（全国版）2017版高考数学一轮复习 第五章 数列课时提升作业 理（打包5套）.zip

- 1 -数列的概念与简单表示法(25分钟 50 分)一、选择题(每小题 5分,共 35分)1.下列说法正确的是 ( )A.数列 1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列 1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1 是相同的数列C.数列 的第 k项为 1+D.数列 0,2,4,6,…可记为{2n}【解析】选 C.根据数列的定义与集合定义的不同可知 A,B不正确,D 项{2n}中首项为 2,故不正确,C 中 an=,所以 ak=1+ .【加固训练】已知数列的通项公式为 an=n2-8n+15,则 3 ( )A.不是数列{a n}中的项B.只是数列{a n}中的第 2项C.只是数列{a n}中的第 6项D.是数列{a n}中的第 2项或第 6项【解析】选 D.令 an=3,即 n2-8n+15=3,解得 n=2或 6,故 3是数列{a n}中的第 2项或第 6项.2.(2016·武汉模拟)数列 0, , , ,…的一个通项公式为 ( )A.an= (n∈N *)B.an= (n∈N *)C.an= (n∈N *)D.an= (n∈N *)【解析】选 C.将 0写成 ,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为 2(n-1),n∈N *;分母为奇数列,可表示为 2n-1,n∈N *.3.(2016·洛阳模拟)已知数列{a n}的前 n项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a2等于 ( )A.4 B.2 C.1 D.-2【解析】选 A.由题可知 Sn=2(an-1),- 2 -所以 S1=a1=2(a1-1),解得 a1=2.又 S2=a1+a2=2(a2-1),解得 a2=a1+2=4.4.(2016·岳阳模拟)数列{a n}的前 n项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6= ( )A.3×44 B.3×44+1C.44 D.44+1【解析】选 A.由 an+1=3Sn,得到 an=3Sn-1(n≥2),两式相减得:a n+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,则 an+1=4an(n≥2),又 a1=1,a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是 3,公比为 4的等比数列,所以 an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2),则 a6=3×44.【加固训练】数列{a n}中,a 1=1,对所有的 n∈N *,都有 a1a2a3…an=n2,则a3+a5= ( )A. B. C. D.【解析】选 D.因为 a1a2a3…an=n2,所以 a1a2a3…an-1=(n-1)2(n≥2),所以 an= = (n≥2),所以 a3= ,a5= ,所以 a3+a5= + = + = .5.在数列{a n}中,a 1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N *),则 的值是 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.由已知得 a2=1+(-1)2=2.所以 a3·a2=a2+(-1)3,所以 a3= .所以 a4= +(-1)4,所以 a4=3.所以 3a5=3+(-1)5,所以 a5= .- 3 -所以 = × = .6.已知数列{a n}中,a n=n2-kn(n∈N *),且{a n}单调递增,则 k的取值范围是 ( )A.(-∞,2] B.(-∞,3)C.(-∞,2) D.(-∞,3]【解析】选 B.因为 an=n2-kn(n∈N *),且{a n}单调递增,所以 an+1-an0对∀n∈N *都成立 ,又 an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,所以由 2n+1-k0,即 k0,所以 an+1an,数列{a n}为递增数列.7.(2016·大同模拟)设数列 的前 n项和为 Sn,且 a1=1, 为常数列,则 an= ( )A. B.C. D.【解题提示】将 Sn转化为 an与 an-1,再求解.【解析】选 B.由题意知,S n+nan=2,当 n≥2 时,S n-1+(n-1)an-1=2,两式相减得(n+1)a n=(n-1)an-1,即 =,从而 · · ·…· = · ·…· ,有 an= ,当 n=1时上式成立,所以 an= .二、填空题(每小题 5分,共 15分)8.数列{a n}满足:a 1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N *),则数列{a n}的通项公式 an= .【解析】a 1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把 n换成 n-1得,a 1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减整理得 an=3n.答案:3 n- 4 -9.(2016·常德模拟)在数列{a n}中,a 1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N *),则 a2016等于 .【解析】由 a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N *)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,….