（全国版）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用课时提升作业 理（打包14套）.zip

- 1 -课时提升作业 十三 变化率与导数、导数的计算(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.函数 y=x2cosx 在 x=1 处的导数是 ( )A.0 B.2cos1-sin1C.cos1-sin1 D.1【解析】选 B.因为 y′=(x 2cosx)′=(x 2)′cosx+x 2(cosx)′=2xcosx-x 2sinx,所以 y′| x=1=2cos1-sin1.2.已知 f(x)=x(2014+lnx),f′(x 0)=2015,则 x0= ( )A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】选 B.由题意可知 f′(x)=2014+lnx+x· =2015+lnx.由 f′(x 0)=2015,得 lnx0=0,解得 x0=1.3.已知函数 f(x)=ex,则当 x1B. D. .4.(2016·临川模拟)若幂函数 f(x)=mxα 的图象经过点 A ,则它在点 A 处的切线方程是 ( )A.2x-y=0 B.2x+y=0C.4x-4y+1=0 D.4x+4y+1=0【解析】选 C.根据函数 f(x)=mxα 为幂函数,所以 m=1,根据图象经过点 A ,则有 α= ,所以 f(x)=,f′(x)= ,f′ =1,根据直线方程的点斜式,求得切线方程是 4x-4y+1=0.【加固训练】(2016·保定模拟)已知曲线 y=lnx 的切线过原点,则此切线的斜率为 ( )A.e B.-e C. D.-- 2 -【解析】选 C.y=lnx 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y0),则 k=y′ = ,所以切线方程为 y-y0= (x-x0),又切线过点 (0,0),代入切线方程得 y0=1,则 x0=e,所以 k=y′ = = .5.(2016·泸州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a 等于 ( )A.-1 或- B.-1 或C.- 或- D.- 或 7【解题提示】点(1,0)不在曲线 y=x3上,只是曲线 y=x3的特定切线经过点(1,0),故设出切点坐标,写出切线方程,把点(1,0)代入切线方程求得切点坐标,得出切线方程后,再根据切线与 y=ax2+ x-9 相切求出 a值.【解析】选 A.设过点(1,0)的直线与 y=x3相切于点(x 0, ),所以切线方程为 y- =3 (x-x0),即 y=3 x-2 ,又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= ,当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a=- ,当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a=-1.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2016·湖南十二校联考)若函数 f(x)=lnx-f′(-1)x 2+3x-4,则f′(1)= .【解析】因为 f′(x)= -2f′(-1)x+3,所以 f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得 f′(-1)=-2,所以 f′(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知 f(x)= x2+2xf′(2014)+2014lnx,则 f′(2014)= .【解析】由题意得 f′(x)=x+2f′(2014)+ ,所以 f′(2014)=2014+2f′(2014)+ ,即 f′(2014)=-(2014+1)=-2015.- 3 -答案:-20157.(2016·昆明模拟)函数 f(x)= 的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于 .【解析】f′(x)== ,则 f′(-1)=-4,故该切线方程为 y=-4x-2,切线在 x,y 轴上的截距分别为- ,-2,故所求三角形的面积为 .答案:8.已知函数 f(x)=ex-mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则实数 m 的取值范围是 .【解析】由题意可得 f′(x)=e x-m,由于曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则 ex-m=- 有解,即 m=ex+ ,而 ex0,故 m .答案:【加固训练】设曲线 y= 在点 处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于 .【解析】因为 y′= ,所以 y′ =-1,由条件知 =-1,所以 a=-1.答案:-1三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求:(1)斜率最小的切线方程.(2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围.【解析】(1)y′=x 2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,所以当 x=2 时,y′=-1,y= ,所以斜率最小的切线过点 ,斜率 k=-1,- 4 -所以切线方程为 x+y- =0.(2)由(1)得 k≥-1,所以 tanα≥-1,所以 α∈ ∪ .10.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值.