1、第 1 讲 数列的概念与简单表示法1以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想2考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项3考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知 Sn与 an的关系求 an等【复习指导】1本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主2对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证3熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用基础梳理1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则 类型 满足条件有穷数列 项数有限按项数分类无穷数列 项数无限递增数列 an
2、1 a n递减数列 an1 a n按项与项间的大小关系分类 常数列 an1 a n其中 nN 有界数列 存在正数 M，使|a n|M按其他标准分类 摆动数列 an的符号正负相间，如1，1,1，1，3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列 an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5S n与 an的关系已知 Sn，则 anError!在数列a n中，若 an最大，则 Error!若 an最小，则Error!一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上
3、的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现三种方法由递推式求通项 an的方法：(1)an1 a n f(n)型，采用叠加法；(2) f(n)型，采用叠乘法；an 1an(3)an1 pa n q(p0,1，q0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决双基自测1(人教 A 版教材习题改编)已知数列a n的前 4 项分别为 2,0,2,0，则下列各式
4、不可以作为数列a n的通项公式的一项是 ( ) Aa n1(1) n1 Ba n2sinn2Ca n 1cos n Da nError!解析 根据数列的前 4 项验证答案 B2在数列 an中，a 11， an2a n1 1，则 a5 的值为 ( )A30 B31 C32 D33解析 a 52a 412(2a 31)12 2a3212 3a22 2212 4a12 32 22131.答案 B3已知 an1 a n30，则数列a n是( ) A递增数列 B递减数列C常数列 D不确定解析 a n1 a n30， an1 a n30，a n1 a n.故数列 an为递 增数列答案 A4设数列 an的前
5、 n 项和 Snn 2，则 a8 的值为( )A15 B16 C49 D64解析 由于 Snn 2，a1 S11.当 n2 时，a nS nS n1 n 2(n1) 22n1，又 a11 适合上式an2 n1，a 828 115.答案 A5(2012泰州月考 )数列 1,1,2,3,5,8,13，x, 34,55，中 x 的值为_解析 观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和答案 21 考向一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9， ；(2) ， ， ，；12347815163132(3)1， ， ，；32 1334 1
6、536(4)3,33,333,3 333，.审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23，2 4，所以 an .2n 12n(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1) n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1) n .2 1nn也可写为 anError!(4)将数列各项改写为： ， ， ， ，93993
7、 9993 9 9993分母都是 3，而分子分别是 101,10 21,10 31，10 41，所以an (10n1)13根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来【训练 1】 已知数列a n的前四项分别为 1,0,1,0，给出下列各式：a n ；a n ；a nsin 2 ；a n ；a nErr1 1n2 1 1n2 n2 1 cos n2or!；a n (n1)(
8、 n2)其中可以作为数列 an的通项公式的1 1n 12有_(填序号) 答案 考向二 由 an与 Sn的关系求通项 an【例 2】已知数列a n的前 n 项和为 Sn3 n1，则它的通项公式为an_.审题视点 利用 anS nS n1 (n2) 求解解析 当 n2 时，a nS nS n1 3 n1(3 n1 1)23 n1 ；当 n1 时，a1S 12 也满足 an23 n1 .故数列 an的通 项公式为 an23 n1 .答案 23 n1数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 anError!当 n1 时，a 1 若适合 SnS n1 ，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；
9、当 n1 时，a 1 若不适合SnS n1 ，则用分段函数的形式表示【训练 2】 已知数列a n的前 n 项和 Sn3n 22n1，则其通项公式为_解析 当 n1 时，a 1S 131 22112；当 n2 时，a nS nS n1 3n 22n13(n1) 22(n1)16n5，显然当 n1 时，不满足上式故数列的通项公式为 anError!答案 a nError!考向三 由数列的递推公式求通项【例 3】根据下列条件，确定数列a n的通项公式(1)a11，a n 13a n2；(2)a11，a n an1 (n2) ；n 1n(3)已知数列a n满足 an1 a n3n2，且 a12，求 a
10、n.审题视点 (1)可用构造等比数列法求解 (2)可转化后利用累乘法求解 (3)可利用累加法求解解 (1)a n 13a n2，a n1 13(a n1) ， 3，数列a n1 为等比数列，公比 q3，an 1 1an 1又 a112，a n123 n1 ，a n23 n1 1.(2)a n an1 (n2)， a n1 an2 ，a 2 a1.以上(n1)个式子相n 1n n 2n 1 12乘得 ana 1 .1223 n 1n a1n 1n(3)a n1 a n3n2，a na n1 3n1(n2) ，a n(a na n1 )(a n1 a n2 )(a 2a 1)a 1 (n2)当 n
11、1 时，n3n 12a1 (311) 2 符合公式，a n n2 .12 32 n2已知数列的递推关系，求数列的通 项时 ，通常用累加、累乘、构造法求解当出现 ana n1 m 时 ，构造等差数列；当出现 anxa n1 y 时，构造等比数列；当出现 ana n1 f(n)时，用累加法求解；当出 现 f (n)时，用累乘法求anan 1解【训练 3】 根据下列各个数列a n的首项和基本关系式，求其通项公式(1)a11，a n an1 3 n1 (n2) ；(2)a12，a n 1a nln .(1 1n)解 (1)a n an1 3 n1 (n2) ，a n1 a n2 3 n2 ，an2 a
12、 n3 3 n3 ，a2a 13 1，以上(n 1) 个式子相加得ana 13 13 23 n1 133 23 n1 .3n 12(2)a n1 a nln ，(1 1n)a n1 a nln ln ，(1 1n) n 1na na n1 ln ，a n1 a n2 ln ，nn 1 n 1n 2a2a 1ln ，21以上(n 1) 个式相加得 ，a na 1ln ln ln ln n又 a12，nn 1 n 1n 2 21a nln n2.考向四 数列性质的应用【例 4】已知数列a n的通项 an(n1) n(nN )，试问该数列a n有没有(1011)最大项？若有，求最大项的项数；若没有，
13、说明理由审题视点 作差： an1 a n，再分情况讨论解 a n1 a n(n2) n1 (n1) n n .(1011) (1011) (1011)9 n11当 n9 时，a n1 a n0，即 an1 a n；当 n9 时，a n1 a n0，即 an1 a n；当 n9 时，a n1 a n0，即 an1 a n；故 a1a 2a 3a 9a 10a 11a 12，所以数列中有最大项为第 9,10 项(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决(2)数列的单调 性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调
14、性时常用 作差法，作商法， 结合函数图象等方法【训练 4】 已知数列a n的前 n 项和 Snn 224 n(nN *)(1)求a n的通项公式；(2)当 n 为何值时， Sn达到最大？最大值是多少？解 (1)n1 时，a 1S 123.n2 时，a nS nS n1 n 224n(n1) 224(n1)2n25.经验证，a123 符合 an2n25，a n2n25(nN *)(2)法一 S nn 224n，n12 时，S n最大且 Sn144.法二 a n2n25，a n2n250，有 n .a 120，a 130，252故 S12 最大，最大值为 144. 难点突破 13数列中最值问题的求解从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号【示例 1】 (2010辽宁)已知数列a n满足 a133，a n1 a n2n，则 的最小ann值为_【示例 2】 (2011浙江)若数列 中的最大项是第 k 项，则nn 4(23)nk_.
