（全国版）2017版高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入课时提升作业 理（打包4套）.zip

- 1 -平面向量的概念及其线性运算(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.下列说法正确的是 ( )A.若 a 与 b 都是单位向量,则 a=bB.若 a=b,则|a|=|b|且 a 与 b 的方向相同C.若 a+b=0,则|a|=|b|D.若 a-b=0,则 a 与 b 是相反向量【解析】选 C.因为向量相等必须满足模相等且方向相同,所以 A 不正确;因为 0 的方向是任意的,当 a=b=0时,B 不正确;因为 a+b=0,所以 a=-b,所以|a|=|-b|=|b|,故 C 正确;因为 a-b=0,所以 a=b,a 与 b 不是相反向量,故 D 不正确.【误区警示】解答本题易误选 B,出错的原因是忽视了 0 方向的任意性.2.(2016·汉中模拟)已知点 D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量 等于 ( )A.- + B.- -C. - D. +【解析】选 A.因为点 D 是 AB 的中点,所以 = + = + =- + .【加固训练】如图,正六边形 ABCDEF 中, + + = ( )A.0 B. C. D.【解析】选 D.因为六边形 ABCDEF 是正六边形,所以 + + = + + = + = ,故选 D.- 2 -3.(2016·长沙模拟)已知点 P 是四边形 ABCD 所在平面内的一点,若=(1+λ) -λ ,其中 λ∈R,则点 P 一定在 ( )A.AB 边所在的直线上B.BC 边所在的直线上C.BD 边所在的直线上D.四边形 ABCD 的内部【解题提示】利用三角形法则,对向量等式 =(1+λ) -λ 进行转化,从而把已知向量等式化简,最后利用向量的共线定理,即可判断点 P 的位置.【解析】选 C.因为 =(1+λ) -λ ,所以 - =λ( - ),所以 =λ ,所以 B,D,P 三点共线 ,因此点 P 一定在 BD 边所在的直线上.4.(2016·石家庄模拟)已知 a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是 ( )A.a+b=0 B.a=b C.a 与 b 共线反向 D.存在正实数 λ,使 a=λb【解析】选 D.因为 a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则 a 与 b 共线同向,故 D 正确.【加固训练】1.已知下列结论①已知 a 是非零向量,λ∈R,则 a 与 λ 2a 方向相同②已知 a 是非零向量,λ∈R,则|λa|=λ|a|③若 λ∈R,则 λa 与 a 共线④若 a 与 b 共线,则存在 λ∈R,使 a=λb其中正确的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.4【解析】选 B.对于①,当 λ=0 时,λ 2a 是零向量,0 的方向是任意的,所以①不正确;对于②,λ0 时,结论不成立,即②不正确;对于③,不论 λ 是否为零,或 a 是否为 0,λa 与 a 都共线,所以③正确;对于④,当 a≠0,b=0 时,结论不正确.2.(2016·淮南模拟)在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 与 AC 相交于点 F,若=m +n (m,n∈R),则 的值为 ( )A.-2 B.- C.2 D.【解析】选 A.如图.设 =a, =b,- 3 -则 =ma+nb, = - = b-a,由向量 与 共线可知存在实数 λ,使得 =λ ,即 ma+nb= λb-λa,又 a 与 b 不共线,则所以 =-2.【一题多解】本题还可采用如下解法:选 A.如图,因为 E 是 AD 的中点,△EFA∽△BFC,所以 = = .所以 = = ( - )= ( - )= - .又因为 =m +n , 与 不共线,所以 m= ,n=- , =-2.5.已知 D 为△ABC 的边 AB 的中点.M 在 DC 上且满足 5 = +3 ,则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )A. B. C. D.【解题提示】只要结合图形,明确 DM 与 DC 之比即可,故利用已知转化为 与 之间的关系.【解析】选 C.如图,由 5 = +3 得2 =2 +3 -3 ,即 2( - )=3( - ),即 2 =3 ,故 = ,故△ABM 与△ABC 同底且高的比为 3∶5,故 S△ABM ∶S △ABC =3∶5.- 4 -【加固训练】设 O 在△ABC 的内部,D 为 AB 的中点,且 + +2 =0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选 B.因为 D 为 AB 的中点,则 = ( + ),又 + +2 =0,所以 =- ,所以 O 为 CD 的中点.又因为 D 为 AB 的中点,所以 S△AOC = S△ADC = S△ABC ,则 =4.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2016·郑州模拟)在▱ABCD 中, =a, =b,3 = ,M 为 BC 的中点,则 = .(用 a,b 表示)【解析】如图所示.= += += + ( + )= + ( + )= b- a- b=- a- b.答案:- a- b- 5 -【方法技巧】利用基底表示向量的方法(1)尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.