1、3.二次函数的区间最值问题二次函数 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要2 (0)yaxbca基础我们知道：二次函数在自变量 x取任意实数时的最值情况(当 0a时，函数在 处取得最小值 ，无最大值；当 0a时，函数在2xa24ba处取得最大值 ，无最小值本节我们将在这个基础上继续学习b2c当自变量 x在某个区间内取值时，函数的最值问题同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用例 1 当 时，求函数 的最大值和最小值223yx分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值 x解：作出函数的图象当 时
2、， ，当 时， 1xmin4y2xma5y例 2 当 时，求函数 的最大值和最小值1x21yx解：作出函数的图象当 时， ，当 时， min2xmax5y由上述两例可以看到，二次函数在自变量 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 的范围的图象形状各x异下面给出一些常见情况：例 3 当 时，求函数 的取值范围0x(2)yx解：作出函数 在 内的图象0x可以看出：当 时， ，无最大值1xmin1y所以，当 时，函数的取值范围是 0y例 4 当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)tx25
3、yxt分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范t围的相对位置解：函数 的对称轴为 画出其草图215yx1x(1) 当对称轴在所给范围左侧即 时： 当 时，txt；2min5yt(2) 当对称轴在所给范围之间即 时：101tt当 时， ；1x2min153y(3) 当对称轴在所给范围右侧即 时：tt当 时， t22in 1()()3t综上所述：2213,05,1tytt在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：例 5 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 (件)与每件的销售价 (元)满足一次函数mx1623,054x(1)
4、写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件销售价 之间的函数关yx系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为 元，(30)x那么 件的销售利润为 ，又 mym1623x2 (30)162)548,54yxxx(2) 由(1)知对称轴为 ，位于 的范围内，另抛物线开口向下4当 时，42max36032y当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432元练习：1. 函数 在区间0，3上的最大值是_，最小值是yx24_。2. 已知 ，求函数 的最值. 23xfx()213. 已知 ，
5、且 ，求函数 的最值。1a0fxa()234. 已知二次函数 在区间 上的最大值为 5，求实fxa()224141，数 a 的值。5. 如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。fx()12t， fx()6.设函数 的定义域为 ，对任意 ，求函数f24t21， tRnmOyxnmOyxnmOyxnmOyxnmOyxnmOyxnmOyxnmOyx的最小值 的解析式。fx()()t总结：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）区间最值问题函数 y=ax2+bx+c= a（x-h） 2+k（mxn（mn） ）的图象是抛物线上的一段曲线，这时函数 y=ax2+bx+c= a（x-h） 2+k（mxn（mn
6、） ）就即有最大值，也有最小值。y=ax2+bx+c= a（x-h） 2+k mxn（mn）当 x=m 时y 取得最大值当 x=n 时y 取得最小值当 x=m 时y 取得最小值当 x=n 时y 取得最大值当 x=m 时y 取得最大值当 x=h 时y 取得最小值当 x=m 时y 取得最小值当 x=h 时y 取得最大值当 x=n 时y 取得最大值当 x=h 时y 取得最小值当 x=n 时y 取得最小值当 x=h 时y 取得最大值a0当 x=m 时y 取得最小值当 x=n 时y 取得最大a0当 x=m 时y 取得最大值当 x=n 时y 取得最小值 值练习答案：1. 2,-2；2. ， ；f()01f32943. 最小值是 ，最大值是 ；fa()fa()144. ；a210舍 去5. ；fxtttt()(),min10226. ()()tt284361
