1、中正講座期中書面報告第九組主題 幾何發展簡史前言: 介紹影響幾何學發展的重要思想, 以及它們如何 演變。並對各項重要思想做概略性的介紹。1.畢氏定理1.歷史發展與由來:勾股弦定理或勾股定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。在中國，周髀算經記載了勾股弦定理的一個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理! 法國 和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。勾股弦定理指出：直角三角形兩直角邊（即勾、股）邊長平方和等於斜邊（即弦）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為 a 和 b，斜邊為 c，那麼 a2 + b2 = c2 2.
2、證明:(1) 利用相似三角形的證法設 ABC 為一直角三角形, 直角於角 C（看附圖）. 從點 C 畫上三角形的高，並將此高與 AB 的交叉點稱之為 H。此新三角形 ACH 和原本的三角形 ABC 相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於高的定義），而兩個三角形都有 A 這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形 CBH和三角形 ABC 也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：因為所以可以寫成綜合這兩個方程式，我們得到換句話說3. 勾股弦定理的逆定理勾股弦定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中 c 為最長邊: 如果 ，則ABC 是直角三角形
3、。 如果 ，則ABC 是銳角三角形。 如果 ，則ABC 是鈍角三角形。2.幾何學幾何學，一般主流的說法，是從歐幾里德(Euclid，希臘人。生於西元前 300 年前後)開始的，他是當時著名的數學家，以數學經典名著(Elements)聞名於世。幾何，一般來說大家會想到那些簡單的圖形，圓形、三角形、正方形.等等，然而幾何這個名詞出現於早期的文明(雅典、兩河)。幾何，是從“點“ 開始的。一個點可以構成一個無窮小的圓，既不占面積，也不佔體積。再由第二點可以延伸出一條無窮盡的直線，不具有寬度的直線。有了第三點以後，才可能構成一個平面。從這一些點、線、面，延伸出了今日多采多姿的幾何圖形。幾何對於現在一切物
4、體的形狀都有深遠的影響。幾何學的應用 西方的教堂拱門，是用著上古哲學家們所計算出來的黃金比例所構成的、蜜蜂的窩，是非常完美的六邊形幾何建築概念，之前才被生物學家、建築家發現，這種建造方法，可以使蜂窩的空間利用達到最大、也可以有很高的強度。這些取材自古人以及大自然的幾何觀念，深深的影響著現代的人，例如：賣便當的想著如何用最低的成本和空間製造能塞下最多食物的便當盒、設計飛機的國家就會想說怎樣的形狀可以使飛機的阻力降到最低，以達成省油且加速的效果、室內空間設計師就會想著如何的擺設可以讓人看起來空間寬闊，又不淪為空曠。所以幾何學，影響著每個人的生活，從你早上過馬路看到的紅綠燈，到你中午吃飯的便當盒，還
5、有晚上在台北看到的 101 大樓。這一切，都跟幾何有著密不可分的關係。3.笛卡兒座標系是世界著名的科學家、哲學家和數學家創建了解析幾何學或稱坐標幾何（Coordinate Geometry）把指數學記號（Exponential notation）笛卡兒坐標（Cartesian coordinates）和求解多項式方程的方法引進了數學我們現在最常用的直角座標系笛卡兒座標（Cartesian coordinates）。在座標系統的中心點，也就是橫軸與縱軸的交叉點，坐落著零。若給你任何一組用小括弧包起來的數字對，你都能在座標上找到這個點的位置。例如：（4, 2）是從原點零往右方數 4 單位，再往上數
6、 2 單位的那一個點。笛卡兒領悟到他不可能由 1 作為基準點，否則這個系統會出現很多問題，而且當時的時代背景是阿拉伯數字普及的環境，所以他選擇由 0 開始計數。（起初這個座標系統並沒有延伸到負數，但是他的同僚不久後就幫他補上了。）笛卡兒很快就發現這個座標系統的威力有多強大！每一個幾何物件（正方形、三角形、曲線）都可以在笛卡兒座標系統上以簡單的方程式 f(x, y) = 0（一種數學的關係式）表示出來。例如：滿足 這個方程式的點（x, y）的集合，在座標上形成一個圓心在原點、半徑為 1 單位的圓。例如： 則可以表示一個凹口向上的拋物線。笛卡兒用座標系統統一了圖形與數字，也統一了西方的幾何學與東方
7、的代數學！4.微積分1.牛頓由於研究萬有引力與運動定律, 進而發明了微積分2.研究的範疇有三，包括微分、積分，以及微分和積分兩者之間的關係。微分主要討論一個變量怎樣隨時間（或其他變量）改變，而積分則主要討論計算面積的方法。它們兩者的關係由微積分基本定理 （或稱牛頓 萊布尼茨公式3 .微積分基本定理的發現，不但使看起來毫不相關的求積與求變化率的問題關連起來，而且從求積問題的歷史來看是一個真正的革命性突破。微積分基本定理的要義，是求積是求變化率的反運算4.微積分就是利用極限或無窮小來建立微分與積分，再透過微分的逆向運算（由 f 求 d-1f）來求積分（面積、體積、表面積、曲線長、重心及里程等等）
8、，而微分的正向運算（由 F 求 dF 或 ）又可掌握住求切線、速度、密度、變化率及極值問題，甚至揭開了函數的結構之謎5. 高斯曲面-優美定理、黎曼幾何微分幾何中，曲面上一點的高斯曲率是該點主曲率 1 和 2 的乘積。它是曲率的 內在 度量，也即，它的值只依賴於曲面上的距離如何測量，而不是曲面如何嵌入到空間。這個結果是優美定理的主要內容。用符號表示，高斯曲率 K 定義為：. 也可以如下給出其中 是協變導數而 g 是度量張量。R3 中的正規曲面的一點 p，則高斯曲率為其中 S 為形算子 。Theorema Egregium 是微分幾何中關於曲面的曲率的重要定理，由高斯發現。這定理說曲面的高斯曲率可