(2)要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】在△ABC 中, =c, =b,若点 D 满足 =2 ,则 = .【解析】如图,因为在△ABC 中, =c, =b,且点 D 满足 =2 ,所以 + =2( + ), = + = b+ c.答案: b+ c7.已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足 + + =0, =λ ,则实数 λ 的值为 .【解析】如图,由 + + =0,得 = + ,因为 =λ ,D 是 BC 边的中点,所以 + =2 ,=2 , =-2 ,故 λ=-2.答案:-28.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点, = +λ ,则实数 λ= .【解题提示】结合图形根据向量加法的平行四边形法则作图利用相似三角形求解.【解析】如图,D 是 AB 边上一点,- 6 -过点 D 作 DE∥BC,交 AC 于点 E,过点 D 作 DF∥AC,交 BC 于点 F,连接 CD,则 = + .因为 = +λ ,所以 = , =λ .由△ADE∽△ABC,得 = = ,所以 = = ,故 λ= .答案:【一题多解】解答本题还可用如下解法:如图,设 =x ,因为 = - ,所以 =x( - ),= + = +x( - )=x +(1-x) ,又因为 = +λ ,所以 +λ =x +(1-x) .因为 与 不共线,所以 即 λ= .答案:(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2016·太原模拟)在△ABC 中,N 是 AC 边上一点,且 = ,P 是 BN 上的一点,若 =m +,则实数 m 的值为 ( )A. B. C.1 D.3【解析】选 B.如图所示.- 7 -设 =λ ,则 = + = +λ= +λ( - )= +λ( - )=(1-λ) + ,因为 = ,所以 λ= ,所以 1-λ= ,所以 m= .【一题多解】本题还可以采用如下解法:选 B.如图,因为 = ,所以 = , =m + =m + ,因为 B,P,N 三点共线,所以 m+ =1,所以 m= .2.(5 分)O 是△ABC 所在平面外一点且满足 = +λ( + ),λ 为实数,则动点 P 的轨迹必经过△ABC 的 ( )A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心【解题提示】明确 与 是 , 方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为 与 +- 8 -共线后可解.【解析】选 B.如图,设 = , = ,已知 , 均为单位向量,故▱AEDF 为菱形,所以 AD 平分∠BAC,由 = +λ得 =λ ,又 与 有公共点 A,故 A,D,P 三点共线,所以 P 点在∠BAC 的平分线上,故动点 P 的轨迹经过△ABC 的内心.【加固训练】已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点 P 满足 = ( + +2),则点 P 一定为三角形 ABC 的 ( )A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点【解析】选 B.设 AB 的中点为 M,则 + = ,所以 = ( +2 )= + ,即 3= +2 ,也就是 =2 ,又 与 有公共点 P,所以 P,M,C 三点共线,且 P 是 CM 上靠近 C点的一个三等分点.3.(5 分)已知点 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 =a, =b,给出下列命题:① = a-b;② =a+ b;③ =- a+ b;④ + + =0.其中正确命题的序号为 .【解析】 =a, =b, = + =- a-b,故①错;- 9 -= + =a+ b,故②正确;= ( + )= (-a+b)=- a+ b,故③正确;+ + =-b- a+a+ b+ b- a=0.故④正确.答案:②③④4.(12 分)已知 a,b 不共线, =a, =b, =c, =d, =e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的值,若不存在,请说明理由.【解析】由题设知, =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k,使得 =k ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b,因为 a,b 不共线,所以有解之得 t= .故存在实数 t= 使 C,D,E 三点在一条直线上.5.(13 分)(2016·衡阳模拟)如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,N 是线段 OD 的中点,AN的延长线与 CD 交于点 E,若 =m + ,求实数 m 的值.【解析】由 N 是 OD 的中点得 = += + ( + )= + ,又因为 A,N,E 三点共线,故 =λ ,即 m + =λ ,所以 解得- 10 -故实数 m= .【加固训练】已知△ABC 中, =a, =b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动点 P 满足 = +λa+λb,若动点 P 的轨迹与边 BC 的交点为 M,试判断 M 点的位置.【解析】依题意,由 = +λa+λb,得 - =λ( a+b),即 =λ( + ).