《数学实验》上机指导书.doc

1、- 1 -2009数学实验上机指导书实验一：Mathematica 软件操作实验一、实验目的（1）掌握 Mathematica 软件的计算器功能；（2）学会使用 Mathematica 软件求各种类型方程（或方程组）的数值解和符号解；（3）通过本实验深刻理解极限概念；（4）学习并掌握利用 Mathematica 求极限的基本方法。（5）通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法；（6）学习并掌握二重积分及线性积分的计算方法；（7）学习常用积分命令；（8）掌握求函数的导函数和偏导数方法；（9）学会使用 Mathematica 软件进行函数的幂级数展开。二、预备知识（1）方程（

2、或方程组）代数解法的基本理论，函数的零点，方程（或方程组）的解及数值解；极限、左极限、右极限的概念；定积分的概念、几何意义，二重积分的概念、二重积分化为定积分的过程及其计算方法；函数的导函数、偏导数以及函数的幂级数展开式；（2）本实验所用命令： 用“= =”连接两个代数表达式构成一个方程 求方程（组）的代数解：Solve方程或方程组，变量或变量组 求方程（组）的数值解：NSolve 方程或方程组，变量或变量组 从初始值开始搜索方程或方程组的解：FindRoot方程或方程组，变量或变量组初值 在界定范围内搜索方程或方程组的解：FindRoot方程或方程组，变量或变量组范围 绘图命令：Plot表达

3、式，变量，上限，下限 ，可选项 微分方程求解命令：DSolve微分方程, yx, x Limitexpr, x-x 0 求表达式在 时的极限0 Limitexpr,x-x 0,Direction - 1 求左极限 Limitexpr,x-x 0,Direction -1 求右极限 不定积分：Integratef,x- 2 - 定积分：Integratef,x ，上限，下限 求 F 对于变量 x 的导数：D表达式 F,x 按顺序求 F 关于 x1，x 2,的偏导数： D表达式 F,x1,x2,. 求 F 对 x 的 n 阶导数：D表达式 F,x,n； 求 F 关于变量 x 在 x0 的 n 阶泰

4、勒展式：Series 表达式 F,x,x0,n 三、实验内容与要求（1）计算 ； 。5464567（2）对于方程 ，试用 Solve 和 Nsolve 分别对它进行求解，并比较得到的03223x结果，体会代数解即精确解与数值解的差别。（3）先观察函数 的图形，然后选择一个初始点求解，并且根据图形确定在某fcosin)(个区间中搜索它的零点。（4）求方程组 的解，然后代入系数和常数项的一组初值，并求解。2211cybxa（5）求微分方程 的通解。xe)(3)(（6）用 Mathematica 软件计算下列极限：（1） ； （2） ； （3） ；123limnn xxtanli2xxtanlim2

5、（4） ； （5） ； （6） ；xx3linnzli 210)si(lxx（7） ；（8） ；（9） ；ax1)(li0 2liyxy yxyxy 3523li（10） ；（11） ；（12） 。xyx 32532lim2limyx )1sin(l0xx（7）求函数 的原函数；32)sin(af（8）求 ；xnd（9）求 ；10a（10）求 ；2dxy- 3 -（11）求 。xy0dcosd（12）求出被积函数 F(x)= 的原函数和导函数，并画出被积函数、原函数和导函数的5312图形，试分辨出哪一条曲线属于哪个函数。（13）求函数 sinx 在点 0 处的 10 阶和 20 阶泰勒展式，并

6、以图形方式对比展开的结果和 sinx 的差别，并分析阶数高的展式对于原来函数的逼近程度是否优于阶数低的展式。四、实验操作与结果In1:=NExp3,12Out1=20.0855369232In2:=Precision%Out2=12.In3:=546*54564Out3=29791944In4:=546*54564/NOut4=In5:=4654545676/NOut5= 5.871245085270862 10213209In6:=p=x4-2x3-4x2+3;Solvep=0,xOut6=(略)In7:=NSolvep=0,xOut7=x-0.973317-0.518738,x-0.973

