1、1.4.3 含有一个量词的命题的否定,学习目标 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.,知识点1 全称命题的否定全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：_.,x0M，綈p(x0),【预习评价】已知命题p：x2，(x2)(x1)0，则綈p是_.答案 x02，(x2)(x1)0.,知识点2 特称命题的否定特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：_. 【预习评价】已知命题p：存在实数m，使不等式x2mx10成立.则命题p的否
2、定是_.答案 对任意的实数m，不等式x2mx10成立,xM，綈p(x),知识点3 全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是_命题.特称命题的否定是_命题.,特称,全称,【预习评价】 (正确的打“”，错误的打“”)(1)命题“xR，x211”的否定是全称命题.( )(2)若命题綈p是特称命题，则命题p是全称命题.( )(3)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的.( ),提示 (1)由于命题“xR，x211”是全称命题，故其否定是特称命题，所以(1)错. (2)由于綈p的否定是p，所以p是全称命题. (3)用自然语言描述的全称命题的否定形式不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“
3、并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”. 答案 (1) (2) (3),题型一 全称命题的否定 【例1】 写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；(3)a，bR，方程axb都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.,解 (1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数. (3)是全称命题，其否定：a，bR，使方程axb的解不唯一或不存在. (4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.,
4、规律方法 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.,【训练1】 写出下列全称命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x120的根；(4)对任意实数x，x210.,题型二 特称命题的否定 【例2】 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：x1，使x22x30；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.,解 (1)綈p：x1，x22x30.(假). (2)綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3)綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).,规律方法 特称命题的否定是全称命
5、题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：x0M，p(x0)成立綈p：xM，綈p(x)成立.,解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.,【探究1】 (1)已知对任意的x1，3，都有mx，求实数m的取值范围；(2)已知存在实数x1，3，使mx，求实数m的取值范围.,解 (1)由于对任意的x1，3，都有mx，故只需m大于或等于x的最大值，即m3. (2)由于存在实数x1，3，使mx，故只需m大
6、于或等于x的最小值，即m1.,【探究2】 已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围.,解 (1)不等式mf(x)0可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可. 故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.,(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min. 又f(x)(x1)24， f(x)min4，m4. 所求实数
7、m的取值范围是(4，). 规律方法 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，af(x)恒成立，只要af(x)max；若存在一个实数x0，使af(x0)成立，只需af(x)min.,【训练3】 已知f(x)3ax26x1(aR).(1)当a3时，求证：对任意xR，都有f(x)0；(2)如果对任意xR，不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明 当a3时，f(x)9x26x1，364(9)(1)0，且90，对任意xR，都有f(x)0.,课堂达标,1.命题p：“存在实数m，使方程x2mx10有实数根”，则“綈p”形式的命
8、题是( )A.存在实数m，使方程x2mx10无实数根B.不存在实数m，使方程x2mx10无实数根C.对任意的实数m，方程x2mx10无实数根D.至多有一个实数m，使方程x2mx10有实数根,解析 命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2mx10无实数根. 答案 C,2.设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：xA，2xB，则( )A.綈p：xA，2xBB.綈p：xA，2xBC.綈p：xA，2xBD.綈p：xA，2xB,解析 命题p：xA，2xB是一个全称命题，其命题的否定綈p应为xA，2xB，选D. 答案 D,3.对下列命题的否定说法错误的是( )A.
9、p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D.p：nN，2n100；綈p：nN，2n100.,解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. 答案 C,答案 C,5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_.解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.答案 有的向量与零向量不共线,课堂小结 1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.,2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.,