由此可得 a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【一题多解】本题还可以采用如下解法:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,两式相加可得 an+3=-an,an+6=an.所以 a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【加固训练】已知数列{a n}中,a 1=b(b为任意正数),a n+1=- (n=1,2,3,…),能使 an=b的 n的数值是 ( )A.14 B.15 C.16 D.17【解析】选 C.a1=b,a2=- ,a3=- ,a4=b,所以此数列的周期为 3,故选 C.10.已知数列{a n}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为 .【解析】因为 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2·(n-1)+2(n-2)+…+2×1+33=n·(n-1)+33,所以 =n+ -1≥2 -1,当且仅当 n= 时,“=”成立.又因为 n∈N *,因此当 n=6时, =6+5.5-1=10.5.答案:10.5【加固训练】(2016·龙岩模拟)如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第(n)个图案中需用黑色瓷砖 块.(用含 n的代数式表示)【解析】第(1),(2),(3)…个图案黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)×4=4n+8.答案:4n+8(20分钟 40 分)- 5 -1.(5分)(2016·石家庄模拟)已知数列{a n}满足:a 1= ,对于任意n∈N *,an+1= an(1-an),则 a2017-a2016= ( )A.- B. C.- D.【解析】选 D.a1= ,a2= × × = ,a3= × × = ,a4= × × = ,…,归纳可知,当 n为大于 1的奇数时,an= ;当 n为正偶数时,a n= ,故 a2017-a2016= - = .2.(5分)(2016·龙岩模拟)已知数列{a n}的前 n项和为 Sn,首项 a1=- ,且满足 Sn+ +2=an(n≥2),则 S2016等于 ( )A.- B.- C.- D.-【解析】选 D.因 Sn+ +2=an=Sn-Sn-1(n≥2)⇒S n-1+ =-2(n≥2), 由已知可得,S 1+ =-2⇒S2=- ,S2+ =-2⇒S3=- ,S3+ =-2⇒S4=- ,…可归纳出 S2016=- .3.(5分)(2016·揭阳模拟)设数列{a n}满足:a 1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,…),则 a2017= .【解析】由于 a1=1,a2=4,a3=9,则 a4=a3+a2-a1=12,a5=a4+a3-a2=17,a6=a5+a4-a3=20,a7=a6+a5-a4=25,…,归纳可知 an=an-2+8,即数列{a n}的奇数项、偶数项均是以公差为 8的等差数列,则a2017=a1+1008d=8065.答案:8065【加固训练】(2015·安阳模拟)某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第 k棵树种植在点 Pk(xk,yk)处,其中 x1=1,y1=1,当 k≥2 时,T(a)表示非负实数 a的整数部分,例如 T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案第 2016棵树种植点的坐标应为 .【解题提示】由已知分别利用累加法求出 xk,yk,进而求 x2016,y2016.【解析】根据题意,x1=1,x2-x1=1-5T +5T ,- 6 -x3-x2=1-5T +5T ,x4-x3=1-5T +5T ,…xk-xk-1=1-5T +5T ,将上述 k个式子相加得,x k=k-5T ,所以 x2016=2016-5T =2016-5×403=1,同理,由y1=1,y2-y1=T -T ,y3-y2=T -T ,y4-y3=T -T ,…yk-yk-1=T -T ,将上述 k个式子相加得,y k=1+T ,所以 y2016=1+T =1+403=404,所以第 2016棵树种植点的坐标为(1,404).答案:(1,404)4.(12分)已知数列{a n}的通项 an=(n+1) (n∈N *).试问该数列{a n}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解析】因为 an+1-an=(n+2) -(n+1) = · ,所以当 n0,即 an+1an;当 n=9时,a n+1-an=0,即 an+1=an;当 n9时,a n+1-ana11a12….所以数列{a n}有最大项 a9或 a10,- 7 -其值为 10· ,其项数为 9或 10.【加固训练】若数列 中的最大项是第 k项,求 k的值.【解析】方法一:由题意知,解得 ≤k≤1+ .因为 k∈N *,所以 k=4.方法二:设 an=n(n+4) ,则an+1-an=(n+1)(n+5) -n(n+4)== .当 n≤3 时,a n+1-an0,即 an+1an,当 n≥4 时,a n+1-ana5a6…所以数列中最大项是第 4项,即 k=4.【方法技巧】数列{a n}的最大(小)项的求法:(1)函数法:借助数列的单调性或图象来解决.(2)利用转折项法:利用不等式组 找到数列的最大项;利用不等式组 找到数列的最小项.5.(13分)已知数列{a n}中,a 1=1,前 n项和 Sn= an.(1)求 a2,a3.