7、317+0.518738,x0.778428,x3.16821In8:= ClearxIn9:= f=Sinx-Cosx;Plotf,x,-4,42.97919 107- 4 -4 -2 2 4-1-0.50.51Out9= GraphicsIn10:=FindRootf=0,x,1Out10=x0.785398In11:= Cleara1,a2,b1,b2,c1,c2In12:=Solvea1*x+b1*y=c1,a2*x+b2*y=c2,x,y Out12= In13:= DSolveyx+3yx+2yx=Expx,yx,xOut13= In14:= Limit(n3)/(-n3+n2+1

8、),n-InfinityOut14= -1In15:= LimitTanx,xPi/2,Direction1Out15=In16:= LimitTanx,xPi/2,Direction-1Out16= -In17:= Limit(3x-3-x)/(3x+3-x),xInfinityOut17=1x b2c1 b1c2a2b1 a1b2,y a2c1 a1c2a2b1 a1b2yx x6 2xC1 xC2- 5 -In18:= Out18=zIn19:= Out19= 116In20:= Limit(1+x)a-1/x,x0Out20= -In21:= Out21=In22:= Out22=-9

9、27In23:= Out23= -927In24:= LimitLimitx2yx2 y2,y ,x Out24=0In25:= LimitSin1x,x 0Out25= Interval-1,1In26:= Integratea*Sinx2*x3,xOut26= In27:= Integratea*xn,xOut27= In28:= Integratea*xn,x,0,1Limit2n z2n zn,n LimitSinxx 1x2,x 0LimitLimitx2yx2 y2,x ,y LimitLimitx2y2 2x y5 3y,x 2,y 3LimitLimitx2y2 2xy5 3y

10、,y 3,x 2a 12x2Cosx2 Sinx22 ax1n1 n- 6 -Out28= In29:= IntegrateIntegratexy,y,2x,x21,x,0,1Out29= In30:= IntegrateIntegratex*Cosy,y,0,x,x,0,PiOut30=In31:= f1=(x+1)/(x2+3x+5)Out31= In32:= f2=Integratef1,xOut32= In33:= f3=Df1,xOut33= In34:= Plotf1,f2,f3,x,-1,1-1 -0.5 0.5 10.20.40.60.8Out34= GraphicsIn35:

11、=s1=SeriesSinx,x,0,10Out35= aIfRen 1, 11n,Integratexn,x,0,1,Assumptions Ren 11121 x5 3x x2 ArcTan32x1111 12Log5 3x x21 x3 2x5 3x x22 15 3x x2x x36 x5120 x75040 x9362880 Ox11- 7 -In36:= s2=SeriesSinx,x,0,20Out36= x x36 x5120 x75040 x9362880 x1139916800 x136227020800 x151307674368000 x1735568742809600

12、0 x19121645100408832000 Ox21In37:= g1=Normals1Out37= In38:=g2=Normals2Out38= x x36 x5120 x75040 x9362880 x1139916800 x136227020800 x151307674368000 x17355687428096000 x19121645100408832000In39:= Plotg1,Sinx,x,-5,5Out39= -4 -2 2 4-1-0.50.51In40:= Plotg2, Sinx,x,-5,5Out40= -4 -2 2 4-1-0.50.51x x36 x51

13、20 x75040 x9362880- 8 -实验二 放射性废料的处理问题一、实验目的巩固和理解微分方程理论及其应用。二、预备知识常微分方程理论和 Mathematica 解方程的命令。三、问题的提出美国原子能委员会以往处理浓缩放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深 90 多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉到海底时的速度超过 12.2 m/s，圆桶与海底碰撞会发生破裂。为避免圆桶碰裂，需要计算圆桶沉到海底时的速度是多少？这时已知圆桶重为

