1、本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩专题十 函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，
2、建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函数式 yf(x)看做二元方程 yf(x)0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为不等式 f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数 f(x)(1
3、+x)n (nN *)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于 8 个)1. (湖北卷 )关于 x 的方程(x 21) 2|x 21|k0，给出下列四个命题： 存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 4 个
4、不同的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根.其中假命题的个数是( ).本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩A. 0 B. C. D. 解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令x 21 t(t0) ，则方程化为 t2 tk0，(*)作出函数 tx 21 的图象，结合函数的图象可知 当 t0 或 t1 时，原方程有两上不等的根，当 0t1 时，原方程有 4 个根， 当 t1 时，原方程有 3 个根.(1)当
5、k2 时，方程(*)有一个正根 t2，相应的原方程的解有 2 个；(2)当 k 时，方程(*)有两个相等正根 t ，相应的原方程的解有 4 个；14 12(3)当 k0 时，此时方程(*)有两个不等根 t0 或 t1，故此时原方程有 5 个根；(4)当 0k 时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程 (*)有两正根且均小于 1，故相应的满足方程14|x21|t 的解有 8 个，故选 A.2. 由函数 f(x)(x 21) 2|x 21|的图象(如下图) 及动直线 g(x)k 可得出答案为 A.3. 设 t|x 21|(t0)，t 2tk0，方程的判别式为 14k，由 k 的取值依据 0、0、0
6、 从而得出解的个数.4. 设函数 f(x) ，利用数轴标根法得出函数与 x 轴的交点个数为 5 个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案 A.答案：A点评：思路 1、思路 2、思路 4 都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路 2 利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路 3 利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷 )已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是(
7、). 5 . 4 . 3 . 2解析：设等差数列的首项为 a1，公差为 d 据题意得：答案：C本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷 )已知 ，tan cot .() 求 tan 的值；() 求 的值 .解析：() 由 tancot 得 3tan210tan 30 ，即 tan3 或 tan ，103 13又 ，所以 tan =为所求.34 13答案：点评：第()问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件 tancot 变形为关于 tan 的一元103二次方程，取决于解题的目标意识和
8、是否对方程思想方法的深刻把握和理解. 4. (江西卷 )若不等式 x2ax10 对于一切 x(， 成立，则 a 的最小值是( ).12. . . . 52解析：与 x2 ax10 在上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：. 分离变量，有 a(x )，x (， 恒成立.右端的最大值为 ，故选.1x 12 522. 看成关于 a 的不等式，由 f(0)0，且 f( )0 可求得 a 的范围.123. 设 f(x)x 2ax 1 ，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)x 21，g(x)ax ，则结合图形(象)知原问题等价于 f( )g( )，即 a .12 1
9、2 525. 利用选项，代入检验，不成立，而成立. 故选.答案：本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩点评：思路具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路又充分利用了题型特点.5. (全国卷)已知抛物线 x24y 的焦点为，、是抛物线上的两动点，且 (0). 过A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M.(1)证明 为定值；(2)设ABM 的面积为 S，写出 Sf()的表达式，并求 S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得 F(0，1) ，0. 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2).由 ，得(x 1，1y 1) (x2，y 21)，即 将式两边平方并把 代入得 解 、式得 y
