学练考2015-2016学年高中数学 滚动习题（1-5）（打包5套）新人教A版必修2.zip

1滚动习题(二)[范围 2.1～2.2][时间：45 分钟 分值：100 分]题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分)1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A．异面 B．相交C．平行 D．不能确定2．如图 G2­1是正方体或四面体， P， Q， R， S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )图 G2­13．设 l为直线， α ， β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若 l∥ α ， l∥ β ，则 α ∥ βB．若 l⊥ α ， l⊥ β ，则 α ∥ βC．若 l⊥ α ， l∥ β ，则 α ∥ βD．若 α ⊥ β ， l∥ α ，则 l⊥ β4． a， b是两条异面直线， A是不在直线 a， b上的点，则下列结论成立的是( )A．过 A有且只有一个平面同时平行于直线 a， bB．过 A至少有一个平面同时平行于直线 a， bC．过 A有无数个平面同时平行于直线 a， bD．过 A且同时平行于直线 a， b的平面可能不存在5． l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．若 l1⊥ l2， l2⊥ l3，则 l1∥ l3B．若 l1⊥ l2， l2∥ l3，则 l1⊥ l3C．若 l1∥ l2∥ l3，则 l1， l2， l3共面D．若 l1， l2， l3共点，则 l1， l2， l3共面图 G2­26．如图 G2­2所示，正方体 ABCD­A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E， F，且 EF＝ ，则下列结论中错误的是( )222A． AC⊥ BEB． EF∥平面 ABCDC．直线 AB与平面 BEF所成的角为定值D．异面直线 AE， BF所成的角为定值7．如图 G2­3所示，长方体 ABCD­A1B1C1D1中， BB1＝ BC， P为 C1D1上一点，则异面直线PB与 B1C所成角的大小( )图 G2­3A．是 45° B．是 60°C．是 90° D．随 P点的移动而变化8．点 E， F， G， H分别为空间四边形 ABCD中 AB， BC， CD， AD的中点，若 AC＝ BD，且AC与 BD所成角的大小为 90°，则四边形 EFGH是( )A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形二、填空题(本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分)9．图 G2­4是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：① AB与 CD所在直线垂直；② CD与 EF所在直线平行；③ AB与 MN所在直线成 60°角；④ MN与 EF所在直线异面．其中正确命题的序号是________．图 G2­4图 G2­510．如图 G2­5所示， P是平行四边形 ABCD所在平面外一点， E为 PB的中点， O为AC， BD的交点，则图中与 EO平行的平面有________________．11．已知平面 α ∥ β ， P∉α 且 P∉β ，过点 P的直线 m与 α ， β 分别交于点 A， C，3过点 P的直线 n与 α ， β 分别交于点 B， D，且 PA＝6， AC＝9， PD＝8，则 BD的长为________．三、解答题(本大题共 3小题，共 45分)得分12．(15 分)如图 G2­6所示，空间四边形 ABCD中， E， F， G分别在 AB， BC， CD上，且满足 AE∶ EB＝ CF∶ FB＝2∶1， CG∶ GD＝3∶1，过点 E， F， G的平面交 AD于 H，连接 EH.(1)求 AH∶ HD；(2)求证： EH， FG， BD三线共点．