如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线交于点 M,则 =λ ,所以 A,P,D 三点共线,即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线,由图可知 P 点轨迹与 BC 的交点为 BC 的中点,即点 M 为 BC 的中点.- 1 -平面向量的基本定理及向量坐标运算(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2014·北京高考)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b= ( )A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)【解析】选 A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).2.在△ABC 中,已知 A(2,1),B(0,2), =(1,-2),则向量 = ( )A.(0,0) B.(2,2)C.(-1,-1) D.(-3,-3)【解析】选 C.因为 A(2,1),B(0,2),所以 =(-2,1).又因为 =(1,-2),所以 = + =(-2,1)+(1,-2)=(-1,-1).3.(2016·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的向量 a=(1,3),b=(m,2m-3),若该平面不是所有向量都能写出xa+yb(x,y∈R)的形式,则 m 的值为 ( )A.- B. C.3 D.-3【解析】选 D.由题意可知 a 与 b 共线,所以 2m-3-3m=0,解得 m=-3.【加固训练】设向量 a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.由 a∥b,得 8-(x-1)(x+1)=0,即 x2-9=0.解得 x=±3.所以 x=3 时,a∥b,而 a∥b 时,x 还可以等于-3.故“x=3”是“a∥b”的充分不必要条件.4.已知 a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),则 c 可用 a 与 b 表示为 ( )A.a+b B.2a+3b C.3a-2b D.2a-3b【解题提示】用验证法.根据坐标运算逐一验证即可.【解析】选 C.因为 a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),所以 a+b=(0,3)≠c,- 2 -2a+3b=2(1,1)+3(-1,2)=(-1,8)≠c,3a-2b=3(1,1)-2(-1,2)=(5,-1)=c,2a-3b=2(1,1)-3(-1,2)=(5,-4)≠c.故选 C.【一题多解】解答本题还可采用如下解法.选 C.设 c=xa+yb,因为 a=(1,1),b=(-1,2),c=(5,-1),所以 解得 x=3,y=-2,所以 c=3a-2b.5.已知 a=(-5,12),则与 a 方向相同的单位向量的坐标为 ( )A.(-1,0) B.(0,1)C. D.【解题提示】利用单位向量的定义及同向的意义求解.【解析】选 D.设 e=λa(λ0),则|e|=|λa|=|λ| =13|λ|=1,即|λ|= ,λ= ,所以 e= (-5,12)= .6.(2016·芜湖模拟)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,S 为△ABC 的面积,若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足 p∥q,则∠C= ( )A. B. C. D.【解题提示】根据向量平行的坐标公式,建立条件关系,利用余弦定理和三角形的面积公式即可得到结论.【解析】选 A.因为向量 p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足 p∥q,所以 a2+b2-c2-4S=0,即 4S=a2+b2-c2,则 4× absinC=a2+b2-c2,即 sinC= =cosC,则 tanC=1,解得∠C= .- 3 -7.(2016·西安模拟)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 =3 ,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合),若 =x +(1-x) ,则 x 的取值范围是 ( )A. B.C. D.【解题指示】结合图形利用共线向量定理把 x 转化成参数(已知范围)的函数.【解析】选 D.如图.依题意,设 =λ ,其中 10,b0.(1)若 O 是坐标原点,且四边形 OACB 是平行四边形,试求 a,b 的值.(2)若 A,B,C 三点共线,试求 a+b 的最小值.【解题提示】(1)由向量相等列方程组求 a,b 的值.(2)把 A,B,C 三点共线转化为向量共线,由向量共线列关于 a,b 的等量关系式,再根据基本不等式求 a+b 的取值范围.【解析】(1)因为四边形 OACB 是平行四边形,所以 = ,即(a,0)=(2,2-b),解得故 a=2,b=2.(2)因为 =(-a,b), =(2,2-b),由 A,B,C 三点共线,得 ∥ ,所以-a(2-b)-2b=0,即 2(a+b)=ab,因为 a0,b0,- 9 -所以 2(a+b)=ab≤ ,即(a+b) 2-8(a+b)≥0,解得 a+b≥8 或 a+b≤0.因为 a0,b0,所以 a+b≥8,即 a+b 的最小值是 8.当且仅当 a=b=4 时,“=”成立.