1、An analytic approach to the unsteady heat conductionprocesses in one-dimensional composite media一维符合材料介质非稳态传热过程的分析方法摘要：一维层叠体瞬态传热问题常采用基于 Vodicka 的传统方法解决，然而，如果把每一层的热扩散系数放在传热方程的一侧，在时间变量函数采集点处，采用分离变量法对传热方程进行修正，则修正传热方程自动成立，表示处于一种透明的物理状态。这种自动的选择简化了对复合材料介质的非稳态传热分析，与传统方法比较，热效应计算简化成了一种相对简单的数学问题。1、绪论：一种实际应用于层
2、叠系列复合材料的瞬态温度效应的闭式方法最初是由Vodicka 提出的，他采用分离变量法解热传问题的偏微分方程，在变量分离时，Vodicka 将热扩散系数保留在传热方程的一侧，在传热方程中建立空间变量函数。这种选择使得时间变量函数独立于热扩散，因此，尽管这种方法可以给出正确的定量的结果，但并不能表示真实的物理问题，而且特征值和相应的本征函数的计算非常耗时且复杂。在 Vodicka 之后，复合材料的非稳态传热问题的分析经过 50 多年的发展，其中包括一些个人的贡献，2、M 层非稳态传热数学建模假定一复合材料有 M 层平板处于理想化热接触条件，如图 1 所示， 和 分 别是第 i 层的热传到效率和热
3、扩散效率（i=1,2M），初始体（t=0），限制其变化范围 x ,具有特定的温度 f（x）。t=0 时刻，固体复合材1 +1料两界面受到对流热通量的作用，温度为 ，传热系数为 的流体流经 x= 的 1 1外表面，另有一具有相同的温度 ，传热系数为 的流体流经另外一边的 +1外表面 x= 。+1非稳态热传导过程的数学建模假设：（a） 自身不产热。（b） 热性能，如传导率、扩散率等，与温度无关，且 M 层板材中层内均匀。（c） 介质周围，流体温度为 ，空间均匀，且时间 t0 时保持恒定。（d） 层叠板在 y 向和 z 向相对于厚度 x 方向局游戏足够大的尺寸。（e） 热转换效率 和 均匀恒定。1
4、+1因此，热传导问题可认为是线性的、一维的、均匀的。设 ，最终，通过整合系统（ ， ） = （ ， ） （ =1,2， ， ）（如矩形，圆柱或球形系统）的数学公式可以表示为：热传导差分方程1（ ） =1 ， +1（ =1,2， ， ） （ 1）q=0，1,2 分别代表平板、圆柱、球体外部边界条件（x= ） 11（ 1） 1+11（ 1， ）=0 （ 2）内部边界条件（x= ） 1（ ， ）=（ ， ） （ =2,3， ， ） （ 3）1（ 1） =（ ） （ =2,3， ） （ 4）外部边界条件（x= ） +1（ ） +1+1（ +1， ）=0 （ 5）初始边界条件（ ， =0）=（ ） ，
5、+1（ =1,2， ， ） （ 6）公式（3）表明， 相互独立的 M 层板材料表面两相邻区域的温度相等，公式（4）则相反，热通量连续，与内界面相对应，公式（1）（6）可通过分析求解。3.自然分析法解 M 层非稳态传热问题公式（1）可通过工件假设法求解（分离变量法）定义为（ ， ）=（ ） （ ） 0, ， +1（ =1,2， ， ） （ 7）由公式（7）替代（1），得到传热修正方程11（ ） =1=2 0， ， +1（ =1,2， ， ） ， （ 8）是分离常量，与各层相对应，且与物理约束条件相关联，（ =1,2， ）分离变量时，热扩散率 保留在公式（8）的左边，建立随时间变化的函数，自然分析
6、法使得函数 明显依赖于相应的热扩散率，所以，问题的解析结果（ ）与瞬态热传导过程的物理事实保持一致。公式（8）给出的自然分离产生从 2到 M 的通用型微分方程。+2=0， 0（ =1,2， ） ， （ 9）1（ ） +2=0 , ， +1（ =1,2， ， ） （ 10）可过公式（9）解时间变量函数，得：（ ）=2， 0（ =1,2， ） （ 11）空间变量函数的解则是通过解 Helmholtz 方程（10）得到，方程（10）只取决于空间坐标 x，可以表示成：（ ） =（ ， ） +（ ， ） ， +1（ =1,2， ， ） ， （ 12）和 是式子（10）的两个线性不相关的解， 和 是与（
