1、1经济数学基础平时作业作业（一）（一）填空题1. .答案：0_sinlim0xx2.设 ，在 处连续，则 .答案：10,1)(2xkf _k3.曲线 +1 在 的切线方程是 . 答案: y),( 32yx3.曲线 在 的切线方程是 .答案：x)1,( 14.设函数 ，则 .答案：52xf _)(xf x25.设 ，则 .答案：xfsin)(_)(f （二）单项选择题1. 函数 的连续区间是（ D ）21xyA B ),(),(),2(),(C D 或 ),1( ),1(),(1. 当 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）xA B C D )1ln(2x21xexsin2. 下列极限计算正确的是
2、（ B ）A. B.lim0x1lim0xC. D.1sinl0x snlix3. 设 ，则 （ B ） ylg2dyA B C D1x1xln0ln10xd1dx4. 若函数 f (x)在点 x0 处可导，则( B )是错误的 A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B ，但Afx)(lim0 )(0fC函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 25.当 时，下列变量是无穷小量的是（ C ）. 0xA B C D2xsin)1ln(xxcos5.若 ，则 （ B ）.xf)1()(fA B C D221xx1x1(三)解答题1计算极限（1） = =13lim2
3、1x)1(li1xx 2lim1x1（2） = = 865li2x )4(23lix 243li2x（3） = = = x1li01li0x )1(li0xx 21)(lim0xx（4） 4253limx 3425lixx（4） =4235lixx 3204235li xx（5） xxsinlm0 515sinlm5sil 00 x（6） )2si(4l2x 41)2sin(l)2(li)2sin(l xxxxx2设函数 ，0sin,1)(xabxf问：（1）当 为何值时， 在 处有极限存在？b,)(f3（2）当 为何值时， 在 处连续？.ba,)(xf0答案：（1）因为 在 处有极限存在，则
4、有)(lim)(li00fxfx又 bxfxx 1sinlli00il)(li00fxx即 1b所以当 a 为实数、 时， 在 处极限存在.)(xf0（2）因为 在 处连续，则有)(xf0)(limli0ffxx又 ，结合（1）可知af)( 1ba所以当 时， 在 处连续.b)(f03计算下列函数的导数或微分：（1） ，求22logxxyy答案： ln1l（2） ，求dcxbayy答案： = =2)()()(dcxdcxba 2)(dcxcba2)(dx（3） ，求51xyy答案： 231221 )5()53()()( xx（4） ，求xyey答案： xxe 2121)(（5） ，求byaxs
5、ineyd4答案： =)(cossin)()(sinsi)( bxebxaebxexey axaax bxexaeacossinddco（6） ，求xy1eyd答案： 21123123)()( xexex dxdy)(21（7） ，求2ecosy答案： 222 esin)(e)(sin)( xxxy dxxd)sine2(（8） ，求yniiy答案： )(cos)(sin)(i)(s)(s1 nxxn nxncos)(si1（9） ，求1ln2xyy答案： )(22x )21(12xx122x2（10） ，求xy31coty答案： )2()(2(6121sin x 0612)(sinl 531
6、sin xxx65231sin)(cosl xx 5321sicol4.下列各方程中 是 的隐函数，试求 或yyd（1） ，求132xx解：方程两边同时对 x 求导得：)()()(2y03x5xy23dxd（2） ，求eyxx4)sin(y解：方程两边关于 X 求导：)()()co( xy41s eyx )cos()( yxyxxy)cos(e4yxy5求下列函数的二阶导数：（1） ，求ln2y答案： 221)(1xxy222 )1()(0)( x（2） ，求 及xy1y1解： 21232)()( xx=1232523252123 41)()()( xxy作业（二）（一）填空题1.若 ，则 .
