（全国版）2017版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 理（课件+习题）（打包19套）.zip

- 1 -分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2016·东莞模拟)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有 ( )A.10 种 B.25种 C.52种 D.24种【解析】选 D.每相邻的两层之间各有 2 种走法,共分 4 步,由分步乘法计数原理,共有 24种不同的走法.2.(2016·三明模拟)设集合 A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程 + =1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆有 ( )A.6 个 B.8 个 C.12 个 D.16 个【解析】选 A.分三类,当 n=1 时,有 m=2,3,4,共 3 个;当 n=2 时,有 m=3,4,共 2 个;当 n=3 时,有 m=4,共 1 个.由分类加法计数原理得共有 3+2+1=6(个).【加固训练】(2016·漯河模拟)椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为 .【解析】以 m 的值为标准分类,分为五类.第 1 类:当 m=1 时,使 nm 的 n 有 6 种选择;第 2 类:当 m=2 时,使 nm 的 n 有 5 种选择;第 3 类:当 m=3 时,使 nm 的 n 有 4 种选择;第 4 类:当 m=4 时,使 nm 的 n 有 3 种选择;第 5 类:当 m=5 时,使 nm 的 n 有 2 种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有 20 个.答案:203.(2016·开封模拟)甲、乙、丙三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过 4 次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )A.4 种 B.6 种 C.10 种 D.16 种【解题提示】按甲先传给乙,先传给丙两种情况分类计数.【解析】选 B.第一类:甲先传给乙,如图所示.- 2 -,有 3 种传法.第二类:甲先传给丙时也有 3 种传法,由分类加法计数原理,共有 3+3=6(种)传递方法.4.(2016·蚌埠模拟)集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3,…,9},且 P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 ( )A.9 B.14 C.15 D.21【解析】选 B.当 x=2 时,x≠y,点的个数为 1×7=7(个);当 x≠2 时,x=y,点的个数为 7×1=7(个),则共有14 个点.5.(2016·石家庄模拟)如果一个三位正整数如“a 1a2a3”满足 a1a3,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为 ( )A.240 B.204 C.729 D.920【解题提示】按 a2取 2,3,4,…,9 分 8 类计数.【解析】选 A.若 a2=2,则“凸数”为 120 与 121,共 2 个,若 a2=3,则“凸数”有 2×3=6(个),若 a2=4,满足条件的“凸数”有 3×4=12(个),…,若 a2=9,满足条件的“凸数”有 8×9=72(个),所以所有凸数有 2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).6.(2016·雅安模拟)用 4 种不同的颜色填涂如图所示的 1,2,3,4,5 五个区域,要求一区一色,邻区异色,则不同的填涂方法种数是 ( )A.120 B.96 C.72 D.48【解题提示】先涂区域 1 有 4 种方法,区域 2 有 3 种涂色方法,区域 3 有 2 种涂色方法,区域 4 有 2 种涂色方法,区域 5 有 2 种涂色方法,根据分步乘法计数原理,问题得以解决.【解析】选 B.先涂区域 1 有 4 种方法,区域 2 有 3 种涂色方法,区域 3 有 2 种涂色方法,区域 4 有 2 种涂色方法,区域 5 有 2 种涂色方法,根据分步乘法计数原理,得到共有 4×3×2×2×2=96(种).【加固训练】用 1,3,5,7,9 五个数字中的三个替换直线方程 Ax+By+C=0 中的 A,B,C,若 A,B,C 的值互不相同,则不同的直线共有 ( )A.25 条 B.60 条 C.80 条 D.181 条【解题提示】A,B,C 的值互不相同,用 1,3,5,7,9 五个数字来替换,是分步乘法计数原理.【解析】选 B.用 1,3,5,7,9 五个数字中的三个来替换 A,B,C;A,B,C 的值互不相同,是分步乘法计数原理,- 3 -直线条数是 5×4×3=60.7.(2016·福州模拟)设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有 ( )A.50 种 B.49 种 C.48 种 D.47 种【解题提示】以 A 中最大的数为标准,进行分类讨论,A 中最大的数可能为 1,2,3,4 共四种情况.【解析】选 B.当 A 中最大的数为 1 时,B 可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有 24-1=15(种)方法;当 A 中最大的数为 2 时,A 可以是{2},也可以是{1,2},B 可以是{3,4,5}的非空子集,即有 2×(23-1)=14(种)方法;当 A 中最大的数为 3 时,A 可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},B 可以是{4,5}的非空子集,即有 4(22-1)=12(种)方法;当 A 中最大的数为 4 时,A 可以是{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},B 可以是{5},有 8×1=8(种)方法,故共有 15+14+12+8=49(种)方法.