（普通班）2017届高三数学一轮复习 第十五篇 坐标系与参数方程 理（课件+习题）（打包4套）.zip

1第十五篇 坐标系与参数方程(选修 4 4)第 1 节 坐标系【选题明细表】知识点、方法 题号极坐标与直角坐标的互化 1直线和圆的极坐标方程及应用 2简单曲线的极坐标方程及应用 3,41.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin (𝜃‒𝜋4)= .22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;(2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.解:(1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ 2=ρcos θ+ρsin θ,圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y,即 x2+y2-x-y=0.直线 l:ρsin = ,(𝜃‒𝜋4) 22即 ρsin θ-ρcos θ=1,则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0.(2)由 得{𝑥2+𝑦2‒𝑥‒𝑦=0,𝑥‒𝑦+1=0 {𝑥=0,𝑦=1,故直线 l 与圆 O 公共点的极坐标为 .(1,𝜋2)2.在极坐标系中,曲线 L:ρsin 2θ=2cos θ,过点 A(5,α) (α 为锐角且 tan α=)作平行于θ=(ρ∈R)的直线 l,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点.(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标系相同的单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线 L 和直线 l 的直角坐标方程.(2)求|BC|的长.解:(1)由题意得,点 A 的直角坐标为(4,3),由曲线 L 的极坐标方程 ρsin 2θ=2cos θ,得 ρ 2sin2θ=2ρcos θ,所以 L 的直角坐标方程为 y2=2x.由于直线 l 的斜率为 1,且过点 A(4,3),故直线 l 的直角坐标方程为 y-3=x-4,即 y=x-1.(2)设 B(x1,y1), C(x2,y2),由 消去 y,{𝑦=𝑥‒1,𝑦2=2𝑥得 x2-4x+1=0,由一元二次方程的根与系数的关系得 x1+x2=4,x1x2=1,2由弦长公式得|BC|= =2 .1+𝑘2(𝑥1+𝑥2)2‒4𝑥1𝑥2 63.在极坐标系中,圆 C 是以点 C(2,-)为圆心,2 为半径的圆.(1)求圆 C 的极坐标方程.(2)求圆 C 被直线 l:θ=- (ρ∈R)所截得的弦长.5𝜋12解:法一 (1)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ),如图,在 Rt△OAM 中,∠OMA=90°,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.因为 cos ∠AOM= ,|𝑂𝑀||𝑂𝐴|所以|OM|=|OA|·cos ∠AOM,即 ρ=4cos(2π-θ-)=4cos(θ+),验证可知,极点 O 与 A(4,- )的极坐标也满足方程,故 ρ=4cos (θ+)为所求.(2)设 l:θ=- (ρ∈R)交圆 C 于点 P,5𝜋12在 Rt△OAP 中,∠OPA=90°,易得∠AOP=,所以|OP|=|OA|cos ∠AOP=2 .2法二 (1)圆 C 是将圆 ρ=4cos θ 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cos(θ+).(2)将 θ=- 代入圆 C 的极坐标方程 ρ=4cos(θ+),5𝜋12得 ρ=2 ,2所以圆 C 被直线 l:θ=- (ρ∈R)所截得的弦长为 2 .5𝜋12 24.已知曲线 C1的极坐标方程为 ρcos(θ-)=-1,曲线 C2的极坐标方程为 ρ=2 cos(θ-).2以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线 C2的直角坐标方程.(2)求曲线 C2上的动点 M 到曲线 C1的距离的最大值.解:(1)依题意得 ρ=2 cos(θ- )=2(cos θ+sin θ),2即 ρ 2=2(ρcos θ+ρsin θ),可得 x2+y2-2x-2y=0,故 C2的直角坐标方程为(x-1) 2+(y-1)2=2.(2)曲线 C1的极坐标方程为 ρcos(θ-)=-1,即 ρ(cos θ+ sin θ)=-1,32化为直角坐标方程为 x+ y+2=0,33由(1)知曲线 C2是以(1,1)为圆心, 为半径的圆,且圆心到直线 C1的距离 d= =2|1+3+2|12+(3)2r= ,3+32 2于是直线与圆相离,所以动点 M 到曲线 C1的距离的最大值为 .3+3+222考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换反思归纳 (1)直角坐标方程化为极坐标方程 ,只要运用公式 x=ρcos θ及 y=ρsin θ直接代入并化简即可 ;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形 ,构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式 ,进行整体代换 .其中方程的两边同乘以 (或同除以 )ρ及方程两边平方是常用的变形方法 .但对方程进行变形时 ,方程必须同解 ,因此应注意对变形过程的检验 .反思归纳 (1)求曲线的极坐标方程 ,就是找出动点 M的坐标 ρ与 θ之间的关系 ,然后列出方程 f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点 .