（浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何学案（打包9套）新人教A版选修2-1.zip

13.1.1 空间向量及其加减运算学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.了解向量加法的交换律和结合律．知识点一 空间向量的概念(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量 a 的起点是 A，终点是B，则向量 a 也可记作 ，其模记为| a|或| |.AB→ AB→ (2)几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0单位向量 模为 1 的向量称为单位向量相反向量 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为－ a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考 下面给出了两个空间向量 a， b，作出 b＋ a， b－ a.2答案 如图，空间中的两个向量 a， b 相加时，我们可以先把向量 a， b 平移到同一个平面α 内，以任意点 O 为起点作 ＝ a， ＝ b，则 ＝ ＋ ＝ a＋ b， ＝ － ＝ b－ a.OA→ OB→ OC→ OA→ OB→ AB→ OB→ OA→ 梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．＝ ＋ ＝ a＋ b，OB→ OA→ AB→ ＝ － ＝ a－ b.CA→ OA→ OC→ (2)空间向量加法交换律a＋ b＝ b＋ a，空间向量加法结合律(a＋ b)＋ c＝ a＋( b＋ c)．(1)零向量没有方向．(×)(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．(×)(3)平面内所有的单位向量是相等的．(×)(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(×)(5)任何两个向量均不可以比较大小(√)类型一 向量概念的应用例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )A．若向量 a， b 平行，则 a， b 所在直线平行B．若| a|＝| b|，则 a， b 的长度相等而方向相同或相反C．若向量 ， 满足| |＞| |，则 ＞AB→ CD→ AB→ CD→ AB→ CD→ D．相等向量其方向必相同考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 D解析 A 中，向量 a， b 平行，则 a， b 所在的直线平行或重合；B 中，| a|＝| b|只能说明3a， b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选 D.4(2)给出下列命题：①若空间向量 a， b 满足| a|＝| b|，则 a＝ b；②在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，必有 ＝ ；AC→ A1C1- → ③若空间向量 m， n， p 满足 m＝ n， n＝ p，则 m＝ p；④空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 B解析 ①为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而①中向量 a 与 b 的方向不一定相同；②为真命题， 与 的方向相同，模也相AC→ A1C1- → 等，故 ＝ ；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个AC- → A1C1- → 单位向量的模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选 B.反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练 1 (1)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：① 与AB→ ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 .其中互为C1D1- → AC1- → BD1- → AD1- → C1B- → A1D- → B1C- → 相反向量的有 n 对，则 n 等于( )A．1 B．2C．3 D．4考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 B解析 对于① 与 ，③ 与 ，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AB→ C1D1- → AD1- → C1B- → 与 ，长度相等，方向不相反；对于④ 与 ，长度相等，方向相同．故AC1- → BD1- → A1D- → B1C- → 互为相反向量的有 2 对．(2)如图，在长方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， AB＝3， AD＝2， AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？5②试写出模为 的所有向量．5③试写出与向量 相等的所有向量．AB→ ④试写出向量 的所有相反向量．