2017版高考数学一轮总复习 第3章 导数及其应用 文（课件+习题）（打包6套）新人教A版.zip

第一 节 导 数的概念及其运算知 识 点 导 数的概念及运算1.导 数的概念及几何意 义斜率(3)函数 f(x)的 导 函数称函数 f′(x)为 f(x)的 导 函数， 导 函数有 时 也 记 作 y′.2.导 数的 计 算(1)基本初等函数的 导 数公式cos x－ sin xaxln a(a0)ex(2)导 数的运算法 则① [f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)；② [f(x)·g(x)]′＝ ；f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)►在某一点 处导 数 值 的一个易 错 点： f′(x0)是一个常数 .(1)[求 f′(x0)时 ， 应 先求 导 再代入求 值 ]已知 f(x)＝ x＋ ln x， 则f′(1)＝ ________.答案 2(2)[在有关 计 算 时 ， f′(x0)作 为 常数 ]已知函数 f(x)的 导 函数 为f′(x)，且 满 足 f(x)＝ 3x2＋ 2x·f′(2)， 则 f′(2)＝ ________.解析 f′(x)＝ 6x＋ 2f′(2)，令 x＝ 2得 f′(2)＝ 12＋ 2f′(2)，解得 f′(2)＝－ 12.答案 － 12►三个 应 用 .f′(x0)的几何意 义 的三个 应 用：求切 线 方程，求切点坐 标 ，求参数的 值 (或范 围 )(3)若曲 线 y＝ x4的一条切 线 与直 线 x＋ 4y－ 8＝ 0垂直， 则 切点坐 标为 ________.解析 切线的斜率为 4， y′＝ 4x3， 令 4x3＝ 4， 解得 x＝ 1， 代入 y＝ x4得 y＝ 1， 即切点坐标为 (1， 1).答案 (1， 1)(4)若曲 线 y＝ xα＋ 1(α∈ R)在点 (1， 2)处 的切 线经过 坐 标 原点， 则 α＝ ________.答案 2►一个易混点： 导 数运算的除法公式 .突破 导 数的 计 算方法￿ 导 数运算的原 则 和方法(1)原 则 ：先化 简 解析式，使之 变 成能用公式求 导 的函数的和、差、 积 、商，再求 导 .(2)方法：① 连 乘形式：先展开化 为 多 项 式形式，再求 导 .② 三角形式：先利用三角函数公式 转 化 为 和或差的形式，再求 导 .③ 复杂分式：先化为整式函数或较为简单分式函数，再求导 .④ 根式形式：先化为分数指数幂的形式再求导 .⑤ 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 .【例 1】 求下列函数的 导 数：[点 评 ] (2)中函数若直接求 导 ， 计 算繁 琐 ， 且容易出 错 ，应 先化 简 再求 导 .利用 导 数求切 线 方程的解 题 方略￿ 若已知曲 线过 点 P(x0， y0)， 求曲 线过 点 P(x0， y0)的切 线 ，则 需分点 P(x0， y0)是切点和不是切点两种情况求解 .(1)点 P(x0， y0)是切点 时 ：第一步：求 导 数 f′(x)；第二步：求切 线 斜率 k＝ f′(x0)；第三步：写切 线 方程 为 y－ y0＝ f′(x0)(x－ x0).(2)当点 P(x0， y0)不是切点 时 可分以下几步完成：第一步： 设 出切点坐 标 P′(x1， f(x1))；第二步：写出 过 P′(x1， f(x1))的切 线 方程 y－ f(x1)＝ f′(x1)·(x－x1)；第三步：将点 P的坐 标 (x0， y0)代入切 线 方程，求出 x1；第四步：将 x1的 值 代入方程 y－ f(x1)＝ f′(x1)(x－ x1)，可得 过 点P(x0， y0)的切 线 方程 .￿ 求参数或者参数范 围(1)求参数的基本方法是：利用切点的坐 标 、切 线 的斜率、切线 方程等得到关于参数的方程或者参数 满 足的不等式 .(2)注意：不要忽略曲 线 上横坐 标 的取 值 范 围 ；切点既在切线 上又在曲 线 上 .【例 2】 (1)(2016·湖北黄 冈 3月 质 量 检测 )函数 f(x)＝ excos x在点 (0， f(0))处 的切 线 方程是 ________.