1、1,第四章第一节 数学期望,前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数。例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些
2、数字特征在理论和实践上都具有重要的意义。下面将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数,若统计100天,例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为X的平均值呢？,一、离散型随机变量的数学期望,4,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品;n1
3、天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,5,这是以频率为权的加权平均,由频率和概率的关系,不难想到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为,这是以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 .,6,7,关于定义的几点说明,(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称均值.,(2) 级数的
4、绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,8,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,9,解,故甲射手的技术比较好.,常见离散型分布的期望:,1. 两点分布XB(1, p) :,E(X)=0(1p)+1p,=p,2. 二项分布XB(n, p) :,令i=k1,得:,=npp+(1p)n 1,=np,3. 泊松分布 XP():,令i=k1,得:,=ee,=,13,例2,有4只盒子,编号为1,2,3,4.现有3个球,将球逐个独立地随机放入4只盒子中去.用X表示其中至少有一个球的
5、盒子的最小号码. 求E(X).,解,X所有可能取值是1,2,3,4.,PX=1=1-,X=1表示1号盒中至少有1个球，它的对立事件,表示：一号盒中没有球，,其概率为,X=2：1号盒中没有球，2号盒中至少有1个球,=,PX=2=,14,同样有,PX=3=,最后,PX=4=1-PX=1-PX=2-PX=3,=,于是,E(X)=25/16,题 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X(以年记), 规定:,X1, 一台付款1500元; 13, 一台付款3000元.,试求该商店一台电器收费Y的数学期望.,设寿命X服从指数分布, 概率密度为,解 一台收费Y的分布律,Y 1500 2
6、000 2500 3000pk PX1 P 13,0.0952 0.0861 0.0779 0.7408,E(Y)=2732.15,例3 已知离散型随机变量X的可能值为x1= 1, x2=0, x3=1,且E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求对应于可能值x1, x2, x3的概率p1,p2,p3,解:,p1+p2+p3=1,E(X)=(1)p1+0p2+1p3=0.1,E(X2)=0p2+1(p1+p3) =0.9,得: p1=0.4, p2=0.1, p3=0.5,二维离散型的期望:,19,在数轴上任取很密的分点 x1 x2 x3 ,则 X 落在小区间xk , xk+xk)内的概率是,设
7、X 是连续型随机变量,其密度为 f (x),由于 xk 与 xk+xk 很接近, 所以区间xk , xk+xk )中的值可以用 xk 来近似代替.,因此 X 取值 xk、概率为 的离散型随机变量,它的数学期望是,的积分和式,二、连续型随机变量的数学期望,定义:,设连续型随机变量X的概率密度为f (x), 若积分,绝对收敛 (即,), 则称积分,为X的期望,记为E(X),即,这启发我们引进如下连续型随机变量的数学期望定义：,常见连续型分布的期望:,1. 均匀分布 XUa,b:,=,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,2. 指数分布:,=,3. 正态分布 XN( ,2):,令,得:,=,24
8、,例 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为求E(X).解: 由于积分因此柯西分布的数学期望不存在.,二维连续型的期望:,26,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,27,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,28,那么是否可以不先
9、求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,(1)设X是离散型随机变量,分布律为 PX=xk=pk (k=1,2,) 若,(2)设X是连续型随机变量,概率密度为f(x),若,绝对收敛,则有:,绝对收敛,则有:,定理:,设g(x)是连续函数, Y是随机变量X的函数: Y=g(X),30,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,31,XN(0 ,1) 求: E(X2),解:,例 4,例5,例6 国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从
10、(a, b)上的均匀分布设每售出该商品一吨可以为国家创汇 s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损 l 万元，问应组织多少货源才使国家收益的期望值最大？,解 设组织货源为t（吨）,由题意at b, 收益Y是X的函数：,令 得:,推广到二维: Z=g(X,Y),离散型:,连续型:,E(Z)=Eg(X,Y),E(Z)=Eg(X,Y),求 的数学期望,XY2 1 4 2 8,例7 设(X,Y)的联合分布律为,解 (X,Y)的取值及对应的概率如下表:,(X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2),pk 0.4 0.3 0.2 0.1,X+Y 2 3 3 4,X,例8 设(X,Y)在D=
11、(x,y)|x2+y21上服从均匀分布,求E(X), E(XY),解:,=0,D,=0,例4 设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk (k=1,2,.,5)均服从同一指数分布，其概率密度为 求将这5个元件(1)串联，(2)并联组成系统的平均寿命,(1) 串联时系统寿命 ，,其分布函数为,解 Xk的分布函数为,(2)并联时系统寿命 ，,M的概率密度为,其分布函数为,假设以下随机变量的数学期望均存在 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(XY)=E(X) E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y),数学期望的性质:,
12、注 性质3.4.可推广到有限个的情况.,反之未必成立:E(XY)=E(X )E(Y) X,Y 独立,42,解,43,解,例9,例10 设XB(n, p),求E(X),解:,利用性质来求E(X),在成功概率为p的n次独立重复试验中,令,则X1,X2,Xn相互独立,且X=X1+X2+Xn服从二项分布,E(Xi)=p (i=1,2,n),则,=np,上例中把一个较复杂的随机变量拆成n个较简单的随机变量的和,再来求期望,由题意,注 这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.,例 一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下
13、车，如到达一站没旅客下车就不停车假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下车相互独立以X表示停车次数，求E(X),解 引入随机变量,则,48,如经营工艺品,风险小但获利少(95会赚,但利润为1000元),数学家可以从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策来规避风险,例如,一个体户有资金一笔, 想经营西瓜 ,于是计算期望值：,若经营西瓜的期望值 E1 = 0.72000 = 1400元 ,而经营工艺品的期望值 E2 = 0.951000 = 950元 .,所以权衡下来情愿 “搏一记” 去经营西瓜 , 因它的期望值高.,该 如 何 决 策？,期望与风险并存,风险大但利润高(成功的概率为0.7,获利2000元),六、课堂练习,1 解 设试开次数为X,于是,E(X),2 解,Y是随机变量X的函数,P(X=k)=1/n, k=1, 2, , n,解 甲乙平均命中环数为 E(X)=8.9 (环)，E(Y)=8.9 (环) 从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下， 进一步考虑他们射击的稳定性,53,这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,