AA′- - → 考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模解 ①由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量 ， ，AA′- - → A′ A- - → ， ， ， ， ， ，共 8 个向BB′- - → B′ B- - - → CC′- - - → C′ C- - - → DD′- - - → D′ D- - - → 量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为 ，故模为 的向量有 ，5 5 AD′- - - → ， ， ， ， ，D′ A- - - - → A′ D- - - → DA′- - - → BC′- - - - → C′ B- - - - → ， .B′ C- - - - → CB′- - - → ③与向量 相等的所有向量(除它自身之外)有 ， 及 .AB→ A′ B′- - - - → DC→ D′ C′- - - - → ④向量 的相反向量有 ， ， ， .AA′- - - → A′ A- - - → B′ B- - - → C′ C- - - → D′ D- - - → 类型二 空间向量的加减运算例 2 如图，已知长方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1) － ；AA′- → CB→ (2) ＋ ＋ .AA′- → AB→ B′ C′- - - → 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算解 (1) － ＝ － ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .AA′- → CB→ AA′- → DA→ AA′- → AD→ AA′- → A′ D′- - - → AD′- → (2) ＋ ＋ ＝( ＋ )＋ ＝ ＋ ＋AA′- → AB→ B′ C′- - - → AA′- → AB→ B′ C′- - - - → AA′- → A′ B′- - - - → ＝ ＋ ＝ .B′ C′- - - - → AB′- → B′ C′- - - - → AC′- → 向量 ， 如图所示．AD′- → AC′- → 67引申探究利用本例题图，化简 ＋ ＋ ＋ .AA′- → A′ B′- - - - → B′ C′- - - - → C′ A- - → 解 结合加法运算＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋AA′- → A′ B′- - - - → AB′- → AB′- → B′ C′- - - - → AC′- → AC′- → C′ A- - - → ＝0.故 ＋ ＋ ＋ ＝0.AA′- → A′ B′- - - - → B′ C′- - - - → C′ A- - - - → 反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ .A1A2- → A2A3- → A3A4- → An—1An- - → A1An- → (2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0.如图，＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝0.OB→ BC→ CD→ DE→ EF→ FG→ GH→ HO→ 跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中，求证： ＋ ＋ ＝2 .AC→ AB′- → AD′- → AC′- → 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，AC→ AB→ AD→ AB′- → AB→ AA′- → AD′- → AD→ AA′- → ∴ ＋ ＋AC→ AB′- → AD′- → ＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )AB→ AD→ AB→ AA′- → AD→ AA′- → ＝2( ＋ ＋ )．AB→ AD→ AA′- → 又∵ ＝ ， ＝ ，AA′- → CC′- → AD→ BC→ ∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .AB→ AD→ AA′- → AB→ BC→ CC′- → AC→ CC′- → AC′- → ∴ ＋ ＋ ＝2 .AC→ AB′- → AD′- → AC′- → 1.如图所示，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为8的共有( )AC1- → ①( ＋ )＋ ；AB→ BC→ CC1- → ②( ＋ )＋ ；AA1- → A1D1- - → D1C1- - → ③( ＋ )＋ ；AB→ BB1- → B1C1- - → ④( ＋ )＋ .AA1- → A1B1- - → B1C1- - → A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 D解析 ①( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；AB→ BC→ CC1- → AC→ CC1- → AC1- → ②( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；AA1→ A1D1- - → D1C1- - → AD1- → D1C1- - → AC1- → ③( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；AB→ BB1- → B1C1- - → AB1- → B1C1- - → AC1- → ④( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ，故选 D.AA1- → A1B1- - → B1C1- - → AB1- → B1C1- - → AC1- → 2．下列命题中，假命题是( )A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于 0D．空间向量不满足加法结合律考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 D3．在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中，与向量 相等的向量共有( )AD→ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 C解析 与 相等的向量有 ， ， ，共 3 个．