2017届高考数学一轮复习 第八章 立体几何课后作业 理（打包7套）.zip

1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第一节 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．将一个边长分别为 4π，8π 的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是( )A．40π 2 B．64π 2C．32π 2或 64π 2 D．32π 2＋8π 或 32π 2＋32π2．(2016·衡水模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. ＋ B．1＋13 π12 π12C. ＋ D．1＋13 π 4 π 43．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．π a2 B. π a2 C. π a2 D ．5π a273 1134．(2015·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ B．4＋5 5C．2＋2 D．555．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知 A， B 是球 O 的球面上两点，∠ AOB＝90°， C 为该球面上的动点．若三棱锥 O ­ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A．36π B．64π C．144π D．256π二、填空题6.如图，矩形 O′ A′ B′ C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中2O′ A′＝6， O′ C′＝2，则原图形 OABC 的面积为________．7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.8．三棱锥 P­ABC 中， D， E 分别为 PB， PC 的中点，记三棱锥 D­ABE 的体积为V1， P­ABC 的体积为 V2，则 ＝________.V1V2三、解答题9．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．3(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．[冲 击 名 校 ]1．(2016·开封模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A. B. C．4 D．2 π16π3 8π3 3 32 (2015·济南模拟)如图，三个半径都是 5 cm 的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径 R 是________cm.答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 D 当以长度为 4π 的边为底面圆时，底面圆的半径为 2，两个底面的面积是 8π；当以长度为 8π 的边为底面圆时，底面圆的半径为 4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积 32π 2.故所求的面积是 32π 2＋8π 或32π 2＋32π.2．解析：选 B 该几何体由 圆锥和三棱柱组合而成， V＝ × ×π×1 2×1＋ (1×2)14 13 14 12×1＝ ＋1.π1243．解析：选 B 如图 OA 为球的半径，在△ O1OA 中， O1A＝ a， O1O＝ ，33 a2∴| OA2|＝ R2＝ ，7a212∴ S 球 ＝4π R2＝4π× ＝ π a2.7a212 734．解析：选 C 作出三棱锥的示意图如图，在△ ABC 中，作 AB 边上的高 CD，连接 SD.在三棱锥 S ­ABC 中， SC⊥底面ABC， SC＝1，底面三角形 ABC 是等腰三角形， AC＝ BC， AB 边上的高 CD＝2， AD＝ BD＝1，斜高 SD＝ ， AC＝ BC＝ .∴ S 表 ＝ S△ ABC＋ S△ SAC＋ S△ SBC＋ S△ SAB＝ ×2×2＋ ×1× ＋ ×1×5 512 12 5 12＋ ×2× ＝ 2＋2 .512 5 55．解析：选 C 如图，设球的半径为 R，∵∠ AOB＝90°，∴ S△ AOB＝ R2.12∵ VO­ABC＝ VC ­AOB，而△ AOB 面积为定值，∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时， VO­ABC最大，∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VO­ABC最大，为× R2×R＝36，13 12∴ R＝6，∴球 O 的表面积为 4π R2＝4π×6 2＝144π.二、填空题6.解析：由题意知原图形 OABC 是平行四边形，且 OA＝ BC＝6，设平行四边形 OABC 的高为 OE，则 OE× × ＝ O′ C′，12 22∵ O′ C′＝2，∴ OE＝4 ，25∴ S▱OABC＝6×4 ＝24 .2 2答案：24 27．解析：由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为 2 m、高为 2 m 的圆锥，下面是底面圆的半径为 1 m、高为 4 m 的圆柱，所以该几何体的体积是×4π×2＋4π＝ (m3)．13 20π3答案：20π38．解析：如图，设点 C 到平面 PAB 的距离为 h，△ PAB 的面积为 S，则V2＝ Sh， V1＝ VE­ADB＝ × S× h＝ Sh，所以 ＝ .13 13 12 12 112 V1V2 14答案：14三、解答题9．