(2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.【解析】f′(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得 b=0,a=-3 或 a=1.(2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,所以关于 x 的方程 f′(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根,所以 Δ=4(1-a) 2+12a(a+2)0,即 4a2+4a+10,所以 a≠- .所以 a 的取值范围为∪ .(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2016·秦皇岛模拟)下面四个图象中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f′(x)的图象,则 f(-1)= ( )A. B.-C. D.- 或【解析】选 D.因为 f′(x)=x 2+2ax+a2-1,所以 f′(x)的图象开口向上,则②④排除.若 f′(x)的图象为①,此时 a=0,f(-1)= ;若 f′(x)的图象为③,此时 a2-1=0,又对称轴 x=-a0.所以 a=-1,所以 f(-1)=- .- 5 -2.(5 分)(2016·衡阳模拟)设 a∈R,函数 f(x)=ex+a·e-x的导函数是 f′(x),且f′(x)是奇函数,若曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为 ( )A.ln2 B.-ln2 C. D.-【解析】选 A.对 f(x)=ex+a·e-x求导得 f′(x)=e x-ae-x.又 f′(x)是奇函数,故 f′(0)=1-a=0,解得 a=1,故有 f′(x)=e x-e-x,设切点为(x 0,y0),则 f′(x 0)= -= ,得 =2 或 =- (舍去),得 x0=ln2.【加固训练】(2016·广州模拟)已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜角互补,则 a 的值为 ( )A. B.-2 C.2 D.-【解析】选 A.设切点坐标为(t,t 3-at+a).由题意知,f′(x)=3x 2-a,切线的斜率为 k=f′(t)=3t 2-a,①所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)·(x-t).②将点(1,0)代入②式得-(t 3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得 t=0 或 t= .分别将 t=0 和 t= 代入①式,得 k=-a 和 k= -a,由题意知它们互为相反数,得 a= .3.(5 分)(2016·开封模拟)若函数 f(x)=|lnx|-mx 恰有 3 个零点,则 m 的取值范围是 .【解析】令 f(x)=|lnx|-mx=0,得到函数 y=|lnx|与 y=mx,它们在同一平面直角坐标系内的图象如下:当 x1 时,y=lnx,y′= ,设两个函数相切,此时切点为(x 0,y0),则有 解得 m= ,结合图象得,- 6 -欲使有三个零点,则需满足:m∈ .答案:4.(12 分)已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-lnx)(a0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率相同,求 a 的值.并判断两条切线是否为同一条直线.【解析】根据题意有:曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3,曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为g′(1)=-a.所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3.曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0.曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1),得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线.5.(13 分)(2016·厦门模拟)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0.(1)求 f(x)的解析式.(2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解析】(1)方程 7x-4y-12=0可化为 y= x-3.当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ ,于是解得故 f(x)=x- .(2)设 P(x0,y0)为曲线 y=f(x)上任一点,由 y′=1+ 知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x-x0),即 y- = (x-x0).令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为 .令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x 0,2x0).- 7 -所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 ·|2x0|=6.故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.