AD→ A1D1- - → BC→ B1C1- - → 4．向量 a， b 互为相反向量，已知| b|＝3，则下列结论正确的是( )A． a＝ b B． a＋ b 为实数 09C． a 与 b 方向相同 D．| a|＝3考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 D解析 向量 a， b 互为相反向量，则 a， b 模相等、方向相反，故选 D.5．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：①( ＋ )＋ ；②( ＋ )＋ ；③( ＋ )＋ ；④(AB→ BC→ CC1- → AA1- → A1D1- - → D1C1- - → AB→ BB1- → B1C1- - → ＋ )＋ .其中运算的结果为 的有________个．AA1- → A1B1- - → B1C1- - → AC1- → 考点 题点 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；AB→ BC→ CC1- → AC→ CC1- → AC1- → ②( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；AA1- → A1D1- - → D1C1- - → AD1- → D1C1- - → AC1- → ③( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ；AB→ BB1- → B1C1- - → AB1- → B1C1- - → AC1- → ④( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ .AA1- → A1B1- - → B1C1- - → AB1- → B1C1- - → AC1- → 所以 4 个式子的运算结果都是 .AC1- → 1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．10一、选择题1．化简 － ＋ 所得的结果是( )PM- → PN- → MN- → A. B.PM- → NP- → C.0 D. MN- → 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 C解析 － ＋ ＝ ＋ ＝ － ＝0，故选 C.PM- → PN- → MN- → NM- → MN- → NM- → NM- → 2．下列命题中为真命题的是( )A．向量 与 的长度相等AB→ BA→ B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 A解析 对于选项 B，其终点构成一个球面；对于选项 C，零向量不能用有向线段表示；对于选项 D，向量 a 与向量 b 不相等，未必它们的模不相等，故选 A.3．空间任意四个点 A， B， C， D，则 ＋ － 等于( )DA→ CD→ CB→ A. B.DB→ AC→ C. D.AB→ BA→ 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 D4．(2017·嘉兴一中期末)如图，在三棱锥 O－ ABC 中，点 D 是棱 AC 的中点，若＝ a， ＝ b， ＝ c，则 等于( )OA→ OB→ OC→ BD→ 11A． a＋ b－ c B. a－ b＋ c12 12C． a－ b＋ c D．－ a＋ b－ c12 12答案 B5．设有四边形 ABCD， O 为空间任意一点，且 ＋ ＝ ＋ ，则四边形 ABCD 是( )AO→ OB→ DO→ OC→ A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 A解析 由 ＋ ＝ ＝ ＋ ＝ ，得 ＝ ，故四边形 ABCD 为平行四边形，故选 A.AO→ OB→ AB→ DO→ OC→ DC→ AB→ DC→ 6．如果向量 ， ， 满足| |＝| |＋| |，则( )AB→ AC→ BC→ AB→ AC→ BC→ A. ＝ ＋ B. ＝－ －AB→ AC→ BC→ AB→ AC→ BC→ C. 与 同向 D. 与 同向AC→ BC→ AC→ CB→ 考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 D7．判断下列各命题的真假：①向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A．2B．3C．4D．5考点 题点 答案 B解析 ①假命题，当 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．二、填空题8．在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，化简 － ＋ － 的结果是________．AB→ CD→ BC→ DA→ 考点 空间向量的加减运算12题点 空间向量的加减运算答案 2 AC→ 解析 － ＋ － ＝ ＋ ＋ － ＝ ＋ ＝2 .AB→ CD→ BC→ DA→ AB→ BC→ DC→ DA→ AC→ AC→ AC→ 9．已知向量 a， b， c 互相平行，其中 a， c 同向， a， b 反向，| a|＝3，| b|＝2，| c|＝1，则| a＋ b＋ c|＝________.考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 210．若 G 为△ ABC 内一点，且满足 ＋ ＋ ＝0，则 G 为△ ABC 的________．(选填“外心”AG→ BG→ CG→ “内心” “垂心”或“重心”)考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 重心解析 因为 ＋ ＝－ ＝ ，AG→ BG→ CG→ GC→ 所以 AG 所在直线的延长线为边 BC 上的中线，同理，得 BG 所在直线的延长线为 AC 边上的中线，故 G 为其重心．11．给出下列命题：①若| a|＝0，则 a＝0；②若 a＝0，则| a|＝0；③| a|＝|－ a|；④若a＝0，则－ a＝0.