料（又称全塑性材料） 材料发生塑性变形时不产生硬化的材料，这种材料在进入塑性状态之后，应力不再增加，也即在中性载荷时即可连续产生塑性变形。（3）弹塑性材料 在研究材料塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形的材料这里可分两种情况：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,37,a. 理想弹塑性材料 在塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增加可连续产生塑性变形。b. 弹塑性硬化材料 在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前的弹性变形，又要考虑加工
21、硬化的材料，这种材料在进入塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。只有在应力不断增加，也即在加载条件下才能连续产生塑性变形。 4、刚塑性材料 在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前的弹性变形。 这,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,38,又可分两种情况：a. 理想刚塑性材料 在研究塑性变形时，既不考虑弹性变形，又不考虑变形过程中的加工硬化的材料。b. 刚塑性硬化材料 在研究塑性变形时，不考虑塑性变形之前的弹性变形，但需要考虑变形过程中的加工硬化材料。下面是几种真实应力-应变曲线及其某些简化形式：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,39,真实应力-应
22、变曲线 及其某些简化形式 a）实际金属材料（-有物理屈服点 -无明显物理屈服点） b）理想弹塑性 c）理想刚塑性 d）弹塑性硬化 e）刚塑性硬化,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,40,为讨论方便，在此引入应力空间的概念，所谓应力空间就是以应力为坐标轴的空间。显然应力空间是一个六维空间，空间中的每一个点都代表一个应力状态，应力的变化在应力空间中将会给出一条曲线，称为应力路径，根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服点。把这些点连接起来就形成了一个曲面（超曲面）称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件。记为：,20
23、18/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,41,通常认为应力分量依赖于坐标轴，而依据各向同性材料假设，屈服条件应与坐标轴无关。对于各向同性材料，屈服条件不应与坐标轴的选取有关，因此屈服条件可以在主应力空间中表示为：,（311）,当 时，弹性阶段； 当 时，屈服，开始产生塑性变形；不存在。,在应力（应变）分析中，我们知道主应力或应力张量与坐标轴无关，因此可用主应力或应力张量不变量为屈服函数的参变量。即有：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,42,又由于静水压力 只引起弹性体体积的变化，而不影响材料的塑性变形的假设，可知屈服条件只是应力偏量的函数，即：,（312）,
24、在应力空间中，过原点O作等倾面 ，称为 平面，过原点O作 平面的法线，称为等倾线，则有如下结论：,在主应力空间中，屈服面是以等倾线为轴线，以 平面上的屈服曲线为截面形状的一个与坐标轴等倾斜的柱体的表面。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,43,下面给出两种重要的屈服条件： 特雷斯卡（H.Tresca）屈服条件和米泽斯（Von.Mises ）屈服条件。,解释：屈服面：屈服条件的几何表示就是屈服面。平面：在主应力空间中，与三个坐标轴成相等倾角的直线称为 线，线上各点与静水应力相等， ，方向余弦 ，经过坐标原点且与 线正交的平面称为 平面。其方程为： 。 平面上的各点代表应力球
25、形张量的偏斜应力状态。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,44,三、特雷斯卡（H.Tresca）屈服条件)(1864)特雷斯卡从观察金属挤压实验的结果提出以下假设：当最大剪应力达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。即：当受力物体（质点）中的最大剪应力达到某一定值时，该物体就发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其最大剪应力是一不变的定值（正值），该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。所以又称最大剪应力不变条件。特雷斯卡屈服条件的数学表达式为：,（313）,k材料屈服时的最大剪应力值，也称剪切屈服强度。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关
26、系,45,若已知主应力次序 ，则屈服条件可写为:,（314）（书：320）,为了确定材料常数 ，一般可以通过单向拉伸试验确定，设材料的屈服应力为 ，则有：,代入（314）式得：,纯剪切条件下的屈服条件是：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,46,一般情况下，若主应力次序未知，则屈服条件可表示为：,（316）（书：321）,【或者说（316）式中，至少有一个等式成立时，材料才开始进入塑性变形，否则仍处于弹性阶段。因为 ，当然三个式子不能同时取等号】左边为主应力之差，故又称主应力差不变条件。式中三个式子只要满足一个，该点即进入塑性状态。,这个条件说明中间主应力和平均应力不影响
