1、概率论和数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式名称 公式表达式德摩根公式 ，BABA古典概型 ()mPn包 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数几何概型 ，其中 为几何度量（长度、面积、体()积）求逆公式 1AP加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(AB)=P(A)+P(B)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)， 时 P(A-B)=P(A)-P(B)B条件概率公式与乘法公式 )(APB()CC全概率公式 1()()niiiB贝叶斯公式（逆概率公式） 1)(iiiniiiPAB两个事件相互独立； ；()A)(BP)()ABP；二、随机变
2、量及其分布1、分布函数()(),()()kkxPXFxPXaXbFaftd2、离散型随机变量及其分布分布名称 分布律01 分布 (,)Xbp: 1,0,)1()( kpkXP二项分布 ,n nCnn ,泊松分布 ()XP:(),0,12!kPXe3、续型随机变量及其分布分布名称 密度函数 分布函数均匀分布 (,):XUab他,01)(bxabxf ,()1,xaFxb分布名称 密度函数 分布函数指数分布 ()Xe:0,)(xexf0,)(xexF正态分布 2(,):N2()122()1()d2t标准正态分布 (0,1)X2()xxe21()txxed4、随机变量函数 Y=g(X)的分布离散型：
3、 ，()(,12,jiijgxyPYp连续型：分布函数法，公式法 ()()()YXfyfhyxh单 调三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律： 分布函数(,),1,2ijijPXxYyp (,)iiijxyFYp边缘分布律： (iiijp ()jjijPYyp条件分布律： ，),12,ijijxYyp ),12,ijjiXx2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质分布函数： xyduvfyF),(),(性质：2,1,xy(,)(,)GPfxyd边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： 密度函数：xXdvufF),()( vffX),()(yY duyyY条件概率密度，yx
4、fyfXX,)()( xyfxfYYX,)()(3、随机变量的独立性随机变量 X、Y 相互独立 ，(,)(XFx离散型： ，连续型：.ijijp,)(Yfyfxy4、二维随机变量和函数的分布离散型： ()(,ijkkijxyzPZzPxY连续型： ,)(,)ffdfzyd四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型 ，连续型1)(kpxXEdxfXE)()(性质： ， ，,C)()( )()(C)()(YEXY，当 X、Y 相互独立时：babXE)()(2、方差定义： 22()()()DEEX性质： ， ， 0)(Da ),(2)(YCovDY当 X、Y 相互独立时： Y3、协方差与相关系数
5、协方差： ，当 X、Y 相互独立时：(,)()CovX0),(Xv相关系数： ，当 X、Y 相互独立时： (X,Y 不相关),Y0Y协方差和相关系数的性质： ，)(,(DCov,),(Cov，),(),( 2121ovXov )(abvdcao4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布 数学期望 方差0-1 分布 ),(pbp p(1-p)二项分布 nnp np(1-p)泊松分布 )(P均匀分布 ,baU2b12)(ab正态分布 )(2N指数分布 e12五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若 对于任意 有,)(,)(2XDE02)()(XDEXP2、大数定律： 切比雪夫大数定律：若 相互
6、独立，n1且 ，则：2)(,)(iiii Ci iii n1)(),伯努利大数定律：设 nA是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则 ，有：0limnP辛钦大数定律：若 独立同分布，且 ，则1,nX )(iXE nPiiX13、中心极限定理列维林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量 ，均值为(,2)i，方差为 ，当 n 充分大时有：021()(0,1nkYXnN 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：随机变量 ，则对任意 x 有：,(pB21lim()(1)txnXpPedx近似计算： 1)nkbnaa 六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体
7、 ，则样本的联合分布函数()XFx: )(),(121knxFxF2、统计量样本均值： ，样本方差：ni1 nini XXS12122 )()(样本标准差： ，样本 阶原点距：niiXS12)(k2,11kXnAik样本 阶中心距：k,1,3nkiiB3、三大抽样分布(1) 分布：设随机变量 且相互独立，则称统计量2(0,)iXN:,2)in服从自由度为 的 分布，记为21nXn)(2n性质： 设 且相互独立，则DE)(,)(),(YmX2mY(2) 分布：设随机变量 ，且 X 与 Y 独立，则称统计量：t )(),10(2nYN服从自由度为 的 分布，记为nYXTnttT性质： ()01),
8、(2)EDTn21lim()xnfxe(3) 分布：设随机变量 ，且 与 独立，则称统计量F2),XYXY服从第一自由度为 m，第二自由度为 n 的 分布，记为(,)XmnY F，性质：设 ，则, (,)Fn1(,)m七、参数估计1.参数估计定义：用 估计总体参数 ，称 为 的估12(,)nXL12(,)nXL计量，相应的 为总体 的估计值。x当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法： 基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体 X 的分布中包含有未知参数 ，它的前 k 阶原点12,k矩 中包含了未知参数 ，()1,2)iiEk 12,k
9、即 ；又设 为总体 X 的 n 个样本(,)iigi nxL值，用样本矩代替 ，在所建立的方程组中解出的 k 个未知参数即为参数i的矩估计量 。12,k 12,k注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。3.点估计中的极大似然估计设 取自 的样本，设 或 ， 求法步骤：12,nXLX(,)fx(,)XPx似然函数： 1 1()(,) ,)n ni iifxL 连 续 型 或 离 散 型取对数： 或1ll,niiLf1ln()l(,)niipx解方程： ，解得：1ll0,0kL212,(,)nknx 4.估计量的评价标准估计量无偏性 设 为未知参数 的估计量。若 E( ）12(,)nxL= ，则
10、称 为 的无偏估计量。有效性设 和 是未知参数12(,)nxL212(,)nxL的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。D12比的评价标准一致性设 是 的一串估计量，如 ，有n 0则称 为 的一致估计量（或相合估计lim(|)0Pn量） 。5. 单正态总体参数的置信区间八、假设检验1.假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平 ，常取 =0.05，0.01 或0.10。条件 估计参数 枢轴量 枢轴量 分布 置信水平为 的置信区间1已知 2/XZn(0,1)N22,xzxzn未知 /TSt22(1),(1)SSttn已知 221niiX()n1122,(
11、)()nni ii iX未知 222()nS221,()()nSn基本步骤提出原假设 H0；选择检验统计量 ；对于 查表1(,)ngXL找分位数 ，使 ，从而定出拒绝域 W；1(,)nPgXWL由样本观测值计算统计量实测值 ；并作出判断：当实,x测值落入 W 时拒绝 H0，否则认为接受 H0。第一类错误当 H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定 H0。这时，我们把客观上 H0成立判为 H0为不成立（即否定了真实的假设） ，称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即：P拒绝 H0|H0为真= ； 第二类错误当 H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受 H0。这时，我们
12、把客观上 H0不成立判为 H0成立（即接受了不真实的假设） ，称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即：P接受 H0|H1为真= 。两类错误两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。2.单正态总体均值和方差的假设检验条件 原假设 检验统计量 统计量 分布 拒绝域00:H 2|z已知 200:0/XZn(,1)Nz2(1)tn00:H未知 20/TSn(1)t()t20:21n或 2()200:H未知 220(1)nS()n21()n20:或2()200:H2n已知 （少见） 2210()niiX()n1()