- 1 -课时提升作业 十四 利用导数研究函数的单调性(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( )A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)【解析】选 D.因为 f(x)=(x-3)·ex,则 f′(x)=e x(x-2),令 f′(x)0,得 x2,所以 f(x)的单调递增区间为(2,+∞).2.(2016·抚州模拟)若函数 f(x)=x+alnx 不是单调函数,则实数 a 的取值范围是 ( )A.[0,+∞) B.(-∞,0]C.(-∞,0) D.(0,+∞)【解析】选 C.由题意知 x0,f′(x)=1+ ,要使函数 f(x)=x+alnx 不是单调函数,则需方程 1+ =0 在 x0 上有解,即 x=-a,所以 a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.f′(x)= x2+a,当 a≥0 时,f′(x)≥0 恒成立,故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件.3.(2016·马鞍山模拟)对于实数集 R 上的可导函数 f(x),若满足(x2-3x+2)f′(x)0,所以 f(x)是区间[1,2]上的单调递增函数,所以 f(1)≤f(x)≤f(2).4.(2016·厦门模拟)已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是 ( )A.f(x)= -x3 B.f(x)= +x3C.f(x)= -x3 D.f(x)=- -x3【解析】选 A.根据函数的定义域可以排除选项 C,D,对于选项 B:f′(x)= +3x2,当 x 时,f′(x)不可能恒小于 0,即函数不可能恒为减函数,故不符合.5.(2016·深圳模拟)已知 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)为 f(x)的导函数,且满足 f(x)(x-1)·f(x2-1)的解集是 ( )A.(0,1) B.(1,+∞)C.(1,2) D.(2,+∞)【解析】选 D.因为 f(x)+xf′(x)(x 2-1)·f(x2-1),所以 02.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.函数 f(x)= 的单调递增区间是 .【解析】由导函数 f′(x)== 0,得 cosx- ,所以 2kπ- q,则 p-q0,0),则 h′(x)=- - 0,从而 f′(x)0;当 x1 时,h(x)0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,当 a0,设 x1,x2(x10,所以当 x∈(0,x 1)时,g(x)0,f′(x)0,函数 f(x)单调递增,当 x∈(x 2,+∞)时,g(x)2,则 f(x)2x+4 的解集为 ( )A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)- 6 -【解题提示】构造函数 F(x)=f(x)-(2x+4),利用导数求解.【解析】选 B.设 F(x)=f(x)-(2x+4),则 F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0,对任意 x∈R,f′(x)2,所以 F′(x)=f′(x)-20,即 F(x)在 R 上单调递增,则 F(x)0 的解集为(-1,+∞),即 f(x)2x+4 的解集为(-1,+∞).2.(5 分)(2016·邢台模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x∈(-∞,0)时 f(x)+xf′(x)0 时,函数 g(x)=xf(x)单调递增,则 a=3f(3)=g(3),b=(logπ e)f(logπ e)=g(logπ e),c=-2f(-2)=g(-2)=g(2),因为 0g(2)g(logπ e),即 acb.答案:acb【加固训练】f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a,b,若 a0 在(-1,1)上能成立,故 ex+xt 在(-1,1)上能成立,故 e+1t.答案:(-∞,e+1)4.(12 分)已知函数 f(x)= ,a∈R.(1)求函数 f(x)的单调区间.(2)若 f(x)在(1,2)上是单调函数,求 a 的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≠a},f′(x)= .①当 a=0 时,f(x)=x(x≠0),f′(x)=1,则 x∈(-∞,0)和(0,+∞)时,f(x)为增函数.②当 a0 时,由 f′(x)0 得,x2a 或 x2a 时,f(x)为增函数,x0 得,x0 或 x0 时,f(x)为增函数,由 f′(x)0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2a,+∞),单调递减区间为(0,a),(a,2a).当 a0 时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);当 a0,解得 m- ,所以- m-9,即实数 m 的取值范围是 .- 1 -利用导数研究函数的极值、最值(25分钟 60 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.当函数 y=x·2x取极小值时,x= ( )A. B.-C.-ln 2 D.ln 2【解析】选 B.令 y′=2 x+x·2xln2=0,解得 x=- .2.(2016·珠海模拟)函数 f(x)= x2-lnx的最小值为 ( )A. B.1 C.0 D.不存在【解析】选 A.f′(x)=x- = ,且 x0,令 f′(x)0,得 x1;令 f′(x)0,f′(-1)0,不满足 f′(-1)+f(-1)=0.