(2)已知直 线 y＝ kx＋ 1与曲 线 y＝ x3＋ ax＋ b切于点 (1， 3)，则 b的 值为 ________.答案 (1)x－ y＋ 1＝ 0 (2)3[点 评 ] 切点既在切 线 上又在曲 线 上 ， 即切点坐 标满 足直线 方程和曲 线 方程 .￿ 求曲 线 的切 线 方程条件 审视 不准致 误【示例】 若存在 过 点 O(0， 0)的直 线 l与曲 线 y＝ x3－ 3x2＋ 2x和y＝ x2＋ a都相切，求 a的 值 .[方法点 拨 ]由于 题 目中没有指明点 O(0， 0)的位置情况，容易忽略点 O在曲 线 y＝ x3－ 3x2＋ 2x上 这 个 隐 含条件， 进 而不考 虑 O点 为切点的情况 .[易 错 防范 ] (1)对 于求曲 线 的切 线 方程没有明确切点的情况， 要先判断切 线 所 过 点是否在曲 线 上；若所 过 点在曲 线 上 ，要 对该 点是否 为 切点 进 行 讨论 .(2)曲 线 的切 线 与曲 线 的交点个数不一定只有一个 ， 这 和研究直 线 与二次曲 线 相切 时 有差 别 .第二 节 导 数的 应 用知 识 点一 导 数与函数的 单调 性、极 值1.函数的 单调 性与 导 数在某个区 间 (a， b)内，如果 f′(x) 0，那么函数 y＝ f(x)在 这 个区 间 内 单调递 增；如果 f′(x) 0，那么函数 y＝ f(x)在 这 个区 间内 单调递 减 .0 f′(x)0(2)求可 导 函数极 值 的步 骤① 求 f′(x)；② 求方程 的根；③ 检查 f′(x)的方程 的根的左右两 侧导 数 值 的符号 .如果左正右 负 ，那么 f(x)在 这 个根 处 取得 ；如果左 负 右正，那么 f(x)在 这 个根 处 取得 .(3)极大 值 点、极小 值 点 统 称 为 极 值 点，极大 值 、极小 值统称 为 极 值 .f′(x)＝ 0f′(x)＝ 0极大 值极小 值►利用导数解决单调性问题 .(1)[求函数的单调区间 ]函数 f(x)＝ x2－ 2ln x的 单调递 减区 间为 ________.答案 (0， 1)(2)[利用单调性求参数的取值范围 ]函数 f(x)＝ x3＋ ax在 [1，＋∞ )上是增函数， 则实 数 a的取 值 范 围为 ________.解析 f′(x)＝ 3x2＋ a， 则 3x2＋ a≥ 0在 [1， ＋ ∞ )上恒成立 ， 即a≥ － 3x2在 [1， ＋ ∞ )上恒成立 ， 所以 a≥ － 3， 且 a＝－ 3时 ，f′(x)不恒 为 0.答案 [－ 3，＋ ∞ )►有关极值的两个易混点：极值点；取极值条件 .(3)[极值点是 f(x)取得极值时的 x值 ]函数 f(x)＝ x3－ 3x2的极小值点是 ________.解析 f′(x)＝ 3x2－ 6x＝ 3x(x－ 2)， 由 f′(x)＝ 0得 x＝ 0或 x＝ 2，当 0＜ x＜ 2时 f′(x)＜ 0， 当 x＞ 2时 ， f′(x)＞ 0， 所以 x＝ 2是 f(x)极小 值 点 .答案 2(4)[f′(x0)＝ 0是函数 f(x)在 x＝ x0处有极值的必要不充分条件 ]若函数 f(x)＝ x2＋ aln x在 x＝ 1时 取得极 值 ， 则 a＝ ________.答案 － 2知 识 点二 导 数与函数的最 值 及在 实际 生活中的 应 用1.函数的最 值(1)在 闭 区 间 [a， b]上 连续 的函数 f(x)在 [a， b]上必有最大 值 与.(2)若函数 f(x)在 [a， b]上 单调递 增， 则 f(a)为 函数的最小 值 ，f(b)为 函数的 ；若函数 f(x)在 [a， b]上 单调递 减， 则f(a)为 函数的最大 值 ， f(b)为 函数的最小 值 .(3)设 函数 f(x)在 [a， b]上 连续 ，在 (a， b)内可 导 ，求 f(x)在 [a， b]上的最大 值 和最小 值 的步 骤 如下：① 求 f(x)在 (a， b)内的极 值 ；② 将 f(x)的各极 值 与 比 较 ，其中最大的一个是最大 值 ，最小的一个是最小 值 .最小 值最大 值f(a)， f(b)2.解决 优 化 问题 的基本思路►利用导数求函数最值 .