其中正确命题的序号为________．考点 空间向量的相关概念及及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 ②③④三、解答题12．如图所示，已知空间四边形 ABCD，连接 AC， BD， E， F， G 分别是 BC， CD， DB 的中点，请化简： ＋ ＋ ， ＋ ＋ ，并标出化简结果的向量．AB→ BC→ CD→ AB→ GD→ EC→ 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用解 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .AB→ BC→ CD→ AC→ CD→ AD→ 因为 E， F， G 分别为 BC， CD， DB 的中点，13所以 ＝ ， ＝ .BE→ EC→ EF→ GD→ 所以 ＋ ＋AB→ GD→ EC→ ＝ ＋ ＋ ＝ .AB→ EF→ BE→ AF→ 故所求向量为 ， ，如图所示．AD→ AF→ 13．如图所示，在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中，化简下列表达式．(1) ＋ ；AB→ BC→ (2) ＋ ＋ ；AB→ AD→ AA′- → (3) ＋ ＋ ；AB→ CB→ AA′- → (4) ＋ － .AC′- → D′ B- - → DC→ 考点 题点 解 (1) ＋ ＝ .AB→ BC→ AC→ (2) ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .AB→ AD→ AA′- → AC→ AA′- → AC′- → (3) ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .AB→ CB→ AA′- → AB→ DA→ BB′- → DB′- → (4) ＋ － ＝( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ )－ ＝ .AC′- → D′ B- - → DC→ AB→ BC→ CC′- → DA→ DC→ C′ C- - → DC→ DC→ 四、探究与拓展14．已知正方体 ABCD－ A1B1C1D1的中心为点 O，则在下列结论中正确的结论共有( )① ＋ 与 ＋ 是一对相反向量；OA→ OD→ OB1→ OC1- → ② － 与 － 是一对相反向量；OB→ OC→ OA1- → OD1- → 14③ ＋ ＋ ＋ 与 ＋ ＋ ＋ 是一对相反向量；OA→ OB→ OC→ OD→ OA1- → OB1- → OC1- → OD1- → ④ － 与 － 是一对相反向量．OA1- → OA→ OC→ OC1- → A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 C15．在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，化简 － ＋ － ＋ － .DA→ DB→ B1C- → B1B- → A1B1- - → A1B- → 解 如图．－ ＋ － ＋ －DA→ DB→ B1C- → B1B- → A1B1- - → A1B- → ＝( － )＋( － )＋( － )DA→ DB→ B1C- → B1B- → A1B1- - → A1B- → ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .BA→ BC→ BB1- → BD→ BB1- → BD1- → 13.1.2 空间向量的数乘运算学习目标 1.了解空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．知识点一 空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ a 仍然是一个向量，称为向量的数乘λ ＞0 λ a 与向量 a 的方向 相同λ ＜0 λ a 与向量 a 的方向 相反λ a 的长度是 a的长度的| λ |倍几何定义λ ＝0 λ a＝0，其方向是任意的分配律 λ (a＋ b)＝ λ a＋ λ b运算律结合律 λ (μ a)＝( λμ )a知识点二 共线向量与共面向量思考 1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义．答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．思考 2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案 正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．梳理 平行(共线)向量与共面向量共线(平行)向量 共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a， b(b≠0)， a∥ b 的充要条件是存在实数 λ ，使 a＝ λ b若两个向量 a， b 不共线，则向量 p与 a， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对( x， y)，使 p＝ xa＋ yb2推论如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使＝ ＋ ta，①其中 a 叫做直线 lOP→ OA→ 的方向向量，如图所示．若在 l 上取 ＝ a，则①式可化为AB→ ＝ ＋ tOP→ OA→ AB→ 如图，空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x， y)，使 ＝ x ＋ y ，或对空MP→ MA→ MB→ 间任意一点 O 来说，有＝ ＋ x ＋ yOP→ OM→ MA→ MB→ (1)若 p＝ xa＋ yb，则 p 与 a， b 共面．(√)(2)若 p 与 a， b 共面，则 p＝ xa＋ yb.(×)(3)若 ＝ x ＋ y ，则 P， M， A， B 共面．(√)MP→ MA→ MB→ (4)若 P， M， A， B 共面，则 ＝ x ＋ y .