（全国版）2017版高考数学一轮复习 几何证明选讲 理（课件+习题）（打包4套）选修4-1.zip

- 1 -相似三角形的判定及有关性质(45 分钟 60 分)1.如图所示,在▱ABCD 中,点 E 为 CD 上一点,DE∶CE=2∶3,连接 AE,BE,BD,且 AE,BD 交于点 F,求 S△DEF ∶S △EBF∶S △ABF .【解析】因为 AB∥CD,所以△EDF∽△ABF,所以 = = ,所以 = = ,又△DEF,△BEF 分别以 DF,BF 为底时等高,所以 = = = .故 S△DEF ∶S △EBF ∶S △ABF =4∶10∶25.2.(2016·郑州模拟)如图正方形 ABCD 的边长为 4,点 E,F 分别为 DC,BC 的中点.(1)求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF 的面积.【解析】(1)因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD=AB,∠D=∠B=90°,DC=CB.因为点 E,F 为 DC,BC 的中点,所以 DE= DC,BF= BC,所以 DE=BF.因为在△ADE 和△ABF 中,- 2 -所以△ADE≌△ABF(SAS).(2)由题知△ABF,△ADE,△CEF 均为直角三角形,且 AB=AD=4,DE=BF= ×4=2,CE=CF= ×4=2,所以 S△AEF =S 正方形 ABCD-S△ADE -S△ABF -S△CEF=4×4- ×4×2- ×4×2- ×2×2=6.【加固训练】如图,在四边形 ABCD 中,点 E 是 AB 上一点,EC∥AD,DE∥BC,若 S△BEC =1,S△ADE =3,求 S△CDE 的值.【解析】因为 EC∥AD,所以 S△DCE ∶S △ADE =EC∶AD,因为 DE∥BC,所以 S△BCE ∶S △CDE =BC∶ED,又因为∠ECB=∠DEC=∠ADE,∠BEC=∠EAD,所以△BEC∽△EAD,所以 EC∶AD=BC∶ED.所以 S△DCE ∶S △ADE =S△BCE ∶S △CDE ,于是 S△CDE = .3.(2016·大同模拟)如图,在△ABC 中,AB⊥AC,点 D 为 BC 的中点,DE⊥BC 交 AC 于点 F,交 BA 的延长线于点E.求证:AD 2=DE·DF.【证明】因为 AB⊥AC,点 D 为 BC 的中点,所以 AD= BC=DC,所以∠2=∠C.因为 AB⊥AC,DE⊥BC,所以∠C+∠B=90°,∠E+∠B=90°.所以∠C=∠E,所以∠2=∠E.- 3 -又因为∠1=∠1,所以△DAE∽△DFA.所以 = ,即 AD2=DE·DF.【加固训练】如图,在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC,E 为 AC 的中点,ED 延长线交 AB 延长线于点 F.求证:AB·AF=AC·DF.【证明】因为 AB⊥AC,AD⊥BC,所以△ABD∽△CAD,所以 = ,∠1=∠C.因为 E 是 AC 的中点,所以 DE= AC=EC,所以∠C=∠2.因为∠2=∠3,所以∠1=∠3.又因为∠F=∠F,所以△FBD∽△FDA,所以 = ,所以 = ,即 AB·AF=AC·DF.4.(2016·唐山模拟)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是线段 BC 延长线上一点,过点 A 作 BE 的平行线与线段 ED 的延长线交于点 F,连接 AE,CF.(1)求证:AF=CE.(2)若 AC=EF,试判断四边形 AFCE 是什么样的四边形,并证明你的结论.【解析】(1)在△ADF 和△CDE 中,因为 AF∥BE,所以∠FAD=∠ECD.又因为 D 是 AC 的中点,所以 AD=CD.因为∠ADF=∠CDE,所以△ADF≌△CDE,所以 AF=CE.- 4 -(2)若 AC=EF,则四边形 AFCE 是矩形.由(1)知 AF CE,所以四边形 AFCE 是平行四边形.又因为 AC=EF,所以四边形 AFCE 是矩形.【加固训练】如图,在△ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BC 延长线上一点,过 A 作 AH∥BE.连接 ED 并延长交 AB 于点 F,交 AH 于点 H.如果 AB=4AF,EH=8,求 DF 的长.【解析】因为 AH∥BE,所以 = .因为 AB=4AF,所以 = .因为 HE=8,所以 HF=2.因为 AH∥BE,所以 = .因为 D 是 AC 的中点,所以 =1.因为 HE=HD+DE=8,所以 HD=4,所以 DF=HD-HF=4-2=2.5.已知,如图,在矩形 ABCD 中,点 G 为 BC 延长线上一点,连接 DG,过点 B 作 BH⊥DG 于点 H,且 GH=DH,点 E,F分别在 AB,BC 上,且 EF∥DG.(1)若 AD=3,CG=2,求 DG 的长.(2)若 GF=AD+BF,求证:EF= DG.