27、材料的屈服。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,47,显然，在主应力已知的情况下，用特雷斯卡屈服条件是比较方便的，其特点是：不受中间应力 的影响，且屈服函数是线性的，但当主应力次序未知时，则使用起来将有一定的困难。,若将 三个坐标轴投影到该坐标系的等倾面上，（316）式的几何表示是一个正六边图形（图312a）。,当 时，（316）式成为（317）（书：322）即：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,48,（317） （书：322）,式（317）的几何表示如图（312b）。,四、米泽斯 屈服条件（近似的）与Tresca屈服条件的区别见图312。提出了下
28、述统一函数表达式的屈服条件：,（318） （书：323）,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,49,或写成：,（319）,其中，常数R可以用单向拉伸试验确定为：,说明：Mises屈服条件在 应力空间上是一个垂直于 平面的圆柱面，在 平面上的截迹是一个圆，圆连接实验点比直线连接更为合理。,屈服条件的两种解释：（1）亨奇 解释(1924年)弹性形变比能（歪形能）达到一定值时，材料进入塑性状态。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,50,其中，,为：单位体积的应变能，或称为弹性应变比能。,弹性应变能（弹性总比能）：外力对弹性体作的功，将转化为弹性应变能。,亨奇
29、认为Mises屈服条件相当于：弹性变形比能=总应变能-体积变化比能,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,51,书中用主应力和主应变表示有：,按前述：物体的变形可以分解为两部分：体积变化和形状变化。因而应变能也可以分解为相应的两部分：,其中，体积变化比能为：,【 ， ， 】,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,52,弹性形变比能为：,【 】,（歪形能）由于形状变化所储存在单位体积内应变能（弹性形变能）。看第二种解释：纳戴解释,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,53,（2）纳戴 解释“纳戴”（A.L.Nadai）认为：当正八面体等倾面上
30、的剪应力 达到一定值时材料进入塑性状态。即等倾面上的剪应力达到某一定值时，材料便进入塑性状态。,值得注意的是：亨奇和纳戴都没有指出这一定值是多大。,后来苏联力学家伊柳辛 提出了应力强度 的概念，认为当应力强度 等于材料单向拉伸的屈服极限 时，材料便进入塑性状态。给出屈服条件为：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,54,（320）（书：324）,若用应力偏量表示应力强度，则有：,（321）（书：324）,利用屈服条件和平衡方程联立求解，经常可以获得某些简单问题的解。,最大偏应力屈服条件：此概念最早是由R.Schmidt 1932年提出的，我国学者俞茂宏用双剪应力的概念对上述
31、屈服条件作了解释说明。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,55,五、屈服准则的几何描述 1、空间主应力中的屈服平面 屈服表面 以应力主轴为坐标轴可以构成一个主应力空间，屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个封闭的空间曲面。,在主应力空间中，任一应力点P(1,2,3 )可用矢量OP来表示。过坐标原点O引等倾线ON ，其方向余弦,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,56,2、米泽斯屈服表面：因矢量 OP = OM + MP，所以矢量的模：,其中：,线上任一点的三个坐标分量均相等，即1 =2 =3 ，表示球应力状态。由P点引一直线PMON，则矢量
32、OP可分解为OM和MP，这时，OM表示应力球张量部分，MP表示应力偏张量部分。,而OM就是1、2、3在 ON 线上的投影之和，即,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,57,由此可得：,根据米塞斯屈服准则，当 时材料就屈服，故P点屈服时有：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,58,因此，若以 M 为圆心， 为半径，在垂直于 ON 线的平面上作圆，则该面上各点的应力偏张量均相等，即均为 ，所以圆上各点都进入塑性状态。由于静水应力（包括 OM ）不影响屈服，所以，以 ON 为轴线，以 为半径作一圆柱,面，则此圆柱面上的点都满足Mises屈服准则。这个圆柱面就
33、是用主应力表示的Mises屈服准则公式在主应力空间中的几何表达。称为主应力空间中的Mises 屈服表面。,主应力空间中的屈服表面,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,59,3、特雷斯卡屈服表面 与Mises屈服表面类似，采用同样的分析方法，特雷斯卡（Tresca）准则的表达式，在主应力空间中的几何图形是一个内接于米泽斯（Mises）圆柱面的正六棱柱面。称为主应力空间的Tresca 屈服表面，如上图 。由上图可知，屈服表面的几何意义是：若主应力空间中一点的应力状态矢量的端点P 位于屈服表面，则该端点处于塑性状态；若P 点在屈服表面内部， 则P 点处于弹性状态。对于理想塑性材料
