1、1专题 4.8 曲线运动的综合性问题一选择题1.如图甲所示,质量相等,大小可忽略的 a、 b 两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来,使小球 a 在竖直平面内来回摆动,小球 b 在水平面内做匀速圆周运动,连接小球 b 的细线与竖直方向的夹角和小球 a 摆动时细线偏离竖直方向的最大夹角都为 ,运动过程中两细线拉力大小随时间变化的关系如图乙中 c、 d 所示 .则下列说法正确的是( )A.图乙中直线 d 表示细线对小球 a 的拉力大小随时间变化的关系B.图乙中曲线 c 表示细线对小球 a 的拉力大小随时间变化的关系C.= 45D.= 60【参考答案】BD2.(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的
2、光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从 B 点脱离后做平抛运动，经过 0.3 s 后又恰好垂直与倾角为 45的斜面相碰。已知半圆形管道的半径 R1 m，小球可看做质点且其质量为 m1 kg， g 取 10 m/s2。则( )A.小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 0.9 m2B.小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 1.9 mC.小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB的大小是 1 ND.小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB的大小是 2 N【参考答案】AC3. (2017泰州中学)如图所示,两个质量均为
3、 m 的小物块 a 和 b(可视为质点),静止在倾斜的匀质圆盘上,圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动, a 到转轴的距离为 l,b 到转轴的距离为 2l,物块与盘面间的动摩擦因数为,盘面与水平面的夹角为 30.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为 g.若 a、 b 随圆盘以角速度 匀速转动,下列说法中正确的是 ( )A. a 在最高点时所受摩擦力可能为 0B. a 在最低点时所受摩擦力可能为 0C. = 8gl是 a 开始滑动的临界角速度D. = l是 b 开始滑动的临界角速度【参考答案】 . AD 3二计算题12017山东莱州模拟(15 分)如图所示，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形
4、轨道固定于竖直平面内，其弯曲部分是由两个半径均为 R0.2 m 的半圆平滑对接而成(圆的半径远大于细管内径)，轨道底端 D 点与粗糙的水平地面相切。现有一辆质量为 m1 kg 的玩具小车以恒定的功率从 E 点由静止开始出发，经过一段时间 t4 s 后，出现了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最高点飞出后，恰好垂直撞在固定斜面 B 上的 C 点， C 点与下半圆的圆心 O 等高。已知小车与地面之间的动摩擦因数为 0.1， ED 之间的距离为 x010 m，斜面的倾角为 30。求：( g 取 10 m/s2)(1)小车到达 C 点时的速度大小为多少？(2)在
5、A 点小车对轨道的压力大小是多少，方向如何？(3)小车的恒定功率是多少？【参考答案】(1)4 m/s (2)10 N 方向竖直向上 (3)5 W解析 (1)把小车在 C 点的速度分解为沿水平方向的分速度 vA和沿竖直方向的分速度 vy，有 v 2 g3R， vC ，解得 vC4 m/s。2yvycos30(2)由(1)知小车在 A 点的速度大小vA vCsin302 m/s，因为 vA ，小车对外轨有压力，轨道对小车的作用力竖直向下，根据牛顿第二定律有2gR gRmg FN m ，解得 FN10 N，v2AR4根据牛顿第三定律得，小车对轨道的压力的大小 FN FN10 N，方向竖直向上。(3)
6、从 E 到 A 的过程中，由动能定理可得Pt mgx 0 mg4R mv ，12 2A解得 P5 W。2(14 分)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线 AB 平齐，静止放于倾角为 53的光滑斜面上。一长为 L9 cm 的轻质细绳一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置 C 由静止释放，小球到达最低点 D 时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为 x5 cm。(取 g10 m/s2，sin530.8，cos530.6)求：(1)细绳受到的拉力的最大值；(2)D 点到水平线 AB