【一题多解】本题(2)还可采用如下解法因为 =(-a,b), =(2,2-b),由题意得 ∥ ,所以-a(2-b)-2b=0,即 2(a+b)=ab.因为 a0,b0,所以 = ,即 2 =1,所以 a+b=(a+b)·2=2 ≥2 =8,当且仅当 = ,即 a=b=4 时“=”成立,故 a+b 的最小值为 8.【加固训练】已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),且 = +t (t∈R),问:(1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在二、四象限角平分线上?(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为 O(0,0),A(1,2),B(4,5),所以 =(1,2), =(3,3),= +t =(1+3t,2+3t).若 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,t=- ;若 P 在第二、四象限角平分线上,则- 10 -1+3t=-(2+3t),t=- .(2) =(1,2), =(3-3t,3-3t),若四边形 OABP 是平行四边形,则 = ,即 此方程组无解.所以四边形 OABP 不可能为平行四边形.- 1 -平面向量的数量积及应用举例(25分钟 50 分)一、选择题(每小题 5分,共 35分)1.(2015·广东高考)在平面直角坐标系 xOy中,已知四边形 ABCD是平行四边形, =(1,-2), =(2,1),则 · = ( )A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选 D.因为四边形 ABCD是平行四边形,所以 = + =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以 · =2×3+1×(-1)=5.2.(2016·岳阳模拟)已知正方形 ABCD的边长为 2,E为 BC的中点,F 为 CD的中点,则 · = ( )A.-1 B.0 C.1 D.2【解题提示】结合图形,建立平面直角坐标系,转化为坐标计算.【解析】选 B.如图.以 A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(1,2),所以=(2,1), =(-1,2),所以 · =-2+2=0.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选 B.方法一:如图,由平面几何的知识知△ABE≌△BCF,所以∠1=∠2,因为∠1+∠3=90°,所以∠2+∠3=90°,即 AE⊥BF,所以 · =0.- 2 -方法二:选取{ , }为基底,则 = + ,= - .因为| |=| |=2, ⊥ ,所以 · = ·=- + =0.3.(2016·攀枝花模拟)已知 a·b=-12 ,|a|=4,a和 b的夹角为 135°,则|b|为 ( )A.12 B.6 C.3 D.3【解析】选 B.a·b=|a||b|cos135°=-12 ,所以|b|= =6.【加固训练】(2016·厦门模拟)若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b与 a-b的夹角等于 ( )A.- B. C. D.【解析】选 C.因为 2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设 2a+b与 a-b的夹角为 α,所以 cosα== = .又 α∈[0,π],故 α= .4.(2016·中山模拟)在平行四边形 ABCD中,AC 与 BD交于点 O,M为 OC的中点,若 =(2,4), =(1,3),则 · 等于 ( )A. B.- C.3 D.-3【解析】选 C.如图,由题意可得 = = - =(-1,-1).- 3 -因为 M是 OC的中点,所以 = - = - = (1,3)-(2,4)= ,所以 · =(-1,-1)· = + =3.5.(2016·衡水模拟)已知平面向量 m,n的夹角为 ,且|m|= ,|n|=2,在△ABC 中, =2m+2n, =2m-6n, = ,则| |= ( )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选 A.因为 = ,所以点 D为 BC的中点,所以 = ( + )=2m-2n,又因为|m|= ,|n|=2,平面向量 m,n的夹角为 ,所以| |=2|m-n|=2=2 =2.6.在平面直角坐标系中,已知 O是坐标原点,A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若| + |= ,α∈(0,π), 则 与 的夹角为 ( )A. B. C. π D. π【解题提示】先求角 α 的大小,再求向量的夹角.【解析】选 A.由题意,得 + =(3+cosα,sinα),所以| + |== = ,即 cosα= ,- 4 -因为 α∈(0,π),所以 α= ,C .设 与 的夹角为 θ,则 cosθ= = = .因为 θ∈[0,π],所以 θ= .7.(2016·巴中模拟)已知直线 ax+by+c=0与圆 O:x2+y2=1相交于 A,B两点,且 AB= ,则 · 的值是 ( )A.- B. C.- D.0【解析】选 A.取 AB的中点 C,连接 OC,AB= ,则 AC= ,又因为 OA=1,所以 sin =sin∠AOC= = ,所以∠AOB=120°,则 · =1×1×cos120°=- .二、填空题(每小题 5分,共 15分)8.(2015·湖北高考)已知向量 ⊥ ,| |=3,则 · = .