(×)MP→ MA→ MB→ 类型一 共线问题例 1 (1)已知向量 a， b，且 ＝ a＋2 b， ＝－5 a＋6 b， ＝7 a－2 b，则一定共线的三点AB→ BC→ CD→ 是( )A． A， B， D B． A， B， CC． B， C， D D． A， C， D(2)设 e1， e2是空间两个不共线的向量，已知＝ e1＋ ke2， ＝5 e1＋4 e2， ＝－ e1－2 e2，且 A， B， D 三点共线，实数 k＝________.AB→ BC→ DC→ 考点 线线、线面平行的判断题点 线线平行的判断3答案 (1)A (2)1解 析 (1)∵ ＝ ＋ ＋ ＝ 3a＋ 6b＝ 3(a＋ 2b)＝ 3 ， 故 ∥ ， 又 与 有 公 共 点 A，A D→ A B→ B C→ C D→ A B→ A D→ A B→ A D→ A B→ 所以 A， B， D 三点共线．(2)∵ ＝ ＋ ＋ ＝7 e1＋( k＋6) e2，AD→ AB→ BC→ CD→ 且 与 共线，故 ＝ x ，AB→ AD→ AD→ AB→ 即 7e1＋( k＋6) e2＝ xe1＋ xke2，故(7－ x)e1＋( k＋6－ xk)e2＝0，又∵ e1， e2不共线，∴Error! 解得Error!故 k 的值为 1.反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若 a∥ b， b≠0，则存在唯一实数 λ 使 a＝ λ b；(ⅱ)若存在唯一实数 λ ，使 a＝ λ b， b≠0，则 a∥ b.②判断向量共线的关键：找到实数 λ .(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点 P， A， B 可通过证明下列结论来证明三点共线．①存在实数 λ ，使 ＝ λ 成立．PA→ PB→ ②对空间任一点 O，有 ＝ ＋ t (t∈R)．OP→ OA→ AB→ ③对空间任一点 O，有 ＝ x ＋ y (x＋ y＝1)．OP→ OA→ OB→ 跟踪训练 1 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E， F 分别是AB， CD 的中点，请判断向量 与 ＋ 是否共线？EF→ AD→ BC→ 考点 线线、线面平行的判断题点 线线平行的判断解 设 AC 的中点为 G，连接 EG， FG，∴ ＝ ， ＝ ，GF→ 12AD→ EG→ 12BC→ 又∵ ， ， 共面，GF→ EG→ EF→ ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ( ＋ )，EF→ EG→ GF→ 12BC→ 12AD→ 12AD→ BC→ ∴ 与 ＋ 共线．EF→ AD→ BC→ 4类型二 空间向量的数乘运算及应用例 2 如图所示，在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中，设＝ a， ＝ b， ＝ c， M， N， P 分别是 AA1， BC， C1D1的中点，试AA1- → AB→ AD→ 用 a， b， c 表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) ＋ .AP→ A1N- → MP→ NC1- → 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算解 (1) ＝ ＋AP→ AD1- → D1P- → ＝( ＋ )＋ ＝ a＋ c＋ b.AA1- → AD→ 12AB→ 12(2) ＝ ＋ ＝－ ＋ ＋A1N- → A1A- → AN→ AA1- → AB→ 12AD→ ＝－ a＋ b＋ c.12(3) ＋ ＝( ＋ ＋ )＋( ＋ )MP→ NC1- → MA1- → A1D1- - → D1P- → NC→ CC1- → ＝ ＋ ＋ ＋ ＋12AA1- → AD→ 12AB→ 12AD→ AA1- → ＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋ c.32AA1- → 32AD→ 12AB→ 32 12 32引申探究若把本例中“ P 是 C1D1的中点”改为“ P 在线段 C1D1上，且 ＝ ”，其他条件不变，如何C1PPD1 12表示 ？AP→ 解 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ a＋ c＋ b.AP→ AD1- → D1P- → AA1- → AD→ 23AB→ 23反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练 2 如图所示，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E 在 A1D1上，且＝2 ， F 在对角线 A1C 上，且 ＝ .A1E- → ED1- → A1F- → 23FC→ 求证： E， F， B 三点共线．考点 空间向量的数乘运算5题点 空间共线向量定理及应用证明 设 ＝ a， ＝ b， ＝ c.AB→ AD→ AA1- → 因为 ＝2 ， ＝ ，A1E- → ED1- → A1F- → 23FC→ 所以 ＝ ， ＝ ，A1E- → 23 A1D1- - → A1F- → 25A1C- → 所以 ＝ ＝ b，A1E- → 23AD→ 23＝ ( － )＝ ( ＋ － )A1F- → 25AC→ AA1- → 25AB→ AD→ AA1- → ＝ a＋ b－ c，25 25 25所以 ＝ － ＝ a－ b－ cEF→ A1F- → A1E- → 25 415 25＝ .25(a－ 23b－ c)又 ＝ ＋ ＋ ＝－ b－ c＋ a＝ a－ b－ c，EB→ EA1- → A1A- → AB→ 23 23所以 ＝ ，EF→ 25EB→ 又因为 与 有公共点 E，所以 E， F， B 三点共线．EF→ EB→ 类型三 空间向量共面问题例 3 (1)已知 A， B， M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任意一点 O，确定在下列条件下，点 P 是否与 A， B， M 一定共面．