10、1，y 2 ，且有 x1x2x 224y 24，抛物线方程为 y x2，求导得1 14y x.所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y x1(xx 1)y 1，y x2(xx 2)y 2，12 12 12即 .解出两条切线的交点 M 的坐标为 ，所以 .所以 为定值，其值为 0.(2)由(1)知在ABM 中，FMAB ，因而 S |AB| |FM|.12|FM| .因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y1 的距离，所以|AB|AF|BF|y 1y 2 2 2( )2.1于是 S |AB| |FM| ( )3 由 2 知 S4，且当 1 时，S 取得最小12 12值 4
11、.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设 f(x)，g(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且 g()，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是( ). (3， 0)(3，) . (3，0)(0，3) . (，)(3，) . (，)(，)解析：以函数为中心，考查通性通法，设(x)f(x)g(x)，由 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以F(
12、x) f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即 F(x)为奇函数.又当 x0 时，F(x)f (x)g(x)f(x)g(x)0，所以 x0 时，F(x) 为增函数 .因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以 x0 时，F(x)也为增函数.因为 F(3)f(3)g(3)0F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式 F(x)0 的解集是( ，)( ，)，所以选 D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数 F(x)f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数 f(x)是定义
13、在，上的增函数，满足 f(x)f( )且 f() ，在每一个区间( x2(i，)上，yf(x) 的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部分.(1) 求 f() 及 f( )，f( )的值，并归纳出 f( )(i，)的表达式；12 14() 设直线 x ，x ，x 轴及 yf(x)的图象围成的梯形的面积为 ai(i，) ，记(k) (a1a 2a n)，求 (k)的表达式，并写出其定义域和最小值.limn 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，() 由 f(0)f()，得 f().由 f()f( )及 f()，得12本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩f( ) f() .12
14、12 12同理，f( ) f( ) .14 1212 14归纳得 f( ) (i，).()当 x =时，所以a n是首项为 ( )，公比为 的等比数列，所以12 k4 14.(k)的定义域为k|0k1，当 k1 时取得最小值 .12点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数 k，直线：ykxb 与椭圆： (02)恒有公共点，则 b 取值范围是 .解析：方法，椭圆方程为 ，将直线方程 y
15、kxb 代入椭圆方程并整理得 .由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数 k，该式恒成立，则 12(b1) 24 (b1) 20，即b 本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩方法，已知椭圆 与 y 轴交于两点 (，)，(，).对任意实数 k，直线：ykxb 与椭圆恒有公共点，则(，b)在椭圆内(包括椭圆圆周) 即有1，得1b3.点评：方法是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法. 高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力
16、与素养上的差异.三、方法总结与 2008 年高考预测(一)方法总结1函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系；2在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想；3函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一
17、个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题。在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案。(二)2008 年高考预测1. 纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在 20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主
18、观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。2. 在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：(1) 解方程；(2) 含参数方程讨论； (3)转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；(4) 构造方程求解。本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩3. 预测 2008 年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系；特别注意客观形题目，大题一般
