1、2.3 充分条件与判定定理,2.4 必要条件与判定定理 2.5 充要条件,学习目标 1.理解充要条件的意义(重点).2.会判断、证明充要条件(重点).3.通过学习，掌握对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假(重、难点).,知识点一 充要条件一般地，如果既有pq，又有qp 就记作_.此时，我们说，p是q的_，简称_.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么p与q_.,pq,充分必要条件,充要条件,互为充要条件,【预习评价】 (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
2、提示 (1)正确.若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q，故此说法正确.(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.,知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：,【预习评价】 1.若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是( ),A.綈p綈s B.綈s綈p C.綈p綈s D.ps 解析 因为p是q的必要条件，s是q的充分条件，所以qp，sq，所以sp，则根据逆否命题的等价性可知：綈p綈s. 答案 A,答案 充要,知识点三 从集合的角度判断充分条件、必
3、要条件和充要条件p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.,【预习评价】 1.符号“”的含义是什么？提示 “”表示“等价”，如“A与B等价”指的是“如果A，那么B”，同时有“如果B，那么A”，或者说“从A推出B”，同时可“从B推出A”. 2.p的充要条件是q与p是q的充要条件一样吗？提示 从充要性来说一样，但“p的充要条件是q”的充分性是qp，而“p是q的充要条件”的充分性是pq.,题型一 充要条件的判断 【例1】 (1)“x1”是“x22x10”的( ),A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 解x22x10得x1，所以“x1”是“x2
4、2x10”的充要条件. 答案 A,(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ 在ABC中，p：AB，q：sin Asin B； 若a，bR，p：a2b20，q：ab0； p：|x|3，q：x29. 解 在ABC中，显然有ABsin Asin B， 所以p是q的充要条件. 若a2b20，则ab0，即pq；若ab0， 则a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要条件. 由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件.,规律方法 判断p是q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立.若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要
5、条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件. (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.,【训练1】 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab0 B.ab0C.a2b20 D.a2b20(2)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_.解析 (1)a2b20，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.(2)函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1
6、.反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点.故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是“a1”.答案 (1)D (2)“a1”,题型二 充要条件的证明 【例2】 求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.,规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即pq.,【训练2】 求证：一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.,证明 充分性：如果b0，那么f(x)kx， 因为f(x)k(x)kx， 所以f(x
7、)f(x)，且xR. 所以f(x)为奇函数. 必要性：因为f(x)kxb(k0)是奇函数， 所以f(x)f(x)对任意x均成立， 即k(x)b(kxb)， 所以b0. 综上，一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.,【例3】 (1)直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切的充要条件是_.(2)求关于x的一元二次不等式ax21ax对于一切实数x都成立的充要条件.,【迁移1】 (变条件)例3(2)中不等式改为ax21ax，求其对于一切实数x都成立的充要条件.,【迁移2】 (变换条件)例3(2)中的不等式改为方程ax2ax10，求方程有两个正根的充要条件.,规律方法 求充要条件的方
8、法 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.,课堂达标,1.对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的( ),A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当ab0时，得ab，所以ab，但若ab，不一定有ab0. 答案 A,2.已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的( ),A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a3时，A1，3，AB， 当AB时，a2或3. 答案 A,3.已知直线l1：xay60和直线
9、l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a_.,解析 由13a(a2)0得a3或1， 而a3时，两条直线重合，所以a1. 答案 1,答案 充要,5.下列各题中，p是q的什么条件？说明理由.,(1)p：a2b20；q：ab0. (2)p：a2或a2；q：方程x2axa30有实根. 解 (1)因为a2b20ab0，ab0/ a2b20， 所以p是q的充分不必要条件. (2)当a2或a2时，如a3，则方程x23x60无实根，而x2axa30有实根时，0，得a2或a6，可推出a2或a2.所以p是q的必要不充分条件.,课堂小结,1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.,