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.若在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,则一个正五棱柱对角线共有 条.【解析】如图,在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点 A 出发的对角线有两条:AC 1,AD1,同理从 B,C,D,E 点出发的对角线也有两条,共 2×5=10(条).答案:10【加固训练】(2014·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60°的共有 ( )A.24 对 B.30 对C.48 对 D.60 对【解析】选 C.与正方体的一个面上的一条对角线成 60°角的对角线有 8 条,故共有 8 对,正方体的 12 条面对角线共有 96 对,且每对均重复计算一次,故共有 =48 对.9.三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为 .- 4 -【解析】由题意知本题是一个分类计数问题,另外两边长用 x,y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须 x+y≥12.当 y 取值 11 时,x=1,2,3,…,11,可有 11 个三角形;当 y 取值 10 时,x=2,3,…,10,可有 9 个三角形;当 y 取值分别为 9,8,7,6 时,x 取值个数分别是 7,5,3,1,所以根据分类加法计数原理知所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.答案:3610.(2016·孝感模拟)用红,黄,蓝,绿,黑这 5 种颜色给如图所示的四连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为 .【解析】根据题意,红色至少要涂两个圆,而且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则红色只能涂第一、三个圆、第二、四个圆或第一、四个圆,分 3 种情况讨论:①用红色涂第一、三个圆,此时第 2 个圆不能为红色,有 4 种涂色方法,第 4 个圆也不能为红色,有 4 种涂色方法,则此时共有 4×4=16(种)涂色方案;②同理,当用红色涂第二、四个圆也有 16 种涂色方案;③用红色涂第一、四个圆,此时需要在剩下的 4 种颜色中,任取 2 种,涂在第二、三个圆中,有 =12(种)涂色方案;则一共有 16+16+12=44(种)不同的涂色方案.答案:44(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2016·厦门模拟)某体育彩票规定:从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号,从 11 至 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花 ( )A.3360 元 B.6720 元C.4320 元 D.8640 元【解题提示】根据题意,依次计算“01 至 10 中三个连号的个数” 、 “11 至 20 中两个连号的个数” 、 “21 至30 中单选号的个数” 、 “31 至 36 中单选号的个数”,进而由分步乘法计数原理计算可得答案.- 5 -【解析】选 D.从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法;从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有 9 种选法;从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法;从 31 至 36 中选一个号有 6 种选法,由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6=4320(种)选法,至少需花 4320×2=8640(元).2.(5 分)如图所示,在 A,B 间有四个焊接点 1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现 A,B 之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有 ( )A.9 种 B.11 种 C.13 种 D.15 种【解析】选 C.按照焊接点脱落的个数进行分类:第 1 类,脱落 1 个,有 1,4,共 2 种;第 2 类,脱落 2 个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共 6 种;第 3 类,脱落 3 个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共 4 种;第 4 类,脱落 4 个,有(1,2,3,4),共 1 种.根据分类加法计数原理,共有 2+6+4+1=13 种焊接点脱落的情况.3.(5 分)(2016·成都模拟)设三位数 n= (即 n=100a+10b+c,其中 a,b,c∈N *),若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有 ( )A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个【解析】选 C.由题意知以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,先考虑等边三角形情况,则 a=b=c=1,2,3,4,5,6,7,8,9,此时 n 有 9 个,再考虑等腰三角形情况,若 a,b 是腰,则 a=b,当 a=b=1 时,c10,所以 10 人中必有 3 人既会英语又会法语,5 人只会英语,2 人只会法语.(1)可分类完成此事:一类是只会英语,一类是既会英语也会法语,一类是只会法语,共有 5+3+2=10(种).