7、， ） （ ， ） 第 i 层复合介质相关的整合常数。表 1 表示矩形、圆柱和球形复合层的函数和 。（ ， ） （ ， ）3.1.边界条件的应用根据条件，解 （i=1,2，M）满足边界条件（ ， ） =（ ） （ ）（2）（5），得到如下结果：（ ） =1（ 1， ， ， ） ， +1 （ =1,2， ， ） ， （ 13）=11 （ =2,3， ） （ 14） 公式（14）约束了离散常数 和热扩散效率 ，复合介质的不同区域， 不 同，由于热扩散在各个分离层之间并不连续，因此它们是确保内部边界条件（3）和（4）得到验证的基础。事实上，这些关系最初来自表11。式子（13）中给定函数 和 为： （
8、 =1,2， ）1（ 1） =1； （ 1， ， ） =,1， 1,23,22,1（ =1,2， ， ） ， （ 15）（ 1， ， ， ） =（ ， ） +（ 1， ， ） （ ， ） ， +1（ =1,2， ， ） ， （ 16）函数 出现在式子（15）中，定义为：， 1（ =2,3， ）,1（ 1， ， ） =（ 1， ， 1， ）（ 1， ， ， ） ， （ =2,3， ） （ 17）,1（ 1， ， ） =11（ 1， ， 1， ）（ 1， ， ， ） （ 17）可见函数 可以通过令式子（17a）中 i=M 和式子（17b）求得，而， 1给定函数 ，直接出现在式子（16）中，并以 的
9、形式间接（ =1,2， ） 的出现在式子（17a）和（17b）中，该函数表示为：1（ 1）=1（ 1， 1） 1（ 1， 1）1（ 1， 1） 1（ 1， 1） ， （ 18）（ 1， ， ） =（ ， ） 1（ 1， ， 1， ）1（ ， ） 1（ 1， ， 1， ） /（ ， ） 1（ 1， ， 1， ）1（ ， ） 1（ 1， ， 1， ） (=2,3,)， （ 18）（ ）=+1（ ， +1） +（ ， +1）+1（ ， +1） +（ ， +1） ， （ 18）也可以看出，函数 可以令 i=M 由式子（18b）和式子（18c）求得，观 察式子（14），这两个方程至于分离常数 有关（见下
10、一部分）。3.2.式子（14）的应用考虑到 M-1 个与（14）相关联的设定 和 ，对函数1= 1=的解做如下假设：（ ， ） （ =1,2， ）（ ， ） =（ ） （ 1， ） 2， 0， +1（ =1,2， ， ） ， （ 19）函数 （ =1,2， ） 则为 ：（ ， ） =（ 1， ） +1（ 1（ 1， ） ） ， +1（ =1,2， ， ） ， （ 20）式子（10）的线性不相关解，即式子（20）中的 和（ 1， ）可通过在表 1 中简单设置 获得。（ 1， ） =1 （ =1,2， ）此外，函数 仍可由式子（15）确定，同时固有函数， 1（ =1,2， ）可重新写成：， 1（
11、=1,2， ）， 1（ ）=1（ ， ）（ ， ） （ =2,3， ） ， （ 21）， 1（ ）=11（ ， ）（ ， ） ， （ 21）对于函数 而言：（ =1,2， ）1（ ）=1（ ， 1） 1（ ， 1）1（ ， 1） 1（ ， 1） ， （ 22）（ ） =（ 1， ） 1（ ， ）1（ 1， ） 1（ ， ） /（ 1， ） 1（ ， ）1（ 1， ） 1（ ， ） (=2,3,)， （ 22）（ ） =+1（ 1， +1）+（ 1， +1） /+1（ 1， +1）+（ 1， +1） ， （ 22）I=M 时，对比式子（21a）和式子（21b），同时对比 i=M 时，式子（22b