二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.函数 f(x)= +x2-3x-4在[0,2]上的最小值是 .【解析】f′(x)=x 2+2x-3,令 f′(x)=0 得 x=1(x=-3舍去),又 f(0)=-4,f(1)=- ,f(2)=- ,故 f(x)在[0,2]上的最小值是 f(1)=- .- 3 -答案:-【加固训练】已知 f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值为 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 .【解析】f′(x)=6x 2-12x,由 f′(x)=0 得 x=0或 x=2,当 x2时,f′(x)0,当 00,所以当 01时,y′0,即函数 y=f(x)-g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数 y=f(x)-g(x)有极小值 0,无极大值.(2)y=f(xg -2)= - = -5xlnx+6,令 u=xlnx,当 x∈ 时,u′=lnx+10,所以 u=xlnx在 上单调递增,所以 0≤u≤e,y=h(u)=u 2-5u+6,h(u)图象的对称轴 u= .h(u)在 上单调递减,在 上单调递增.h(u)min=h =- ,又 h(0)=6,h(e)=e2-5e+6,则 h(u)max=6.所以所求函数的值域为 .【加固训练】(2014·江西高考)已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) ,其中 a0 得 02,所以 f(x)的单调递增区间为 ,[2,+∞).- 5 -(2)f′(x)=(8x+4a) += = ,令 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- ,f(x)在定义域上的单调性为 上单调递增, 上单调递减, 上单调递增.从而需要讨论- ,- 与 1及 4的大小.①当- ≥4 或- ≤1,即 a≤-40 或-2≤a0,f′(x)=1- + ,由函数 f(x)在定义域上是增函数得,f′(x)≥0,即 a≥2x-x 2=-(x-1)2+1(x0).因为-(x-1) 2+1≤1(当 x=1时,取等号),- 6 -所以 a的取值范围是[1,+∞).(2)g′(x)=e x ,由(1)得 a=2时,f(x)=x-2lnx- +1,且 f(x)在定义域上是增函数及 f(1)=0,所以,当 x∈(0,1)时,f(x)0,所以当 x∈(0,1)时,g′(x)0,当 x∈(1,+∞)时,g′(x)0),此时 f′(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1).令 f′(x)0,解得 x ,所以函数 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .(2)F(x)= +x-lnx=xlnx+x.由 F′(x)=2+lnx,得 F(x)在(0,e -2)上单调递减,在(e -2,+∞)上单调递增.所以 F(x)≥F(e -2)=-e-2.(3)f′(x)=2(x-a)lnx+= (2xlnx+x-a),令 g(x)=2xlnx+x-a,则 g′(x)=3+2lnx,所以函数 g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以 g(x)≥g =-2 -a.①当 a≤0 时,因为函数 f(x)无极值点,所以-2 -a≥0, 解得 a≤-2 .- 7 -②当 a0时,g(x) min=-2 -a1时,x 01且 x0≠a,函数 f(x)的极值点为 a和 x0;当 a=1时,x 0=1,此时函数 f(x)无极值.综上,a≤-2 或 a=1.(20分钟 40 分)1.(5分)已知实数 a,b,c,d成等比数列,且曲线 y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则 ad等于 ( )A.2 B.1 C.-1 D.-2【解析】选 A.因为 a,b,c,d成等比数列,所以 ad=bc,又(b,c)为函数 y=3x-x3的极大值点,所以 c=3b-b3,且 0=3-3b2,所以 或 所以 ad=2.2.(5分)已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax ,当 x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则a的值等于 ( )A. B. C. D.1【解析】选 D.因为 f(x)是奇函数,所以 f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当 x∈(0,2)时,f′(x)= -a,令 f′(x)=0 得 x= ,又 a ,所以 00,f(x)在 上单调递增;当 x 时,f′(x)0),当 m0时,f′(x)0,f(x)在区间[1,e]上为增函数,f(x)有最小值 f(1)=-m=4,得 m=-4,与 m0矛盾.当 m-1,f(x)在区间[1,e]上单调递增,f(x) min=f(1)=-m=4,得 m=-4,与 m-1矛盾;若-m∈[1,e],即-e≤m≤-1,f(x)min=f(-m)=ln(-m)+1=4,解得 m=-e3,与-e≤m≤-1 矛盾;若-me,即 m0)上的最小值.【解析】(1)当 a=5时,g(x)=(-x 2+5x-3)ex,g(1)=e.又 g′(x)=(-x 2+3x+2)ex,故切线的斜率为 g′(1)=4e,所以切线方程为:y-e=4e(x-1),即 y=4ex-3e.