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)由 S2= a2得 3(a1+a2)=4a2,解得 a2=3a1=3;由 S3= a3得 3(a1+a2+a3)=5a3,解得 a3= (a1+a2)=6.- 8 -(2)由题设知 a1=1.当 n1时,有 an=Sn-Sn-1= an- an-1,整理得 = .于是 a1=1, = , = ,…= , = ,将以上 n个等式两端分别相乘,整理得 an= .综上可知,数列{a n}的通项公式 an= .- 1 -等差数列及其前 n 项和(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.已知 为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=15,则公差 d 等于 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 A.由题意可得,S 3= = =15,解得 a2=5,故公差 d=a3-a2=6-5=1.2.(2016·雅安模拟)若等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S4=S18,则 S22等于 ( )A.0 B.12 C.-1 D.-12【解析】选 A.设等差数列的公差为 d,由 S4=S18得4a1+ d=18a1+ d,a1=- d,所以 S22=22a1+ d=22× +22× d=0.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选 A.设 Sn=An2+Bn,由题意知,16A+4B=324A+18B,解得 B=-22A,所以 S22=22(22A+B)=0.【加固训练】在等差数列{a n}中,a 9= a12+6,则数列{a n}的前 11 项和 S11= ( )A.24 B.48 C.66 D.132【解析】选 D.因 a9= a12+6 及等差数列通项公式得,2(a 1+8d)=a1+11d+12,整理得 a1+5d=12=a6,所以 S11== =11×12=132.3.(2016·厦门模拟)已知数列{a n}中,a 3= ,a7= ,且 是等差数列,则a5= ( )A. B. C. D.【解析】选 B.设等差数列 的公差为 d,则 = +4d,所以 = +4d,解得 d=2.所以 = +2d=10,- 2 -解得 a5= .4.(2016·石家庄模拟)数列{a n}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N *).若 b3=-2,b10=12,则 a8= ( )A.0 B.3 C.8 D.11【解析】选 B.因为{b n}是等差数列,且 b3=-2,b10=12,故公差 d= =2.于是 b1=-6,且 bn=2n-8(n∈N *),即 an+1-an=2n-8.所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.5.数列{a n}中相邻两项 an与 an+1是方程 x2+3nx+bn=0 的两根,已知 a10=-17,则 b51等于 ( )A.5 760 B.5 840 C.5 920 D.6 000【解析】选 B.由根与系数的关系可知 an+an+1=-3n,an·an+1=bn,由 an+an+1=-3n,有 an+1+an+2=-3(n+1),故an+2-an=-3,故{a 2n}为等差数列,公差为 d=-3,又 a10=-17,故 a2=-5,所以 a2k=-5-3(k-1),故 a52=-5-3(26-1)=-80,a51=-3×51-a52=80-153=-73,故 b51=a51·a52=-73×(-80)=5840.6.(2016·益阳模拟)设数列{a n}是等差数列,且 a4=-4,a9=4,Sn是数列{a n}的前 n 项和,则 ( )A.S50,a6+a90,即 a70;而 a6+a9=a7+a80,若 a1+a2+…+a2015=2015am(m∈N *),则 m= .【解析】因为数列{a n}是等差数列,所以 a1+a2+…+a2015=2015a1+d=2015(a1+1007d),am=a1+(m-1)d,根据题意得,2015(a 1+1007d)=2015[a1+(m-1)d],解得 m=1008.答案:1008(20 分钟 40 分)1.(5 分)在等差数列 中,已知 a3+a8=6,则 3a5+a7= ( )A.6 B.12 C.18 D.24【解析】选 B.由等差数列性质知 3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6)=2(a3+a8)=12.- 4 -2.(5 分)(2016·大同模拟)设等差数列 的前 n 项和为 Sn,等差数列 的前 n 项和为 Tn,若 = ,则+ = .【解析】 + = + = == = = .答案:3.(5 分)(2016·长沙模拟)已知函数 f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点 x1,x2(x10 和m0,则由余弦函数的图象知 x3, , π,x 4构成等差数列,可得公差 d= - =π,则 x3= -π=- 0,显然不可能;若 m0,则由余弦函数的图象知 ,x3,x4, π 构成等差数列,可得 3d= - ,解得 d= ,所以 x3= + = ,m=cosx3=cos π=- .答案:-4.(12 分)(2016·惠州模拟)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2SnSn-1(n≥2 且 n∈N *).(1)求证:数列 是等差数列.(2)求 Sn和 an.