1、高考专题突破四 高考中的立体几何问题,第八章 立体几何与空间向量,内容索引,考点自测 快速解答 自查自纠,题型分类 对接高考 深度剖析,练出高分,考点自测,1设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面 其中使“xz且yzxy”为真命题的是( ) A B C D 解析 由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知为真命题,C,考点自测,1,解析答案,1,2,3,4,5,2已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ),C,解析答案,1,2,3,4,5
2、,3已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则( ) A且l B且l C与相交，且交线垂直于l D与相交，且交线平行于l 解析 假设，由m平面，n平面，则mn，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么与相交，设交线为l1，则l1m，l1n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1l.,D,解析答案,1,2,3,4,5,4设，是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上) 解析 由线面平行的性质定理可知，正
3、确；当b，a时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.,或,或,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2014江苏改编)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点若PAAC，PA6，BC8，DF5.则PA与平面DEF的位置关系是_；平面BDE与平面ABC的位置关系是_(填“平行”或“垂直”),1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析 因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DEPA. 又因为PA平面DEF，DE平面DEF， 所以直线PA平面DEF. 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，,解析答案,又因
4、为DF5，故DF2DE2EF2， 所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE平面ABC， 又DE平面BDE， 所以平面BDE平面ABC.,答案 平行 垂直,返回,题型分类,例1 (2015重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ),A,求空间几何体的表面积与体积,题型一,解析答案,思维升华,组合体的表面积与体积的求解是高考考查的重点，解决此类问题可通过分割或补形将组合体变为规则的柱体、锥体、球等几何体的表面积和体积问题，然后根据几何体表面积与体积的构成用它们的和或差来表示在求解过程中应注意两个问题
5、，一是注意表面积与侧面积的区别，二是注意几何体重叠部分的表面积、挖空部分的体积的计算,思维升华,(1)一个半径为2的球体经过切割之后所得几 何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_,16,跟踪训练1,解析答案,(2)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_,解析答案,例2 (2014课标全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 (1)证明：PB平面AEC； 证明 连接BD交AC于点O，连接EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点 又E为PD的中点，所以EOPB. 因为EO平面AEC，PB平面AEC， 所以PB平面AEC.,解析答
6、案,空间点、线、面的位置关系,题型二,解析答案,思维升华,解 因为PA平面ABCD，ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直,解析答案,思维升华,设B(m,0,0)(m0)，,设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，,解析答案,思维升华,又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量，,因为E为PD的中点，,思维升华,高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用,思维升华,(2015湖南)如图，已知四棱台ABC
7、D-A1B1C1D1的上、 下底面分别是边长为3和6的正方形，A-A16，且AA1底面 ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上 (1)若P是DD1的中点， 证明：AB1PQ；,跟踪训练2,解析答案,证明 方法一 由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)， B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中mBQ,0m6.,(2)若PQ平面ABB1A1，二面角P-QD-A的余弦值为 ，求四面体ADPQ的体积,解析答案,设n1(x，y，z
8、)是平面PQD的一个法向量，,取y6，得n1(6m,6,3),解析答案,又平面AQD的一个法向量是n2(0,0,1)，,解析答案,由此得点P(0,63，6)，,因为PQ平面ABB1A1， 且平面ABB1A1的一个法向量是n3(0,1,0)，,于是，将四面体ADPQ视为以ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，则其高h4.,解析答案,方法二 证明 如图a，取A1A的中点R，连接PR，BR.,图a,因为A1A，D1D是梯形A1ADD1的两腰，P是D1D的中点， 所以PRAD，于是由ADBC知，PRBC，所以P，R，B，C四点共面 由题设知，BCAB，BCA1A，因为ABA1AA， 所以BC平面ABB1A1
9、，,解析答案,又AB1平面ABB1A1，因此BCAB1. ,所以ABRA1AB1， 因此ABRBAB1A1AB1BAB190， 于是AB1BR.再由BCAB1， 又BCBRB，即知AB1平面PRBC. 又PQ平面PRBC，故AB1PQ.,(2)若PQ平面ABB1A1，二面角P-QD-A的余弦值为 ，求四面体ADPQ的体积,解析答案,解 如图b，过点P作PMA1A交AD于点M，则PM平面ABB1A1. 因为A1A平面ABCD， 所以PM平面ABCD， 过点M作MNQD于点N，连接PN， 则PNQD，PNM为二面角P-QD-A的平面角，,连接MQ，由PQ平面ABB1A1及PM平面ABB1A1，PM
10、PQP知，平面PQM平面ABB1A1，,图b,解析答案,所以MQAB. 又四边形ABCD是正方形，所以四边形ABQM为矩形，故MQAB6.,过点D1作D1EA1A交AD于点E， 则四边形AA1D1E为矩形， 所以D1EA1A6，AEA1D13， 因此EDADAE3.,解析答案,解得t2，因此PM4.,例3 (2015陕西)如图1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD ，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.,平面图形的翻折问题,题型三,(1)证明：CD平面A1OC；,解析答案,证明 在图1中，,所以BEAC， 即在图2中，BEO
11、A1，BEOC，且A1OOCO， 从而BE平面A1OC. 又在直角梯形ABCD中，ADBC，BC AD，E为AD中 点，所以BC綊ED，,所以四边形BCDE为平行四边形，故有CDBE， 所以CD平面A1OC.,(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值,解析答案,思维升华,解 由已知，平面A1BE平面BCDE， 又由(1)知，BEOA1，BEOC， 所以A1OC为二面角A1-BE-C的平面角，,如图，以O为原点，建立空间直角坐标系， 因为A1BA1EBCED1，BCED，,解析答案,思维升华,设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n