34、，P 点不能在屈服表面之外。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,60,4、两向应力状态下的屈服轨迹 屈服轨迹 两向应力状态下屈服准则的表达式在主应力坐标平面上的几何图形是一个封闭的曲线。,两个屈服轨迹有六个交点，说明在这六个交点上，两个屈服准则是一致的。其中与坐标轴相交的四个点A（s，0）、E（0 ，s）、G（-s，0）、K（0，-s）表示单向应力状态； 与椭圆长轴相交,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,61,的二个点 C（s，s）、I（-s，-s）为轴对称应力状态。在两个屈服轨迹不相交的部份，米泽斯椭圆上的点均在特雷斯卡六边形之外，表明按米泽斯屈服
35、准则需要较大的应力才能使材料（质点）屈服。两个屈服准则差别最大的有六个点（B、D、F、H、J、L）。,它们的坐标分别由 对1和2求极值得出。其中四个点：,D：,B：,J：,H：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,62,既表示平面应力状态，又表示平面应变状态，因这四个点3 0（平面应变）， 或（平面应变状态）。 另两个点F： ， L： 属纯剪应力状态。这六个点上，两个屈服准则相差都是 15.5% 。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,63,5、屈服准则的试验验证与比较 分析前提为主应力方向是固定不变的，主应力次序也给定，若123，则特雷斯卡屈服准则可写
36、为,为了将米塞斯屈服准则写成类似式的形式，罗德引入了参数（后称此参数为罗德应力参数）123,得米塞斯屈服准则可写为：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,64,罗德实验资料：1米泽斯准则 2特雷斯卡准则,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,65,泰勒及奎乃实验资料：1米泽斯准则 2特雷斯卡准则,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,66,对两个屈服准则作综合比较： （1）多数金属符合米塞斯屈服准则。 （2）当主应力大小顺序预知时，特雷斯卡屈服函数为线性的，使用方便，在工程计算常常采用。若用修正系数来考虑中间应力的影响，则米泽斯屈服准则可
37、以写成：,或表达为：,式中， 中间主应力影响系数，或称应力修正系数。,，,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,67,在受单向受拉或单向受压及轴对称应力状态（23）时，1，两个屈服准则重合；在纯切状态和平面应变状态时， 2/3=1.154，两者差别最大。故系数 11.155 范围内。6、平面上的屈服轨迹 在主应力空间中，通过坐标原点，并垂直于等倾线ON 的平面称为 平面。其方程为,平面与两个屈服表面都垂直，故屈服表面在平面上的屈服,平面上(一个特殊的偏平面)时,应力球张量为常数,只有偏张量在变化.,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,68,轨迹，如图示：,
38、若已知三个主应力的大小顺序时，设为123，则Tresca 屈服准则只需用线性式13 = s 就可以判断屈服，但该准则未考虑中间主应力2 的影响。而Mises 屈服准则，考虑了2 对质点屈服的影响。为评价2 对屈服的影响，引入罗德（Lode）应力参数,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,69,上式中的分子是三向应力莫尔圆中2 到大圆圆心的距离，分母为大圆半径。当2 在1与3 之间变化时，则在1 1 之间变化。因此，实际上表示了2 在三向莫尔圆中的相对位置变化。由式可以解出2 ：将2 代入Mises 屈服准则式，整理后得,所以Mises 屈服准则与Tresca 屈服准则在形式上
39、仅差一个应力修正系数。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,70,下面讨论 的取值：当=1、=1时，两准则一致， 这时的应力状态中有两向主应力相等； 当=0 、=1.155时，两准则相差最大，此时为平面变形应力状态。现设K 为屈服时 的最大剪应力，则,于是，两个屈服准则的统一表达式为：,对于Tresca 屈服准则，K =0.5s ；对于 Mises 屈服准则K =(0.5 0.577)s 。大量实验表明，Tresca 屈服准则和Mises 屈服准则都与实验值比较吻合，除了退火低碳钢外，一般金属材料的实验数据点更接近于Mises 屈服准则。,2018/9/7周书敬,第三章 弹
40、性与塑性应力应变关系,71,第五节 塑性应力应变问题,本构关系：是描写物质特性的，物质具有力学的、热学的、电学的等特性，与力学有关的则是物质的力学特性，本节从客观上讨论变形固体在塑性状态时的本构关系。在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线形的和不唯一性的。所谓“不唯一性”是指应变不能由应力唯一决定，也就是应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。描述塑性变形规律的理论大致分为两大类：增量理论和全量理论。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,72,对塑性本构关系的研究，最早是由圣维南开始的，他认识到材料达到塑性状态后，应力和应变没有一一对应关系，因而提出在塑性变形过程中，应