【解析】(1)当 n≥2 时,a n=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,①- 5 -所以 Sn(1+2Sn-1)=Sn-1.由上式知若 Sn-1≠0,则 Sn≠0.因为 S1=a1≠0,由递推关系知 Sn≠0(n∈N *),由①式得 - =2(n≥2).所以 是等差数列,其中首项为 = =2,公差为 2.(2)由(1)可得因为 = +2(n-1)=2+2(n-1)=2n,所以 Sn= .当 n≥2 时,a n=Sn-Sn-1=- ,当 n=1 时,a 1=S1= 不适合上式,所以 an=5.(13 分)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,a nan+1=λS n-1,其中 λ 为常数.(1)证明:a n+2-an=λ.(2)是否存在 λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设 anan+1=λS n-1,得 an+1an+2=λS n+1-1.两式相减得 an+1(an+2-an)=λa n+1.由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ.(2)由题设 a1=1,a1a2=λS 1-1,可得 a2=λ-1.由(1)知,a 3=λ+1.令 2a2=a1+a3,解得 λ=4.故 an+2-an=4,由此可得:{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a 2n-1=4n-3;{a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a 2n=4n-1.所以 an=2n-1,an+1-an=2.因此存在 λ=4,使得数列{a n}为等差数列.- 6 -【加固训练】(2016·安庆模拟)已知数列{a n}的通项公式 an=pn2+qn(p,q∈R,且 p,q 为常数).(1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{a n}是等差数列?(2)求证:对任意实数 p 和 q,数列{a n+1-an}是等差数列.【解析】(1)a n+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{a n}是等差数列,则 2pn+p+q 应是一个与 n无关的常数,所以只有 2p=0,即 p=0.故当 p=0,q∈R 时,数列{a n}是等差数列.(2)因为 an+1-an=2pn+p+q,所以 an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(a n+2-an+1)-(an+1-an)=2p 为一个常数.所以{a n+1-an}是等差数列.- 1 -等比数列及其前 n 项和(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2016·郑州模拟)已知等比数列 的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则an= ( )A.4· B.4·C.4· D.4·【解析】选 C.由于等比数列{a n}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,得(a+1) 2=(a-1)(a+4),解得 a=5,因此前三项依次为 4,6,9,公比 q= ,因此 an=4· .2.在等比数列{a n}中,a 3=6,前 3 项之和 S3=18,则公比 q 的值为 ( )A.1 B.-C.1 或- D.-1 或【解析】选 C.根据已知条件得所以 =3.整理得 2q2-q-1=0,解得 q=1 或 q=- .【误区警示】解答本题会出现以下错误:利用等比数列的前 n 项和公式表示 S3后,计算结果中把 q=1 的结果舍去了,导致错误的原因是忽视了 q=1与 q≠1 时,前 n 项和的计算公式不同.3.(2016·湛江模拟)已知等比数列 中,a 3=2,a4a6=16,则 的值为 ( )A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选 B.因为 a3=2,a4a6=16,所以 a4a6= q4=16,即 q4=4,- 2 -则 = =q4=4.4.(2016·广安模拟)设等比数列{a n}的前 n 项积 Pn=a1·a2·a3·…·an,若 P12=32P7,则 a10等于 ( )A.16 B.8 C.4 D.2【解析】选 D.由 P12=32P7,得 a8·a9·a10·a11·a12=32,即 =32,于是 a10=2.5.已知等比数列{a n}的首项为 8,Sn是其前 n 项的和,某同学经计算得 S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数为 ( )A.S1 B.S2 C.S3 D.S4【解析】选 C.根据题意可得显然 S1是正确的,假设后三个数均未算错,则 a1=8,a2=12,a3=16,a4=29,可知=a1a3,所以 S2,S3中必有一个数算错了,若 S2算错了,则 a4=29=a1q3,q= ,显然 S3=36≠8(1+q+q 2),矛盾,所以只可能是 S3算错了,此时由 a2=12 得 q= ,a3=18,a4=27,S4=S2+18+27=65,满足题设.6.设等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn,若 a2017=3S2016+2016,a2016=3S2015+2016,则公比q= ( )A.4 B.1 或 4 C.2 D.1 或 2【解析】选 A.由 a2017=3S2016+2016,a2016=3S2015+2016,两式相减得 a2017-a2016=3a2016,即 q=4.7.