(2)分 4 类,共有 N=5×2+5×3+2×3+3×2=37(种)方法.- 1 -排列与组合(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为 ( )A. B.C. D.【解题提示】用插空法求解.【解析】选 A.8 名学生先排有 种排法,产生 9 个空,2 位老师插空有 种排法,所以共有 种排法.【误区警示】解答本题易怱视 8 个同学两端的两个空,误认为只有中间的 7 个空,而误选 C.2.从 1,3,5,7,9 这 5 个奇数中选取 3 个数字,从 2,4,6,8 这 4 个偶数中选取 2 个数字,再将这 5 个数字组成没有重复数字的五位数,且奇数数字与偶数数字相间排列.这样的五位数的个数是 ( )A.180 B.360 C.480 D.720【解析】选 D.第一步,选: ;第二步,排:3!·2!.根据分步乘法计数原理,得符合条件的五位数共有 3!·2!=720(个).3.(2016·长沙模拟)某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序,最前只能排甲或乙,最后不能排甲,则不同的排法共有 ( )A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种【解析】选 B.完成这个事件,可分两类:第一类,最前排甲,其余位置有 =120 种不同的排法;第二类,最前排乙,最后有 4 种排法,其余位置有 =24 种不同的排法;所以共有 +4 =216 种不同的排法.4.(2016·宜昌模拟)从 10 名大学毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 ( )A.85 B.56 C.49 D.28【解题提示】由题意知丙没有入选,只要把丙去掉,把总的元素个数变为 9 个,甲、乙至少有 1 人入选,包括甲、乙两人只选一个的选法和甲、乙都选的选法两种情况,根据分类加法计数原理得到结果.- 2 -【解析】选 C.因为丙没有入选,所以只要把丙去掉,把总的元素个数变为 9 个,因为甲、乙至少有 1 人入选,所以由条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一个的选法,有 · =42;另一类是甲、乙都选的选法,有 · =7.根据分类加法计数原理知共有 42+7=49 种.5.(2016·保定模拟)某公司新招聘 5 名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门,另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门,则不同的分配方案种数是 ( )A.6 B.12 C.24 D.36【解析】选 B.由题意知甲部门中的英语翻译人员一定为 1 名,电脑编程人员可能为 1 名或 2 名,所以一共有 ( + )=12(种)不同的分配方案.6.(2016·太原模拟)在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 ( )A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种【解析】选 C.设 6 个程序分别是 A,B,C,D,E,F.先将 A 安排在第一或最后一步,有 种方法,将 B 和 C 看作一个元素,它们自身之间有 种安排方法,与除 A 外的其他程序进行全排列,有 种方法,由分步乘法计数原理,得实验顺序的编排方法共有 =96(种).7.(2016·九江模拟)某校组织同学参加社会调查,某小组共有 5 名男同学,4 名女同学.现从该小组中选出3 名同学分别到 A,B,C 三地进行社会调查,若选出的同学中男女均有,则不同安排方法有 ( )A.70 种 B.140 种 C.840 种 D.420 种【解题提示】用间接法求解.【解析】选 D.首先从 9 名同学中任选 3 名参加社会调查有 · 种,3 名同学全是男生或全是女生的有( + ) 种,故选出的同学中男女均有的不同安排方法有 · -( + ) =420(种).二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.(2016·广州模拟)将编号为 1,2,3,4,5 的五个球放入编号为 1,2,3,4,5 的一个盒子,每个盒内放一个球,若恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为 .- 3 -【解析】五个球中两个球的编号与盒子编号相同有 =10 种放法,余下的三个球与盒子的编号都不同,只有 2 种放法,用分步乘法计数原理可知放置方法共 10×2=20(种).答案:209.8 名游泳运动员参加男子 100 米的决赛,已知游泳池有从内到外编号依次为 1,2,3,4,5,6,7,8 的 8 条泳道,若指定的 3 名运动员所在的泳道编号必须是 3 个连续数字(如:5,6,7),则参加游泳的这 8 名运动员被安排泳道的方式共有 种.【解析】先从 8 个数字中取出 3 个连续的数字共有 6 种方法,将指定的 3 名运动员安排在这 3 个编号的泳道上,剩下的 5 名运动员安排在其他编号的 5 条泳道上,共有 6 =4320 种安排方式.答案:4320【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:先将所在的泳道编号是 3 个连续数字的 3 名运动员全排列,有 种排法,然后把他们捆绑在一起当作一名运动员,再与剩余 5 名运动员全排列,有 种排法,故共有 =4320 种安排方式.答案:432010.(2016·大同模拟)写有 1,2,3,4,5 的五张卡片,每次从中随机抽取一张(不放回),连续抽取三次,其中第二次恰好抽到奇数数字,且三次不全是奇数数字的不同取法有 种.【解析】(直接法)分三类,抽取的三个数字分别为奇、奇、偶,偶、奇、偶,偶、奇、奇,分别有 ,, 种不同取法,由分类加法计数原理得,满足题设条件的不同取法共有 + +=30 种.答案:30【一题多解】解答本题还可以用如下的方法求解:(间接法)分两步,第一步,第二次抽到的奇数数字共有 3 种不同取法;第二步,三次不全为奇数共有( -)种不同取法,故满足题设条件的不同取法共有 3×( - )=30 种.