12、2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，,解析答案,思维升华,思维升华,平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化,思维升华,(2014广东)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.,跟踪训练3,(1)证明：CF平面MDF； 证明 因为PD平面ABCD，AD平面ABCD， 所以PDAD. 又因为ABCD是矩形，
13、CDAD，PD与CD交于点D， 所以AD平面PCD.又CF平面PCD， 所以ADCF，即MDCF. 又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.,解析答案,(2)求三棱锥MCDE的体积,解析答案,解 因为PDDC，BC2，CD1，PCD60，,如图，过点F作FGCD交CD于点G，,解析答案,例4 (2014四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 (1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1； 证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1AB，AA1AC. 因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线， 所以AA1平面ABC. 因为直线BC平面
14、ABC，所以AA1BC. 又由已知，ACBC，AA1和AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC平面ACC1A1.,线面位置关系中的存在性问题,题型四,解析答案,(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论 解 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C， AC1，设点O为A1C，AC1的交点 由已知，点O为AC1的中点 连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线， 所以MD綊 AC，OE綊 AC， 因此MD綊OE. 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO. 因为直线DE平面A1MC，
15、MO平面A1MC， 所以直线DE平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.,解析答案,思维升华,对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设,思维升华,如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5. (1)求证：AA1平面ABC； 证明 在正方形AA1C1C中，A1AAC. 又平面ABC平面AA1C1C， 且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面AA1C1C， AA
16、1平面ABC.,跟踪训练4,解析答案,(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；,解析答案,解 在ABC中，AC4，AB3，BC5， BC2AC2AB2，ABAC 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.,设平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2),解析答案,由图知二面角A1BC1B1为锐角，,(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求 的值,(x，y3，z)(4，3,4)， 解得x4，y33，z4.,又ADA1B，03(33)160,解析答案,例5 (2015天津)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1
17、A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD ，且点M和N分别为B1C和D1D的中点,空间向量与立体几何,题型五,(1)求证：MN平面ABCD；,解析答案,依题意可得A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2，0,0)， D(1，2，0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)， D1(1，2,2)， 又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，,解 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，,解析答案,又因为直线MN平面ABCD， 所以MN平面ABCD.,(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值；,解析答案,设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的法向量，则,不妨设z1
18、1，可得n1(0,1,1),解析答案,设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的法向量，则,解析答案,思维升华,则E(0，2)，,解析答案,思维升华,整理得2430，,思维升华,用向量法解决立体几何问题，可使复杂问题简单化，使推理论证变为计算求解，降低思维难度，使立体几何问题“公式”化，训练的关键在于“归类、寻法”,思维升华,(2014北京)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：ABFG； 证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点， 所以ABDE. 又因为AB平面PDE
19、， 所以AB平面PDE. 因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG， 所以ABFG.,跟踪训练5,解析答案,(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长,解析答案,返回,解 因为PA底面ABCDE， 所以PAAB，PAAE. 如图建立空间直角坐标系Axyz，,解析答案,设平面ABF的一个法向量为n(x，y，z)，则,令z1，则y1，所以n(0，1,1) 设直线BC与平面ABF所成角为，,解析答案,即(0，1,1)(2，22)0.,因为n是平面ABF的一个法向量，,返回,设点H的坐标为(u，v，w),即(u，v，w2)(2,1，2)， 所以u
20、2，v，w22.,解析答案,练出高分,1某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( ),解析 由三视图知四棱台的直观图为,B,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,2已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题： 若m，m，则； 若m，n，m，n，则； 如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交； 若m，nm，且n，n，则n且n. 其中正确的是( ) A B C D,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,解析 根据面面垂直的判定定理知正确； 若mn，则得不出，错误； n与还可能平行，错误； 易知正确 答案 D,1,2,3,4,5,6,7,8,3.如图梯形ABCD中，