(2016·临汾模拟)记等比数列{a n}的前 n 项积为 Tn(n∈N *),已知 am-1·am+1-2am=0,且 T2m-1=128,则 m 的值为 ( )A.4 B.7 C.10 D.12【解析】选 A.因为{a n}为等比数列,所以 am-1·am+1= ,又 am-1·am+1-2am=0,故 am=2,由等比数列的性质可知前 2m-1 项积为 T2m-1= ,从而 22m-1=128,故 m=4.【加固训练】(2016·株洲模拟)已知正项等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn,bn= ,且{b n}的前 n 项和为 Tn,若对一切正整数 n 都有 SnTn,则数列{a n}的公比 q 的取值范围是 ( )A.01C.q D.1Tn,且 Tn0,所以 q2= 1.因为 an0 对任意 n∈N *都成立,所以 q0,因此公比 q 的取值范围是 q1.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)- 3 -8.(2016·周口模拟)设 Sn为等比数列{a n}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q= .【解析】因为 Sn为等比数列{a n}的前 n 项和,3S3=a4-2,3S2=a3-2,两式相减得 3a3=a4-a3,a4=4a3,所以公比 q=4.答案:49.在公比为正数的等比数列中,a 1+a2=2,a3+a4=8,则 S8= .【解析】方法一:S 8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.方法二:q 2= =4,又 q0,所以 q=2.所以 a1(1+q)=a1(1+2)=2,所以 a1= .所以 S8= =170.答案:17010.(2016·沧州模拟)已知数列 满足 log3an+1=log3an+1(n∈N *),且 a2+a4+a6=9,则 log3(a5+a7+a9)的值是 .【解题提示】根据数列满足 log3an+1=log3an+1(n∈N *)可以确定数列是公比为 3 的等比数列,再根据等比数列的通项公式即可通过 a2+a4+a6=9 求出 a5+a7+a9的值,进而求得 log3(a5+a7+a9)的值.【解析】log 3an+1=log3an+log33=log33an,所以 3an=an+1且 an0,an+10,所以数列{a n}为公比 q=3 的等比数列,因为 a2+a4+a6=9,设首项为 a,所以 aq+aq3+aq5=9,所以 a5+a7+a9=q3(aq+aq3+aq5)=33×9=35,从而 log3(a5+a7+a9)=log335=5.答案:5(20 分钟 40 分)1.(5 分)在 14 与 之间插入 n 个数组成等比数列,若各项总和为 ,则此数列的项数为 ( )- 4 -A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选 D.因为 14≠ ,所以 q≠1,所以 Sn= ,所以 = .解得 q=- , =14×,所以 n=5.故该数列共 7 项.【加固训练】(2016·成都模拟)已知等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= ,则 = ( )A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1【解析】选 D.设等比数列{a n}的公比为 q,则 q= = = ,所以 = = =2n-1.2.(5 分)(2016·郑州模拟)在等比数列{a n}中,a 4=2,a5=5,则数列{lga n}的前 8 项和等于 ( )A.6 B.5 C.4 D.3【解析】选 C.因为等比数列{a n}中 a4=2,a5=5,所以 q= = ,a1= = = ,lga1=lg ,lgan-lgan-1=lg =lg (n≥2),所以{lga n}是等差数列.所以{lga n}的前 8 项和为8×lg + lg =8(4lg2-3lg5)+28(lg5-lg2)=4lg5+4lg2=4.3.(5 分)(2016·漳州模拟)一正数等比数列前 11 项的几何平均数为 32,从这 11 项中抽去一项后所余下的10 项的几何平均数为 32,那么抽去的这一项是第项.【解题提示】由前 11 项之积除以抽去一项后所剩下的 10 项之积,可求出抽去的一项.【解析】由于数列的前 11 项的几何平均数为 32,所以该数列的前 11 项之积为 3211=255.抽去一项后所剩下的 10 项之积为 3210=250,所以抽去的一项为 255÷250=25.又因 a1·a11=a2·a10=a3·a9=a4·a8=a5·a7= ,所以 a1·a2·…·a11= .- 5 -故有 =255,即 a6=25.所以抽出的应是第 6 项.答案:6【加固训练】在等比数列{a n}中,若 a3=4,a9=1,则 a6= ,若 a3=4,a11=1,则 a7= .【解析】设数列{a n}的公比为 q,则 a3,a6,a9组成的新数列的公比为 q3.若 a3=4,a9=1,则 =4,a6=±2,符合题意;a3,a7,a11组成的新数列的公比为 q4,由 a3=4,a11=1,得 =4,当 a7=2 时,q 4= ,符合题意,当 a7=-2 时,q 4=- ,不合题意,舍去.答案:±2 24.(12 分)(2016·武汉模拟)数列{a n}中,S n=1+kan(k≠0,k≠1).(1)证明:数列{a n}为等比数列.(2)求通项 an.(3)当 k=-1 时,求 + +…+ .【解析】(1)因为 Sn=1+kan,①Sn-1=1+kan-1(n≥2),②①-②得 Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2),所以(k-1)a n=kan-1,由已知可得 an=0 时 Sn=1 无意义,所以 = 为非零常数,n≥2.