图 G2­613．(15 分)如图 G2­7所示，四棱柱 ABCD­A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形， O是底面中心， A1O⊥底面 ABCD， AB＝ AA1＝ .2(1)证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1；(2)求三棱柱 ABD­A1B1D1的体积．图 G2­7414．(15 分)在正四棱柱 ABCD­A1B1C1D1中， E为 CC1的中点．(1)求证： AC1∥平面 BDE；(2)求异面直线 A1E与 BD所成角的大小．图 G2­85滚动习题(二)1．C [解析] 设 α ∩ β ＝ l， a∥ α ， a∥ β ，则过直线 a作与平面 α ， β 都相交的平面 γ ，记 α ∩ γ ＝ b， β ∩ γ ＝ c，则 a∥ b且 a∥ c，∴ b∥ c.又b⊂α ， α ∩ β ＝ l，∴ b∥ l， ∴ a∥ l.2．D [解析] A中分别连接 PS， QR，易证 PS∥ QR，∴ P， S， Q， R四点共面；B 中P， S， R， Q均在截面 PSRQ上，∴ P， S， R， Q四点共面；C 中分别连接 PQ， RS，易证PQ∥ RS，∴ P， Q， R， S四点共面．故选 D.3．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选 B.4．D [解析] 过点 A可作直线 a′∥ a， b′∥ b，则 a′∩ b′＝ A，∴直线 a′， b′可确定一个平面，记为平面 α .如果 a⊄α ， b⊄α ，则 a∥ α ， b∥ α .由于平面 α 可能过直线 a， b之一，因此，过点 A且同时平行于直线 a， b的平面可能不存在．5．B [解析] 在选项 A中， l1⊥ l2， l2⊥ l3，则 l1与 l3可以平行也可以相交或异面，借助正方体的棱很容易理解；在选项 B中， l1⊥ l2， l2∥ l3，则由异面直线所成角的定义可以推出 l1⊥ l3；在选项 C中， l1∥ l2∥ l3，三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱互相平行但不共面；在选项 D中，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．6．D [解析] ∵ AC⊥平面 BDD1B1， BE⊂平面 BDD1B1，∴ AC⊥ BE，故 A正确；∵ EF∥ BD，∴ EF∥平面 ABCD，故 B正确；直线 AB与平面 BEF所成的角即为直线 AB与平面BDD1B1所成的角，故为定值，所以 C正确；只有选项 D是错误的．7．C [解析] 连接 BC1.因为 BB1＝ BC，所以 BC1⊥ B1C.又因为 D1C1⊥平面 BCC1B1， B1C⊂平面 BCC1B1，所以 D1C1⊥ CB1，所以 B1C⊥平面 BD1C1，所以 PB⊥ B1C，所以异面直线 PB与B1C所成角为 90°.8．C [解析] 由题意得 EH綊 BD， FG綊 BD，∴ EH綊 FG.12 12又 EF＝ AC， AC＝ BD，∴ EF＝ EH，∴四边形 EFGH为菱形．又∵ AC与 BD所成角的大小12为 90°，∴ EF⊥ EH，即四边形 EFGH为正方形．9．③④10．平面 PAD、平面 PCD [解析] 因为 O为 BD的中点．又∵在△ PBD中， E为 PB的中点，∴ EO∥ PD，又 EO在平面 PAD、 PCD外， PD在平面 PAD、 PCD内，所以 EO与平面 PAD、平面 PCD平行．11. 或 24 [解析] 如图①所示，∵ AC∩ BD＝ P，245∴经过直线 AC与 BD可确定平面 PCD.∵ α ∥ β ， α ∩平面 PCD＝ AB， β ∩平面 PCD＝ CD，∴ AB∥ CD.∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ BD＝ .PAAC PBBD 69 8－ BDBD 2456如图②所示，同理可证 AB∥ CD，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ BD＝24.