19、难度略大。四、强化训练（一） 选择题1. 已知函数 f(x)log a (2a) x对任意 x ， 都有意义，则实数 a 的取值范围是( ).x12. (， . (， ) . ，) . ( ， )14 14 14 14 122. 函数 f(x)定义域为，且 x1，已知 f(x1)为奇函数，当 x1 时，f(x)2x 2x1，那么当x1 时，f (x)的递减区间为( ). ，) . (， . ，) . (， 3. 已知 f(x)asinxb (a，b R)，且 f(lglog310)5，则 f(lglg3)的值是( ). . . . . 设(x，y)是椭圆 x24y 2上的一个动点，定点(，)，
20、则| 2 的最大值是( ). . . . 235. 已知 x、yR ，且 2x3 y2 y 3 x ，那么( ). xy0 . xy0 . xy0 . xy06. 已知 (a，b，c)，则有( ). b24ac . b24ac . b2 4ac . b24ac. 对任意非负实数 x，不等式 ( ) a 恒成立，则实数 a 的最小值是( ). . . . 12 23 348. 三棱锥中，对棱与互相垂直，二面角的平面角为， 的面积为 ，的面积为，则三棱锥的体积为( ).3本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩. 6 . . . 16 139. (重庆卷 )与向量 a( ， )，b( ，
21、 )的夹角相等，且模为的向量是 ( ).72 12 12 72. . . . 10. (安徽卷 )设 a0，对于函数 f(x) (0x) ，下列结论正确的是( ). . 有最大值而无最小值 . 有最小值而无最大值C. 有最大值且有最小值 . 既无最大值又无最小值11. 方程 lgx x3 的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,)12. f(x) 定义在 R 上的函数，f(x1),当 x2, 1时，f(x)x,则 f(3.5)为A. 0.5 B.1.5 C.1.5 D.3.5（二） 填空题13. 如果 y1 sin 2xmcosx 的最小值为，则
22、m 的值为 .14. 关于 x 的不等式 x 3 xa 2a30 ，当 0x1 时恒成立，则实数 a 的取值范围为 .15. 设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)ex1，则 f(x) .16. 已知矩形的边， PA平面，现有以下五个数据：()a ； ()a1 ； ()a ； ()a2； ( )a4 当在边上存在点，使12 3时，则 a 可以取 .(填上一个正确的数据序号即可)（三） 解答题17. 设集合 Ax|4x2x2a 0，xR .()若中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合；()若对于任意 aB，不等式 x26x a(x2)恒成立，求 x 的取值范围.18. 已知
23、二次函数 f(x)ax 2bx(a，b 为常数，且 a0)满足条件：f(x)f(x)且方程 f(x)x 有等根.本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩()求 f(x)的解析式；()是否存在实数 m，n(mn)，使 f(x)定义域和值域分别为m ，n 和4m，4n，如果存在，求出 m、n 的值；如果不存在，说明理由.19. 已知函数 f(x)6x6x 2，设函数 g1(x)f(x) ，g 2(x)fg 1(x)，g 3(x)fg 2(x)，g n(x)fg n1 (x)， ( )求证：如果存在一个实数 x0，满足 g1(x0)x 0，那么对一切 nN，g n(x0)x 0 都成立；(
24、) 若实数 x0 满足 gn(x0)x 0，则称 x0 为稳定不动点，试求出所有稳定不动点；() 设区间( ，) ，对于 x，有 g1(x)f(x)a0，g 2(x)fg 1(x)f(0)，且 n2时，g n(x)0.试问是否存在区间() ，对于区间内任意实数 x，只要 n2，nN，都有 gn(x)20. 已知函数 f(x) (a0，x0).1a 1x(1)求证：f(x)在(0 ，)上是增函数；(2)若 f(x)2x 在(0，)上恒成立，求 a 的取值范围；(3)若 f(x)在m，n上的值域是m，n (mn)，求 a 的取值范围.21. 已知数列 an各项都是正数，且满足 a01，a n1 a
25、n(a n)，n N.证明：12ana n1 2， nN.22. 给定抛物线y 24x，是的焦点，过点的直线 l 与相交于，两点.() 设 l 的斜率为，求 与 的夹角的大小；() 设 ，若 ，求 l 在 y 轴上的截距的变化范围.（四） 创新试题23. 若(12x) 2004a 0a 1xa 2x2a 2004x2004(xR)，则(a 0a 1)(a 0a 2)(a 0a 3)(a 0a 2004) (用数字作答).24. 设函数 f(x) (xR) ，区间 Ma， b(ab)，集合y|yf(x)，xM，则使成立的实数对(a，b)有( ). 个 . 个 . 个 . 无数多个解析答案：1.
26、解：考查函数 y1 和 y2(2a)x 的图象，显然有 02a1.由题意 得 a ，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：B.本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩2. 解：由题意可得 f( x1)f(x1). 令 tx1，则 x1t，故 f(t)f(2 t)f(2x).当 x1，2x1 ，于是有 f(x)f(2x)2(x )2 ，其递减区间为 ，).答案：3. 解：因为 f(x)是奇函数，故 f(x) f(x)，即 f(x) f(x)，而lglg3lglg 310， f(lglg3)f( lglg 310)(lglg 310)8583.故选. 解： .注意到2x2. 当 x2 时
27、，|PM| 2max9.故选. 解：已知不等式的两边都含有 x、y 两个变量，而我们目前只学习一元函数，为此先把它化归成等价形 式 2x3 x 2 y 3 y，使它的两边都只含一个变量，于是可以构造辅助函数 f(x)2 x3 x .因函数 g(x)2 x 是上的增函数，h(x) 3 x ( )x 是上的减函数，所以， x 是上的增函数，因此，f(x) x3 x 是上的增函数.又由 2x3 x 2 y 3 (y) ，即 f(x)f( y). xy，即 xy0.故选.6. 解法：依题设有 a5b c0.5 是实系数一元二次方程 ax2bxc0 的一个实根 .5 b 24ac0. b24ac.故选.