所以{a n}是公比为 的等比数列 .(2)因为 S1=a1=1+ka1,所以 a1= .所以 an= · =- .(3)因为{a n}中 a1= ,q= ,所以{ }是首项为 ,公比为 的等比数列.当 k=-1 时,等比数列{ }的首项为 ,公比为 ,- 6 -所以 + +…+ = = .5.(13 分)(2016·洛阳模拟)已知数列 中,a 1=1,an+1=(1)证明:数列 是等比数列.(2)求 a2n及 a2n-1.【解析】(1)设 bn=a2n- ,则 b1=a2- = - =- ,因为 ==== = .所以数列 是以- 为首项, 为公比的等比数列.(2)由(1)得bn=a2n- =- · =- · ,即 a2n=- · + ,由 a2n= a2n-1+(2n-1),得 a2n-1=3a2n-3(2n-1)=- · -6n+ .【加固训练】设数列{a n}的前 n 项和为 Sn,其中 an≠0,a 1为常数,且-a 1,Sn,an+1成等差数列.(1)求{a n}的通项公式.(2)设 bn=1-Sn,问:是否存在 a1,使数列{b n}为等比数列?若存在,求出 a1的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意,得 2Sn=an+1-a1.- 7 -当 n≥2 时,有两式相减,得 an+1=3an(n≥2).又因为 a2=2S1+a1=3a1,an≠0,所以数列{a n}是首项为 a1,公比为 3 的等比数列.因此,a n=a1·3n-1(n∈N *).(2)因为 Sn= = a1·3n- a1,bn=1-Sn=1+ a1- a1·3n.要使{b n}为等比数列,当且仅当 1+ a1=0,即 a1=-2.所以存在 a1=-2,使数列{b n}为等比数列.- 1 -数 列 求 和(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.数列{a n},{bn}都是等差数列,a 1=2,b1=8,且 a20+b20=50.则{a n+bn}的前 20 项的和为 ( )A.600 B.610 C.620 D.630【解析】选 A.由题意知{a n+bn}也为等差数列,所以{a n+bn}的前 20 项和为:S 20= ==600.2.(2016·洛阳模拟)已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列 的前 n项和为 Sn,则 S2016的值为 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.因为 f′(x)=2x+b,所以 f′(1)=2+b=3,所以 b=1,所以 f(x)=x2+x,所以 = = - ,所以 S2016=1- + - +…+ -=1- = .3.(2016·厦门模拟)已知数列{a n}满足:当 p+q=11(p,q∈N *,p0,因为 a1=1,a2a4=16,所以 q4=16,解得 q=2.- 2 -所以 an=1×2n-1=2n-1,由 2n-1≤12,解得 n≤4.所以|a 1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|=12-a1+12-a2+12-a3+12-a4+a5-12+…+a8-12=-2(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+…+a8)=-2× +=-2(24-1)+28-1=225.5.已知数列{a n},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时,都有 ai+bj=ak+bl,则 [(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+…+(a2017+b2017)]的值为 ( )A.2016 B.2017C.2018 D.2019【解析】选 D.由 a1+b2=a2+b1得 b2=2+2-1=3;由 b1+a3=a2+b2得 a3=2+3-2=3;a3+b2=a2+b3,得 b3=3+3-2=4;同理可得 a4=4,b4=5,…,a2017=2017,b2017=2018,所以 [(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+…+(a2017+b2017)]= [(1+2018)×2017]=2019.6.已知数列{a n}的通项公式为 an=log2 (n∈N *),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn62,故使 Sn62,故使 Sn0),因为 a1,a3,a9成等比数列,所以 =a1a9,所以(a 1+2d)2=a1(a1+8d),所以 d2=a1d,因为 d0,所以 a1=d,①因为 S5= ,所以 5a1+ ·d=(a1+4d)2,②由①②得 a1= ,d= ,所以 an= +(n-1)× = n(n∈N *).(2)bn== · = ,所以 b1+b2+b3+…+bn= (1+1- +1+ - +1+ - +…+1+ - )= (n+1- )= .2.正项数列{a n}的前 n 项和 Sn满足: -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列{a n}的通项公式 an.(2)令 bn= ,数列{b n}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意的 n∈N *,都有 Tn0,Sn=n2+n.于是 a1=S1=2,n≥2 时,a n=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项公式 an=2n.