综上所述， BD的PAPC PBPD 63 BD－ 88长为 或 24.24512．解：∵ ＝ ＝2，∴ EF∥ AC，∴ EF∥平面 ACD.∵ EF⊂平面 EFGH，AEEB CFFB且平面 EFGH∩平面 ACD＝ GH，∴ EF∥ GH.又 EF∥ AC，∴ AC∥ GH.∴ ＝ ＝3，即 AH∶ HD＝3∶1.AHHD CGGD(2)证明：∵ EF∥ GH，且 ＝ ， ＝ ，EFAC 13 GHAC 14∴ EF≠ GH，∴四边形 EFGH为梯形．设 EH∩ FG＝ P，则 P∈ EH，而 EH⊂平面 ABD，P∈ FG， FG⊂平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝ BD，∴ P∈ BD，∴ EH， FG， BD三线共点．13．解：(1)证明：由题意知， BB1綊 DD1，∴四边形 BB1D1D是平行四边形，∴ BD∥ B1D1.又 BD⊄平面 CD1B1， B1D1⊂平面 CD1B1，∴ BD∥平面 CD1B1.∵ A1D1綊 BC，∴四边形 A1BCD1是平行四边形，∴ A1B∥ D1C.又 A1B⊄平面 CD1B1， D1C⊂平面 CD1B1，∴ A1B∥平面 CD1B1.又∵ BD∩ A1B＝ B，∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.(2)∵ A1O⊥平面 ABCD，∴ A1O是三棱柱 ABD­A1B1D1的高．∵四边形 ABCD为正方形，且 AB＝ ，∴ AC＝2，2∴ AO＝ AC＝1，又 AA1＝ ，∴ A1O＝ ＝1.12 2又∵ S△ ABD＝ × × ＝1，∴ VABD­A1B1D1＝ S△ ABD·A1O＝1.12 2 214.解：(1)证明：连接 AC交 BD于点 O，连接 EO.因为四边形 ABCD为正方形，所以 O为 AC中点．又 E为 CC1中点，所以 OE为△ AC1C的中位线，所以 OE∥ AC1.又 OE⊂平面 BDE，AC1⊄平面 BDE，所以 AC1∥平面 BDE.(2)由题意知， BD⊥ A1A.因为 BD⊥ AC，A1A∩ AC＝ A， A1A⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，所以 BD⊥平面 A1ACC1.7又因为 A1E⊂平面 A1ACC1，所以 BD⊥ A1E，所以 A1E与 BD所成角为 90°.1滚动习题(三)[范围 2.1～2.3][时间：45 分钟 分值：100 分]题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分)1．如图 G3­1所示，点 P， Q， R， S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则表示直线 PQ与 RS是异面直线的图形的是( )A B C D图 G3­12．已知直线 l⊥平面 α ，直线 m⊂平面 β ，有下面四个命题：①若 α ∥ β ，则 l⊥ m；②若 α ⊥ β ，则 l∥ m；③若 l∥ m，则 α ⊥ β ；④若 l⊥ m，则 α ∥ β .其中真命题的序号是( )A．①与② B．①与③C．②与④ D．③与④3．已知两条不同的直线 m， n，两个不同的平面 α ， β ，则下列命题中正确的是( )A．若 m⊥ α ， n∥ β ， α ⊥ β ，则 m⊥ nB．若 m∥ α ， n⊥ β ， α ⊥ β ，则 m∥ nC．若 m⊥ α ， n⊥ β ， α ⊥ β ，则 m⊥ nD．若 m∥ α ， n∥ β ， α ∥ β ，则 m∥ n4．在正方体 ABCD ­ A1B1C1D1中，下列说法中正确的是( )A． A1C1⊥ AD B． D1C1⊥ ABC． AC1与 DC成 45°角 D． A1C1与 B1C成 60°角5．如图 G3­2，直三棱柱 ABC ­ A1B1C中，侧棱 AA1⊥平面 ABC.若AB＝ AC＝ AA1＝1， BC＝ ，则异面直线 A1C与 B1C1所成的角为( )2A．30° B．