(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:xf′(x) - 0 +f(x) 单调递减 极小值 单调递增①当 t≥ 时,在区间 上 f(x)为增函数,- 9 -所以 f(x)min=f(t)=tlnt.②当 00).(1)若 x=1是函数 f(x)的一个极值点,求 a的值.(2)若 f(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,求 a的取值范围.(3)证明: ,利用(2)的单调性进行证明.【解析】(1)因为 f(x)=ln(1+x)- (a0),所以 f′(x)= ,因为 x=1是函数 f(x)的一个极值点,所以 f′(1)=0,即 a=2.经检验 a=2满足题意.(2)因为 f(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,所以 f(x)min≥0.当 01时,令 f′(x)0,则 xa-1,令 f′(x)f(a-1),矛盾.综上,a 的取值范围为(0,1].(3)要证 e.两边取自然对数得,2015×ln 1⇔ln ⇔ln - 0⇔ln - 0,由(2)知 a=1时,f(x)=ln(1+x)- 在[0,+∞)上单调递增.- 10 -又 0,f(0)=0,所以 f =ln - f(0)=0,所以 f′(x).(2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,求实数 a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=2ax-e x,令 f(x)-f′(x)=ax(x-2)0.当 a=0时,无解;当 a0时,解集为{x|x2};当 a0时,由 g′(x)=0,得 x=ln2a,当 x∈(-∞,ln2a)时,g′(x)0,g(x)单调递增,当 x∈(ln2a,+∞)时,g′(x)0时,方程 g(x)=0才有两个根,所以 g(x)max=g(ln2a)=2aln2a-2a0,得 a .故实数 a的取值范围是 .- 1 -课时提升作业 十六 导数的综合应用(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.从边长为 10cm×16cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为 ( )A.12cm3 B.72cm3 C.144cm3 D.160cm3【解析】选 C.设盒子容积为 ycm3,盒子的高为 xcm,则 x∈(0,5).则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以 y′=12x 2-104x+160.令 y′=0,得 x=2 或 (舍去),所以 ymax=6×12×2=144(cm3).2.在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则关于 x 的不等式 x·f′(x)0,由 x·f′(x)0,所以 00),则 h′(x)= .当 x∈(0,1)时,h′(x)0,函数 h(x)单调递增,所以 h(x)min=h(1)=4,所以 a≤h(x) min=4.4.若 a2,则函数 f(x)= x3-ax2+1 在区间(0,2)上恰好有 ( )A.0 个零点 B.1 个零点C.2 个零点 D.3 个零点【解析】选 B.因为 f′(x)=x 2-2ax,且 a2,所以当 x∈(0,2)时,f′(x)0,f(2)= -4a0),为使耗电量最小,则速度应定为 .【解析】由 y′=x 2-39x-40=0,得 x=-1(舍去)或 x=40,由于 040 时,y′0.所以当 x=40 时,y 有最小值.答案:408.(2016·邯郸模拟)设函数 f(x)=6lnx,g(x)=x2-4x+4,则方程 f(x)-g(x)=0 有个实根.【解析】设 φ(x)=g(x)-f(x)=x 2-4x+4-6lnx,则 φ′(x)= = ,且 x0.由 φ′(x)=0,得 x=3.当 03 时, φ′(x)0.所以 φ(x)在(0,+∞)上有极小值φ(3)=1-6ln30,试判断 f(x)在定义域内的单调性.(2)若 f(x)0,所以 f′(x)0,故 f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)因为 f(x)0,所以 axlnx-x3.令 g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x 2,h′(x)= -6x= .因为 x∈(1,+∞)时,h′(x)0,(0,+∞)是 f(x)的递增区间;当 a0 时,令 f′(x)=0,x= (负值舍去);当 0 时,f′(x)0,所以(0, )是 f(x)的递减区间,( ,+∞)是 f(x)的递增区间.综上,当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞);当 a0 时,f(x)的单调递减区间是(0, ),f(x)的单调递增区间是( ,+∞).(2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.①当 a=0 时,有零点 x=1.②当 a0(或当 x→0 时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞),所以 f(x)在(0,+∞)上有 1 个零点.③当 a0 时,由(1)知 f(x)在(0, )上是减函数,f(x)在( ,+∞)上是增函数,所以当 x= 时,f(x)有极小值,即最小值 f( )= (ln2a+1).当 (ln2a+1)0,即 a 时 f(x)无零点;当 (ln2a+1)=0,即 a= 时 f(x)有 1 个零点;当 (ln2a+1) 时 f(x)无零点;当 a= 或 a=0 或 af(x)成立,则 ( )A.3f(ln2)2f(ln3)B.3f(ln2)=2f(ln3)C.3f(ln2)0,所以有 g(x)=是增函数,从而有 ,即 3f(ln2) 时,令 f′(x)=0,得 x= .