解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥．(2)其侧视图如图所示，其中 AB＝ AC， AD⊥ BC，且 BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即 BC＝ a， AD 的长是正六棱锥的高，即 AD＝ a，3 3∴该平面图形的面积 S＝ · a· a＝ a2.12 3 3 32(3)V＝ ×6× a2× a＝ a3.13 34 3 3210．解：(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1Q­A1D1P 的组合体．由 PA1＝ PD1＝ cm， A1D1＝ AD＝2 cm，可得 PA1⊥ PD1.故所求几何体的表面积26S＝5×2 2＋2×2× ＋2× ×( )2＝22＋4 (cm2)，体积 V＝2 3＋ ×( )2×2＝10(cm 3)．212 2 2 12 2[冲 击 名 校 ]1．解析：选 A 如图，球心 O 在 SO1上，设 OO1＝ x，在 Rt△ AOO1中， x2＋1 2＝( － x)32，解得 x＝ ，∴ r＝ － x＝ ，∴ S＝4π r2＝ .33 3 233 16π32 解析：依题意可设碗的球心为 O，半径为 R.其他三个球的球心分别是 O1， O2， O3，这四个点构成了一个正三棱锥，如图，其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系，底面长为两个外切球的圆心距．所以 OO1＝ R－5， O1O2＝10.通过解直角三角形可得( R－5) 2＝5 2＋2， R＝5＋ .(23×10×32) 5213答案：5＋52131【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第七节 热点专题——立体几何中的热点问题课后作业 理1．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形，AB＝2 BC＝4， BF＝ CF＝ AE＝ DE， EF＝2， EF∥ AB， AF⊥ CF.(1)若 G 为 FC 的中点，证明： AF∥平面 BDG；(2)求平面 ABF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．2. (2016·长春模拟)如图，在四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠ DAB＝60°，PD⊥平面 ABCD， PD＝ AD＝1，点 E， F 分别为 AB 和 PD 的中点．(1)求证：直线 AF∥平面 PEC；(2)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值．3. (2016·兰州模拟)如图，在四棱柱 ABCD­A1B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形，AB∥ CD， AB＝2， BC＝ CD＝1，顶点 D1在底面 ABCD 内的射影恰为点 C.(1)求证： AD1⊥ BC；(2)若直线 DD1与直线 AB 所成的角为 ，求平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角(锐角)的余π 3弦值．24.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形， AB∥ CD，∠ ABC＝60°，AB＝2 CB＝2.在梯形 ACEF 中， EF∥ AC，且 AC＝2 EF， EC⊥平面 ABCD.(1)求证： BC⊥ AF；(2)若二面角 D­AF­C 的大小为 45°，求 CE 的长．5．如图是多面体 ABC­A1B1C1和它的三视图．(1)线段 CC1上是否存在一点 E，使 BE⊥平面 A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面 C1A1C 与平面 A1CA 所成的角(锐角)的余弦值．6．如图，在 Rt△ ABC 中， AB＝ BC＝4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF∥ BC 交 AC 于点F，将△ AEF 沿 EF 折起到△ PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得∠ PEB＝60°.(1)求证： EF⊥ PB；3(2)试问：当点 E 在线段 AB 上移动时，二面角 P­FC­B 的平面角的余弦值是否为定值？答 案1．解：(1)证明：如图，连接 AC 交 BD 于 O 点，则 O 为 AC 的中点，连接 OG，∵点 G 为 FC 的中点，∴ OG∥ AF.∵ AF⊄平面 BDG， OG⊂平面 BDG，∴ AF∥平面 BDG. (2)取 AD 的中点 M， BC 的中点 Q，连接 MQ，则 MQ∥ AB∥ EF，∴ M， Q， F， E 共面．作 FP⊥ MQ 于 P， EN⊥ MQ 于 N，则 EN∥ FP 且 EN＝ FP.连接 EM， FQ，∵ AE＝ DE＝ BF＝ CF， AD＝ BC，∴△ ADE 和△ BCF 全等，∴ EM＝ FQ，∴△ ENM 和△ FPQ 全等，∴ MN＝ PQ＝1，∵ BF＝ CF， Q 为 BC 的中点，∴ BC⊥ FQ，又 BC⊥ MQ， FQ∩ MQ＝ Q，∴ BC⊥平面 MQFE，∴ PF⊥ BC，∴ PF⊥平面 ABCD.以 P 为原点， PM 为 x 轴， PF 为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 A(3,1,0)， B(－1,1,0)， C(－1，－1,0)，得Error! 