45°C．60° D．90°图 G3­22图 G3­36．如图 G3­3所示，在正方体 AC1中， E， F分别是 AB和 AA1的中点，给出下列说法：① E， C， D1， F四点共面；② CE， D1F， DA三线共点；③ EF和 BD1所成的角为 45°；④ A1B∥平面 CD1E；⑤ B1D⊥平面 CD1E.其中正确说法的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．57．正方体 ABCD­A1B1C1D1中， BD1与平面 ABCD所成角的余弦值为( )图 G3­4A. B. C. D.23 33 23 638．如图 G3­5所示，四边形 ABCD中， AB＝ AD＝ CD＝1， BD＝ ， BD⊥ CD.将四边形2ABCD沿对角线 BD折成四面体 A′­ BCD，使平面 A′ BD⊥平面 BCD，则下列结论正确的是( )图 G3­5A． A′ C⊥ BDB．∠ BA′ C＝90°C． CA′与平面 A′ BD所成的角为 30°D．四面体 A′­ BCD的体积为13二、填空题(本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分)9．下列四个命题中，真命题的个数为________．①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若点 M∈ α ， M∈ β ， α ∩ β ＝ l，则 M∈ l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．10．已知点 E， F分别在正方体 ABCD ­ A1B1C1D1的棱 BB1， CC1上，且B1E＝2 EB， CF＝2 FC1，则平面 AEF与平面 ABC所成的二面角的正切值等于________．11．在空间四边形 ABCD中， E， F， G， H分别是 AB， BC， CD， DA的中点，若AC＝ BD＝ a，且 AC与 BD所成的角为 60°，则四边形 EFGH的面积是________．三、解答题(本大题共 3小题，共 45分)3得分12．(15 分)如图 G3­6所示，在直三棱柱 ABC ­ A1B1C1中，∠ ACB＝90°，AC＝ BC＝ CC1＝ a， E是 A1C1的中点， F是 AB的中点．(1)求证： EF∥平面 BB1C1C；(2)求直线 EF与直线 CC1所成角的正切值．图 G3­613．(15 分)如图 G3­7，在底面为直角梯形的四棱锥 S­ABCD中，∠ ABC＝90°， SA⊥平面 ABCD， SA＝ AB＝ BC＝2， AD＝1.(1)求证：平面 SAB⊥平面 SBC；(2)求 SC与底面 ABCD所成角的正切值．图 G3­714．(15 分)如图 G3­8所示，在四棱锥 P ­ ABCD中，底面 ABCD是菱形，∠ ABC＝60°，PA⊥平面 ABCD， M， N分别为 BC， PA的中点， PA＝ AB＝2.(1)求证： BC⊥平面 AMN.(2)在线段 PD上是否存在一点 E，使得 MN∥平面 ACE？若存在，求出 PE的长；若不存在，请说明理由．4图 G3­85滚动习题(三)1．C [解析] ∵异面的两条直线既不平行也不相交，∴观察可得 C符合题意．2．B [解析] ② 中两直线还可能相交或异面，故②不正确；④中，两平面还可能相交或垂直，故④不正确．3．C [解析] A 中 m与 n可能平行、相交或异面，故 A错误；B中 m与 n可能平行、相交或异面，故 B错误；C正确；D中 m与 n可能平行、相交或异面．4．D [解析] 如图所示，易知选项 A，B 错误；对于 C，∵ DC∥ AB，∴ AC1与 DC所成的角即为∠ C1AB，且△ ABC1是直角三角形， AB≠ BC1，∴∠ C1AB≠45°，即 AC1与 DC所成的角也不是 45°，故选项 C错误；对于 D，∵ A1C1∥ AC，∴∠ B1CA就是异面直线 A1C1与 B1C所成的角，且其大小为 60°.5．