14、239.46 kg，体积为 0.2058 m3,海水密度为 1035.71 kg/m3。如果圆桶下沉到海底时的速度小于 12.2 m/s，就说明这种方法是可靠的；否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比，其正比例常数为 0.6。（1）根据问题建立数学模型。（2）根据数学模型求解的结果，判断这种处理废料的方法是否合理？四、问题分析及建立模型圆桶运动规律：(1)fFGF合（2）2dtsmtva合 GFf水平面海底m90水平面海底水平面海底- 9 -其中 ， mgGgVFdtskvf由题设可得圆桶的位移和速度分别满足如下微分方程：(3)0)()(2svdt dtskgVt

15、sd(4)kvgVmdtv五、计算过程1、由（1） （2） （3） （4）以及题设的初始数据，通过如下 Mathematica程序就可以求出圆筒的位移和速度的方程。源程序：In1:=m = 239.46; w = 0.2058; g = 9.8; p = 1035.71; k = 0.6;DSolvem*st = m*g - p*g*w - k*st, s0 = 0, s0 = 0, st, tDSolvem*vt = m*g - p*g*w - k*vt, v0 = 0, vt, tOut1=st2.718280.00250564t171511. 171511.2.718280.002505

16、64t429.7442.718280.00250564tt （5）vt 429.744 429.7442.718280.00250564t 0.00250564t （6）2、由（5）及 S(t)=90m，由下面程序- 10 -FindRoot90 2.718281828459045 0.002505637684790779 t171510.99243459993171510.99243459992.7182818284590450.002505637684790779 t 429.74440599999982.7182818284590450.002505637684790779 t t,t,

17、 13得到：t=12.994 ，带入（6） ，运行如下命令vt_ 429.7444059999998429.74440599999982.7182818284590450.002505637684790779t 0.002505637684790779t;v12.9994得 V=13.77212.2，此时说明此法处理废料不行。六、结果分析在实际情况中 k 与 v 的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，且对不同的介质比如在空气中和在水中 k 与 v 的关系就不同。在一般情况下，k 应是 v 的函数，即 k=k(v)，至于 是什么样的函数很难确定。七、模型推广这个模型可以推广到其他方面，比如

18、说一个物体从高空落向地面的道理也是一样的，尽管物体越高，落到地面的速度也越大，但决不会无限大。- 11 -实验三 路程估计问题一、实验目的能用数学软件进行数据拟合。二、预备知识多元函数的极值求法；线性拟合的最小二乘法原理。三、问题的提出外出旅行或行军作战等，都可能涉及到两地路程的估计问题。当身边带有地图时，这似乎是件很容易的事。然而，从地图上量出的距离却是两地的直线距离 ，你能由此估计出两地的实际路程 吗？建立 关于 d的模型：d ss。)(dfs（1）要确定 与 的近似函数关系，必须收集若干 及与之相应的 的具sd sd体数据，通过分析找出规律。这里将中国地图中量得四川省彭州市到其他几个城市

19、的直线距离，并按比例尺（1cm 为 20km）进行转换，以及从到汽车站了解到的对应的实际路程的有关数据列于表 2-2。表2-2 城市间直线距离和实际路程彭州市成都 郫县 都江堰 什邡 德阳 新繁 广汉 温江 崇庆地图直线距离(cm) 1.8 1.08 1.55 1.32 2.3 0.75 1.64 1.7 2.38地图转换距离 d(km) 36 21.6 31 26.4 46 15 32.8 34 47.6实际路程 s(km) 42 30 58 43 68 16 43 50 65（2）启动数学软件，将上表中 d 与 s 两组数据，按拟合时所需形式输入。- 12 -（3）画出数据散布图，观察它们