7、的高度 h；(3)弹簧所获得的最大弹性势能 Ep。【参考答案】(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J【名师解析】(1)小球由 C 到 D，由机械能守恒定律得：mgL mv ，解得 v1 12 21 2gL在 D 点，由牛顿第二定律得 F mg m v21L由解得 F30 N，由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为 30 N。(2)由 D 到 A，小球做平抛运动 v 2 gh2ytan53 vyv1联立解得 h16 cm。(3)小球从 C 点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即 Ep mg(L h xsin53)，代入数据解得： Ep2.9 J。53(2016
8、江苏无锡期中)(20 分)如图所示，倾角为 37的粗糙斜面 AB 底端与半径 R0.9 m 的光滑半圆轨道 BC 平滑相连， O 为轨道圆心， BC 为圆轨道直径且处于竖直方向， A、 C 两点等高。质量 m2 kg 的滑块从 A 点由静止开始下滑，恰能滑到与 O 等高的 D 点， g 取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8。(1)求滑块与斜面间的动摩擦因数 ；(2)若使滑块能到达 C 点，求滑块从 A 点沿斜面滑下时的初速度 v0的最小值；(3)若滑块离开 C 处的速度大小为 m/s，求滑块从 C 点飞出至落到斜面上的时间 t。103(2)若滑块能到达 C 点，根据牛顿第
9、二定律，有 mg FN 则得 vC m/s3 m/s；gR 0.910A 到 C 的过程：根据动能定理有 mg cos 37 mv mv2Rsin 3712 2C 12 20联立解得， v0 3 m/s9 2100.9 3所以，滑块从 A 点沿斜面下滑时的初速度 v0的最小值为 3 m/s。3(3)滑块离开 C 点做平抛运动，则有x vCty gt212由几何关系得：tan 372R yx6联立得 10t25 t3.60解得 t0.4 s。答案 (1)0.375 (2)3 m/s (3)0.4 s34(2016山西太原校级高三月考) (20 分)物体做圆周运动时所需的向心力 F 需 由物体运动
10、情况决定，合力提供的向心力 F 供 由物体受力情况决定。若某时刻 F 需 F 供 ，则物体能做圆周运动；若 F 需 F 供 ，物体将做离心运动；若 F 需 F 供 ，物体将做近心运动。现有一根长 L0.5 m 的刚性轻绳，其一端固定于 O 点，另一端系着质量 m1 kg 的小球(可视为质点)，将小球提至 O 点正上方的 A 点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力， g 取 10 m/s2，则：(1)在小球以速度 v15 m/s 水平抛出的瞬间，绳中的张力为多大？(2)在小球以速度 v21 m/s 水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求轻绳再次伸直时所经历的时间。(
11、2)因为 v2 v0，故绳中没有张力，小球将做平抛运动，如图所示7水平方向： x v2t竖直方向： y gt212L2( y L)2 x2代入数据解得： t0.4。答案 (1)40 N (2)绳中无张力 0.4 s5.为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为 60，长为L12 m 的倾斜轨道 AB，通过微小圆弧与长为 L2 m 的水平轨道 BC 相连，然后在 C 处设计一个竖直完332整的光滑圆轨道，出口为水平轨道 D，如图所示。现将一个小球从距 A 点高为 h0.9 m 的水平台面上以一定的初速度 v0水平弹出，到 A 点时速度方向恰沿 AB 方向，并沿倾斜轨
12、道滑下。已知小球与 AB 和 BC 间的动摩擦因数均为 。 g 取 10 m/s2，求：33(1)小球初速度 v0的大小；(2)小球滑过 C 点时的速率 vC；(3)要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径 R 应该满足什么条件。【名师解析】(1)小球做平抛运动到达 A 点，由平抛运动规律知竖直方向有： v 2 gh2y即： vy3 m/s28因为在 A 点的速度恰好沿 AB 方向，所以小球初速度： v0 vytan 30 m/s6(2)从水平抛出到 C 点的过程中，由动能定理得：mg(h L1sin ) mgL 1cos mgL 2 mv mv12 2C 12 20解得： vC3 m/s。6
13、当小球刚好能到达与圆心等高时有： mgR2 mv12 2C解得： R2 2.7 m当圆轨道与 AB 相切时： R3 L2tan 601.5 m，即圆轨道的半径不能超过 1.5 m综上所述，要使小球不离开轨道， R 应该满足的条件是：0 R1.08 m。答案 (1) m/s (2)3 m/s (3)0 R1.08 m6 66.如图所示，一水平传送带 AB 长为 L6 m，离水平地面的高为 h5 m，地面上 C 点在传送带右端点 B 的正下方。一物块以水平初速度 v04 m/s 自 A 点滑上传送带，传送带匀速转动，物块与传送带间的动摩擦因数为 0.2，重力加速度为 g10 m/s 2。9(1)要
