1、1第十五篇 坐标系与参数方程(选修 4 4)第 1 节 坐标系【选题明细表】知识点、方法 题号极坐标与直角坐标的互化 1直线和圆的极坐标方程及应用 2简单曲线的极坐标方程及应用 3,41.在极坐标系下,已知圆 O:=cos +sin 和直线 l:sin (4)= .22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;(2)当 (0,)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.解:(1)圆 O:=cos +sin ,即 2=cos +sin ,圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y,即 x2+y2-x-y=0.直线 l:sin = ,(4) 22即 sin -cos =1,则直线 l 的直角坐
2、标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0.(2)由 得2+2=0,+1=0 =0,=1,故直线 l 与圆 O 公共点的极坐标为 .(1,2)2.在极坐标系中,曲线 L:sin 2=2cos ,过点 A(5,) ( 为锐角且 tan =)作平行于=(R)的直线 l,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点.(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标系相同的单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线 L 和直线 l 的直角坐标方程.(2)求|BC|的长.解:(1)由题意得,点 A 的直角坐标为(4,3),由曲线 L 的极坐标方程 sin 2=2cos ,得 2sin2=2cos ,所以
3、L 的直角坐标方程为 y2=2x.由于直线 l 的斜率为 1,且过点 A(4,3),故直线 l 的直角坐标方程为 y-3=x-4,即 y=x-1.(2)设 B(x1,y1), C(x2,y2),由 消去 y,=1,2=2得 x2-4x+1=0,由一元二次方程的根与系数的关系得 x1+x2=4,x1x2=1,2由弦长公式得|BC|= =2 .1+2(1+2)2412 63.在极坐标系中,圆 C 是以点 C(2,-)为圆心,2 为半径的圆.(1)求圆 C 的极坐标方程.(2)求圆 C 被直线 l:=- (R)所截得的弦长.512解:法一 (1)设所求圆上任意一点 M(,),如图,在 RtOAM 中
4、,OMA=90,AOM=2-,|OA|=4.因为 cos AOM= ,|所以|OM|=|OA|cos AOM,即 =4cos(2-)=4cos(+),验证可知,极点 O 与 A(4,- )的极坐标也满足方程,故 =4cos (+)为所求.(2)设 l:=- (R)交圆 C 于点 P,512在 RtOAP 中,OPA=90,易得AOP=,所以|OP|=|OA|cos AOP=2 .2法二 (1)圆 C 是将圆 =4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆 C 的极坐标方程是 =4cos(+).(2)将 =- 代入圆 C 的极坐标方程 =4cos(+),512得 =2 ,2所以圆 C 被直
5、线 l:=- (R)所截得的弦长为 2 .512 24.已知曲线 C1的极坐标方程为 cos(-)=-1,曲线 C2的极坐标方程为 =2 cos(-).2以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线 C2的直角坐标方程.(2)求曲线 C2上的动点 M 到曲线 C1的距离的最大值.解:(1)依题意得 =2 cos(- )=2(cos +sin ),2即 2=2(cos +sin ),可得 x2+y2-2x-2y=0,故 C2的直角坐标方程为(x-1) 2+(y-1)2=2.(2)曲线 C1的极坐标方程为 cos(-)=-1,即 (cos + sin )=-1,32化为直
6、角坐标方程为 x+ y+2=0,33由(1)知曲线 C2是以(1,1)为圆心, 为半径的圆,且圆心到直线 C1的距离 d= =2|1+3+2|12+(3)2r= ,3+32 2于是直线与圆相离,所以动点 M 到曲线 C1的距离的最大值为 .3+3+222考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换反思归纳 (1)直角坐标方程化为极坐标方程 ,只要运用公式 x=cos 及 y=sin 直接代入并化简即可 ;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形 ,构造形如 cos ,sin ,2的形式 ,进行整体代换 .其中方程的两边同乘以 (或同除以 )及方程两边平方是常用的变形方法 .但对方程进行变形时 ,方程
7、必须同解 ,因此应注意对变形过程的检验 .反思归纳 (1)求曲线的极坐标方程 ,就是找出动点 M的坐标 与 之间的关系 ,然后列出方程 f(,)=0,再化简并检验特殊点 .(2)极坐标方程涉及的是长度与角度 ,因此列方程的实质是解三角形 .(3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解 ,然后再转化为极坐标方程 ,注意方程的等价性 .极坐标方程的应用1第 2 节 参数方程【选题明细表】知识点、方法 题号参数方程与普通方程互化 1参数方程及其应用 2,3极坐标方程与参数方程的综合 41.(2016 张掖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 P