若 x∈ ,则 f′(x)0,则 a 的取值范围是 ( )A.(2,+∞) B.(-∞,-2)C.(1,+∞) D.(-∞,-1)【解析】选 B.(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-3x2+1,显然有两个零点,不合题意.(2)当 a0 时,由于 f′(x)=3ax 2-6x=3x(ax-2),利用导数的正负与函数单调性的关系可得在(-∞,0)和- 7 -上函数单调递增,在 上函数单调递减,显然存在负零点,不合题意.(3)当 a0,则有 a24,解得 a2(不合条件 a1.【解题提示】(1)先对函数 f(x)=aexlnx+ 求导,将 x=1 代入到导函数中确定曲线的切线的斜率,求出a,b 的值.(2)证明 f(x)1 时,将其转化为 xlnxxe-x- ,分别构造函数进行证明.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ae xlnx+ ex- ex-1+ ex-1.由题意得 f(1)=2,f′(1)=e,故 a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=e xlnx+ ex-1,从而 f(x)1 等价于 xlnxxe-x- .设函数 g(x)=xlnx,则 g′(x)=1+lnx.所以当 x∈ 时,g′(x)0.故 g(x)在 x∈ 上单调递减 ,在 x∈ 上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞)上的最小值为g =- .设函数 h(x)=xe-x- ,则 h′(x)=e -x(1-x).- 8 -所以当 x∈(0,1)时,h′(x)0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)0 时,g(x)h(x),即 f(x)1.5.(13 分)(2016·秦皇岛模拟)已知函数 f(x)=xlnx.(1)若对一切 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤x 2-ax+2 恒成立,求实数 a 的取值范围.(2)试判断函数 y=lnx- + 是否有零点?若有,求出零点的个数;若无,请说明理由.【解析】(1)由 f(x)≤x 2-ax+2 得 xlnx≤x 2-ax+2,因为 x0,所以 a≤x-lnx+ ,令 g(x)=x-lnx+ ,g′(x)=1- - = = (x0).当 x∈(0,2)时,g′(x)0,g(x)单调递增,所以 g(x)min=g(2)=3-ln2,因为对一切 x∈(0,+∞),都有 a≤x-lnx+ 恒成立,所以 a∈(-∞,3-ln2].(2)函数 y=lnx- + 无零点 ,理由如下:令 lnx- + =0,则 xlnx= - ,即 f(x)= - .由题知当 x∈(0,+∞)时,f(x)min=f =- .设 h(x)= - (x0),则 h′(x)= .当 x∈(0,1)时,h′(x)0,h(x)单调递增;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)h(x),即 lnx- + 0.- 9 -所以函数 y=lnx- + 没有零点 .- 1 -定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2016·长沙模拟)定积分 (3x+ex)dx 的值为 ( )A.e+1 B.e C.e- D.e+【解析】选 D. (3x+ex)dx = = +e-1= +e.2.(2016·石家庄模拟)直线 y=x+4 与曲线 y=x2-x+1 所围成的封闭图形的面积为 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.因为 x+4=x2-x+1 的解为 x=-1 或 x=3,所以封闭图形的面积为 S= [x+4-(x2-x+1)]dx= (-x2+2x+3)dx= = .【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.3.(2016·太原模拟)定积分 |x2-2x|dx= ( )A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选 D.|x2-2x|=|x2-2x|dx= (x2-2x)dx+ (-x2+2x)dx= + =8.【加固训练】若 f(x)= 则 f(x)dx= ( )A.0 B.1 C.2 D.3- 2 -【解析】选 C. f(x)dx= (x3+sinx)dx+ 2dx=0+2x =2.4.已知 f(x)为偶函数且 f(x)dx=8,则 f(x)dx 等于 ( )A.0 B.4 C.8 D.16【解题提示】利用偶函数的图象关于 y 轴对称,f(x)dx 对应的几何区域关于 y 轴对称,其可表示为 2 f(x)dx.【解析】选 D.原式= f(x)dx+ f(x)dx,因为原函数为偶函数,即在 y 轴两侧的图象对称.所以对应的面积相等,即 f(x)dx=2 f(x)dx=8×2=16.5.若 S1= x2dx,S2= dx,S3= exdx,则 S1,S2,S3的大小关系为 ( )A.S11),则 a 的值为 ( )A.2 B.3 C.4 D.6【解析】选 A.因为 dx=(x2+lnx) =a2+lna-1-0=3+ln2,所以 a=2.7.一物体受到与它运动方向相反的力:F(x)= ex+x 的作用,则它从 x=0 运动到 x=1 时 F(x)所做的功等于 ( )A. + B. -- 3 -C.- + D.- -【解析】选 D.由题意知 W=- dx=- =- - .二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.