(2)极坐标方程涉及的是长度与角度 ,因此列方程的实质是解三角形 .(3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解 ,然后再转化为极坐标方程 ,注意方程的等价性 .极坐标方程的应用1第 2 节 参数方程【选题明细表】知识点、方法 题号参数方程与普通方程互化 1参数方程及其应用 2,3极坐标方程与参数方程的综合 41.(2016 张掖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 P 点的极坐标为(4 ,),曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2+4 ρsin θ=4.3 3(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程;(2)若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l: (t 为参数)距离的最大值.{𝑥=3+2𝑡,𝑦=‒2+2𝑡解:(1)已知 P 点的极坐标为(4 ,),3所以 x=ρcos θ=6,y=ρsin θ=2 ,3所以点 P 的直角坐标为(6,2 ).3由 ρ 2+4 ρsin θ=4,3得 x2+y2+4 y=4,3即 x2+(y+2 )2=16,3所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y+2 )2=16.3(2)由 l: (t 为参数){𝑥=3+2𝑡,𝑦=‒2+2𝑡,可得直线 l 的普通方程为 x-y-5=0,由曲线 C 的直角坐标方程 x2+(y+2 )2=16,3可设点 Q(4cos θ,4sin θ-2 ),3所以点 M 坐标为(2cos θ+3,2sin θ),所以点 M 到直线 l 的距离d= = .|2𝑐𝑜𝑠𝜃+3‒2𝑠𝑖𝑛𝜃‒5|2 |22𝑐𝑜𝑠 (𝜃+𝜋4)‒2|2当 cos (θ+)=-1 时,d 取得最大值 2+ ,2所以点 M 到直线 l 距离的最大值为 2+ .22.(2016 贵阳一测)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 ρ=1.{𝑥= 2+𝑡,𝑦=𝑡 (1)求直线 l 与圆 C 的公共点个数;(2)在平面直角坐标系中,圆 C 经过伸缩变换 得到曲线 C′,{𝑥'=𝑥,𝑦'=2𝑦设 M(x,y)为曲线 C′上一点,求 4x2+xy+y2的最大值,并求相应点 M的坐标.解:(1)直线 l 的参数方程 (t 为参数)化为普通方程是 x-y- =0,圆 C 的极坐标{𝑥= 2+𝑡,𝑦=𝑡 22方程 ρ=1 化为直角坐标方程是 x2+y2=1.因为圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d= =1,等于圆的半径 r,|0‒0‒ 2|12+(‒1)2所以直线 l 与圆 C 的公共点的个数是 1.(2)圆 C 的参数方程是 (0≤θ0,sin αcos α0.又 α∈[0,π),所以 α∈(0, ),所以 t1+t2=-4(sin α+cos α),t 1t2=4.所以 t10,t20.所以|PM|+|PN|=|t 1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin α+cos α)=4 sin (α+),由 α∈(0, )可得2(α+)∈(, ),3𝜋4所以 sin(α+)≤1,22所以|PM|+|PN|的取值范围是(4,4 ].24.(2016 银川模拟)已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),当 t=1 时,曲线 C1上的点{𝑥=‒𝑡,𝑦= 3𝑡为 A,当 t=-1 时,曲线 C1上的点为 B.以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 ρ= .64+5𝑠𝑖𝑛2𝜃(1)求 A,B 的极坐标;(2)设 M 是曲线 C2上的动点,求|MA| 2+|MB|2的最大值.3解:(1)当 t=1 时,代入参数方程可得 {𝑥=‒1,𝑦= 3,即 A(-1, ),3所以 ρ= =2,tan θ= =- ,(‒1)2+( 3)23‒1 3所以 θ= ,2𝜋3所以点 A 的极坐标为(2, ).2𝜋3当 t=-1 时,同理可得 B(1,- ),3点 B 的极坐标为(2, ).5𝜋3(2)由 ρ= ,化为 ρ 2(4+5sin2θ)=36,64+5𝑠𝑖𝑛2𝜃所以 4ρ 2+5(ρsin θ) 2=36,化为 4(x2+y2)+5y2=36,化为+=1,设曲线 C2上的动点 M(3cos α,2sin α),则|MA| 2+|MB|2=(3cos α+1) 2+(2sin α- )2+(3cos α-1) 2+(2sin α+ )3 32=18cos2α+8sin 2α+8=10cos 2α+16≤26,当 cos α=±1 时,取得最大值 26.所以|MA| 2+|MB|2 的最大值是 26.2.直线、圆、椭圆的参数方程考点一 参数方程与普通方程的互化反思归纳 (1)将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参 ,消参过程注意两点 :一是准确把握参数形式之间的关系 ;二是注意参数取值范围对曲线形状的影响 .(2)已知曲线的普通方程求参数方程时 ,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程 .反思归纳 一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程 ,设曲线上点的坐标 ,将问题转化为三角恒等变换问题解决 ,使解题过程简单明了 .反思归纳 极坐标方程与参数方程综合问题的求解 ,一般要将其分别转化为直角坐标方程与普通方程 ,进而统一形式进行求解 ,要注意转化过程的等价性 ,特别是参数取值范围问题 .参数方程与极坐标方程的综合应用