41、力和应变的关系式应以增量形式给出，同时假定应变增量主轴和应力偏量主轴是重合的，从而为塑性本构关系的建立奠定了基础。,增量理论的提出比全量理论早得多，它只考虑任一瞬时塑性应变的增量，因而与加载过程无关，另一方面实际情况并非一定如此，某一瞬时的应变量须由应变历史累加（积分）而得，计算工作量庞大，因此比全量理论更合理，但全量理论较为方便。,建立在应变增量和应力分量之间关系基础上的理论称为增量理论或流动理论 ；,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,73,建立在应变分量和应力分量之间关系基础上的理论则称为全量理论或形变理论 ；,1、增量理论 基本假设：,（1）在塑性变形过程中的任一微
42、小时间增量内，塑性应变偏量增量与瞬时应力偏量成比例；,（2）材料是不可压缩的；,（3）材料满足米泽斯屈服条件即： ；,（4）材料是理想塑性材料，理想弹塑性或理想刚塑性。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,74,由假设（1）可得：在主应力和主应变增量空间中（假设：塑性应变增量的主轴和应力主轴是重合的）有：,（322）（书：329）,当不用主应力表示时，上式为：,（323）（书：331）,由假设（2） 可得： 则有：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,75,（324）（书：333）,这就是莱维 米泽斯 本构方程。,注意：（a）,（b）该本构方程适用于理想
43、刚塑性材料，因为在变形中没有考虑弹性形变。,以上可称为“刚塑性增量理论”,特别说明：由上式已知 ，则不能确定 ，因为刚塑性材料在一定的应力下塑性变形可以任意增长，但上式中 各,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,76,分量之间有一定比例关系。反过来，若已知 ，则可以确定 ，有：,在某些情况下，弹性应变却不能忽略，这时认为总应变为弹性应变和塑性应变之和。（这就是弹塑性增量理论） 若用增量形式表示，则有：,(3-25) （书：334）,（325）式只适用于小变形情况。,说明：弹塑性增量理论是在“刚塑性增量理论”基础上发展而,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系
44、,77,来的，其中应变增量包括塑性部分和弹性部分，而弹性部分不再可以忽略了。,应变增量为：,应变偏量增量为：,又因为： (弹性应变增量服从广义虎克定律),【见（316）： 】,(基本假设),2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,78,代入Mises屈服条件，并令：,则有：,上式称为普朗特 罗伊斯 本构方程。,注意：该方程适用于理想弹塑性材料。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,79,举例（见 ）解释：例题中 是如何得出的，与书中不同，从一般性推导而得出。,由不可压缩 ,建立圆柱坐标关系，进行应力，应变分析得：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应
45、力应变关系,80,由不可压缩( )知：,由 屈服条件：,可得：,由普朗特罗伊斯本构方程得：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,81,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,82,【书中采用： ，前面说过塑性变形与时间无关，只说明塑性变形发生的先后，此时属于混用条件】,（1）先拉后扭,由（5）得：,积分后得：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,83,注明：,可查表积分。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,84,在A点，代入条件：,代入屈服条件：,当 时，有：,（2）先扭后拉,由（1）得：,2018/9/7周书敬,第
46、三章 弹性与塑性应力应变关系,85,积分得：,代入：,或,当 时，有：,代入屈服条件：,（3） 保持常数，拉扭同时,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,86,在进入塑性状态之前，应有：,注：,由已知条件可知：,代入屈服条件得：,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,87,2、全量理论利用前面介绍的增量理论，我们若想了解塑性状态下，某一时刻应力应变的关系，必须了解应力和应变的历史，然后应用增量理论方程，给路径进行积分才能得到全量间的关系，因此计算很繁重。全量理论是一种直接建立用全量表示的与加载路径无关的本构关系的方法，当然这是在一定的条件下才能成立的。,说明
47、：全量理论是直接用一点的应力分量和应变分量（瞬时值）表示的塑性本构关系，表达式比较简单，应用比较方便，但是应用范围受到一定限制。,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,88,对全量理论，在此介绍的是其中一种简单常用的理论，“弹塑性小变形理论”。 包括以下规律：1、体积改变是弹性的；2、应力偏量与应变偏量成比例，即主应力方向与主应变方向一致，且保持不变，不存在方向旋转问题；3、应力强度 与应变强度 之间有单一的函数关系，这就是“单一曲线假设”。,在塑性力学中，有一种特殊的变形情况，即各应变分量始终都按同比例增加或减少，这种情况称为比例变形，在此情况下，应变强度增量可以积分得到应变强度，从而建立了全量理,2018/9/7周书敬,第三章 弹性与塑性应力应变关系,89,论的应力应变关系，这个理论是以比例变形为基础的，因而也称为形变理论。若是比例变形，即各应变分量之间在变形过程中始终保持固定的比例，则有,（328）（书：340）,即：,由于在整个变形过程中， 为常数，积分得：,