① ＋ ＝3 － ；OM→ OB→ OP→ OA→ ② ＝4 － － .OP→ OA→ OB→ OM→ (2)已知 A， B， C 三点不共线，点 M 满足 ＝ ＋ ＋ .OM→ 13OA→ 13OB→ 13OC→ ① ， ， 三个向量是否共面？MA→ MB→ MC→ ②点 M 是否在平面 ABC 内？考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用解 (1)①∵ ＋ ＝3 － ，OM→ OB→ OP→ OA→ ∴ ＝ ＋( － )＋( － )OP→ OM- → OA→ OP→ OB→ OP→ 6＝ ＋ ＋ ，OM- → PA→ PB→ ∴ － ＝ ＋ ，OP→ OM- → PA→ PB→ ∴ ＝ ＋ ，MP- → PA→ PB→ ∴ ， ， 为共面向量，MP- → PA→ PB→ ∴ P 与 A， B， M 共面．② ＝2 ＋( － )＋( － )OP→ OA→ OA→ OB→ OA→ OM- → ＝2 ＋ ＋ ，OA→ BA→ MA- → 根据空间向量共面的推论，点 P 位于平面 ABM 内的充要条件是 ＝ ＋ x ＋ y ，OP→ OA→ BA→ MA- → ∴ P 与 A， B， M 不共面．(2)①∵ ＋ ＋ ＝3 ，OA→ OB→ OC→ OM- → ∴ － ＝( － )＋( － )，OA→ OM- → OM- → OB→ OM- → OC→ ∴ ＝ ＋ ＝－ － ，MA- → BM- → CM- → MB- → MC- → ∴向量 ， ， 共面．MA- → MB- → MC- → ②由①知向量 ， ， 共面，MA- → MB- → MC- → 又它们有共同的起点 M，且 A， B， C 三点不共线，∴ M， A， B， C 四点共面，即点 M 在平面 ABC 内．反思与感悟 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．跟踪训练 3 如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且＝ ，点 G 在 AH 上，且 ＝ m，若 G， B， P， D 四点共面，求 m 的值．PHHC 12 AGAH考点 空间向量的数乘运算7题点 空间共面向量定理及应用解 连接 BG.因为 ＝ － ， ＝ ，AB→ PB→ PA→ AB→ DC→ 所以 ＝ － ，DC→ PB→ PA→ 因为 ＝ ＋ ，PC→ PD→ DC→ 所以 ＝ ＋ － ＝－ ＋ ＋ .PC→ PD→ PB→ PA→ PA→ PB→ PD→ 因为 ＝ ，所以 ＝ ，PHHC 12 PH→ 13PC→ 所以 ＝ (－ ＋ ＋ )PH→ 13 PA→ PB→ PD→ ＝－ ＋ ＋ .13PA→ 13PB→ 13PD→ 又因为 ＝ － ，AH→ PH→ PA→ 所以 ＝－ ＋ ＋ ，AH→ 43PA→ 13PB→ 13PD→ 因为 ＝ m，AGAH所以 ＝ m ＝－ ＋ ＋ ，AG→ AH→ 4m3PA→ m3PB→ m3PD→ 因为 ＝－ ＋ ＝ － ＋ ，BG→ AB→ AG→ PA→ PB→ AG→ 所以 ＝ ＋ ＋ .BG→ (1－ 4m3)PA→ (m3－ 1)PB→ m3PD→ 又因为 G， B， P， D 四点共面，所以 1－ ＝0， m＝ .4m3 34即 m 的值是 .341．下列命题中正确的是( )A．若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线B．向量 a， b， c 共面，即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向8D．若 a∥ b，则存在唯一的实数 λ ，使 a＝ λ b考点 空间向量的数乘运算题点 线线平行的判定答案 C解析 零向量的方向是任意的．92． A， B， C 不共线，对空间任意一点 O，若 ＝ ＋ ＋ ，则 P， A， B， C 四点( )OP→ 34OA→ 18OB→ 18OC→ A．不共面 B．共面C．不一定共面 D．无法判断是否共面考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 B解析 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＋ ( ＋ )＝ ＋ ＋ ，OP→ 34OA→ 18OB→ 18OC→ 34OA→ 18OA→ AB→ 18OA→ AC→ OA→ 18AB→ 18AC→ ∴ － ＝ ＋ ，∴ ＝ ＋ .OP→ OA→ 18AB→ 18AC→ AP→ 18AB→ 18AC→ 由共面的充要条件，知 P， A， B， C 四点共面．3．下列条件，能说明空间不重合的 A， B， C 三点共线的是( )A. ＋ ＝ B. － ＝AB→ BC→ AC→ AB→ BC→ AC→ C. ＝ D.| |＝| |AB→ BC→ AB→ BC→ 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 C解析 由 ＝ 知 与 共线，又因有一共同的点 B，故 A， B， C 三点共线．AB→ BC→ AB→ BC→ 4．若非零空间向量 e1， e2不共线，则使 2ke1－ e2与 e1＋2( k＋1) e2共线的 k 的值为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 －12解析 若 2ke1－ e2与 e1＋2( k＋1) e2共线，则 2ke1－ e2＝ λ [e1＋2( k＋1) e2]，∴Error! ∴ k＝－ .125．若非零空间向量 e1， e2不共线，则使 ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线的 k＝________.考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 ±1解析 由 ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线，10得 ke1＋ e2＝ λ (e1＋ ke2)，即Error!故 k＝±1.1．