1、第三节 几种重要的随机过程随机过程可以根据参数集 、状态空间 是离散还是连续进行分类，也可以根据随机过程的TI概率结构来进行分类。一、二阶矩过程定义 2.3.1 设随机过程 ，若对 ， 的均值 和方差 均存在，TtX,ttXtXtDX则称 为一个二阶矩过程。 （有的书中以 ，定义二阶矩过程，可以证明两定义是tXE2等价的） 。存在tDtEX,2证明：“ ”由 ，必要性显然成立。22tEtX“ ”由 =Xt21E正态过程、正弦波过程、随机电报过程和平稳过程等都是二阶矩过程。由于： ，若作 ，则有： ，ttXttX 0tXE，即 是零均值的二阶矩过程。而 的协方差函数tDtt t， 。因此以后不妨
2、假设二阶矩过程均值为零。2121,tCtXX2121,tRtXX定理 2.3.1 二阶矩过程 的协方差函数 存在。T, 21,tCX证明： 存在。22ttDtEX则： 存在。X由 不等式：Schwarz222YEY有： 2121 tXttE即： 存在。22,XRX则： 存在。121212,XXXCtRttt定理 2.3.2 设 是二阶矩过程 的相关函数，则对 ， T, Tt21,。1221,ttRXX证明： 21,tXE12t,RX若 是实二阶矩过程，则： 。tX1221,tRtXX定理 2.3.3 ，复数 ， 为任意正整数， 具有非负定性。即：Ttn,1 n 21,tRX。0,1nij ji
3、jiXtR证明： nij jijinij jijiX tXEt11, nij jit1021niitXE注意：协方差函数的非负定性才是二阶矩过程的本质特性。定理 2.3.4 设 非负定，则必存在一个二阶矩过程（还可以要求是正态的）21,tCX以 为其协方差函数。 （证明略）TtX,二、正交增量过程定义 2.3.2 设 是零均值二阶矩过程，若对 有：TtX, Ttt4321，则称 为正交增量过程。03412 ttEtX不妨设 ，且规定 ，取 ， ，baT,aa1st32t4则：当 ， ， 。st0sXtE0sXtsE则： RCXX,tssXE2Xs当 ，有：stattsRtCXX2,则： 2,m
4、inXXCRt三、马尔可夫过程定义 2.3.3 若随机过程 对任意的正整数 及 ，其条件分布满足：Tt, nTtn,1111, nn xXxtpxXxttXp（2.3.1）则称 为马尔可夫过程。Tt,（2.3.1）式称为过程的马尔可夫性（无后效性） 。若已知系统现在 的状态，则系统未来1nt的状态与系统过去的 状态无关。nt 21,nt马尔可夫过程 所有可能的取值组成的状态空间 和参数集 可以是连续的，也可以是离tXIT散的，甚至可以是既不连续也不离散的。四、独立增量过程定义 2.3.4 若对任意的正整数 和 ，随机变量 ，nTttn21 12tXt， ， 是相互独立的，则称 为独立增量过程。
5、23tXttXt tX,特点：在任一时间间隔上状态的改变不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。后面要介绍的泊松过程和维纳过程都是独立增量过程。注：由独立增量过程： ， ， 独立，则： 4321tt12tt34tt， 互不相关， 。则：12tXt34t0XYRC，则 为正交增量过程。03412 tXtttXEt五、平稳增量过程定义 2.3.5 若对任意的 ， ，随机变量 ，Tts, Tt, sXt服从相同的概率分布，则称 是具有平稳增量的随机过程（增量一样，分sXtX布相同） 。的分布仅与 有关，与起点 无关，这种性质称为时齐性，或齐次性。st sts六、正态随机过程定义 2.3.6
6、若对任意正整数 和 ，随机变量 的联合分布是正态的，nTtn,1 ntXt,1即： xCxCxtf nnn211 ep,;,其中： TnXnXttx,11nXnXnX tCttCtt , ,21 1 为正交阵， 为 的逆阵，则称 为正态过程高斯过程。Tt正态过程由 和 完全确定。tXjit,七、泊松过程定义 2.3.7 设 是取非负整数值的随机过程，且满足：0,t（1） （初始条件）X（2）它是独立、平稳增量过程（3）在长为 的任意区间内，事件 发生的次数服从参数为 的泊松分布。即 ，tA00,ts， （2.3.2）!ktesXtp,210则 为泊松过程。0,t八、维纳过程定义 2.3.8 设
7、实随机过程 满足下列条件：0,tX（1） 0X（2）它是独立、平稳增量过程（3） ，随机变量 具有概率密度 ttX21;txextf（2.3.3）其中 且为常数，则称 为维纳过程，即布朗运动过程。00,t布朗运动，电流热噪声等均属于维纳过程。显然 ，则： ，tXtN2,tXttXDtX22若 ，易知：0ssEsCR,stXtXs02sEEs2一般地，维纳过程有 ,min,XXRstCstt（2.3.4）反过来，若正态过程 以（2.3.4）为相关函数，则该过程具有独立、平稳增量性。t事实上，设 ，321t2312txtx213123 , tRRt xxxx 12t0则： ， 相互正交，而正态过程
8、是零均值，且为二阶矩过程，则：12tXt23tt， 互不相关，即互相独立。又考察 的分布只与 有关。12tt 12t0XE21212212 ,tXEtRtXEttXEX21t即增量是平稳的。维纳过程具有下列性质：（1） 0X（2） ，tEtstXs,min2（3）具有独立增量性（4）具有平稳增量性。 ， 的概率密度只与 有关0ststst（5） 的方差与 成正比，sXtXD2（6）增量 具有正态分布 。stN2,九、平稳过程定义 2.3.9 若随机过程 对 ， ， ，它的 维分布函数满TtX,nTti,ni,1足： nnn xFxtF;,;, 1111 （2.3.5）或： ，则称 为强（严）平稳过程。nnnn ttftf ,;,;, 1111 TtX,（2.3.5）说明其任意有限维分布不随时间的推移而改变。