8、 点的极坐标为(4 ,),曲线 C 的极坐标方程为 2+4 sin =4.3 3(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程;(2)若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l: (t 为参数)距离的最大值.=3+2,=2+2解:(1)已知 P 点的极坐标为(4 ,),3所以 x=cos =6,y=sin =2 ,3所以点 P 的直角坐标为(6,2 ).3由 2+4 sin =4,3得 x2+y2+4 y=4,3即 x2+(y+2 )2=16,3所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y+2 )2=16.3(2)由 l: (t 为参数)=3+2,=2+2,可得直线 l 的
9、普通方程为 x-y-5=0,由曲线 C 的直角坐标方程 x2+(y+2 )2=16,3可设点 Q(4cos ,4sin -2 ),3所以点 M 坐标为(2cos +3,2sin ),所以点 M 到直线 l 的距离d= = .|2+325|2 |22 (+4)2|2当 cos (+)=-1 时,d 取得最大值 2+ ,2所以点 M 到直线 l 距离的最大值为 2+ .22.(2016 贵阳一测)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 =1.= 2+,= (1)求直线 l 与圆 C
10、 的公共点个数;(2)在平面直角坐标系中,圆 C 经过伸缩变换 得到曲线 C,=,=2设 M(x,y)为曲线 C上一点,求 4x2+xy+y2的最大值,并求相应点 M的坐标.解:(1)直线 l 的参数方程 (t 为参数)化为普通方程是 x-y- =0,圆 C 的极坐标= 2+,= 22方程 =1 化为直角坐标方程是 x2+y2=1.因为圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d= =1,等于圆的半径 r,|00 2|12+(1)2所以直线 l 与圆 C 的公共点的个数是 1.(2)圆 C 的参数方程是 (00,sin cos 0.又 0,),所以 (0, ),所以 t1+t2=-4(sin +co
11、s ),t 1t2=4.所以 t10,t20.所以|PM|+|PN|=|t 1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin +cos )=4 sin (+),由 (0, )可得2(+)(, ),34所以 sin(+)1,22所以|PM|+|PN|的取值范围是(4,4 .24.(2016 银川模拟)已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),当 t=1 时,曲线 C1上的点=,= 3为 A,当 t=-1 时,曲线 C1上的点为 B.以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 = .64+52(1)求 A,B 的极坐标;(2)设 M 是曲线 C2上的动点,求|MA
12、| 2+|MB|2的最大值.3解:(1)当 t=1 时,代入参数方程可得 =1,= 3,即 A(-1, ),3所以 = =2,tan = =- ,(1)2+( 3)231 3所以 = ,23所以点 A 的极坐标为(2, ).23当 t=-1 时,同理可得 B(1,- ),3点 B 的极坐标为(2, ).53(2)由 = ,化为 2(4+5sin2)=36,64+52所以 4 2+5(sin ) 2=36,化为 4(x2+y2)+5y2=36,化为+=1,设曲线 C2上的动点 M(3cos ,2sin ),则|MA| 2+|MB|2=(3cos +1) 2+(2sin - )2+(3cos -1
13、) 2+(2sin + )3 32=18cos2+8sin 2+8=10cos 2+1626,当 cos =1 时,取得最大值 26.所以|MA| 2+|MB|2 的最大值是 26.2.直线、圆、椭圆的参数方程考点一 参数方程与普通方程的互化反思归纳 (1)将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参 ,消参过程注意两点 :一是准确把握参数形式之间的关系 ;二是注意参数取值范围对曲线形状的影响 .(2)已知曲线的普通方程求参数方程时 ,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程 .反思归纳 一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程 ,设曲线上点的坐标 ,将问题转化为三角恒等变换问题解决 ,使解题过程简单明了 .反思归纳 极坐标方程与参数方程综合问题的求解 ,一般要将其分别转化为直角坐标方程与普通方程 ,进而统一形式进行求解 ,要注意转化过程的等价性 ,特别是参数取值范围问题 .参数方程与极坐标方程的综合应用