28、解法：其实本题也可用消元的思想求解.依题设得，b . b24ac( )2ac5a 2 c22ac2ac 2ac0.故选.157. 解：问题 a 对 x0 恒成立.记 f(x) (x0).则问题 af(x)max.当 x0 时，f(x)；本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩当 x0 时，f(x) ，显然 f(x)在( ，)上是增函数. 0f(x) .12.故 a .即 a 的最小值为 ，故选 A.12 128. 解：过 S 作 SH底面 ABC，H 为垂足，连接 AH 并延长交 BC 于 D，再连接 SD(如图). SH底面 ABC，HD 是斜线 SA 在底面 ABC 内的射影，又
29、 SABC ， ADBC， SDBC，因此SDA 就是二面角 SBCA 的平面角，即SDA60.设 SDx，则 SSBC BCx2 ， 又 SABC BCAD1. 由，即可解得 AD(2 )x.在SAD 中，SA ，SDA 60 ，由余弦定理得关于 x 的方程.( )2x 2(2 )x 22x(2 )x ，解得 x .12 33于是，在tSHD 中，SHsin60 ，12 VSABC SABC .故选 C.13 169. 解析：本题涉及单位向量、共线向量、向量的夹角等知识，解题的入口较宽，可从方程、解析几何、复数及向量运算的几何意义等角度入手，对训练我们思维的广阔性有帮助.思路分析：1. 设所
30、求向量为(x，y)，则由向量模的定义与夹角公式可得 解得该方程组可知答案为.2. 设 a ， b ，则可借助直线的夹角公式求得AOB 的平分线所在直线方程为本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩y x，再由 1 可知答案为.3. 在复平面上，向量 a，b 分别对应于复数 z1 i，z 2 i，因为 z1z 2i，故所求向量72 12 12 72对应的复数为 z2 或 ，化简后可知答案选.4. 容易知道符合题意的向量有两个，所以先排除选项和选项，由于 a，b 的模相等，故所求向量应与 ab (，)共线，从而答案选.答案：点评：思路运用了方程思想；思路用的是解析几何知识；思路借助了复数
31、运算；思路最为巧妙，采用了特征分析法并灵活运用了向量运算的几何意义.10. 解析：令 tsinx，t (，则函数 f(x) (0x)的值域为函数y1 ，t (，是一个减函数，答案：点评：本题将三角函数的值域问题转化为一般函数的值域问题，既考查了等价转化的思想方法，又考查了用函数思想解决问题的能力.11. 图像法解方程，也可代入各区间的一个数 (特值法或代入法 )，选 C12. B13. 解：原式化为 .当 ，当1 1 时，y min 4 m4 不符，当 1 ，y minm 4 m5.答案：.14. 解：设 t3 x，则 t ，原不等式可化为 a2a3 2t 2t，t，. 等价于a2a 3 大于
32、 f (t) 2t 2t 在，上的最大值.答案：(，) (，).本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩15. 答案：f(x) ，提示：构造 f(x)与 g(x)的方程组.16. ()或( ).17. ()令 2xt(t0)，设 f(t)t 24ta.由 f(t)，在( ，) 有且仅有一根或两相等实根，则有f(t)有两等根时， a0 a4；验证：t 24t40 t2( ，)，这时 x1；f(t)0 有一正根和一负根时，f()0 a0；若 f(0)，则 a0 ，此时 4x42 x0 2x0( 舍去)，或 2x4， x2，即中只有一个元素 2；综上所述，a0 或 a4，即a|a0 或 a
33、4 .() 要使原不等式对任意 a(，恒成立 .即 g(a)(x2)a(x 26x)0 恒成立.只须x20g 5 x2.18. 解：() 方程 ax2bx2x 有等根， (b2) 20，得 b2.由 f(x1)f(3x)知此函数图象的对称轴方程为 x 1 得 a1，故 f(x)x 22x.(2)f(x)(x1) 211， 4n1，即 n .14而抛物线 yx 22x 的对称轴为 x1. n 时，f(x)在m， n上为增函数.14若满足题设条件的 m，n 存在，则又 mn ， m 2，n0.1419.( )证明：当 n1 时， g1(x0)x 0 显然成立；假设 nk 时，有 gk(x0)x 0
34、(kN)成立，则 gk1 (x0)fg k(x0)f(x 0)g 1(x0)x 0，即 nk1 时，命题成立. 对一切 nN，若 g1(x0)x 0，则 gn(x0)x 0.本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩() 解：由( )知，稳定不动点 x0 只需满足f(x 0)x 0.由 f(x0)x 0，得 6x0 x 0， x 00 或 x0 .56 稳定不动点为和 .56() 解： f(x) 0，得 6x6x 20 x0 或 x1. gn(x) 0 fg n1 (x)0 gn1 (x)0 或 gn1 (x)1.要使一切 nN，n2，都有 gn(x)0，必须有 g1(x)0 或 g1