(2)由于 an=2n,bn= ,则 bn= = .Tn= [1- + - + - +…+ - + - ]= = .- 1 -数列的综合应用(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2014·北京高考)设{a n}是公比为 q 的等比数列,则“q1”是“{a n}为递增数列”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 D.当 a11 时,{a n}是递减数列;当{a n}为递增数列时,a 10,q1.因此,“q1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】(2016·南昌模拟)在公差不为 0 的等差数列{a n}中,2a 3- +2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则 b6b8= ( )A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选 D.因为{a n}是等差数列,所以 a3+a11=2a7,所以 2a3- +2a11=4a7- =0,解得 a7=0 或 4,因为{b n}为等比数列,所以 bn≠0,所以 b7=a7=4,b6b8= =16.2.设 y=f(x)是一次函数,若 f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列,则 f(2)+f(4)+…+f(2n)等于 ( )A.n(2n+3) B.n(n+4)C.2n(2n+3) D.2n(n+4)【解析】选 A.由题意可设 f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1) 2=(k+1)×(13k+1),解得 k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.(2016·大同模拟)已知正项等差数列{a n}满足:a n+1+an-1= (n≥2),等比数列{b n}满足:b n+1bn-1=2bn(n≥2),则 log2(a2+b2)= ( )A.-1 或 2 B.0 或 2C.2 D.1【解析】选 C.由题意可知,a n+1+an-1=2an= ,解得 an=2(n≥2)(由于数列{a n}每项都是正数),又 bn+1bn-1=- 2 -=2bn(n≥2),所以 bn=2(n≥2),log 2(a2+b2)=log24=2.4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问最小的一份为 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.设五个人所分得的面包为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中 d0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以 a=20,由 (a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得 d= ,所以最小 1 份为 a-2d=20- = .5.(2016·洛阳模拟)在 1 到 104之间所有形如 2n和 3n(n∈N *)的数,它们各自之和的差的绝对值为 ( )A.1 631 B.6 542C.15 340 D.17 424【解析】选 B.由 2n250,故满足条件的最小整数 n 的值为 7.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2016·茂名模拟)各项都是正数的等比数列 的公比 q≠1,且 a2, a3,a1成等差数列,则 的值为 .【解析】{a n}的公比为 q(q0 且 q≠1),由 a3=a2+a1,得 q2-q-1=0,解得 q= ,而 = = = .答案:7.(2016·常德模拟)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N *都有 Sn= an- ,若 11),即 an= - = an- an-1,整理得: =-2(n1),所以{a n}是首项为-1,公比为-2 的等比数列,S k= = ,因为 11.5,即 (-n2+15n-9)1.5,解得 6 ,n∈N *,所以当 n≥2 时, = × × × × × ×…× × × × × × × ×…× × = .即 Tn ,n≥2.又当 n=1 时,T 1= ≥ = 成立,- 7 -综上,当 n∈N *时,T n≥ 成立.5.(13 分)(2016·宜昌模拟)我们在下面的表格内填写数值:先将第 1 行的所有空格填上 1;再把一个首项为 1,公比为 q 的数列 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.第 1 列 第 2 列 第 3 列 … 第 n 列第 1 行 1 1 1 … 1第 2 行 q第 3 行 q2… …第 n 行 qn-1(1)设第 2 行的数依次为 B1,B2,…,Bn,试用 n,q 表示 B1+B2+…+Bn的值.(2)设第 3 列的数依次为 c1,c2,c3,…,cn,求证:对于任意非零实数 q,c1+c32c2.【解析】(1)B 1=q,B2=1+q,B3=1+(1+q)=2+q,…,Bn=(n-1)+q,所以 B1+B2+…+Bn=1+2+…+(n-1)+nq= +nq.(2)c1=1,c2=1+(1+q)=2+q,c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2,由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q20,得 c1+c32c2.