【解析】因为向量 ⊥ ,所以 · =0,即 ·( - )=0,所以 · - =0,即· = =9.答案:99.(2016·洛阳模拟)与向量 a=(3,4)垂直且模长为 2的向量为 .【解析】设要求向量为 b=(x,y),- 5 -则解得 或答案: 或10.已知圆 O的半径为 2,AB是圆 O的一条直径,C,D 两点都在圆 O上,且| |=2,则| + |= .【解题提示】结合图形进行向量的分解与合成,转化,化简后再求模.【解析】如图,连接 OC,OD,则 = + , = + ,因为 O是 AB的中点,所以 + =0,所以 + = + ,设 CD的中点为 M,连接 OM,则 + = + =2 ,显然△COD 是边长为 2的等边三角形,所以| |= ,故| + |=|2 |=2 .答案:2(20分钟 40 分)1.(5分)(2016·石家庄模拟)在△ABC 中,AB=4,AC=3, · =1,则 BC= ( )A. B. C.2 D.3【解题提示】利用已知条件,求得 , 夹角的余弦,再用余弦定理求 BC.- 6 -【解析】选 D.设∠A=θ,因为 = - ,AB=4,AC=3,所以 · = 2- · =9- · =1.所以 · =8·cosθ= = = ,所以 BC= =3.2.(5分)(2015·福建高考)已知 ⊥ ,| |= ,| |=t.若点 P是△ABC 所在平面内的一点,且= + ,则 · 的最大值等于 ( )A.13 B.15 C.19 D.21【解题提示】结合题意建立平面直角坐标系,转化为坐标运算.【解析】选 A.以 A点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示,C(0,t),B , =(1,0)+4(0,1)=(1,4),从而 = , =(-1,t-4),所以 · =-4t- +17≤-2 +17=13,当且仅当 4t= 即 t= 时,等号成立.【加固训练】若 a,b是单位向量,a·b=0,且|c-a|+|c-2b|= ,则|c+2a|的范围是 ( )A.[1,3] B.[2 ,3]C. D.【解题提示】根据向量 a,b的关系,转化为向量的坐标运算.【解析】选 D.因为 a,b是单位向量,且 a·b=0,所以不妨设 a,b分别是与 x轴,y 轴正方向相同的单位向量,即 a=(1,0),b=(0,1).设 c=(x,y),则 c-a=(x-1,y),- 7 -c-2b=(x,y-2),c+2a=(x+2,y),所以|c-a|+|c-2b|= + = ,上式的几何意义是动点 P(x,y)到定点 A(1,0),B(0,2)的距离之和为 的点的集合,而|AB|= ,所以点 P在线段 AB上,如图.|c+2a|= 的几何意义是动点 P(x,y)到定点 C(-2,0)的距离,过 C作 CD⊥AB,垂足为 D,则|CD|= ,又|CA|=3,所以 ≤|c+2a|≤3.3.(5分)(2015·天津高考)在等腰梯形 ABCD中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,动点 E和 F分别在线段 BC和 DC上,且 =λ , = ,则 · 的最小值为 .【解析】因为 = ,= ,= - = -= = ,= + = +λ ,= + += + + = + ,· = ·= +λ + ·= ×4+λ+ ×2×1×cos120°- 8 -= + λ+ ≥2 + = .当且仅当 = λ 即 λ= 时, · 的最小值为 .答案:4.(12分)(2015·陕西高考)△ΑΒC 的内角 Α,Β,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m= 与 n=平行.(1)求 Α.(2)若 a= ,b=2求△ΑΒC 的面积.【解题提示】(1)先利用 m∥n 得出 asinB- bcosA=0,再利用正弦定理转化求得 tanA的值从而得 A的值.(2)利用余弦定理得边 c的值,代入三角形的面积公式求解.【解析】(1)因为 m∥n,所以 asinB- bcosA=0,由正弦定理得 sinAsinB- sinBcosA=0,又 sinB≠0,从而 tanA= ,由于 00,所以 c=3.故△ABC 的面积为 bcsinA= .【加固训练】已知点 A(1,0),B(0,1), C(2sinθ,cosθ).(1)若| |=| |,求 的值.(2)若( +2 )· =1,其中 O为坐标原点,求 sinθ·cosθ 的值.【解析】因为 A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ),所以 =(2sinθ-1,cosθ), =(2sinθ,cosθ-1).- 9 -(1)| |=| |,所以= ,化简得 2sinθ=cosθ,所以 tanθ= ,所以 = = =-5.(2) =(1,0), =(0,1), =(2sinθ,cosθ),所以 +2 =(1,2),因为 ( +2 )· =1,所以 2sinθ+2cosθ=1.所以(sinθ+cosθ) 2= ,所以 sinθ·cosθ=- .5.(13分)已知平面向量 a,b满足|a|= ,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求 a与 b的夹角的余弦值.(2)若对一切实数 x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求 a与 b的夹角.【解析】(1)因为|a|= ,|b|=1,|a-b|=2.所以|a-b| 2=4,即 a2-2a·b+b2=4,2-2a·b+1=4,所以 a·b=- .设 a与 b的夹角为 θ,则 cosθ= = =- .(2)令 a与 b的夹角为 θ.