【解析】(1)在△BHG 与△DCG 中,因为∠BGH=∠DGC,BH⊥DG,DC⊥BG,所以△BHG∽△DCG,所以 = ,- 5 -因为 AD=3,CG=2,所以 BG=5,因为 GH=DH,即 = ,所以 DG=2 ,即 DG 的长为 2 .(2)因为 GF=AD+BF,所以 FC+GC=BF+FC+BF,即 GC=2BF,因为 EF∥DG,所以∠BFE=∠CGD,所以 Rt△BEF∽Rt△CDG,所以 EF∶DG=BF∶GC=1∶2,所以 EF= DG.【加固训练】如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 AB 的中点,BF⊥CE 于点 F,求S△BFC ∶S 正方形 ABCD的值.【解析】设正方形 ABCD 的边长为 2a,因为 E 是 AB 的中点,所以 BE=a,所以 CE= = a,因为 BF⊥CE,所以∠EBC=∠BFC=90°,因为∠ECB=∠BCF,所以△BCF∽△ECB.因为 BC∶EC=2∶ .所以 S△BFC ∶S △EBC =4∶5.因为 S 正方形 ABCD=4S△EBC ,所以 S△BFC ∶S 正方形 ABCD=1∶5.6.如图,点 C,D 在线段 AB 上,且△PCD 是等边三角形.- 6 -(1)当 AC,CD,DB 满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB.(2)当△PDB∽△ACP 时,试求∠APB 的度数.【解析】(1)当 CD2=AC·DB 时,△ACP∽△PDB,因为△PCD 是等边三角形,所以∠PCD=∠PDC=60°,所以∠ACP=∠PDB=120°,若 CD2=AC·DB,由 PC=PD=CD 可得 PC·PD=AC·DB,即 = ,则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB 时,∠APC=∠PBD.因为∠PDB=120°,所以∠DPB+∠DBP=60°,所以∠APC+∠BPD=60°,所以∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°,即∠APB 的度数为 120°.【加固训练】1.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 CD 的延长线上一点,DE= CD,BE 与 AD 交于点 F.(1)求证:△ABF∽△CEB.(2)若△DEF 的面积为 2,求平行四边形 ABCD 的面积.【解析】(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以∠BAF=∠BCD,因为 AB∥CD,所以∠ABF=∠CEB,所以△ABF∽△CEB.(2)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AD∥BC,AB∥CD,所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.所以 = , = .- 7 -又 DE= CD= AB,所以 CE=DE+CD=DE+2DE=3DE.所以 = = , = = .因为 S△DEF =2,所以 S△CEB =18,S△ABF =8.所以平行四边形 ABCD 的面积 S=S△ABF +S△CEB -S△DEF =8+18-2=24.2.如图,在梯形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,CD 上,EF∥AD,假设 EF 做上下平行移动.(1)若 = ,求证 :3EF=BC+2AD.(2)若 = ,试判断 EF 与 BC,AD 之间的关系,并说明理由.(3)请你探究一般结论,即若 = ,那么你可以得到什么结论?【解析】过点 A 作 AH∥CD 分别交 EF,BC 于点 G,H.(1)因为 = ,所以 = ,又 EG∥BH,所以 = = ,即 3EG=BH.又 EG+GF=EG+AD=EF,从而 EF= (BC-HC)+AD,所以 EF= BC+ AD,即 3EF=BC+2AD.(2)EF 与 BC,AD 的关系式为 5EF=2BC+3AD,理由和(1)类似.(3)因为 = ,所以 = .又 EG∥BH,所以 = ,- 8 -即 EG= BH.所以 EF=EG+GF=EG+AD= (BC-AD)+AD,所以 EF= BC+ AD,即(m+n)EF=mBC+nAD.- 1 -直线与圆的位置关系(45 分钟 60 分)1.(2016·开封模拟)如图,AB 是☉O 的直径,弦 CA,BD 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F,连接 FD.求证:(1)∠DEA=∠DFA.(2)AB2=BE·BD-AE·AC.【证明】(1)连接 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠AFE=90°,则 A,D,E,F 四点共圆,所以∠DEA=∠DFA.