1、弹性力学 Elastic Mechanics,主讲：黄 涛13649200251 029-88431026 力学与土木建筑学院 446,平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 空间问题的基本理论 空间问题的解答,大 纲,2,第二章 平面问题的基本理论,主讲：黄 涛13649200251 029-88431026 力学与土木建筑学院 446,目录,平面应力与平面应变 平衡微分方程 平面应力状态 几何方程 刚体位移 物理方程 边界条件 圣维南原理及其应用 按位移求解平面问题 按应力求解平面问题 相容方程 常体力情况下的简化 应力函数,提 要,4,1. 平衡微分方程,（
2、2-2）,2. 几何方程,（2-8）,3. 物理方程,（平面应力问题）,（2-12）,4. 边界条件,位移：,（2-14）,应力：,（2-15）,平面问题的基本方程,5,平面问题基本方程,（2-13）,（平面应变问题）,平面应力平面应变：,按位移求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-18）,（2）边界条件：,位移边界条件：,（2-14）,应力边界条件：,（2-19）,6,按位移求解平面问题的基本方程,（平面应力问题）,平面应力平面应变：,按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,7,按应力求解平面问题,（平面应变
3、情形）,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（3）边界条件,常体力下平面问题的基本方程,8,常体力下平面问题的基本方程,全解 = 齐次方程通解,+非齐次方程的特解。,1 特解,常体力下特解形式：,2 通解, 应力函数表示的相容方程,主讲：黄 涛029-88431026 力学与土木建筑学院 446,第三章平面问题的直角坐标解答,目录,逆解法与半逆解法 多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均布载荷 楔形体受重力和液体压力,提 要,10,应力函数的求解方法,1,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-25）的(x,
4、y) 的形式；,（2）, 主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式（2-24），求出 （具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（2-15），来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。,应力函数的求解方法,11,多项式解答,适用性：,由一些直线边界构成的弹性体。,目的：,考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能解决什么样的力学问题。,逆解法,多项式解答,12,应力函数的求解方法,2,半逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根
5、据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-24）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,应力函数的求解方法,13,多项式解答,其中： a、b、c 为待定系数。,检验(x,y) 是否满足双调和方程：,显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。,（1）,1. 一次多项式,（2）,（3）,对应的应力分量：,若体力：fx = fy=0，则有：,多项式解答,14,结论1：,（1）,（2）,一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；,在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,多项式
6、解答,2. 二次多项式,（1）,其中： a、b、c 为待定系数。,(假定：fx =fy = 0 ; a 0 , b 0, c 0),检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数 ),（3）,由式（2-24）计算应力分量：,2c,2c,2a,2a,多项式解答,15,结论2：,二次多项式对应于均匀应力分布。,多项式解答,结论2：,二次多项式对应于均匀应力分布。,试求图示板的应力函数。,例：,2. 二次多项式,多项式解答,16,3. 三次多项式,（1）,其中: a、b、c 、d 为待定系数。,检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数 ),(假定：f
7、x =fy = 0),（3）,由式（2-24）计算应力分量：,结论3：,三次多项式对应于线性应力分布。,多项式解答,多项式解答,17,讨论：,可算得：,图示梁对应的边界条件：,可见：, 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。,常数 a 与弯矩 M 的关系：,(1),由梁端部的边界条件：,多项式求解,多项式解答,18,(2),此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,多项式求解,多项式解答,19,多项式求解,说明：,(1),组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。,(2),若按其它形式分布，如：,则此结果不精确，有误差；,但按圣维南原理，仅在两端
8、误差较大，离端部较远处误差较小。,(3),当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。,多项式解答,20,4. 四次多项式,（1）,检验(x,y) 是否满足双调和方程,（2）,代入：,得,多项式求解,可见，对于函数：,其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：,多项式解答,21,（3）,应力分量：, 应力分量为 x、y 的二次函数。,（4）,特例：,（须满足：a + e =0）,多项式求解,多项式解答,22,4. 四次多项式,总结,多项式应力函数 的性质,（1）,多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。,多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。,多项式次数