令 z1＝1，得 x1＝0， y1＝2，同理得平面 BCF 的一个法向量为 n2＝(－2,0,1)，∴cos〈 n1， n2〉＝ ＝ ＝ ，n1·n2|n1||n2| 15×5 154∴平面 ABF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为 .152.解：(1)证明：如图，作 FM∥ CD 交 PC 于 M，连接 ME. ∵点 F 为 PD 的中点，∴ FM＝ CD.12∴ AE＝ AB＝ FM，12∴ AEMF 为平行四边形，∴ AF∥ EM.∵ AF⊄平面 PEC， EM⊂平面 PEC，∴直线 AF∥平面 PEC.(2)连接 DE，∵∠ DAB＝60°，∴ DE⊥ DC. 如图所示，建立坐标系，则 P(0，0,1)， C(0,1,0)， E ， A ，－ ，0， B(32， 0， 0) 32 12，(32， 12， 0)∴Error!取 x＝1，则 z＝ ，∴平面 PAB 的一个法向量为 n＝ .32 (1， 0， 32)5∴ PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 .42143.解：(1)证明：连接 D1C，则 D1C⊥平面 ABCD，∴ D1C⊥ BC.在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC，∵ AB＝2， BC＝ CD＝1， AB∥ CD，∴ BC⊥ AC，∴ BC⊥平面 AD1C，∴ AD1⊥ BC.(2)法一：∵ AB∥ CD，∴∠ D1DC＝ ，π 3∵ CD＝1，∴ D1C＝ .3在底面 ABCD 中作 CM⊥ AB，连接 D1M，则 D1M⊥ AB，∴∠ D1MC 为平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角的一个平面角．在 Rt△ D1CM 中， CM＝ ， D1C＝ ，32 3∴ D1M＝ ＝ ，∴cos∠ D1MC＝ ，CM2＋ D1C2152 55即平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值为 .55法二：由(1)知 AC， BC， D1C 两两垂直，∵ AB∥ CD，∴∠ D1DC＝ ，π 3∵ CD＝1，∴ D1C＝ .3在等腰梯形 ABCD 中，∵ AB＝2， BC＝ CD＝1， AB∥ CD，∴ AC＝ ，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)， A( ，0,0)， B(0,1,0)，3 3D1(0,0， )，3设平面 ABC1D1的法向量 n＝( x， y， z)，可得平面 ABC1D1的一个法向量 n＝(1， ，1)．36∴平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值为 .554.解：(1)证明：在△ ABC 中， AC2＝ AB2＋ BC2－2 AB·BCcos 60°＝3，所以 AB2＝ AC2＋ BC2，由勾股定理知∠ ACB＝90°，所以 BC⊥ AC.又因为 EC⊥平面 ABCD， BC⊂平面 ABCD，所以 BC⊥ EC.又因为 AC∩ EC＝ C，所以 BC⊥平面 ACEF，又 AF⊂平面 ACEF，所以 BC⊥ AF.(2)因为 EC⊥平面 ABCD，又由(1)知 BC⊥ AC，以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C­xyz.设 CE＝ h，则 C(0,0,0)， A( ，0,0)， F ， D（ ，－ ，0） ，3 (32， 0， h) 32 12设平面 DAF 的法向量为 n1＝( x， y， z)，令 x＝ ，所以 n1＝ .3 (3， － 3，32h)又平面 AFEC 的一个法向量 n2＝(0,1,0)，所以 cos 45°＝ ＝ ，解得 h＝ ，|n1·n2||n1||n2| 22 64所以 CE 的长为 .645．解：7(1)由题意知 AA1， AB， AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)， B(－2,0,0)， C(0，－2,0)， C1(－1，－1,2)，则 ＝(－1,1,2)，＝(－1，－1,0)， ＝(0，－2，－2)．设 E(x， y， z)，则 ＝( x， y＋2， z)， ＝(－1－ x，－1－ y,2－ z)．则Error! 则 E ， ＝ .(－ λ1＋ λ ， － 2－ λ1＋ λ ， 2λ1＋ λ ) (2＋ λ1＋ λ ， － 2－ λ1＋ λ ， 2λ1＋ λ )得Error! 解得 λ ＝2，所以线段 CC1上存在满足条件 的一点 E，使 BE⊥平面 A1CC1.(2)设平面 C1A1C 的法向量为 m＝( x， y， z)，取 x＝1，则 y＝－1， z＝1，故 m＝(1，－1,1)．而平面 A1CA 的一个法向量为 n＝(1,0,0)，则 cos〈 m， n〉＝ ＝ ＝ ，m·n|m||n| 13 33故平面 C1A1C 与平面 A1CA 所成的角(锐角)的余弦值为 .336．解：(1)证明：在 Rt△ ABC 中，∵ EF∥ BC，∴ EF⊥ AB，∴ EF⊥ EB， EF⊥ EP.又∵ EB∩ EP＝ E， EB， EP⊂平面 PEB，∴ EF⊥平面 PEB.又∵ PB⊂平面 PEB，∴ EF⊥ PB.(2)在平面 PEB 内，过点 P 作 PD⊥ BE 于点 D，由(1)知 EF⊥平面 PEB，∴ EF⊥ PD，8又∵ BE∩ EF＝ E， BE， EF⊂平面 BCFE，∴ PD⊥平面 BCFE.在平面 PEB 内过点 B 作直线 BH∥ PD，则 BH⊥平面 BCFE.