(2)连接 BC.由(1)知△ADB∽△EFB,所以 = ,即 BD·BE=BA·BF,又△ABC∽△AEF,所以 = ,即 AB·AF=AE·AC,所以 BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB·(BF-AF)=AB2.【加固训练】(2015·广东高考改编)如图,AB 为圆 O 的直径,点 E 为 AB 的延长线上一点,过点 E 作圆 O 的切线,切点为点 C,过点 A 作直线 EC 的垂线,垂足为点 D.若 AB=4,CE=2 ,求 AD 的长度.- 2 -【解析】连接 ΟC,则 ΟC⊥DE,因为 AD⊥DE,所以 ΟC∥AD,所以 = ,由切割线定理得:CE 2=BE·AE,所以 BE =12,即 BE2+4BE-12=0,解得: BE=2 或 BE=-6(舍去),所以 AD= = =3.2.(2016·安阳模拟)如图,直线 PQ 与☉O 相切于点 A,AB 是☉O 的弦,∠PAB 的平分线 AC 交☉O 于点 C,连接CB,并延长与直线 PQ 相交于点 Q,若 AQ=6,AC=5.(1)求证:QC 2-QA2=BC·QC.(2)求弦 AB 的长.【解析】(1)因为 PQ 与☉O 相切于点 A,由切割线定理得:QA2=QB·QC=(QC-BC)QC,所以 QC2-QA2=BC·QC.(2)由(1)可知,QA 2=QB·QC=(QC-BC)QC.因为 PQ 与☉O 相切于点 A,所以∠PAC=∠CBA,因为∠PAC=∠BAC,所以∠BAC=∠CBA.所以 AC=BC=5,又知 AQ=6,所以 QC=9.由∠QAB=∠ACQ 知△QAB∽△QCA,所以 = ,- 3 -所以 AB= .3.(2016·临汾模拟)如图,CF 是△ABC 边 AB 上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC.(1)证明:A,B,P,Q 四点共圆.(2)若 CQ=4,AQ=1,PF= ,求 CB 的长.【解析】(1)连接 QP,由已知 C,P,F,Q 四点共圆,所以∠QCF=∠QPF.因为∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°,所以∠A=∠CPQ.则四点 A,B,P,Q 共圆.(2)CF2=CQ×CA=4×5=20,在 Rt△CPF 中,CP= = = ,又 CP×CB=CF2,所以 CB= =6.【加固训练】(2016·遵义模拟)如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,且 AD= AC,AE= AB,BD,CE相交于点 F,连接 DE.(1)求证:A,E,F,D 四点共圆.(2)若正△ABC 的边长为 2,求 A,E,F,D 所在圆的半径.【解析】(1)因为 AE= AB,所以 BE= AB.因为在正△ABC 中,AD= AC,所以 AD=BE.又因为 AB=BC,∠BAD=∠CBE,所以△BAD≌△CBE,- 4 -所以∠ADB=∠BEC.即∠ADF+∠AEF=π,所以 A,E,F,D 四点共圆.(2)如图,取 AE 的中点 G,连接 GD,则 AG=GE= AE.因为 AE= AB,所以 AG=GE= AB= .因为 AD= AC= ,∠DAE=60°,所以△AGD 为正三角形,所以 GD=AG=AD= ,即 GA=GE=GD= .所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 .由于 A,E,F,D 四点共圆,即 A,E,F,D 四点共圆 G,其半径为 .4.(2016·保定模拟)如图所示,已知☉O 1与☉O 2相交于 A,B 两点,过点 A 作☉O 1的切线交☉O 2于点 C,过点B 作两圆的割线,分别交☉O 1,☉O 2于点 D,E,DE 与 AC 相交于点 P.(1)求证:AD∥EC.(2)若 AD 是☉O 2的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.【解析】(1)连接 AB,因为 AC 是☉O 1的切线,所以∠BAC=∠D,又因为∠BAC=∠E,- 5 -所以∠D=∠E,所以 AD∥EC.(2)因为 PA 是☉O 1的切线,PD 是☉O 1的割线,所以 PA2=PB·PD,所以 62=PB·(PB+9),所以 PB=3,在☉O 2中由相交弦定理,得 PA·PC=BP·PE,所以 PE=4.因为 AD 是☉O 2的切线,DE 是☉O 2的割线,所以 AD2=DB·DE=9×16,所以 AD=12.【加固训练】如图,AB 是圆 O 的直径,且 AB=6,CD 是弦,BA,CD 的延长线交于点 P,PA=4,PD=5,求∠COD 的大小.【解析】由割线定理得,PA·PB=PC·PD,因为 PA=4,PD=5,所以 4×10=5·PC,所以 PC=8,所以 CD=8-5=3,所以△CDO 是等边三角形,所以∠COD=60°.5.