14、使物块从 B 点抛出后的水平位移最大，传送带运转的速度应满足什么条件？最大水平位移多大？(2)若物块从 A 点滑上传送带到落地所用的时间为 2.3 s，求传送带运转的速度( 3.162， 3.77，结果保留三位有效数字)。10 14.24做平抛运动的过程 h gt212t 1 s2hg则最大的水平位移为 smax v2t2 m6.32 m10(2)若物块从 A 点滑上传送带到落地所用的时间为 2.3 s，由于平抛运动的时间为 1 s，因此物块在传送带上运动的时间为 t11.3 s若物块从 A 到 B 以 v04 m/s 匀速运动，需要的时间为 t2 1.5 sLv0若物块一直匀加速运动，则所用
15、的时间为t3 s( 2) s1.162 sv2 v0 g 210 42 10由于 t2 t1 t3，所以物块在传送带上先加速再匀速则 t1v v0 g10v 213.2 v400解得 v m/s4.72 m/s。13.2 14.242答案 (1) v6.32 m/s 6.32 m (2)4.72 m/s7. (12 分) （2016 安徽皖江联考） 如图所示，光滑的 AB 杆上套一轻质弹簧，弹簧一端与杆下端连接于固定的转轴，另一端与套在杆上质量为 m 的小球连接。已知 AB 杆足够长，弹簧的原长为 l0，劲度系数为 k，OO为过 B 点的竖直线，杆与水平面间的夹角始终为 。已知弹簧的弹性势能公
16、式为 其中 k 为劲度系数，x 为弹簧的形变量。（1）若杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置由静止释放，求小球速度最大时弹簧的弹性势能；（2）当球随杆一起绕 OO匀速转动时，转动角速度不同弹簧的长度就会不同，已知球随杆一起以足够大的角速度 转动，且在稳定的情形下弹簧处于伸长状态，小球在水平面内做匀速圆周运动。求此时弹簧伸长量。【名师解析】(12 分) （1）当小球速度最大时，有： 1sinmgkl （2 分）解得弹簧的压缩量为： 1silk （1 分）故 21pEkx2inmg（2 分）（2）设弹簧伸长量为l 2，在水平方向上有：202sincos()cosNFkll（3 分）竖直方向上有：
17、 in0Nkmg（3 分）11解得：2022cosinmlgk（1 分）8.(12 分)(2016长春模拟)如图所示，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧 ab 和抛物线 bc 组成，圆弧半径 Oa 水平，b 点为抛物线顶点已知 h2 m，s m取重力加速度 g10 m/s2.2(1)一小环套在轨道上从 a 点由静止滑下，当其在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从 b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达 c 点时速度的水平分量的大小【参考答案】(1)0.25 m (2) m/s23 10(2)下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得
18、 mgh mv .(2 分)12 2c因为物体滑到 c 点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过 c 点时速度与竖直方向的夹角相等，设为 ，则根据平抛运动规律可知sin .(1 分)根据运动的合成与分解可得sin .(1 分)v水 平vc12联立可得v 水平 m/s.(2 分)23 109(12 分)(2017临沂模拟)如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在 A 点，自然状态时其右端位于 B 点水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道 MNP，其形状为半径 R0.8 m 的圆环剪去了左上角 135 的圆弧，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖直距离也是 R.用质量 m0.5 kg
19、的物块将弹簧缓慢压缩到 C 点释放，物块过 B 点后其位移与时间的关系为 x8t2t 2(m)，物块飞离桌面后由 P 点沿切线落入圆轨道g10 m/s2，求：(1)物块在水平桌面上受到的摩擦力；(2)B、P 间的水平距离；(3)判断物块能否沿圆轨道到达 M 点【参考答案】(1)大小为 2 N，方向向左 (2)7.6 m (3)不能(2)物块在 DP 段做平抛运动，有 vy 4 m/s，(1 分)2gRt 0.4 s(1 分)vygvx与 v 夹角为 45，则 vxv y4 m/s，(1 分)xDPv xt1.6 m(1 分)在 BD 段 xBD 6 m，(1 分)所以 xBPx BDx DP7.6 m(1 分)13(3)设物块能到达 M 点，由机械能守恒定律有mv mgR(1 cos 45) mv ，(1 分)12 2P 12 2Mv v ( 2)gR(2 )gR.(1 分)2M 2P 2 2要能到达 M 点，需满足 vM ，而 ，所以物块不能到达 M 点(1 分)gR （ 2 2） gR gR