9、 n 越高，则系数间需满足的条件越多。,（2）,一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。,（3）,（4）,用多项式构造应力函数(x,y) 的方法 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。,多项式解答总结,23,（1）,讨论：,当 x = x0 =常数, u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。,说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。,横截面保持平面, 材力中“平面假设” 成立。,24,矩形梁的纯弯曲,（2）,说明：在微小位移下，梁纵向纤维的
10、曲率相同。即, 材料力学中的挠曲线微分方程,25,矩形梁的纯弯曲,（1）两端简支,其边界条件：,将其代入(f)式，有,将其代回(f)式，有,(3-3),梁的挠曲线方程：, 与材力中结果相同,位移边界条件的利用,26,位移边界条件的利用,位移边界条件的利用,（2）悬臂梁,边界条件,由式（f）可知，此边界条件无法满足。,边界条件改写为：,（中点不动）,（轴线在端部不转动）,27,位移边界条件的利用,代入式（f），有,可求得：,位移边界条件的利用,28,位移边界条件的利用,位移边界条件的利用,(3-4),挠曲线方程：,与材料力学中结果相同,29,位移边界条件的利用,说明：,（1）,求位移的过程：,（
11、a）将应力分量代入物理方程,（b）再将应变分量代入几何方程,（c）再利用位移边界条件，确定常数。,位移边界条件的利用,30,位移边界条件的利用,（2）,若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。,（3）,若取固定端边界条件为：,（中点不动）,（中点处竖向线段转角为零）,得到：,求得：,此结果与前面情形相同。,（为什么？）,位移边界条件的利用,31,位移边界条件的利用,应力函数的确定,(1),分析：, 主要由弯矩引起；, 主要由剪力引起；,由 q 引起（挤压应力）。,又 q =常数，图示坐标系和几何对称， 不随 x 变化。,推得：,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(
12、a),(b), 任意的待定函数,32,简支梁受均布载荷 - 应力函数的确定,(3),由 确定：,代入相容方程：,应力函数的确定,33,应力函数的确定,方程的特点：,关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。,由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：,对前两个方程积分：,(c),此处略去了f1(y)中的常数项,对第三个方程得：,积分得：,(d),34,应力函数的确定,将(c) (d) 代入 (b) ，有,(e),此处略去了f2(y)中的一次项和常数项,式中含有9个待定常数。,35,应力函数的确定,应力分量的确定,(f),(g),(h),36,应力函数的确定
13、,(2-24),（1）对称条件的应用：,由 q 对称、几何对称：, x 的偶函数, x 的奇函数,由此得：,要使上式对任意的 y 成立，须有：,37,对称条件与边界条件的应用,（2）边界条件的应用：,(a) 上下边界（主要边界）：,由此解得：,代入应力公式,38,对称条件与边界条件的应用,(b) 左右边界（次要边界）：,（由于对称，只考虑右边界即可。）, 难以满足，需借助于圣维南原理。,静力等效条件：,轴力 N = 0；,弯矩 M = 0；,剪力 Q = ql；,39,对称条件与边界条件的应用,40,对称条件与边界条件的应用,可见，这一条件自动满足。,41,对称条件与边界条件的应用,截面上的应
14、力分布：,42,对称条件与边界条件的应用,(p),与材料力学结果比较,(p),材力中几个参数：,截面宽：b=1 ,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式 ( p ) ，有,（3-6）,43,与材料力学结果比较,比较，得：,（1）,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。,（2）,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。,（3）,与材力中相同。,注意：,按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：,说明式（3-6）在两端不适用。,44,与材料力学结果比较,（1）,（2）,（3）,根据问题的条件：几何特点、受力特点
15、、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。,由 与应力函数 的关系式（2-24），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。,（4）,（5）,将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式（2-24），求得应力分量 。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：,解题步骤小结,45,解题步骤小结,问题的提出,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的溶重）；,自重作用：,（楔形体的溶重）；,求：楔形体应力分布规律 。,46,楔形体受重力和液体压力,应力函数及应力分量
16、,(1) 分析：,(a), 的量纲为：,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为 x、y 的三次函数。,应力函数可假设为：,47,楔形体受重力和液体压力,(2) 应力分量,考虑到：fx = 0，fy = （常体力）,(a),显然，上述应力函数满足相容方程。,48,楔形体受重力和液体压力,(1) x=0 （应力边界）：,代入式（a），则应力分量为：,边界条件的利用,(b),49,楔形体受重力和液体压力,(2) （应力边界）：,其中：,将(b)代入，有,代入，可求得：,50,楔形体受重力和液体压力,(b),沿水平方向的应力分布,代入式（b），有：,(3-7), 李维（Levy）解答,与材力结果比较：