20、是否大致在一条直线附近。（4）进行直线拟合，并在同一图中显示拟合直线与数据点。观测拟合情况，并记下所得到的模型（称为经验模型） 。（5）在只作粗略估计的情况下，为便于计算，若将上面得到的模型修改成 （简单模型）行吗？根据表中数据，取 b=3，试画出简单模型bds.1与样本数据点的图形，并与（4）所得到的图形相对照。（6）试计算由两个模型得到的估计值与实际值的差（残差） ，以大致观测一下两个模型的差异。在只作粗略估计的前提下，你愿意用哪个模型？四、问题分析与建立模型问题的关键在于收集数据，然后描出数据散布图，通过观测，决定用什么函数去拟合。由所给数据，发现它们大致在一条直线附近，故用直线拟合，又

21、因 d=0 时， S 必为零，因此，不妨设模型为 S=ad。五、计算过程1、ln1=x=36,21.6，31，26.4，46，15，32.8，34，47.6；y=42,30，58，43，68，16，43，50,65；data=Tablexi,yi,i,1,9；shu=ListPlotdata，PlotStyle PointSize0.02 （*作数据散布点*）s=Fitdata,d,d; (*拟合直线*)Print“s=”,sP=Plots,d,0,50 (*作拟合直线图*)- 13 -Showshu,p (*在同一图上观测拟合效果*)Out6=S=1.42852dOut8= -Graphic

22、s- 10 20 30 40 5010203040506070由此，得出经验模型 S=1.42952d将经验模型修改为简单模型 S=1.5d-b，其目的很清楚，是为了便于计算，在只作粗略估计的情况下，我们更宁愿这样作，作为实践中的一条经验，它比前者更具有优势。式中的 b 显然应因短程与远程而有所不同，这实际上给我们提出了这样一个问题：对某值比如 50km 以内的较短路程用一个公式，对较长的路程再用一个公式是否会更好呢？2、a=1.5 b=3 b 因路程长短有所不同ln9=m=Plot1.5*d-3,d,0,50;showshu,m （*显示简单模型与样本数据点的图形*）- 14 -10 20

23、30 40 5010203040506070Out10:= -Graphics-六、结果分析 In11:=sp=1.42952*x （*由经验模型算估计值*）ss=1.5*x-3 （*由简单模型算估计值 *）error1=y-sp (*计算残差值 *)error2=y-ss （*计算残差值*）Out11:=51.5，30.9， 44.3，37.7，65.8，21.4 ，46.9，48.6，6851.，29.4，43.5，36.6，66.，19.5，46.2，48.，68.4-9.5，-0.88，14.，5.3，2.2，-5.4，-3.9 ，1.4，-3.-9.，0.6，14.5，6.4，2.，

24、-3.5，-3.2，2.，-3.4 所得结果可见：两个模型的差异并不大，且它们对多数点都吻合得较好，但也有误差较大的，分析其原因：一：是我们的模型本身是根据小样本而得到，不可能是很精确的；二：是有两种极端情形（它们的误差都较大）应该注意：（1）路较直，如彭县 成都（误差为-9） ；（2）路线起伏大，如彭县 灌县，实际路线- 15 -是彭县 唐昌 灌县，相当于走三角形的两边（误差为+14.5） 。这是不是提醒我们，应该把与 AB 垂直的最大偏离 h 测量出来，并结合到模型中以提高精度呢？ 实验上机要求1、 遵守实验室一切规章制度，爱护设备；2、 认真完成每次实验任务，并按要求写好实验报告；3、 报告内容：认真填写报告前面的内容系：XXXX 课程名称：数学实验 日期：2011 年 XX 月 XX 日姓名 XXXX 学号 XXXX 实验室 数学实验 102 室老师签名专业 XXXX组号A- XXXX或 B-XXXX班号 XXXX 成绩评定实验器材 一台计算机实验一（软件操作实验）实验报告的书写格式：一、实验目的：二、预备知识：三、实验内容与要求：四、实验操作与结果：五、总结：实验二、三实验报告的书写格式：一、实验目的：二、预备知识：三、问题的提出：- 16 -四、问题的分析与模型的建立：五、计算过程（源程序）六、结果分析与模型的推广7、实验总结