(2016·郑州模拟)如图,P 是☉O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与☉O 相交于点 B,C,PC=2PA,D为 PC 的中点,AD 的延长线交☉O 于点 E.求证:(1)BE=EC.(2)AD·DE=2PB 2.【解析】(1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而 = .因此 BE=EC.- 6 -(2)由切割线定理得 PA2=PB·PC.因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得 AD·DE=BD·DC,所以 AD·DE=2PB2.6.如图,点 A 是以线段 BC 为直径的☉O 上一点,AD⊥BC 于点 D,过点 B 作☉O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,连接 AF 并延长与 CB 的延长线相交于点 P.(1)求证:BF=EF.(2)求证:PA 是☉O 的切线.【证明】(1)因为 BE 是☉O 的切线,所以 EB⊥BC.又因为 AD⊥BC,所以 AD∥BE.可知△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC,所以 = , = ,所以 = .又因为 G 是 AD 的中点,所以 DG=AG,所以 BF=EF.(2)如图,连接 AO,AB.因为 BC 是☉O 的直径,所以∠BAC=90°.在 Rt△BAE 中,由(1)得知 F 是斜边 BE 的中点,所以 AF=FB=EF.所以∠FBA=∠FAB.又因为 OA=OB,所以∠ABO=∠BAO.- 7 -因为 BE 是☉O 的切线,所以∠EBO=90°.所以∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°,所以 PA 是☉O 的切线.【加固训练】1.(2016·郑州模拟)如图,已知圆 O 是△ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是圆 O的直径.过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F.(1)求证:AC·BC=AD·AE.(2)若 AF=2,CF=2 ,求 AE 的长.【解析】(1)连接 BE,由题意知△ABE 为直角三角形.因为∠ABE=∠ADC=90°,∠AEB=∠ACB,△ABE∽△ADC,所以 = ,即 AB·AC=AD·AE,又 AB=BC,所以 AC·BC=AD·AE.(2)因为 FC 是圆 O 的切线,所以 FC2=FA·FB,又 AF=2,CF=2 ,所以 BF=4,AB=BF-AF=2,因为∠ACF=∠FBC,又∠CFB=∠AFC,所以△AFC∽△CFB,所以 = ,得 AC= = ,- 8 -所以△ABC 为等腰三角形,过 B 作 BH⊥AC 于点 H,则 cos∠ACD= = ,所以 sin∠ACD= =sin∠AEB,所以 AE= = .2.(2016·邢台模拟)如图,△ABO 三边上的点 C,D,E 都在☉O 上,已知 AB∥DE,AC=CB.(1)求证:直线 AB 是☉O 的切线.(2)若 AD=2,且 tan∠ACD= ,求☉O 的半径 r 的长.【解析】(1)如图所示,连接 OC.因为 AB∥DE,所以 = .因为 OD=OE,所以 OA=OB.因为 AC=CB,所以 OC⊥AB,所以直线 AB 是☉O 的切线.(2)延长 AO 交☉O 于点 F,连接 CF.由(1)可得∠ACD=∠F.因为 tan∠ACD= ,所以 tanF= .因为△ACD∽△AFC,所以 = = ,而 AD=2,所以 AC=4.由切割线定理可得:AC 2=AD·(AD+2r),所以 42=2×(2+2r),解得 r=3.3.如图,直线 AB 为圆的切线,切点为点 B,点 C 在圆上,∠ABC 的平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点- 9 -D.(1)证明:DB=DC.(2)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.【解析】(1)连接 DE 交 BC 于点 G.由弦切角定理得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为 DB⊥BE,所以 DE 为直径,∠DCE=90°,由勾股定理得 DB=DC.(2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= .设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60°,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 的外接圆的半径等于 .