由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb) 2≥(a+b) 2,化为(x 2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0,因为|a|= ,|b|=1,所以(x 2-1)+(2x-2) cosθ≥0,当 x=1时,式子显然成立;当 x1时,cosθ≥- =- ,- 10 -由于- - ,故 cosθ≤- ,所以 cosθ=- ,解得 θ= .【一题多解】本题(2)还可有如下解法:令 a与 b的夹角为 θ,由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb) 2≥(a+b) 2,因为|a|= ,|b|=1,所以 x2+2 xcosθ-2 cosθ-1≥0,对一切实数 x恒成立,所以 Δ=8cos 2θ+8 cosθ+4≤0,即( cosθ+1) 2≤0,故 cosθ=- ,因为 θ∈[0,π],所以 θ= π.- 1 -数系的扩充与复数的引入(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2015·安徽高考)设 i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)= ( )A.3+3i B.-1+3iC.3+i D.-1+i【解析】选 C.因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i 2=3+i,所以选 C.2.(2016·南昌模拟)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数 z= ( )A.-2i B.2i C.-4i D.4i【解析】选 C.由题意,得 zi=4,所以 z= =-4i.3.(2016·泸州模拟)若复数 (a∈R,i 为虚数单位 )是纯虚数,则 a= ( )A.2015 B.2016 C.-2015 D.-2016【解析】选 B.因为 = == [(a-2016)-(a+2016)i]为纯虚数,所以 a-2016=0,a+2016≠0,即 a=2016.【加固训练】若(m 2+mi)-(4-2i)是纯虚数,则实数 m 的值为 ( )A.0 B.±2 C.2 D.-2【解析】选 C.因为(m 2+mi)-(4-2i)=(m2-4)+(m+2)i 是纯虚数,所以 解得 m=2.【误区警示】解答本题易误选 B,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了 i 的系数不为 0.4.设复数 w= ,其中 a 为实数,若 w 的实部为 2,则 w 的虚部为 ( )A.- B.- C. D.【解析】选 A.w= === [(a+1)2-(1-a)2+2(a+1)(1-a)i]- 2 -=a- i.由题意知 a=2,故 w 的虚部为- =- =- .【加固训练】(2014·湖北高考)i 为虚数单位, = ( )A.-1 B.1 C.-i D.i【解析】选 A. = = =-1.5.(2014·辽宁高考)设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z= ( )A.2+3i B.2-3iC.3+2i D.3-2i【解析】选 A.由(z-2i)(2-i)=5 得 z= +2i= +2i=2+i+2i=2+3i.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选 A.设 z=a+bi(a,b∈R),则由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i= = =2+i,又 z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i,所以 a+(b-2)i=2+i,所以 得故 z=2+3i.6.(2016·石家庄模拟)下面是关于复数 z= 的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z 的共轭复数为 1+i,p4:z 的虚部为-1.其中的真命题为 ( )A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4【解析】选 C.z= =- 3 -= =-1-i,所以|z|= = ,p1不正确;z2=(-1-i)2=2i,p2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3不正确;显然 p4正确.7.(2016·大同模拟)若复数 (i 为虚数单位)在复平面内对应的点为(1,4),则 ( )A.a= ,b= B.a= ,b=C.a=9,b=2 D.a=2,b=9【解析】选 C.因为 = = =1+4i,所以 解得 a=9,b=2.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数 z=a+bi,a∈R,b∈R 与复平面上的点 Z(a,b)是一一对应的,通过复数 z 的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.【加固训练】(2016·泉州模拟)复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解题提示】先把 z 化成 a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选 A.z= = = + i,显然 0 与- 0 不可能同时成立,则 z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可采用如下解法:z= = + i,设 x= ,y= ,则 2x+y+2=0.