答案:30(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2016·福州模拟)甲、乙两人从四门课程中各选修两门,则甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有 ( )- 4 -A.30 种 B.36 种 C.60 种 D.72 种【解析】选 A.由题可知,至少有一门不相同的选法包括有一门不相同的课程和两门都不相同的课程,因此共有 + =24+6=30 种.2.(5 分)(2016·揭阳模拟)将 5 本不同的书摆成一排,若书甲与书乙必须相邻,而书丙与书丁不能相邻,则不同的摆法种数为 ( )A.48 B.24 C.20 D.12【解析】选 B.不同的摆法种数为 =2×1×2×1×3×2=24.【加固训练】(2016·海口模拟)有 5 盆菊花,其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆,现把它们摆放成一排,要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这 5 盆花不同的摆放种数是 ( )A.12 B.24 C.36 D.48【解题提示】由题设中的条件知,黄 1 与黄 2 必须相邻,可先将两者绑定,又白 1 与白 2 不相邻,可把黄 1与黄 2 看作是一盆菊花,与白 1 白 2 之外的菊花全排列,由于此两个元素隔开了三个空,再由插空法将白 1白 2 菊花插入三个空,由分析过程知,此题应分为三步完成,由计数原理计算出结果即可.【解析】选 B.由题意,第一步将黄 1 与黄 2 绑定,两者的摆法有 2 种,第二步将此两菊花看作一个整体,与除白 1,白 2 之外的红菊花看作两个元素全排列有 种摆法,此时隔开了三个空,第三步将白 1,白 2 两菊花插入三个空,摆法种数为 ,则不同的摆法种数为 2× × =2×2×6=24.3.(5 分)(2016·合肥模拟)某运输公司有 7 个车队,每个车队的车辆均多于 4 辆.现从这个公司中抽调 10辆车,并且每个车队至少抽调 1 辆,那么共有 种不同的抽调方法.【解析】(分类法):在每个车队抽调 1 辆车的基础上,还需抽调 3 辆车.可分成三类:一类是从某 1 个车队抽调 3 辆,有 种;一类是从 2 个车队中抽调,其中 1 个车队抽调 1 辆,另 1 个车队抽调 2 辆,有 种;一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆,有 种.故共有 + + =84(种)抽调方法.答案:84【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:(隔板法):由于每个车队的车辆均多于 4 辆,只需将 10 个份额分成 7 份.可将 10 个小球排成一排,在相互之间的 9 个空当中插入 6 个隔板,即可将小球分成 7 份,故共有 =84(种)抽调方法.答案:844.(12 分)4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法?- 5 -(2)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?【解析】(1)把 4 个不同小球分三组,共 种分法.对每种分法分成的三组再放入 4 个盒中的 3 个盒子,共种放法,所以总的放法种数为 =6×24=144(种).(2)确定 2 个空盒有 种方法.4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 种方法;第二类有序均匀分组有 · 种方法.故共有 =84(种).5.(13 分)集合 A={x∈Z|x≥10},集合 B 是集合 A 的子集,且 B 中的元素满足:①任意一个元素的各数位的数字互不相同;②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9.(1)集合 B 中两位数和三位数各有多少个?(2)集合 B 中是否有五位数?是否有六位数?(3)将集合 B 中的元素从小到大排列,求第 1081 个元素.【解析】将 0,1,…,9 这 10 个数字按照和为 9 进行配对,(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成.(1)两位数有 ×22× - ×2=72(个);三位数有 ×23× - ×22× =432(个).(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数;不存在六位数,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为 9,与 B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9 矛盾,因此不存在六位数.(3)四位数共有 ×24× - ×23× =1728(个),因此第 1081 个元素是四位数,且是第 577 个四位数,我们考虑千位,千位为 1,2,3 的四位数有3× ×23× =576(个),- 6 -因此第 1081 个元素是 4012.【误区警示】解答本题易出现下面两个误区(1)对“各数位的数字互不相同”理解不深刻致误.(2)对“任意两个数位的数字之和不等于 9”理解不到位.不能从反面出发,把数字分成(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)五组进行求解而致误.【加固训练】已知 10 件不同产品中共有 4 件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品为止.(1)若恰在第 5 次测试,才测试到第一件次品,第 10 次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种?(2)若恰在第 5 次测试后,就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数有多少种?