35、(x)1.由 g1(x)0 6x6x 2 1 x .故对于区间( ， )和(，) 内的任意实数 x，只要 n2，nN，都有 gn(x)0.20. ()证明：任取 x1x 20，f(x1)f(x 2) ，故 f(x)在(，)上是增函数.() 解： 2x 在(0，)上恒成立，且 a0， a 在(0，)上恒成立，令g(x) (当且仅当 2x 即 x 时取等号)，要使 a (0，)1x 22上恒成立，则 a ，故 a 的取值范围是 ，).24 24() 解：由( )f(x) 在定义域上是增函数 . mf(m)，nf(n)，即 m2 m10 ，n 2 n10.故方程 x2 x10 有两个不相等的正根 m
36、，n，注意到 mn，则只需要 ( )240，由于 a0，则 0a .1221. 这是一个以递推公式为背景的数列不等式，但是把递推公式看作一个函数，就可以获得一种很简单的解法.解：方法：把 an1 an(4a n)，nN.看作一个函数 f(x) x(4x) ，由此启发得12 12ak1 ak(4a k) (a k2) 2 (ak2) 222.12 12 12本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩于是 ak2 ，又因为 ak 1a k 2a ka k ak(ak2)0，所以 ak1 ak，所以有12 12ana n1 2， nN；方法：用数学归纳法证明：当 n1 时，a 01 ，a 1
37、 a0(4a 0) ，12 32 0a 0 a12；假设 nk 时有 ak1 a k2 成立，令 f(x) x(4x)，f(x)在，上单调递增，12所以由假设有：f(a k1 )f(a k)f(2)，即 ak1 (4a k1 ) ak(4a k) 2()，12 12 12即当 nk1 时 aka k1 2 成立，所以对一切 nN，有 aka k1 2.22. 解：() 的焦点为( ，)，直线 l 的斜率为，所以 l 的方程为 yx1.将 yx1 代入方程 y24x，整理得 x26x10.设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有 x1x 26 ，x 1x21. .所以 与 的夹角的大小为
38、arccos .() 由题设 得(x 21，y 2)(1x 1，y 1)，即由得 ， 联立、解得 x2，依题意有 0.本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩 B(， )，或 B(， )，又 F(1，0)，得直线 l 方程为( 1)y (x1)或(1)y (x1)，当 ，时，l 在方程 y 轴上的截距为 或，把 看作函数，设 g() ， ，可知 g() 在，上是递减的(或用导数 g() 0 ，证明 g()是减函数). ，即直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为.23. 解析：以函数为发散点，各种数学思想和方法综合运用，令 x0，得 a01，令 x1 得a0a 1a 2 a 20041
39、 ，所以 a1a 2a 2004 0.(a 0a 1)(a 0a2) (a 0a3)(a 0a 2004)2004a 0(a 1a 2a 2004)2004.点评：此题推陈出新考查二项式定理，可应用二项展开式定理展开求出 a1，a 2，然后求和去做，但运算量大，十分麻烦，且易出错.如果用函数思想和整体性思想看问题，视(12x) 2004 为以 x 为自变量的一元多项式函数 f(x)，把离散的问题转化为连续的问题，利用赋特殊值法，可以使问题的解法变得十分巧妙.24. 解析：以函数为载体，考查综合推理和创新能力函数f(x) 图象如下图所示，yf(x)在上是连续单调递减函数.Ny|y f(x)，xM
40、表示函数定义域为a， b时其值域为.由得本资料由阳光家教网整理 阳光家教网祝您取得好成绩解得 ab 0，这与 ab 矛盾，所以选.答案：点评：本题考查了函数的解析式、单调性和函数的定义域、值域与集合等知识.解题过程是由定义域与值域相等的特性建立方程，考查方程的思想和创新能力.五、复习建议1. 以课程标准为依据，提高复习效率, 切实重视基础知识、基本技能和基本方法的复习.2. 加强“通性通法”训练，综合提高解题能力，逐渐形成自觉应用数学思想方法解题的意识。3. 以思维能力为核心，培养学生综合运用知识的能力.4. 重视反思，尽量减少失误.5. 注意学生个性品质的培养。 通过综合检测与模拟考试，让学生形成审慎思维的习惯，培 养 学 生 的 应变 能 力 和 良 好 的 心 理 品 质 ， 距 离 高 考 越 来 越 近 ， 学 生 的 思 想 压 力 和 心 理 压 力 更 大 ， 要 让 他 们 以 实 事 求是 的 科 学 态 度 ， 克 服 过 分 的 紧 张 情 绪 ， 树 立 战 胜 困 难 的 信 心 ， 使 学 生 在 任 何 情 况 下 都 能 正 确 地 面 对 困难 、 迎 接 挑 战 。