7、答案：cxxf2d)( _)(xf 2lnx2. .答案：sin_csin3. 若 ，则 -Fe-x +c .cxFf)()(xfd)1(24.设函数 .答案：0_d1lnde265. 若 ，则 .答案：txPd1)(02_)(xP21x（二）单项选择题1. 下列函数中， （ D ）是 xsinx2的原函数 A cosx2 B2cos x2 C-2cos x2 D- cosx2 12. 下列等式成立的是（ C ） A B )d(cossinx)1d(lnxC D)(2l12xx3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ） A ， B C Dxc1)dos(xd12xd2sinxd12
8、4. 下列定积分计算正确的是（ D ） A B 21 156C D 0)d(3x 0dsinx5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ） A B C D1120ex1si(三)解答题1.计算下列不定积分（1） xde3答案： = = xex)(cxe3lncx1l（2） xd)1(2答案： = = =2xd)1(2x)d2(231 cx2534（3） xd24答案： = Cxdxx 21)2(2)(7（4） xd21答案： = =)21x-d(cx21ln（5） xd2答案： = =)2x(2 cx23)(1（6） xdsin答案： = =ixsi2cxos2（7） xdsin解： =2i Cxx
9、dxdx 2sin4co2cos42s2coscs（8） x1)dln(答案： =)1x(l= =n)(1)dln(xcx)1ln(2.计算下列定积分（1） xd2答案： = =1 2112211 )()()()( xxdx 2934（2） xde12答案： = = =12x1221xe（3） xdln3e1答案： = =2（ =4-2=2xl3e1 )ln13 xld(e 312)lnex（4） xd2cos08答案： = = =xd2cos020sin1x20sin1si1xd21cos410x（5） lne1答案： = = =xdle121lee12lnlnxdx)1e(42（6） )(
10、40答案： = =3 =xde4e01x xxe404e5作业三（一）填空题1.设矩阵 ，则 的元素 .答案：3162235AA_23a2.设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 = . 答案：B, BTB723. 设 均为 阶矩阵，则等式 成立的充分必要条件是 A，B 可交换 . n 22)(4. 设 均为 阶矩阵， 可逆，则矩阵 的解 .A,IXA_答案： BI1)(5. 设矩阵 ，则 .答案：302A_1A3102A（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ C ） A若 均为零矩阵，则有B, BAB若 ，且 ，则 OC对角矩阵是对称矩阵D若 ，则,2. 设 为 矩阵， 为 矩阵，且乘积矩阵
11、 有意义，则 为（ A ）矩阵 A43B25TACBTA B 24C D 33. 设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ） ,n9A ， B 11)(AB11)(BAC D 4. 下列矩阵可逆的是（ A ） A B 3021 3210C D 5. 矩阵 的秩是（ C ） 12034AA0 B1 C2 D35. 矩阵 的秩是（ B ） 4A0 B1 C2 D3 三、解答题1计算（1） =01355（2） （3） =21034512计算 72301654431解： 原式 =74029 1423设矩阵 ，求 。1023B13，AAB解 因为 B1021)(0123103232A-2B所以
12、0A4设矩阵 ，确定 的值，使 最小。124)(Ar解： 74012410720)1(2 ），（ A 49)4(所以当 时，秩 最小为 2。49)(Ar5求矩阵 的秩。32140758解：解： )4(25)( 3214580732140758 A， )3(6152709036152709 ），（ 001259471所以秩 =2)(Ar6求下列矩阵的逆矩阵：（1） ，求 A-1103211解： 10340792110132)(3IA 1943100710340972)4(3)91( 943107219430721973 所以 。4721A（2） ，求（I+A） -11352A解：01301355
13、22I(1,);3301105023IA (3)2(2)1 1500103102 所以 。1()520IA（2）A = 1243612解： AI 1012436 32 1012430 132 62034 3,2 34206 23 10 132 170A -1 = 20737设矩阵 ，求解矩阵方程 31,53BBXA解： 1AX 13021300210532 )1()3( I 12)2(351A 103251BX四、证明题1试证：若 都与 可交换，则 ， 也与 可交换。21,A21B1A证明： ，B2 )()( 2121121 ABABA2即 ， 也与 可交换。21B12试证：对于任意方阵 ，
14、， 是对称矩阵。TT,证明： T AAA)()(13TTTAA)()( ， 是对称矩阵。TT,3设 均为 阶对称矩阵，则 对称的充分必要条件是： 。BA,nABBA证明：充分性 ， ，TTT)( )(必要性 ， ，ATBTA T)()(即 为对称矩阵。4设 为 阶对称矩阵， 为 阶可逆矩阵，且 ，证明 是对称矩阵。nnTB1A1证明： ，ATTB1 BAT111111 )()()()( 即 是对称矩阵。作业（四）（一）填空题1.函数 的定义域为 .)1ln(4)(xxf 241x且1.函数 在区间 内是单调减少的.答案：f)( _ )1,0(,2. 函数 的驻点是 X=1 ，极值点是 X=1
