1、第二章 矩阵及其运算13 已知线性变换 321325yx求从变量 x1 x2 x3到变量 y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 213215yx故 3121xy 3214769y 321347693 已知两个线性变换 3213254yx321z求从 z1 z2 z3到 x1 x2 x3的线性变换 解 由已知21321540yx 321054z 32160941z所以有 32132xz2 设 求 3AB2A 及 ATB A15042B解 113 294073209658 65811BAT1 计算下列乘积 (1) 1270534解 7102753)(44965(2) 123)(解 (132231
2、)(10) 1)2(3) )(3解 )21(23)(164(4) 043解 211265087(5) 32231321)(xax解 321231321)(xax(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) 21 3214 设 问 312A0B(1)ABBA 吗?解 ABBA 因为 所以 ABBA 643AB821(2)(AB)2A22ABB2吗?解 (AB)2A22ABB2 因为 5 2)(29148但 3063BA27156所以(A B)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗?解 (AB)(AB)A2B2 因为 510 962
3、)(而 71843182BA故( AB)(AB)A2B2 5 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A20 则 A0 解 取 则 A20 但 A0 1(2)若 A2A 则 A0 或 AE 解 取 则 A2A 但 A0 且 AE (3)若 AXAY 且 A0 则 XY 解 取 11则 AXAY 且 A0 但 XY 6 设 求 A2 A3 Ak 解 1012 33 10kA7 设 求 Ak 解 首先观察 012A21 323230A 44346 5354501A kkk02)(11用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时， 0102)(11 kkkA 110)(2)
4、(kkk由数学归纳法原理知 kkkA02)1(8 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵 证明 因为 ATA 所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 9 设 A B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA 证明 充分性 因为 ATA BTB 且 ABBA 所以(AB)T(BA)TATBTAB 即 AB 是对称矩阵 必要性 因为 ATA BTB 且(AB )TAB 所以AB(AB)TBTATBA 10 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 521解 |A|1 故 A1存在 因为 25*12故 *
5、|1A25(2) cosin解 |A|10 故 A1存在 因为i cosin*21A所以 |(3) 14523解 |A|20 故 A1存在 因为A 436*2311所以 |A1760(4) (a1a2 an 0) na021解 由对角矩阵的性质知naA021 na102111 解下列矩阵方程 (1) 126435X解 1264538023(2) 41102解 13X0241 3582(3) 1014X解 110234X2 10364(4) 2301X解 1104 1203124312 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1) 35321x解 方程组可表示为 321532x故 0132从而有 0132
6、x(2) 5321解 方程组可表示为 0152332x故 5321故有 05321x14 设 AkO (k 为正整数 ) 证明(E A)1EAA2 Ak1 证明 因为 AkO 所以 EAkE 又因为EAk(EA)(EAA2 Ak1) 所以 (EA)(EAA2 Ak1)E 由定理 2 推论知(E A)可逆 且(EA)1EAA2 Ak1证明 一方面 有 E(EA)1(EA) 另一方面 由 AkO 有E(EA)(AA2)A2 Ak1(Ak1Ak)(EAA2 A k1)(EA) 故 (EA)1(EA)(EAA2 Ak1)(EA)两端同时右乘(E A)1 就有(EA)1(EA)EAA2 Ak1 15 设
7、方阵 A 满足 A2A2EO 证明 A 及 A2E 都可逆 并求 A1及(A 2E)1 证明 由 A2A2EO 得A2A2E 即 A(AE)2E 或 )(1由定理 2 推论知 A 可逆 且 )(21由 A2A2EO 得A2A6E4E 即( A2E)(A3E)4E 或 )31)(由定理 2 推论知(A 2E)可逆 且 )(41)(证明 由 A2A2EO 得 A2A2E 两端同时取行列式得|A2A|2 即 |A|AE|2 故 |A|0 所以 A 可逆 而 A2EA2 |A2E|A2|A|20 故 A2E 也可逆由 A2A2EO A(AE)2EA1A(AE)2A1E )(又由 A2A2EO(A2E)
8、A3(A2E)4E (A2E)(A3E)4 E 所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 16 设 A 为 3 阶矩阵 求|(2A) 15A*| 2|解 因为 所以*|1|52|)(| 1|21|2A1|(2)3|A1|8|A|18216 17 设矩阵 A 可逆 证明其伴随阵 A*也可逆 且(A*) 1(A1)* 证明 由 得 A*|A|A1 所以当 A 可逆时 有|1|A*|A|n|A1|A|n10 从而 A*也可逆 因为 A*|A|A1 所以 (A*)1|A|1A 又 所以*)()|(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)* 18 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为
9、 A* 证明 (1)若| A|0 则|A *|0 (2)|A*|A|n1 证明(1)用反证法证明 假设| A*|0 则有 A*(A*)1E 由此得AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 所以 A*O 这与| A*|0 矛盾，故当|A|0 时 有|A *|0 (2)由于 则 AA*|A|E 取行列式得到|1|A|A*|A|n 若|A|0 则|A*| A|n1 若|A|0 由(1)知 |A*|0 此时命题也成立 因此|A*|A| n119 设 ABA2B 求 B 3210解 由 ABA2E 可得(A 2E)BA 故 310)(1B1220 设 且 ABEA2B 求 B 02A解 由 ABEA2B
10、 得(AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(AE) 因为 所以(A E)可逆 从而01| 23EAB21 设 Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求 B 解 由 A*BA2BA8E 得(A*2E)BA8E B8(A*2E)1A18A(A*2E)18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14diag(2 1 2)12,(diag42diag(1 2 1) 22 已知矩阵 A 的伴随阵 8031*且 ABA1BA13E 求 B 解 由|A*|A| 38 得| A|2 由 ABA1BA13E 得ABB3A B3(AE)1A3A(EA1)1A*)26*( 10360
11、3123 设 P1AP 其中 求 A11 4P20解 由 P1AP 得 APP1 所以 A11 A=P11P1.|P|3 *3而 11120故 34411A684273124 设 APP 其中 05求 (A)A8(5E6AA2) 解 ()8(5E62)diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1125)diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P1*|1230120 425 设矩阵 A、B 及 AB 都可逆 证明 A1B1也可逆 并求其逆阵 证明 因为A1(AB)B1B1A1A1B1 而 A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以 A
12、1(AB)B1可逆 即 A1B1可逆 (A1B1)1A1(AB)B11B(AB)1A 26 计算 302302解 设 1A21B302则 2OE21A而 4530301B 903423012BA所以 211OE21BA903425即 3030127 取 验证 DCBA| DCBA解 41021021而 | DCBA故 | 28 设 求|A 8|及 A4 2034OA解 令 1则 2A故 8218O821 1682182180| AA 464245O29 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆 求(1) 1B解 设 则 4321CO AsnEOBA2143由此得 snEBC2143124所以 OAB(2) 1解 设 则4321DBC snEOBCAOA4231由此得 snEBDC42311432所以 11BCAOB30 求下列矩阵的逆阵 (1) 250381解 设 则A2538B 121 853211于是 0503811BA(2) 412解 设 则0A413B21C 1141203BAO 412581036