(2016·泉州模拟)已知正方形 ABCD,点 M 是 DC 的中点,由 =m +n 确定 m,n 的值,计算定积分sinxdx= .【解析】如图, =m +n =- + , sinxdx=-cosx =1.答案:19.曲线 y= ,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积为 .【解析】画出草图,如图所示.解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).- 4 -答案:【一题多解】解答本题还有如下解法:若选积分变量为 y,则三个函数分别为x=y2,x=2-y,x=-3y.因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以 S= [(2-y)-(-3y)]dy+ [(2-y)-y2]dy= (2+2y)dy+ (2-y-y2)dy=(2y+y2) +=-(-2+1)+2- -= .答案:【加固训练】已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0),B ,C(1,0),函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 .【解析】y=f(x)的图象如图所示.- 5 -可求得 y=f(x)=所以 x·f(x)=所以所求面积为S= 10x2dx+ dx= x3 += × + -(- × +5× )= .答案:10.若 m1,则 f(m)= dx 的最小值为 .【解析】f(m)= dx= =m+ -5≥4-5=-1,当且仅当 m=2 时等号成立.答案:-1【加固训练】已知 f(a)= (2ax2-a2x)dx,则 f(a)的最大值为 .【解析】f(a)= (2ax2-a2x)dx=( ax3- x2) =- a2+ a=- (a- )2+ ,所以当 a= 时 f(a)取得最大值 .答案:- 6 -(20 分钟 40 分)1.(5 分)若 f(x)= 则 f(2014)= ( )A. B. C. D.【解析】选 C.f(2014)=f(2014-5×402)=f(4)=f(4-5)=f(-1)=2-1+ cos3tdt.因为 cos3tdt= sin3t= = ,所以 f(2014)=2-1+ = .2.(5 分)(2016·郑州模拟)由曲线 xy=1,直线 y=x,x=3 及 x 轴所围成的曲边四边形的面积为 ( )A. B.C. +ln 3 D.4-ln 3【解析】选 C.如图由 xy=1 得 y= .由得 xD=1,所以曲边四边形的面积为xdx+ dx= x2 +lnx = +ln3.3.(5 分)设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若 f(x)dx=f(x0),0≤x 0≤1,则 x0的值为 .- 7 -【解析】 f(x)dx= (ax2+c)dx= = a+c=f(x0)=a +c,所以 = ,x0=± .又因为 0≤x 0≤1,所以 x0= .答案:4.(12 分)已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0, f(x)dx=-2.(1)求 f(x)的解析式.(2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解析】(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b.由 f(-1)=2,f′(0)=0,得 即所以 f(x)=ax2+2-a.又 f(x)dx= (ax2+2-a)dx==2- a=-2.所以 a=6,从而 f(x)=6x2-4.(2)因为 f(x)=6x2-4,x∈[-1,1].所以当 x=0 时,f(x) min=-4;当 x=±1 时,f(x) max=2.5.(13 分)如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.- 8 -【解析】由题意,知抛物线 y=-x2+4x-3 在点 A 处的切线斜率是 k1=y′| x=0=4,在点 B 处的切线斜率是k2=y′| x=3=-2.因此,抛物线过点 A 的切线方程为 y=4x-3,过点 B 的切线方程为 y=-2x+6.设两切线相交于点 M,由 消去 y,得 x= ,即点 M 的横坐标为 .在区间 上,直线 y=4x-3 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方;在区间 上,直线 y=-2x+6 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方.因此,所求的图形的面积是S= [(4x-3)-(-x2+4x-3)]dx+ [(-2x+6)-(-x2+4x-3)]dx= x2dx+ (x2-6x+9)dx= += .- 1 -课时提升作业 四 函数及其表示(20分钟 40 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.下列所给图象是函数图象的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.①中当 x0时,每一个 x的值对应两个不同的 y值,因此不是函数图象;②中当 x=x0时,y 的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个 x的值对应唯一的 y值,因此是函数图象.2.(2016·大同模拟)函数 f(x)= 的定义域为 ( )A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2]C.[-2,2] D.(-1,2]【解析】选 B.函数有意义⇒ ⇒ ⇒-10时,由 f(a)+f(1)=0得 2a+2=0,可见不存在实数 a满足条件;当 a≤0 时,由 f(a)+f(1)=0得 a+1+2=0,解得 a=-3,满足条件.