9、以從曲面上的長度和角度的測量完全決定，無需理會曲面如何嵌入三維空間內。換言之，高斯曲率是曲面的內蘊不變量。用現代術語可表述為：高斯曲率在局部等距變換下不變。由左至右：負高斯曲率曲面（雙曲面） ，零高斯曲率曲面（圓柱面） ，和正高斯曲率曲面（球面） 。微分幾何中，黎曼幾何研究擁有黎曼度量的平滑流形。即是流形切空間上二次方程式的選擇。這特別關心角度,弧線長度及體積。從每一小片加起來得出整體的數量。在 19 世紀 ,般赫黎曼 (Bernhard Riemann)把這個概念推展開來。好似兩個非歐德幾何的特別例子(球面幾何和雙曲面幾何) 。任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓墣問題。它成
10、為偽黎曼流形複雜結構的入門。當中大部分都是廣義相對論的四維物件。黎曼幾何的平行公理是：同一平面上的任意兩條直線一定相交。黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在 1851 年所作的一篇論文論幾何學作為基礎的假設中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當改進的球面。近代黎曼幾何在廣義相對論裡得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裡，愛因斯坦放棄
11、了關於時空均勻性 的觀念，他認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。參考資料：http:/zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%9B%B2%E7%8E%87http:/ Ricci : 張量分析在黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因為 ds2 有意義，我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質，不需要知道全部的空間。也就是說，在這樣的一個小塊裡
12、，便可發展全部的幾何性質，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個和物理上的場論是完全符合的。 真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論。Ricci 提出”connection” 的概念，建立了彎曲空間上的微積分-即張量分析，精確地建構出黎曼幾何的理論。大致說起來，愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質變為幾何的性質，因此黎曼幾何就成為物理學家一定要念的一門數學。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當複雜。在愛因斯坦的廣義相對論中的基本公式裡，大致說起來，物理的力是一個曲率；數學家講曲率和物理學家講力、位 (potent
13、ial)、速度，是完全可以把它們連在一起的。7.代數幾何中的基本群基本群亦可抽象地定義為纖維函子的自同構群，此纖維函子對每個帶基點的覆蓋映射 給出纖維 r 1(p)。此定義可以推廣到代數幾何，而之前給出的環路定義則不可。在此我們將拓撲空間的覆蓋映射代為平展態射，拓撲空間的基點代為概形上的一個幾何點 x，而纖維函子 F 對一平展覆蓋 給出幾何纖維 HomX(x,Y)。此推廣源出格羅滕迪克與夏瓦雷。這套理論可以解釋函數域的伽羅瓦理論與黎曼曲面的覆蓋理論之聯繫。8.相對論相對論是關於時空和引力的理論，主要由愛因斯坦創立，依其研究對象的不同可分為狹義相對論和廣義相對論。相對論改變了人類對宇宙和自然的常
14、識性觀念，提出了同時的相對性 、 四維時空 、 彎曲時空等全新的概念。在狹義相對論提出以前，人們認為時間和空間是各自獨立的絕對的存在。而愛因斯坦的相對論首次提出了時空的概念，它認為時間和空間各自都不是絕對的，而絕對的是一個它們的整體時空，在時空中運動的觀者可以建立自己的參照系，可以定義自己的時間和空間（即對四維時空做31分解），而不同的觀者所定義的時間和空間可以是不同的。具體的來說，在閔氏時空中，而如果一個慣性觀者（G）相對於另一個慣性觀者（G）在做勻速運動，則他們所定義的時間（t 與 t）和空間(x,y,z與x,y,z)之間滿足洛侖茲變換。而在這一變換關係下就可以推導出尺縮、鍾慢等效應。愛因
15、斯坦的狹義相對論建立在兩個基本的假設上： 1. 在不同的慣性座標系內，物理定律有相同的形式。 原本只限定於 牛頓力學內 ，現在則推廣包含電磁現象。2. 相對於不同的慣性座標系觀察者，所觀測到真空中的光速都是相同的。相對於不同的慣性座標系觀察者所觀察到 物體的速度會不相同。狹義相對論的背景時空是平直的，其曲率張量為零即狹義相對論只涉及那些沒有引力作用或者引力作用可以忽略的問題而廣義相對論包括如下幾條基本假設 。： 廣義相對性原理（廣義協變性原理）：任何物理規律都應該用與參考系無關的物理量表示出來。用幾何語言描述即為，任何在物理規律中出現的時空量都應當為該時空的度規或者由其導出的物理量。 愛因斯坦場方程：它具體表達了時空中的物質（能動張量）對於時空幾何（曲率張量的函數）的影響，其中對應能動張量的要求（其梯度為零）則包含了上面關於在其中做慣性運動的物體的運動方程的內容。 而廣義相對論的背景時空則是彎曲的，其曲率張量不為零