15、，它是极 小 值点.213xy3.设某商品的需求函数为 ，则需求弹性 .2e10)(pqpE24.若线性方程组 有非零解，则 -1 .12x4.行列式 .答案：4_1D145. 设线性方程组 ，且 ，则 时，方程组有唯一解. bAX010236t1t（二）单项选择题1. 下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ） (,)Asinx Be x Cx 2 D3 x2. 设 ，则 （ C ） f1)()(fA B C Dx2x22. 已知需求函数 ，当 时，需求弹性为（ C ） ppq4.01)(10A B C Dln4pln2ln- 2ln4-p3. 下列积分计算正确的是（ A ） A B 10
16、d2exx 10dexxC Dsin1- )(312-4. 设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是（ D ） bXmA B C D r)(nAr)(nmnAr)(5. 设线性方程组 ，则方程组有解的充分必要条件是（ C ） 32131axA B 0321a0321C D三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程：(1) yxe解：原方程变形为： yxed分离变量得： xy两边积分得： deex)(原方程的通解为： Cy15（2） 23edyx解：分离变量得： dxe两边积分得： 2原方程的通解为： Cexyx32. 求解下列一阶线性微分方程：（1） 32yx解：原方程的通解为： 22223 3
17、()()dxdxdxdxeCeClnl221()()xdx（1） 3)1(xy解： ，3,2)(qp代入公式锝 = cdxexeydx1231)(=cex)ln(23)1ln(2dxx)l( 1 )21()cxxy（2） xy2sin解：原方程的通解为： 11lnl(si)(2si)dxdx xyeCexdC 2in)(cos3.求解下列微分方程的初值问题：(1) ,yx2e0)(16解：原方程变形为： yxed2分离变量得： xy两边积分得： e2原方程的通解为： Cxy1将 代入上式得：0x， 2则原方程的特解为： 1xye(2) ,0exy)1(解：原方程变形为： xye原方程的通解为：
18、 )(1)()( lnl11 CdxedxeCdxeeyxdx )x将 代入上式得：01y， e则原方程的特解为： )(1x4.求解下列线性方程组的一般解：（1） 03522412xx解：原方程的系数矩阵变形过程为： 0121021351220)2( A由于秩( )=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为：（其中 为自由未知量） 。4321x43x，17（2） 514724321xx解：原方程的增广矩阵变形过程为： 514712251471),(A 00374302)(2 0053716005731242)2()51( 由于秩( )=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为：A（其中 为
19、自由未知量） 。43215764xx43x，5.当 为何值时，线性方程组43214321109572xx有解，并求一般解。解：原方程的增广矩阵变形过程为： 14826039132510957323)7(32 A 8015)2(1所以当 时，秩( )=2n=4，原方程有无穷多解，其一般解为：8A184321958xx6 为何值时，方程组ba,x3211解：原方程的增广矩阵变形过程为： 3012114021311 )2()1( bababaA 讨论：（1）当 为实数时，秩( )=3=n=4，方程组有唯一解；，A（2）当 时，秩( )=2n=4，方程组有无穷多解；3，（3）当 时，秩( )=3秩(
20、)=2，方程组无解；ba，6求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品 个单位时的成本函数为： （万元）,q qqC625.01)求：当 时的总成本、平均成本和边际成本；0当产量 为多少时，平均成本最小？解： 平均成本函数为： （万元/个）625.01)(qqC边际成本为： 65.0)( 当 时的总成本、平均成本和边际成本分别为：1q)(1852.)0( 万 元C（万元/个）.605.1（万元/个）1.)0(由平均成本函数求导得： 25.0)(qC令 得驻点 （个） ， （舍去）0)(qC201q1由实际问题可知，当产量 为 20 个时，平均成本最小。（2）.某厂生产某种产品 件时的总成本函数
21、为 （元） ，单位销售价格为201.42)(qqC19（元/件） ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少qp01.4解：收入函数为： （元）201.4)01.4()( qqpqR利润函数为： （元）.CL求利润函数的导数： .)(令 得驻点 （件）0)(q250由实际问题可知，当产量为 件时可使利润达到最大，最大利润为q（元） 。1230.1)( 2max L（3）投产某产品的固定成本为 36(万元) ，且边际成本为 (万元/百台)试求产量由 4 百台增4)(xC至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量为(万元)
22、1046)()402()( 2 xdxdxC成本函数为： 02)()()( Cx又固定成本为 36 万元，所以(万元 )3640)(2xC平均成本函数为：(万元/百台)xx)(求平均成本函数的导数得： 2361)(xC令 得驻点 ， （舍去）0)(xC61x2由实际问题可知，当产量为 6 百台时，可使平均成本达到最低。（4）已知某产品的边际成本 =2（元/件） ，固定成本为 0，边际收益 ，)(C xxR02.1)(求：产量为多少时利润最大？ 在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？解：求边际利润： xxRxL2.10)()(令 得： （件）0)(5由实际问题可知，当产量为 500 件时利润最大；在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润的增量为：（元）250)1.0()2.01()( 2550 xdxdxL20即利润将减少 25 元。
