1、高 等 数 学,中国民航大学理学院 陶志E-mail:,极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而,产生的.,我国古代数学家刘徽(公元3世纪),就是极限思想在,几何学上的应用.,1、割圆术:,割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与,圆周合体而无所失矣.,刘徽,接正多边形来推算圆面积的方法:,第三节 数列的极限,一、极限概念的引入,利用圆内,二、数列的定义,定义,按一定次序排列的无穷多个数,称为无穷数列,简称数列.,可简记为,其中的每个,数称为数列的项,称为通项(一般项).,2、截丈问题: (庄子天下篇),一尺之棰,日截其半,万世不竭.,注:,在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为
2、高等数学中的一种基本方法.,数列举例:,注:,1.,它在数轴上依次取值,2.,数列可看作数轴上一个动点,的函数:,数列可看作自变量为正整数,三、数列的极限,观察数列,实验表明:,上述数列无限接近于1.,问题:,无限接近于某一确定的,数值，这一事实如何用数学语言刻画？,记号:,是否,恒有,定义,若对于任意给定的正数,(不论它多么小),总存在正整数,的极限,记为,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意:,1）数列极限的定义习惯上称为极限的N定义，它用两个动态指标和 N 刻画了极限的实质。,2）定义中的具有二重性：一是的任意性，二是的相对固定性。的二重性体现了 逼近 时要经历一个无限的过程（
3、这个无限过程通过的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过的相对固定性来实现）。,3）定义中的 N 是一个特定的项数，与给定的有关。重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由 来选定，一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的 N 不是唯一的。,4）数列极限的定义未给出求极限的方法。,例1 下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛 于何值.,(2)数列,即为,故该数列是发散的;,例2,证明,证,故对任给,要使,只要,即,所以,就有,即,由,若取,例3,证明,证,因为任给,对于一切自然数,恒有,所以,即:,
4、常数列的极限等于同一常数.,注:,用定义证数列极限存在时,关键是:,对任意给,定的,寻找,但不必要求最小的,例4,证明,其中,证,任给,若,则,若,欲使,必须,即,故对任给,若取,就有,从而证得,例5,设,且,求证,证,任给,由,要使,即要,对,恒有,故,例6,用数列极限定义证明,证,由于,只要,解得,因此,对任给的,则,时,故要使,取,成立,即,例7,用数列极限定义证明,证,由于,只要,即,因此,对任给的,即,要使,取,例8,证明:,若,则存在正整数,当,时 ,证,因,对任,存在,恒有,由于,恒有,从而有,给的,由此可见 ,只要取,恒有,证毕 .,四、收敛数列的性质,1、收敛数列的有界性,定
5、义,对数列,若存在正数,使对一切自然数,恒有,否则,称为无界.,例如,几何解释:,存在,使得数轴上对应于有界数列,的点,定理1,收敛的数列必定有界.,证,设,由定义,若取,则,恒有,即:,若记,则对一切自然数,皆有,注意:,有界性是数列收敛的必要条件.,推论,无界数列必定发散.,2、极限的唯一性,定理2,收敛数列的极限是唯一的.,例9,证,设,由定义 ,对于,恒有,区间长度为1.,不可能同时位于长度为 1 的区间内 .,因此该数列是发散的 .,证毕 .,注:,此例同时也表明:,有界数列不一定收敛 .,定理3(收敛数列的保号性),若,且,则存在正整数,都有,证,按定义,对,正整,数,有,证毕.,
6、推论,(或,且,则,(或,证,3、收敛数列的保号性,用反证法.,若,则由定理3,正整数,有,取,按假定有,但按定理3有,矛盾.,故必有,可以类似地,证明.,4、收敛数列的极限运算法则,5、子数列的收敛性,定义,这样得到的一个数,并保持这些,列,注:,定理5(收敛数列与其子数列间的关系),如果数列,收敛于,那么它的任一子数列也收敛,且极限,也是,证,由,故,正整数,恒,有,取,于是,即,证毕.,注:,定理5的逆否命题知,列收敛于不同的极限,例如,考察数列,-1,此例说明:,一个发散的数列也可能有收敛的子数列.,作业：习题13,1（2）、（3）、（5）； 2（2）；4；5；6 .,补充作业题：,课间休息,