21、ADBC，ABC90，ADBCAB234，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论： DFBC； BDFC； 平面DBF平面BFC； 平面DCF平面BFC. 在翻折过程中，可能成立的结论是_(填写结论序号),1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,解析 因为BCAD，AD与DF相交不垂直， 所以BC与DF不垂直，则不成立； 设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有 BDFC，而ADBCAB234，可使条件满足， 所以正确； 当点P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确； 因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面
22、BFC不成立，即错误故答案为. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点， 点F是棱CD上的动点，当 _时，D1E平面AB1F.,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,解析 如图，连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影 AB1A1B，D1EAB1， 又D1E平面AB1FD1EAF. 连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影， D1EAFDEAF. ABCD是正方形，E是BC的中点， 当且仅当F是CD的中点时，DEAF， 即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F，,1,2,3,4,5,6,7,8,答案 1
23、,5如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. (1)证明：ABA1C； 证明 如图，取AB的中点O，连接CO、A1O. CACB，COAB， 又AA1AB，AA12AO， 又A1AO60， AOA190，即ABA1O， COA1OO，AB平面A1OC， A1C平面A1OC，ABA1C.,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,解 以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，,
24、1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,设n(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,6 (2015浙江)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点 (1)证明：A1D平面A1BC；,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,证明 设E为BC的中点，由题意得A1E平面ABC， 因为AE平面ABC，所以A1EAE. 因为ABAC，所以AEBC. 又A1EBCE，故AE平面A1BC. 由D，E分别为B1C1，BC的中点，得 DEB1B且D
25、EB1B，从而DEA1A且DEA1A， 所以四边形A1AED为平行四边形 故A1DAE. 又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,解 方法一 如图所示，作A1FBD且A1FBDF，连接B1F.,得A1BA1A4. 由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB与B1DB全等 由A1FBD，得B1FBD， 因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,方法
26、二 以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为 x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示 由题意知各点坐标如下：,设平面A1BD的法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n(x2，y2，z2),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,可取n( ，0,1),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,7如图，已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB 底面ABC，BBAC，底面ABC是边长为2的等边三角形， AA3，E，F分别在棱AA，CC上，且AECF2.,1,2,3,4,5,6,7,8,(1)求证：BB底面ABC； 证明 如图，取BC的中点O，连接AO， 三角形AB
27、C是等边三角形， AOBC. 平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面ACCB平面ABCBC， AO平面BCCB. 又BB平面BCCB， AOBB. 又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC， BB底面ABC.,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,(2)在棱AB上找一点M，使得CM平面BEF，并给出证明 解 显然点M不是点A，B，若棱AB上存在一点M，使得CM平面BEF， 过点M作MNAA交BE于N，连接FN，MC，如图 所以MNCF，即CM和FN共面， 又平面MNFC平面BEFFN，所以CMFN， 所以四边形CMNF为平行四边形，所以MN2， 所以MN是梯形ABBE的
28、中位线，M为AB的中点 故当M为AB的中点时，CM平面BEF.,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,8如图所示，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BD AE2，O，M分别为CE，AB的中点 (1)求证：OD平面ABC；,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,证明 如图，取AC中点F，连接OF，FB. F是AC中点，O为CE中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,OFDB，OFDB， 四边形BDOF是平行四边形，ODFB. 又FB平面ABC，OD平面ABC， OD平面ABC.,(2)求直线CD和平面ODM所成角的正
29、弦值；,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,解 平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，且BDBA， DB平面ABC. BDAE，EA平面ABC. 如图所示，以C为原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴， 以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐 标系,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,ACBC4， C(0,0,0)，A(4，0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,设平面ODM的法向量为n(x，y，z)，,解析答案,令x2，得y1，z1.n(2,1,1) 设直线CD和平面ODM所成角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,(3)能否在EM上找一点N，使得ON平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,解 当N是EM中点时，ON平面ABDE. 由(2)设N(a，b，c)，,1,2,3,4,5,6,7,8,即(a2，b2，c)(4a，b,4c)，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,当N是EM的中点时，ON平面ABDE.,返回,本课结束,更多精彩内容请登录：,,