17、, 沿水平方向不变，在材力中无法求得。, 沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。, 沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。,51,楔形体受重力和液体压力,沿水平方向的应力分布,(3-7), 李维（Levy）解答,结果的适用性：,（1）,当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。,（2）,假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。,（3）,实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。, 三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。,工程应用：, 求使坝稳定时的角度 ，称为安息角。,52,楔
18、形体受重力和液体压力,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不变化。,z 方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）,两类平面问题及其特征,53,两类平面问题及其特征,（1）平衡微分方程,（2-2）,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（2）几何方程,（2-8）,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（3）物理方程,(2-12),（平面应力）,(2-13),（平面应变）,（假定：小变形、连续性、均匀性、弹性、各向同性）,平面问题的基本方程,54,平面问题的基本方程,思路：,（
19、1）按位移求解,以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-18）,位移表示的 平衡方程,（2-19）,（2-14）,位移表示的 应力边界条件,位移边界条件,平面问题的基本求解方法及基本方程,55,平面问题的基本求解方法及基本方程,（2）按应力求解,思路：,以应力 为基本未知量，将基本方程用只有 的3个方程，从中求出 ，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-2）,平衡方程,（2-21）,相容方程,基本控制方程,（平面应力情形）,（2-14）,（2-15）,位移
20、边界条件,应力边界条件,边值条件,56,平面问题的基本求解方法及基本方程,两类平面问题物理方程的互相转换：,平面应力问题,平面应变问题,平面应变问题,平面应力问题,（4）边界条件,（2-14）,（2-15）, 位移边界条件, 应力边界条件,57,平面问题的基本求解方法及基本方程,(2-27),(2-26),（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函数表示的应力分量,（对常体力情形）,说明：,（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。,按应力求解的应力函数法基本方程：,58,按应力求解的应力函数法基本方程：,
21、（2-20）,（2-21）,（2-22）,(平面应力情形),(平面应变情形),（2-23）,(2-25),形变表示的相容方程,应力表示的相容方程,应力函数表示的相容方程,(基本形式),(常体力情形),适用情形：,小变形、任意弹塑性材料。,(常体力情形),平面问题的变形协调方程（相容方程）,59,平面问题的变形协调方程（相容方程）,位移边界条件,应力边界条件,圣维南原理的要点：,（1）小部分边界（次要边界）；,（2）静力等效；,（3）结果影响范围：,近处有影响，远处影响不大。,圣维南原理的应用：,（1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等；,（2）位移边界（次要边界）；,边界条件
22、与圣维南原理,60,边界条件与圣维南原理,（1）常体力情况下简化,将体力转化为等效的面力：,（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。,（3）任意方向的正应变计算。,其它,61,边界条件与圣维南原理,主讲：黄 涛13649200251 029-88431026 力学与土木建筑学院 446,第四章平面问题的极坐标解答,主要内容,极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力与相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,提 要,平面问题的极
23、坐标解答,要点：,（1）极坐标中平面问题的基本方程：, 平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。,（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用,应用：,圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。,引 言,平衡微分方程：,（41）,几何方程：,（42）,物理方程：,（43）,(平面应力情形),极坐标求解的基本方程,极坐标求解的基本方程,边界条件：,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,极坐标求解的基本方程,结论,弹性力学极坐标求解归结为,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45
24、）求出相应的应力分量：,（45）,弹性力学极坐标求解总结,（3）,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,结论,弹性力学极坐标求解总结,轴对称问题：,（46）,由式（45）和（46）得应力分量和相容方程为：,（49）,相容方程：,轴对称问题应力分量与相容方程,轴对称问题应力分量与相容方程,应力分量：,平面轴对称问题小结,（410）,（1）,应力函数,（2）,应力分量,（411）,（3）,位移分量,（4-12）,式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。,平面轴对称问题小结,由式（4-13）可以看出：,应力轴对称并不表示位移也
25、是轴对称的。,但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。,这 时，物体内各点都不会有环向位移，即不论 r 和 取何值，都应有：,对这种情形，有,式（4-12）变为：,4-12（a）,平面轴对称问题小结,圆环或圆筒受均布压力,已知：,求：应力分布。,确定应力分量的表达式：,边界条件：,（a）,将式（4-11）代入，有：,（b）,圆环或圆筒受均布压力,式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。,对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。,要使单值，须有：B = 0 ，由式（b）得,将其代回应力分量式（4-11），有：,圆环或圆筒受均布压力,（4-13）