【解析】(1)先排前 4 次测试,只能取正品,有 种不同测试方法,再从 4 件次品中选 2 件排在第 5 和第 10的位置上测试,有 = 种测法,再排余下 4 件的测试位置,有 种测法.所以共有不同的测试方法=103680(种).(2)第 5 次测试恰找到最后一件次品,另 3 件在前 4 次中出现,从而前 4 次有 1 件正品出现.所以共有不同测试方法 =576(种).- 1 -二项式定理(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2016·沧州模拟)二项式 展开式中的常数项是 ( )A.180 B.90 C.45 D.360【解析】选 A. 展开式的通项为 Tk+1= ( )10-k =2k ,令 5- k=0,得 k=2,故常数项为 22 =180.2.(2016·晋城模拟)在 x(1+x)6的展开式中,含 x3项的系数是 ( )A.30 B.20 C.15 D.10【解题提示】先用通项公式求(1+x) 6展开式中 x2项的系数,再求 x(1+x)6展开式中 x3项的系数.【解析】选 C.(1+x)6展开式中通项 Tr+1= xr,令 r=2 可得 T3= x2=15x2,所以(1+x) 6展开式中 x2项的系数为 15,在 x(1+x)6的展开式中,含 x3项的系数为 15.3.(2014·湖北高考)若二项式 的展开式中 的系数是 84,则实数a= ( )A.2 B. C.1 D.【解题提示】考查二项式定理的通项公式.【解析】选 C.因为 Tr+1= ·(2x)7-r·= ·27-r·ar·x7-2r,令 7-2r=-3,得 r=5,所以 ·22·a5=84,解得 a=1.4.(2016·汕尾模拟)若(x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a 0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 ( )- 2 -A.-16 B.16 C. -1 D. +1【解析】选 B.令 x=1 得:a 0+a1+a2+a3+a4=(1+ )4,令 x=-1 得:a 0-a1+a2-a3+a4=(-1+ )4,则(a 0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(1+ )4(-1+ )4=24=16.5.(2016·亳州模拟)在 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 ( )A.-7 B.7 C.-28 D.28【解题提示】由只有第 5 项的二项式系数最大,可得出 n 的值,利用二项展开式求出常数项.【解析】选 B.由题意可知 n=8,Tr+1== (-1)r · .令 8- r=0,得 r=6,所以 ×(-1)6 =7.【加固训练】(2- )8展开式中不含 x4项的系数的和为 ( )A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选 B.二项式的通项Tk+1= 28-k(-1)k( )k= 28-k(-1)k ,令 k=8,则 T9= (-1)8x4=x4,所以 x4的系数为 1,令 x=1,得展开式的所有项系数和为(2-1)8=1,- 3 -所以不含 x4项的系数的和为 0.6.(2016·保定模拟) 展开式中的常数项为 ( )A.-8 B.-12 C.-20 D.20【解析】选 C.因为 = ,所以 Tr+1= x6-r = (-1)rx6-2r,令 6-2r=0,即 r=3,所以常数项为 (-1)3=-20.7.(2016·怀化模拟)(1+x) 10 (x0)展开式中的常数项为 ( )A.1 B.( )2 C. D.【解析】选 D.因为(1+x) 10= == (x0),所以 Tr+1= ( )20-r = x10-r,由 10-r=0,得 r=10,故常数项为 T11= .二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.(2016·石家庄模拟)(1+x)(1-x) 4的展开式中 x4的系数是 .【解析】(1+x)(1-x) 4=(1-x2)(1-x)3=(1-x2)(1-3x+3x2-x3),所以 x4的系数为-3.答案:-39.设复数 z= ,则 + ·z+ ·z2+ ·z3+ ·z4+ ·z5+ ·z6+ ·z7= .【解析】由于复数 z= = =i,所以 + ·z+ ·z2+ ·z3+ ·z4+ ·z5+ ·z6+ ·z7=(1+z)8- ·z8=[(1+i)2]4-i8=(2i)4-(-1)4=16-1=15.- 4 -答案:15【误区警示】解答本题时易出现以下错误(1)在逆用二项定理时,误将待求式认为是(1+z) 8的展开式而致误.(2)对复数的运算出错而致误.10. · 的展开式中 x2y2的系数是 .【解题提示】展开式中 x2y2的项是由(1+x) 8展开式中 x2项与(1+y) 4展开式中 y2项相乘得到的.【解析】x 2y2的系数为 · =168.答案:168(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2016·中山模拟) 的二项展开式 17 个项中,整式的项数是 ( )A.1 B.3 C.5 D.7【解析】选 B.二项展开式的通项为 Tk+1==(-1)k (k∈Z,0≤k≤16),要使得它为整式,则 -8 与 16- 均为非负整数,即 8≤ ≤16,k=6,8,10,故有三项.2.(5 分)(2016·洛阳模拟) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 ( )A.-40 B.-20 C.20 D.40【解析】选 D.令二项式中的 x 为 1 得到展开式的各项系数和为 1+a,所以 1+a=2,所以 a=1,所以 ==x + ,- 5 -所以展开式中常数项为 的 与 x 的系数和,因为 展开式的通项为Tr+1=(-1)r25-r x5-2r,令 5-2r=1 得 r=2;令 5-2r=-1 得 r=3,所以展开式中常数项为 8 -4 =40.3.(5 分)7 2015+ 72014+ 72013+…+ ·7 除以 9 得余数是 .【解析】原式=(7+1) 2015-1=82015-1=(9-1)2015-1=92015- 92014+ 92013-…+ ·9-2,所以除以 9 所得余数为 7.