四点 P， A， B， C 共面⇔对空间任意一点 O，都有 ＝ x ＋ y ＋ z ，且 x＋ y＋ z＝1.OP→ OA→ OB→ OC→ 2. ＝ ＋ x ＋ y 称为空间平面 ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一OP→ OA→ AB→ AC→ 点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)三点 A， B， C 共线时，只需证明存在实数 λ ，使 ＝ λ (或 ＝ λ )AB→ BC→ AB→ AC→ 即可，也可用“对空间任意一点 O，有 ＝ t ＋(1－ t) ”来证明三点 A， B， C 共线．OC→ OA→ OB→ 4．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对( x， y)，使 ＝ x ＋ y ，满MP→ MA→ MB→ 足这个关系式的点都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．一、选择题1．在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中，向量 ， ， 是( )D1A- → D1C- → A1C1- - → A．有相同起点的向量 B．等长向量C．共面向量 D．不共面向量考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 C解析 因为 － ＝ ，且 ＝ ，D1C- → D1A- → AC→ AC→ A1C1- - → 所以 － ＝ ，D1C- → D1A- → A1C1- - → 即 ＝ ＋ .D1C- → D1A- → A1C1- - → 又 与 不共线，D1A- → A1C1- - → 所以 ， ， 三向量共面．D1C- → D1A- → A1C1- - → 2．在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点．若＝ a， ＝ b， ＝ c，则下列向量中与 相等的A1B1- - → A1D1- - → A1A- → B1M- → 向量是( )11A．－ a＋ b＋ c12 12B． a＋ b＋ c12 12C． a－ b＋ c12 12D．－ a－ b＋ c12 12考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 A解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )B1M- → B1B- → BM→ A1A- → 12BA→ BC→ ＝ c＋ (－ a＋ b)＝－ a＋ b＋ c.12 12 123．如图所示，在四面体 A－ BCD 中，点 E 是 CD 的中点，记 ＝ a， ＝ b， ＝ c，则 等AB→ AC→ AD→ BE→ 于( )A． a－ b＋ c12 12B．－ a＋ b＋ c12 12C． a－ b＋ c12 12D．－ a＋ b＋ c12 12考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 B解析 连接 AE，∵ E 是 CD 的中点， ＝ b， ＝ c，AC→ AD→ 12∴ ＝ ( ＋ )＝ (b＋ c)．AE→ 12AC→ AD→ 12在△ ABE 中， ＝ ＋ ＝－ ＋ ，BE→ BA→ AE→ AB→ AE→ 又 ＝ a，∴ ＝－ a＋ (b＋ c)＝－ a＋ b＋ c.AB→ BE→ 12 12 124．设点 M 是△ ABC 的重心，记 ＝ a， ＝ b， ＝ c，且 a＋ b＋ c＝0，则 等于( )BC→ CA→ AB→ AM- → A. B.b－ c2 c－ b2C. D.b－ c3 c－ b3考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 D解析 设 D 是 BC 边的中点，∵ M 是△ ABC 的重心，∴ ＝ .而 ＝ ( ＋ )＝ (c－ b)，AM- → 23AD→ AD→ 12AB→ AC→ 12∴ ＝ (c－ b)．AM- → 135．设空间四点 O， A， B， P 满足 ＝ m ＋ n ，其中 m＋ n＝1，则( )OP→ OA→ OB→ A．点 P 一定在直线 AB 上B．点 P 一定不在直线 AB 上C．点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上D． 与 的方向一定相同AB→ AP→ 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 A解析 已知 m＋ n＝1，则 m＝1－ n，＝(1－ n) ＋ n ＝ － n ＋ n ，OP→ OA→ OB→ OA→ OA→ OB→ 即 － ＝ n( － )，即 ＝ n .OP→ OA→ OB→ OA→ AP→ AB→ 因为 ≠0，所以 和 共线，AB→ AP→ AB→ 又 AP 和 AB 有公共点 A，所以点 A， P， B 共线，故选 A.136．已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有 ＝ x ＋ ＋ ，则 x 的值OM- → OA→ 13OB→ 13OC→ 为( )A．1B．0C．3D.13考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 D解析 ∵ ＝ x ＋ ＋ ，OM- → OA→ 13OB→ 13OC→ 且 M， A， B， C 四点共面，∴ x＋ ＋ ＝1，13 13∴ x＝ ，故选 D.137．在下列命题中：①若 a， b 共线，则 a， b 所在的直线平行；②若 a， b 所在的直线是异面直线，则 a， b 一定不共面；③若 a， b， c 三向量两两共面，则 a， b， c 三向量一定也共面；④已知三向量 a， b， c，则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p＝ xa＋ yb＋ zc.其中正确命题的个数为( )A．0B．1C．2D．3考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 A解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对．