C [解析] 因为几何体是棱柱， BC∥ B1C1，则直线 A1C与 BC所成的角就是异面直线A1C与 B1C1所成的角，直三棱柱 ABC­A1B1C1中，侧棱 AA1⊥平面 ABC，若AB＝ AC＝ AA1＝1， BC＝ ， BA1＝ ＝ ，2 2CA1＝ ＝ ，2所以三角形 BCA1是正三角形，故异面直线所成角为 60°.6．B [解析] ∵ EF∥ CD1，∴ E， C， D1， F四点共面，故①正确；∵ CE与 D1F相交，交点在 DA上，∴ CE， D1F， DA三线共点，故②正确； EF和 BD1所成的角即为 A1B和 BD1所成角，其正切值为 ，故③错误； ∵ A1B∥ CD1， A1B⊄面 CD1E，∴ A1B∥平面 CD1E，故④正确；22∵ B1D⊥ AC，∴ B1D不垂直于 EC，∴ B1D不垂直于平面 CD1E，故⑤错误．7．D [解析] 连接 BD，因为 DD1⊥平面 ABCD，所以 BD1与平面 ABCD所成角为∠ DBD1，所以 cos∠ DBD1＝ ＝ .BDBD1 638．B [解析] 因为平面 A′ BD⊥平面 BCD， BD⊥ CD，所以 CD⊥平面 A′ BD，所以CD⊥ BA′.由勾股定理，得 A′ D⊥ BA′.又因为 CD∩ A′ D＝ D，所以 BA′⊥平面 A′ CD，所以∠ BA′ C＝90°.9．1 [解析] 只有③正确．10. [解析] 在平面 BC1内延长 FE与 CB相交于点 G，连接 AG，过点 B作 BH垂直 AG23于点 H，连接 EH.∵ BE⊥平面 ABCD， AG⊂平面ABCD，∴ BE⊥ AG.∵ BH⊥ AG， BH∩ EB＝ B，∴ AG⊥平面 BEH，∴ AG⊥ EH.故∠ BHE是平面 AEF与平面 ABC所成二面角的平面角．设正方体的棱长为 a，则 BE＝ ， CF＝ a，所以a3 23GB∶ GC＝ BE∶ CF＝1∶2，所以 BG＝ a，所以 BH＝ a，故 tan ∠ BHE＝ ＝ ＝ .22 BEBHa322a 2311. a2 [解析] ∵ E， F， G， H分别是 AB， BC， CD， DA的中点，∴易知四边形 EFGH38为平行四边形．又 EF＝ AC， FG＝ BD， AC＝ BD＝ a，12 126∴ EF＝ FG＝ a，∴四边形 EFGH为菱形．12又 EF∥ AC， FG∥ BD，∴∠ EFG是异面直线 AC与 BD所成的角，即∠ EFG＝60°，∴ S 四边形 EFGH＝2× × 2＝ a2.34 a2 3812．解：(1)证明：如图所示，取 AC的中点 G，连接 EG， FG.∵ EG∥ C1C， FG∥ BC，且 EG∩ FG＝ G， CC1∩ BC＝ C，∴平面 EFG∥平面 BB1C1C.又 EF⊂平面 EFG，则 EF∥平面 BB1C1C.(2)∵ EG∥ CC1，∴直线 EF与直线 CC1所成角为∠ FEG.又△ EFG是直角三角形，且∠ FGE＝90°，∴tan∠ FEG＝ ＝ ＝ .FGEG 12aa 1213．解：(1)证明：∵ SA⊥平面 ABCD， BC⊂平面 ABCD，∴ SA⊥ BC.又∵ AB⊥ BC， SA∩ AB＝ A，∴ BC⊥平面 SAB.∵ BC⊂平面 SBC，∴平面 SAB⊥平面 SBC.(2)连接 AC.∵ SA⊥平面 ABCD，∴∠ SCA就是 SC与底面 ABCD所成的角．在直角三角形 SCA中， SA＝2， AC＝ ＝2 ，22＋ 22 2则 tan∠ SCA＝ ＝ ＝ .SAAC 22 2 2214．解：(1)证明：因为四边形 ABCD为菱形，所以 AB＝ BC.又∠ ABC＝60°，所以 AB＝ BC＝ AC.因为 M为 BC中点，所以 BC⊥ AM.又 PA⊥平面 ABCD， BC⊂平面 ABCD，所以 PA⊥ BC.又 PA∩ AM＝ A，所以 BC⊥平面 AMN.(2)存在，点 E为 PD的中点，理由如下：连接 NE， EC，如图所示．因为 N， E分别为 PA， PD的中点，所以 NE∥ AD，且 NE＝ AD.12又在菱形 ABCD中， CM∥ AD，且 CM＝ AD，12所以 NE∥ MC， NE＝ MC，即四边形 MCEN是平行四边形，所以 NM∥ EC.又 EC⊂平面 ACE， NM⊄平面 ACE，所以 MN∥平面 ACE.即在 PD上存在一点 E，使得 NM∥平面 ACE，此时 PE＝ PD＝ .12 2