1、2011 年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准一、选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 5 分，共 50 分）1. 已知 ，则 可化简为（ D ）53,421sin2siA B. C. D. sinico2c解答：因为 ，所以 =,i1inosincosin。正确答案为 D。2co2如果复数 的模为 4，则实数 a 的值为（ C ）1aiA. 2 B. C. D. 2解答：由题意得 。正确答案为 C。4a3. 设 A ，B 为两个互不相同的集合，命题 P： ， 命题 q： 或 ，则 p 是 qxABxAB
2、的（ B ）A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件解答：P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。4. 过椭圆 的右焦点 作倾斜角为 弦 AB，则 为（ C ）21xy2F45AA. B. C. D. 63433解答：椭圆的右焦点为（1， 0） ，则弦 AB 为 代入椭圆方程得1,yx。正确答案为 C。2 212144340, ()33xxAB5. 函数 ，则该函数为（ A ）50()xfA. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加
3、的奇函数。正确答案为 A。6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）223 122122正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+522解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（ ） ，所以该几何体的体2积为 。正确答案为 A。51347某程序框图如右图所示，现将输出（ 值依,)xy次记为： 若程序运行中12(,),(;nxy 输出的一个数组是 则数组中的 （ B ）(0)xA64 B32 C16 D8答案 经计算 。正确答案为 B。32x8. 在平面区域 上恒有 ，则动点(,)|1,|yx2axby所形成平面区域的面积为
4、（ A ）(,)PabA. 4 B.8 C. 16 D. 32解答：平面区域 的四个边界点（1，1 ） ， （(,)|,|xy1， 1） ， （ 1，1） ， （1，1）满足 ，即有2axby2,2,ab由此计算动点 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。()Pa9. 已知函数 在 上有两个零点，则 m 的取值范围为（ C ）sin2)6fxm0,2A. B C. D. 1,2,1,12,12解答：问题等价于函数 与直线 在 上有两个交点，所以 m 的取()sin)6fxym0,值范围为 。正确答案为 C。1, 210. 已知 ，则 的解为（ C ）,a2(4)20xaaA. 或 B.
5、或 C. 或 D. 3x13x13x解答：不等式的左端看成 的一次函数， 2()(4)f由 或 。22(1)560,()0f f正确答案为 C。二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空 7 分，共 49 分）11. 函数 的最小正周期为_4 _。()2sin3cosxf解答：最小正周期为 4 。12. 已知等差数列 前 15 项的和 =30，则 =_6_.na15S1815a解答：由 ，而 。1513072Sd853(7)6d13. 向量 ， ， ，则 的取值范围为 1，3 。(,si)(cos,3)bRb解答： 22in(cosin)a = ，其最大值为 3，最小
6、值为 1，取值范围为1 ，3。54si()614. 直三棱柱 ，底面 是正三角形，P，E 分别为 ， 上的动点（含1ABCABC1BC端点） ，D 为 BC 边上的中点，且 。则直线 的夹角为_ _。D,90解答：因为平面 ABC平面 ，ADBC，所以 AD平面 ，所以1 1ADPE，又 PEPD，PE平面 APD，所以 PEPD。即夹角为 。15设 为实数，则 _4_。yx, )(max210452yy解答： 25502x2224()10()34xyxxy16. 马路上有编号为 1，2 ，3 ，2011 的 2011 只路灯，为节约用电要求关闭其中的 300 只灯，但不能同时关闭相邻两只，也
7、不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_ _种。 （用组合数符号表示）3017C解答：问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯，所以共有 种关灯方法。3017C17. 设 为整数，且 ，则 _3 或 57_。 zyx, ,33zyxzyx 22zyx解答：将 代入 得到3，因为 都是整数，所以8()9xyxy,x前两个方程组无解；后两个方程组解得1428,2516y。所以 3 或 57。;,xyzxyz22zx三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）18. 设 ，求 在 上的最大值和最小值。2a)( ,a解答：当 当 - 5 分20,1,xyx20,
8、(1),xy由此可知 。 - 10 分ma当 ；当 ；2in1,ymin2,ay当 。 - 17 分mi19. 给定两个数列 ， 满足 ， ， nxy10yx)1( 21nxn。证明对于任意的自然数 n，都存在自然数 ，使得 。)1( 21nyn njnjy解答：由已知得到：为等比数列，首项为 2，公比为 2， 1122()nnnnxxx所以 。 - 5 分1nn又由已知，22211 1()()()nnnn nnyyy由 ， 01221nnyy所以取 即可。 - 17 分 nj20. 已知椭圆 ，过其左焦点 作一条直线交椭圆于 A，B 两点，D 为 右侧一2154xy1F(,0)a1F点，连
9、AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 ，求 a 的值。 1解答： 。1 25(3,0)3Fx左 准 线 方 程 为 ;AB方 程 为 (3)ykx为 斜 率设 ，由 得12(,)(,)AxyB165)(2yk222(65)10540kx-1022 22121 11250406, (3)6 15kkxykxk分设 。由 M、A、D 共线 。342(,)(,)MyNy 1234(5)(3),ayayyxx同 理又 ，得13141166, 0FFFNMF由 已 知 得= 整理2134345)25,99(ayyyx（而 ， 即 256k2135)9(ax（ 6,9得 。-17 分2(1)60),3,k又 所 以