二、填空题8．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用答案 ②④14解析 根据共面与共线向量的定义判定，知②④正确．9．已知 A， B， C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若由向量 ＝ ＋ ＋ λ 确定的OP→ 15OA→ 23OB→ OC→ 点 P 与 A， B， C 共面，则 λ ＝________.考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 215解析 ∵ A， B， C 三点不共线，点 O 是平面 ABC 外一点，由向量 ＝ ＋ ＋ λ 确定OP→ 15OA→ 23OB→ OC→ 的点 P 与 A， B， C 共面，∴ ＋ ＋ λ ＝1，解得 λ ＝ .15 23 21510．如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， M， N 分别为 AB， B1C 的中点．用 ， ， 表AB→ AD→ AA1- → 示 ，则 ＝__________.MN- → MN- → 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 ＋ ＋12AB→ 12AD→ 12AA1- → 解析 ＝ ＋ ＋MN- → MB- → BC→ CN→ ＝ ＋ ＋ ( ＋ )12AB→ AD→ 12CB→ BB1- → ＝ ＋ ＋ (－ ＋ )12AB→ AD→ 12 AD→ AA1- → ＝ ＋ ＋ .12AB→ 12AD→ 12AA1- → 11．设棱长为 a 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1中的八个顶点所成的集合为 S.向量的集合P＝{ m|m＝ ， P1， P2∈ S}，则 P 中长度为 a 的向量有________个．P1P2- - → 3考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 815解析 每一条体对角线对应两个向量，正方体共有 4 条体对角线．三、解答题12．设 e1， e2， e3三向量不共面，而＝ e1＋2 e2＋3 e3， ＝2 e1＋ λ e2＋ μ e3， ＝3 λ e1－ e2－2 μ e3，如果 A， B， D 三点共线，AB→ BC→ CD→ 试求 λ ， μ 的值．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用解 ＝ ＋ ＝(2 e1＋ λ e2＋ μ e3)＋(3 λ e1－ e2－2 μ e3)＝(2＋3 λ )e1＋( λ －1) e2－ μ e3.BD→ BC→ CD→ ∵ A， B， D 三点共线，∴ 与 是共线向量．AB→ BD→ ∴存在实数 k，使得 ＝ k ，即AB→ BD→ e1＋2 e2＋3 e3＝ k[(2＋3 λ )e1＋( λ －1) e2－ μ e3]．∴(1－2 k－3 kλ )e1＋(2－ kλ ＋ k)e2＋(3＋ kμ )e3＝0.∵ e1， e2， e3三向量不共面，∴1－2 k－3 kλ ＝0,2－ kλ ＋ k＝0,3＋ kμ ＝0.将 k＝－ 代入前两式，3μ可得Error!解得 λ ＝－1， μ ＝3.13.如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EF∥ AB， AB＝2 EF， H 为 BC 的中点．求证： FH∥平面 EDB.考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为 H 为 BC 的中点，所以 ＝ ( ＋ )＝ ( ＋ ＋ ＋ ＋ )＝ (2 ＋ ＋ ＋ )．FH→ 12FB→ FC→ 12FE→ EB→ FE→ ED→ DC→ 12 FE→ EB→ ED→ DC→ 因为 EF∥ AB， CD∥ AB，且 AB＝2 EF，所以 2 ＋ ＝0，FE→ DC→ 所以 ＝ ( ＋ )＝ ＋ .FH→ 12EB→ ED→ 12EB→ 12ED→ 因为 与 不共线，EB→ ED→ 所以由共面向量定理知 ， ， 共面．FH→ EB→ ED→ 16因为 FH⊄平面 EDB，所以 FH∥平面 EDB.四、探究与拓展14.如图所示，已知 A， B， C 三点不共线， P 为一定点， O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量 的为________．OP→ ① ＋2 ＋2 ；OA→ AB→ AC→ ② －3 －2 ；OA→ AB→ AC→ ③ ＋3 －2 ；OA→ AB→ AC→ ④ ＋2 －3 .OA→ AB→ AC→ 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 ③解析 因为 A， B， C， P 四点共面，所以可设 ＝ x ＋ y ，即 ＝ ＋ x ＋ y ，由题图AP→ AB→ AC→ OP→ OA→ AB→ AC→ 可知 x＝3， y＝－2.15.如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M， N 分别在对角线 BD， AE 上，且 BM＝ BD， AN＝ AE.求证： MN∥平面 CDE.13 13考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为 M 在 BD 上，且 BM＝ BD，13所以 ＝ ＝ ＋ .MB- → 13DB→ 13DA→ 13AB→ 同理 ＝ ＋ .AN- → 13AD→ 13DE→ 所以 ＝ ＋ ＋MN- → MB- → BA→ AN→ ＝ ＋ ＋(13DA→ ＋ 13AB→ ) BA→ (13AD→ ＋ 13DE→ )＝ ＋ ＝ ＋ .23BA→ 13DE→ 23CD→ 13DE→ 又 与 不共线，CD→ DE→ 17根据共面向量定理可知 ， ， 共面．MN- → CD→ DE→ 因为 MN 不在平面 CDE 内，所以 MN∥平面 CDE.