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选 A.方法一:由指数函数的性质可知:2 x0,又因为 f(1)=2,所以 a≤0,所以 f(a)=a+1,即 a+1+2=0,解得 a=-3.方法二:验证法,把 a=-3代入 f(a)=a+1=-2,又因为 f(1)=2,所以 f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选 A.【加固训练】已知函数 f(x)= 且 f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )A.-2 B.2 C.3 D.-3【解析】选 B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得 b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得 a= .故 f(-3)= +1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.5.(2016·太原模拟)若 f(lnx)=3x+4,则 f(x)的表达式为 ( )A.3lnx B.3lnx+4- 3 -C.3ex D.3ex+4【解析】选 D.设 t=lnx,则 x=et,所以 f(t)=3et+4,所以 f(x)=3ex+4.【加固训练】1.已知函数 f(x)满足 f(x)+2f(3-x)=x2,则 f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)= x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选 B.由 f(x)+2f(3-x)=x2①可得 f(3-x)+2f(x)=(3-x)2②,由①②解得 f(x)= x2-4x+6.2.现向一个半径为 R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度 h随时间 t变化的函数关系的是 ( )【解析】选 C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.3.已知[x]表示不超过实数 x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则 + + +…+ =( )A.2014 B. C.1007 D.2015【解析】选 C. = , = ,…, = , =0,所以原式= + +…+ = =1007.4.设[x]表示不大于 x的最大整数,则对任意实数 x,有 ( )A.[-x]=-[x] B. =[x]C.[2x]=2[x] D.[x]+ =[2x]【解析】选 D.选项 A,取 x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].选项 B,取 x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.选项 C,取 x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2, 显然[2x]≠2[x].二、填空题(每小题 5分,共 15分)- 4 -6.(2016·宜昌模拟)已知函数 f(x)= 若 f(x)=2,则 x= .【解析】因为当 x1时,3 x3,所以只能是|x-1|=2,结合 x≤1 的条件,可求得 x=-1.答案:-17.(2015·浙江高考)已知函数 f(x)= 则 f(f(-3))= ,f(x)的最小值是 .【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当 x≥1 时,f(x)≥2 -3,当且仅当 x= 时,等号成立;当 x1时,f = =-f(x)满足.3.(5分)(2016·福州模拟)设 f:x→-2x 2+3x是集合 A=R到集合 B=R的映射,若对于实数 p∈B,在 A中不存在对应的元素,则实数 p的取值范围是 .【解析】因为 x∈R 时,-2x 2+3x≤ ,所以 p的取值范围是 .答案:4.(12分)已知 f(x)=x2-1,g(x)=(1)求 f(g(2))与 g(f(2)).(2)求 f(g(x))与 g(f(x))的解析式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当 x0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1) 2-1=x2-2x;当 x0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x) 2-1=x2-4x+3.所以 f(g(x))=- 6 -同理可得 g(f(x))=5.(13分)如图,已知 A(n,-2),B(1,4)是一次函数 y=kx+b的图象和反比例函数 y= 的图象的两个交点,直线 AB与 y轴交于点 C.(1)求反比例函数和一次函数的解析式.(2)求△AOC 的面积.【解题提示】(1)由 B点在反比例函数 y= 上,可求出 m值,再由 A点在函数 y= 图象上,求出 n值,把 A,B两点坐标代入一次函数 y=kx+b中,由待定系数法求出一次函数解析式.(2)由(1)知 A点坐标及一次函数解析式,进而求出 C点的坐标,从而求出△AOC 的面积.【解析】(1)因为 B(1,4)在反比例函数 y= 上,所以 m=4,又因为 A(n,-2)在反比例函数 y= = 的图象上,所以 n=-2,又因为 A(-2,-2),B(1,4)是一次函数 y=kx+b上的点,联立方程组解得 所以 y= ,y=2x+2.(2)因为 y=2x+2,令 x=0,得 y=2,所以 C(0,2),所以△AOC 的面积为:S= ×2×2=2.