12、）和式子（22c），服从如下代数方程组的设置：1（ ， ）（ ， ） 11（ ， ）（ ， ） =0， （ 23） （ 1， ） 1（ ， ） 1（ 1， ） 1（ ， ）/（ 1， ） 1（ ， ） 1（ 1， ） 1（ ， ） +1（ 1， +1） +（ 1， +1） /+1（ 1， +1） +（ 1， +1） =0 （ 24）因此，式子（19）同辉满足（1）（5），式子中 c 是一常数，取决于条件（6）， 是除 0 以外的任意实数（通常，圆柱大于 0），满足超越方程（23）和（24）。然而，式子（24）表示非稳态热传导问题的特征条件，可计算相应的特征值 。事实上，i=M 时，把式子（20
13、）带入式（ =1,2,3， ）子（23）中，结果，式子（23）并没有给出与特征值相关的有用信息。因此，存在很多如式子（19）形式的解，与连续的特征值相对应，10.3 (00)冷却 过程中， 的圆柱内表面比 的圆柱外表面温度变化速度快(00) =5 =1（ 曲线比 曲线变化平缓），这种变现说明也可以从图 2（a）中看出，=5 =1可以基于问题中给定的无量纲参数来判定，通常对比 ， ， .4=2 1=1 3=95.结论自然分析法可以用于解决多层瞬态问题，可以在无参考的的情况下应用于复合介质，即可以使矩形、圆柱形或者是球形。与基于 Vodickas 法的瞬态法相比较，具有以下优点： Helmholt
14、z 方程中 M 层板的系数 和 的最终形式为 i 的指数形式 （i=1,2，M），因此，他们的代数表达式可以用于任意层数的复合材料。 超越方程用于确定特征值，要具有明确的形式，对于任意层数的复合材料都是有效的。 规范量纲 的固有积分来自是假设积分数值 q 为一参数，q=0，1,2 分别代表矩形、圆柱形、球形复合材料。 积分系数 的固有积分仍定义为通用形式，初始材料均有均匀温度时，q 为其参数。举一个关于三维平板材料的圆柱形复合介质的数学实例，初始温度均匀，验证所提出的自然分析法能够在整体简化的情况下，计算瞬态温度。因此，很多用户可以用它来处理简单的任务。附录 A下面我们证明自然法涉及到的特征函
15、数（27）的正交性，即式子（26）中定义的 ，从下面的式子开始计算：1.（ ） （ =1,2， ）其中，给出积分 ：解（30）中的特征函数 ，定义域1.（ ） （ =1,2， ， =， ）,满足常微分方程（10），其中 ，k=m 和 n，且满足边+1 2=2（ 1）界条件（2）（5）。因此，由于这里对边界条件（3）的考虑是多余的，结果：将式子（A.3）带入积分（A.2）中，然后应用分步积分，得到：鉴于（A.4），i=1 时，表达式（A.9）变为：鉴于式子（A.5），i=2,3，M 时，表达式（A.9），可以写成：鉴于（A.6），i=M 时，表达式（A.8）变为：鉴于式子（A.10）（A.12）
16、，式子（A.7）中的积分可写为：（ =1,2， ）将积分（A.2）带入表达式（A.1）中，得到：积分（A.13）（A.15）带入表达式（A.1）中，表达式为 0。因此，结果可写为：即可证明（27）的正交性。附录 B用分步积分法，通过下述两种不同的积分方法解式子（28）中定义的规范化量纲 的固有积分。前一个方法包含两个函数 和 的结果，函数 作为一个积分，结果是： 21, K=m 时，把式子（A.3）带入积分式子（B.1）右侧的第 i 重积分，然后运用分步积分，得到：其中式子（B.2）右侧的第 i 重积分可由下面公式计算，实际上，k=m 时，设式子（A.3）的右侧导出的 ，区分 和 两个函数结果
17、，方=1 1 ， 程（A.3）写成：现在，将式子（B,3）带入式子（B.2）右侧的第 i 重积分，得到：鉴于式子前面提到的（B.4），式子（B.2）变为：然后，将方程（B.5）代入方程（B.1），确定如下形式的最终结果：后一种用来解决固有 Nm 范数的积分方法被认为是由函数 xqXi，m 和 Xi，m得出的结果，在这里 xqXi，m 是被积函数。之所以这样做是因为让方程（A.3）里 k=m 会使函数 xqXi，m 容易积分。事实上，我们有比较方程（B.6）和（B.7）能够得出如下结果：把方程（B.8）代入方程（B.6）或（B.7），由于积分对范数 Nm 是固有的，我们能够获得表达式（29），这对于矩形，圆柱形和球形的图层的复合体来说是有效的。