26、,（1）若：,( 二向等压情况),（2）若：,（压应力）,（拉应力）,圆环或圆筒受均布压力,（3）若：,（压应力）,（压应力）,（4）若：, 具有圆形孔道的无限大弹性体。,边缘处的应力：,圆环或圆筒受均布压力,压力隧洞,问题：,厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。,1. 分析：,与以前相比较，相当于两个轴对称问题：,(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒；,(b) 仅受内压作用的无限大弹性体。,确定外压 p 的两个条件：,径向变形连续：,径向应力连续：,压力隧洞,2. 求解,(1) 圆筒的应力与边界条件,应力：,（a）,边界条件：,(2) 无限大弹性体的应力与边界条件,应力：
27、,（b）,边界条件：,将式（a）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：,压力隧洞,（1）,压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。,完全接触：,接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为,应力：,位移：,（2）,非完全接触（光滑接触）,应力：,位移：,接触条件：,讨论,压力隧洞讨论,孔边应力集中概念,由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。,称为孔边的应力集中。,应力集中系数：,与孔的形状有关，是局部现象；,与孔的大小几乎无关。,（圆孔为最小，其它形状较大）,孔边应力集中概念,（1）问题：,带有圆孔的无限大板（B a），圆孔半径为 a，在无限
28、远处受有均匀拉应力 q 作用。,求：孔边附近的应力。,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,（2）问题的求解,问题分析,坐标系：,就外边界（直线），宜用直角坐标；,就内边界（圆孔），宜用极坐标。,取一半径为 r =b (ba），在其上取一点 A 的应力：,由应力转换公式：,原问题转化为：,无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,新问题的边界条件可表示为：,内边界,外边界,（a）,问题1,（b）,（c）,问题2,将外边界条件（a）分解为两部分：,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,问题1的解：,该问题为轴对称问题，其解为,当 ba
29、 时，有,（d）,求解,孔边应力集中问题的求解,问题2的解：,（非轴对称问题）,由边界条件（c），可假设： 为 r 的某一函数乘以 ； 为r 的某一函数乘以 。,又由极坐标下的应力分量表达式：,可假设应力函数为：,将其代入相容方程：,求解,孔边应力集中问题的求解,与前面类似，,该方程的特征方程：,特征根为：,方程的解为：,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,相应的应力分量：,对上述应力分量应用边界条件（c）, 有,（e）,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,求解A、B、C、D，然后令 a / b = 0，得,代入应力分量式（e）, 有,（f）,孔
30、边应力集中问题的求解,将问题1和问题2的解相加, 得全解：,（4-19）,讨论：,（1）,沿孔边，r = a，环向正应力：,（2）,沿 y 轴， =90，环向正应力：, 基尔斯（G. Kirsch）解,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,（3）,沿 x 轴， =0，环向正应力：,（4）,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用,求解,孔边应力集中问题的求解,（4）,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用,叠加后的应力：,（4-19）,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,孔边应力集中问题的求解,用半逆解法求解。,（1）假设应力
31、 F为单位宽度上的力，按量纲分析，应力 应为:,半平面体在边界上受集中力,半平面体在边界上受集中力,（2）推测 应为,（3）代入 ，得,当F垂直于边界时， ，应力解答为,半平面体在边界上受集中力,相应的直角坐标系中的 应力 如式(4-23)所示。,（4-24）, 直角坐标表示的应力分量,边界沉陷计算,M点的下沉量：,由于常数 I 无法确定，,所以只能求得的相对沉陷量。,为此，在边界上取一基准点B，如图所示。,M点相对于基准点B的沉陷为,简化后得：,（4-25）,符拉芒（A. Flamant）公式,对平面应变情形：,边界沉陷计算,应力分量,（4-26）,式中，需将分布力集度 q 表示成 的函数，
32、再进行积分。,应力分量,dP 作用在距原点 时，,基本方程,1. 平衡方程,（41）,2. 几何方程,（42）,3. 物理方程, 平面应力情形,（43）,4. 边界条件,位移边界条件：,应力边界条件：,基本方程,按应力求解基本步骤,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量：,（45）,（3）,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,按应力求解基本步骤,平面轴对称问题的求解方法逆解法,（411）,应力函数：,应力分量：,位移分量：,平面轴对称问题的求解方法逆解法,非轴对称问题的求解方
33、法半逆解法,圆孔的孔边应力集中问题,原问题的转换：,轴对称问题,非轴对称问题,非轴对称问题的求解方法半逆解法,4. 半平面问题,非轴对称问题的求解方法半逆解法,非轴对称问题的求解方法半逆解法,主讲：黄 涛13649200251 029-88431026 力学与土木建筑学院 446,第七章 空间问题的基本理论,目录,平衡微分方程 物体内任一点的应力状态 主应力 最大与最小的应力 几何方程及物理方程 轴对称问题的基本方程,提 要,空间问题,结论,总结,(7-1),(7-8),(7-12),( 7-9 ),(7-5),(7-10),主讲：黄 涛13649200251 029-88431026 力学与土木建筑学院 446,第八章 空间问题的解答,按位移求解空间问题 半空间体受重力及均布压力 半空间体在边界上受法向集中力 按应力求解空间问题 等截面直杆的扭转 扭转问题的薄膜比拟 椭圆截面杆的扭转 矩形截面杆的扭转,105,提 要,