答案:7【加固训练】求证:4×6 n+5n+1-9 能被 20 整除.【证明】4×6 n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5n-1+ 5n-2+…+ )+(4n-1+ 4n-2+…+ )],是 20 的倍数,所以 4×6n+5n+1-9 能被 20 整除.4.(12 分)已知(a 2+1)n展开式中的各项系数之和等于 的展开式的常数项,而(a 2+1)n的展开式的系数最大的项等于 54,求正数 a 的值.【解析】设 的展开式中的常数项为 Tr+1,则 Tr+1= =,令 20-5r=0,得 r=4,故常数项 T5= · =16,又(a 2+1)n展开式的各项系数之和为 2n,由题意,得 2n=16,所以 n=4,所以(a 2+1)4展开式中系数最大的项是中间项 T3,从而 (a2)2=54,所以 a= .5.(13 分)已知在二项式(ax m+bxn)12中,a0,b0,mn≠0 且 2m+n=0.- 6 -(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求 的取值范围 .【解析】(1)T k+1= (axm)12-k·(bxn)k= a12-kbkxm(12-k)+nk,令 m(12-k)+nk=0,即 m(12-k)-2mk=0.因为 m≠0,所以 k=4,所以常数项是第 5 项.(2)因为第 5 项是系数最大的项,所以由①得 ≤ ,由 ②得 ≥ ,所以 ≤ ≤ .【加固训练】在二项式 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项.(2)求展开式的常数项.(3)求展开式的各项系数的和.【解析】第一项系数的绝对值为 ,第二项系数的绝对值为 ,第三项系数的绝对值为 ,依题意有 + = ×2,解得 n=8.(1)第四项 T4= ( )5 =-7 .(2)通项公式为 Tk+1= ( )8-k= ·( )8-2k,展开式的常数项满足 8-2k=0,即 k=4,所以常数项为 T5= · = .(3)令 x=1,得展开式的各项系数的和为 = = .- 1 -随机事件的概率(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2016·福州模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.5【解析】选 C.“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件,所以所求概率为 P=1-P(A)=0.35.2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶【解析】选 D.射击两次有四种可能:(中,不中)、(不中,中)、(中,中)、(不中,不中),其中“至少有一次中靶”含有前三种情况,选项 A,B,C 中都有与其重叠的部分,只有选项 D 为其互斥事件.3.(2016·大同模拟)从 1,2,…,9 中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是 ( )A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】选 C.从 9 个数字中取两个数有三种取法:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.4.(2016·惠州模拟)随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对 4500 名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意人数 200 n 2 100 1 000根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.由题意,n=4500-200-2100-1000=1200,所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200+2100=3300,由古典概型公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为 = .【加固训练】围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ,都是白子的概率是 .则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 ( )- 2 -A. B. C. D.1【解析】选 C.设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A,“从中取出 2 粒都是白子”为事件 B,“任意取出 2粒恰好是同一色”为事件 C,则 C=A∪B,且事件 A 与 B 互斥.所以 P(C)=P(A)+P(B)= + = .即任意取出 2粒恰好是同一色的概率为 .5.掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”,事件 B 表示“小于 5 的点数出现”,则一次试验中,事件 A+ 发生的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.掷一个骰子的试验有 6 种可能结果,依题意 P(A)= = ,P(B)= = ,所以 P( )=1-P(B)=1- = ,因为 表示“出现 5 点或 6 点”的事件,因此事件 A 与 互斥,从而 P(A+ )=P(A)+P( )= + = .【加固训练】1.在 5 件产品中,有 3 件一等品和 2 件二等品,从中任取 2 件,以 为概率的事件是 ( )A.都不是一等品B.恰有 1 件一等品C.至少有 1 件一等品D.至多有 1 件一等品【解析】选 D.从 5 件产品中任取 2 件有 10 种取法,设 3 件一等品为 1,2,3,2 件二等品为 4,5.