又直线 2x+y+2=0 不过第一象限,则 z=对应的点不可能位于第一象限.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)- 4 -8.(2015·重庆高考)复数(1+2i)i 的实部为 .【解析】(1+2i)i=-2+i,所以实部为-2.答案:-29.(2016·郑州模拟) = .【解析】原式== =(-i)3=i.答案:i10.(2015·上海高考)若复数 z 满足 3z+ =1+i,其中 i 是虚数单位,则 z= .【解题提示】令 z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等转化为实数运算.【解析】设 z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,因为 3z+ =1+i,所以 3(a+bi)+a-bi=1+i,即 4a+2bi=1+i,所以即所以 z= + i.答案: + i(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2015·上海高考)设 z1,z2∈C,则“z 1,z2中至少有一个数是虚数”是“z 1-z2是虚数”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件- 5 -【解析】选 B.当 z1-z2是虚数时,z 1,z2中至少有一个数是虚数成立,即必要性成立;当 z1,z2中至少有一个数是虚数,z 1-z2不一定是虚数,如 z1=z2=i,即充分性不成立.【加固训练】(2016·重庆模拟)设 z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是 ( )A.若|z 1-z2|=0,则 =B.若 z1= ,则 =z2C.若 = ,则 z1· =z2·D.若 = ,则 =【解析】选 D.设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).选项 具体分析 结论A若|z 1-z2|=0,则 =0,所以 a=c,b=d,即 z1=z2,故 =正确B 若 z1= ,则 a=c,b=-d,所以 =z2 正确C 若|z 1|=|z2|,则 a2+b2=c2+d2,所以 z1· =z2· 正确D=(a2-b2)+2abi, =(c2-d2)+2cdi,在 a2+b2=c2+d2的前提下不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd错误2.(5 分)(2015·江苏高考)设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为 .【解题提示】首先利用复数相等的概念求出复数 z 的代数形式,然后利用复数的模的公式计算即可.【解析】设 z=a+bi(a,b∈R),所以 z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi,因为 z2=3+4i,根据复数相等的定义知解得 所以 = = .答案:3.(5 分)已知复数 z1=2+i,z2=1-2i,且 = + ,则 z 的共轭复数为 .【解析】因为 z1=2+i,z2=1-2i,所以 = + = + = + = ,所以 z= =- 6 -= = - i,故 z 的共轭复数为 + i.答案: + i4.(12 分)解答下列各题.(1)计算 ·i.(2)若复数 z 与(z+2) 2-8i 都是纯虚数,求 .【解析】(1) ·i= i===-i=-i =-i.(2)设 z=bi(b∈R 且 b≠0),则(z+2) 2-8i=(bi+2)2-8i=b2i2+4bi+4-8i=(4-b2)+(4b-8)i由题意,得 解得 b=-2,所以 z=-2i, =2i.【加固训练】若虚数 z 同时满足下列两个条件:①z+ 是实数;②z+3 的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出 z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根据条件①②列关于实数 a,b 的方程组,把复数问题转化为实数的计算.- 7 -【解析】存在.设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则 z+ =a+bi+=a +b i.又 z+3=a+3+bi 的实部与虚部互为相反数,z+ 是实数,根据题意有 因为 b≠0,所以解得 或所以 z=-1-2i 或 z=-2-i.5.(13 分)若 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根.(1)试求 b,c 的值.(2)1- i 是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)由复数相等列关于 b,c 的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个根,则(1+ i)2+b(1+ i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2 + b)i=0,则 解得即 b=-2,c=3.(2)由(1)得方程为 x2-2x+3=0,把 1- i 代入方程左边得(1- i)2-2(1- i)+3=1-2 i+2i2-2+2 i+3=1-2-2+3=0,即 1- i 满足方程 x2-2x+3=0,所以 1- i 是所给方程的根.