(5)[若为闭区间 ， 可直接比较函数值 ， 若为闭区间注意 ， 利用函数单调性求解 ]函数 f(x)＝ x3－ 12x＋ 8在 [0， 3]上的最小 值为________.解析 f′(x)＝ 3x2－ 12， 由 f′(x)＝ 0得 x＝ ±2，又 f(0)＝ 8， f(2)＝－ 8， f(3)＝－ 1， 所以 f(x)最小 值为 － 8.答案 － 8突破利用导数研究函数单调性的方法￿ 利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数 f(x)的定 义 域；(2)求 导 函数 f′(x)；(3)在定 义 域内解不等式 f′(x)＞ 0和 f′(x)＜ 0；若不等式中 带 有参数 时 ，可 对 参数 进 行分 类讨论 ；(4)确定函数 f(x)的 单调 区 间 .￿ 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可 导 函数在某一区 间 上 单调 ， 实际 上就是在 该 区 间 上f′(x)≥ 0(或 f′(x)≤ 0)(f′(x)在 该 区 间 的任意子区 间 内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数， 转 化 为 求函数的最 值问题 ，从而获 得参数的取 值 范 围 ；(2)可 导 函数在某一区 间 上存在 单调 区 间 ， 实际 上就是f′(x)0(或 f′(x)0， ex－ a≥ 0， ∴ ex≥ a， x≥ ln a.因此当 a≤ 0时， f(x)的单调增区间为 R，当 a0时， f(x)的单调增区间是 [ln a，＋ ∞ ).(2)∵ f′(x)＝ ex－ a≤ 0在 (－ 2， 3)上恒成立 .∴ a≥ ex在 x∈ (－ 2， 3)上恒成立 .又 ∵ － 2g(x)， x∈ (a， b)，可以构造函数 F(x)＝ f(x)－ g(x)，如果 F′(x)0， 则 F(x)在 (a， b)上是增函数，同 时 若 F(a)≥ 0，由增函数的定 义 可知， x∈ (a， b)时 ，有 F(x)0，即 证 明了f(x)g(x).￿ 利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值 ，各 类 不等式与函数最 值 关系如下：不等式 类 型 与最 值 的关系∀ x∈ D， f(x)＞ M ∀ x∈ D， f(x)min＞ M∀ x∈ D， f(x)＜ M ∀ x∈ D， f(x)max＜ M∃ x0∈ D， f(x0)＞ M ∀ x∈ D， f(x)max＞ M∃ x0∈ D， f(x0)＜ M ∀ x∈ D， f(x)min＜ M∀ x∈ D， f(x)＞ g(x) ∀ x∈ D， [f(x)－ g(x)]min＞ 0∀ x∈ D， f(x)＜ g(x) ∀ x∈ D， [f(x)－ g(x)]max＜ 0∀ x1∈ D1， ∀ x2∈ D2， f(x1)＞g(x2)∀ x∈ D1， ∀ x∈ D2，f(x)min＞ g(x)max∀ x1∈ D1， ∃ x2∈ D2， f(x1)＞g(x2)∀ x∈ D1， ∀ x∈ D2，f(x)min＞ g(x)min∃ x1∈ D1， ∀ x2∈ D2， f(x1)＞g(x2)∀ x∈ D1， ∀ x∈ D2，f(x)max＞ g(x)max∃ x1∈ D1， ∃ x2∈ D2， f(x1)＞g(x2)∀ x∈ D1， ∀ x∈ D2，f(x)max＞ g(x)min注：上述的大于、小于改为不小于、不大于 ， 相 应 的与最值对应 关系的不等式也改 变 .如果函数没有最 值 ， 则 上述结 果可以用函数 值 域相 应 的端点 值 表述 .【例 3】 设函数 f(x)＝ x＋ ax2＋ bln x，曲线 y＝ f(x)过 P(1， 0)，且在 P点处的切线斜率为 2.(1)求 a， b的 值 ；(2)证 明： f(x)≤ 2x－ 2.当 00；当 x1时 ， g′(x)0时 ， g(x)≤ 0，即 f(x)≤ 2x－ 2.[点评 ] 1.运用导数证明不等式 f(x)g(x)成立的一般步骤：第一步：构造 h(x)＝ f(x)－ g(x)；第二步：求 h′(x)；第三步：判断 h(x)的单调性；第四步：确定 h(x)的最小值；第五步：证明 h(x)min0成立；第六步：得出所证结论 .