这 10 种取法是(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),其中 2 件均为一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),共 3 种.所以至多有 1 件一等品的概率 P=1- = .2. (2016·厦门模拟)设甲:“事件 A 与事件 B 是对立事件”,乙:“P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.事件 A 与事件 B 是对立事件,则 A∪B 为必然事件,再由概率的加法公式得 P(A)+P(B)=1.设- 3 -掷一枚硬币 3 次,事件 A:“至少出现一次正面”,事件 B:“3 次出现正面”,则 P(A)= ,P(B)= ,满足 P(A)+P(B)=1,但 A,B 不是对立事件.3.(2016·石家庄模拟)“辽宁舰”,是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为“成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为 18%,挂住第二条、第三条拦阻索的概率为 62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为 5%,现有一架歼-15 战机白天着舰演练 20 次,则其被第四条拦阻索挂住的次数约为 ( )A.5 B.3 C.1 D.4【解析】选 B.由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为 1-18%-62%-5%=15%,故其被第四条拦阻索挂住的次数约为 20×0.15=3.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2016·广州模拟)为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元),以便引导学生树立正确的消费观.样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[6,14)内的频数为 ,概率为 .【解析】样本数据落在[6,14)内的频数为1000-(0.02×4+0.03×4×2)×1000=680,所以概率为 =0.68.答案:680 0.687.(2016·厦门模拟)在数学考试中,小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18,在 80～89 分的概率是 0.51,在 70～79 分的概率是 0.15,在 60～69 分的概率是 0.09,60 分以下的概率是 0.07,小明考试及格(60 分及以上)的概率为 .【解析】小明考试及格的概率是0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.答案:0.93【一题多解】本题还可用以下解法:小明考试不及格的概率是 0.07,所以小明考试及格的概率是 1-0.07=0.93.- 4 -答案:0.938.(2016·宜宾模拟)某射手射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.24,0.28,0.19,那么,在一次射击训练中,该射手射击一次不够 9 环的概率为 .【解析】因为某射手一次射击中,击中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.24,0.28,0.19.所以该射手在一次射击中不够 9 环的概率 P=1-0.24-0.28=0.48.答案:0.48(15 分钟 30 分)1.(5 分)(2016·衡阳模拟)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率.先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标,以 4个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率为 ( )A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.75【解析】选 D.由题意知模拟射击 4 次的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数,在 20 组随机数中表示射击 4 次至少击中 3 次的有:7527 0293 9857 0347 4373 8636 6947 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,共15 组随机数.所以所求概率为 0.75.2.(5 分)(2016·商丘模拟)经统计,在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下:排除人数 0 1 2 3 4 ≥5概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04则该营业窗口上午 9 点钟时,至少有 2 人排队的概率是 .【解析】由表格可得至少有 2 人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.答案:0.743.(5 分)若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且分别为 P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数 a 的取值范围为 .【解题提示】由随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且分别为 P(A)=2-a,P(B)=3a-4,知- 5 -由此能求出实数 a 的取值范围.【解析】因为随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且分别为 P(A)=2-a,P(B)=3a-4,所以 即解得 P(A2),所以甲应选择 L1.又因为 P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1)P(B2),所以乙应选择 L2.