如图所示，以 B 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设 PE＝ x(0≤ x≤4)，又∵ AB＝ BC＝4，∴ BE＝4－ x， EF＝ x.在 Rt△ PED 中，∠ PED＝60°，∴ PD＝ x， DE＝ x，∴ BD＝4－ x－ x＝4－ x，32 12 12 32∴ C(4,0,0)， F(x,4－ x,0)， P .(0， 4－32x， 32x)从而 ＝( x－ 4,4－ x,0)， ＝ .(－ 4， 4－32x， 32x)设 n1＝( x0， y0， z0)是平面 PCF 的一个法向量，即Error! ∴Error!取 y0＝1，得 n1＝(1,1， )是平面 PFC 的一个法向量．3又平面 BFC 的一个法向量为 n2＝(0,0,1)，设二面角 P­FC­B 的平面角为 α ，则 cos α ＝|cos〈 n1， n2〉|＝ ＝ .|n1·n2|n1||n2|| 155因此当点 E 在线段 AB 上移动时，二面角 P­FC­B 的平面角的余弦值为定值，且定值为.1551【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第三节 直线、平面平行的判定与性质课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．已知直线 l 和平面 α ，若 l∥ α ， P∈ α ，则过点 P 且平行于 l 的直线( )A．只有一条，不在平面 α 内B．只有一条，且在平面 α 内C．有无数条，一定在平面 α 内D．有无数条，不一定在平面 α 内2．已知直线 a 和平面 α ，那么 a∥ α 的一个充分条件是( )A．存在一条直线 b， a∥ b 且 b⊂αB．存在一条直线 b， a⊥ b 且 b⊥ αC．存在一个平面 β ， a⊂β 且 α ∥ βD．存在一个平面 β ， a∥ β 且 α ∥ β3．已知 m， n 是两条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若 m∥ α ， n∥ α ，则 m∥ nB．若 m∥ n， n⊂α ，则 m∥ αC．若 m∥ α ， m∥ β ，则 α ∥ βD．若 α ∥ β ， α ∥ γ ，则 β ∥ γ4．(2016·海淀模拟)设 l， m， n 表示不同的直线， α ， β ， γ 表示不同的平面，给出下列四个命题：①若 m∥ l，且 m⊥ α ，则 l⊥ α ；②若 m∥ l，且 m∥ α ，则 l∥ α ；③若 α ∩ β ＝ l， β ∩ γ ＝ m， γ ∩ α ＝ n，则 l∥ m∥ n；④若 α ∩ β ＝ m， β ∩ γ ＝ l， γ ∩ α ＝ n，且 n∥ β ，则 l∥ m，其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．45．(2016·惠州模拟)设直线 l， m，平面 α ， β ，则下列条件能推出 α ∥ β 的是( )A． l⊂α ， m⊂α ，且 l∥ β ， m∥ βB． l⊂α ， m⊂β ，且 l∥ mC． l⊥ α ， m⊥ β ，且 l∥ mD． l∥ α ， m∥ β ，且 l∥ m2二、填空题6．如图，已知三个平面 α ， β ， γ 互相平行， a， b 是异面直线， a 与 α ， β ， γ 分别交于 A， B， C 三点， b 与 α ， β ， γ 分别交于D， E， F 三点，连接 AF 交平面 β 于 G，连接 CD 交平面 β 于 H，则四边形 BGEH 必为________．7.如图，四棱锥 P­ABCD 的底面是一直角梯形， AB∥ CD， BA⊥ AD， CD＝2 AB， PA⊥底面ABCD， E 为 PC 的中点，则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________．8．在正四棱柱 ABCD ­A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD1的中点，设 Q 是CC1上的点，则点 Q 满足条件________时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.三、解答题9．如图， ABCD 与 ADEF 均为平行四边形， M， N， G 分别是 AB， AD， EF 的中点．(1)求证： BE∥平面 DMF；(2)求证：平面 BDE∥平面 MNG.10.如图，四棱锥 P­ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 .点17G， E， F， H 分别是棱 PB， AB， CD， PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥ 平面 ABCD ， BC∥ 平面 GEFH. 3(1)证明： GH∥ EF；(2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积. [冲 击 名 校 ]1．设 α ， β ， γ 为三个不同的平面， m， n 是两条不同的直线，在命题“α ∩ β ＝ m， n⊂γ ，且________，则 m∥ n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．① α ∥ γ ， n⊂β ；② m∥ γ ， n∥ β ；③ n∥ β ， m⊂γ .可以填入的条件有( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③2．空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、 BD 的长分别为 5 和 4，则平行于两条对棱的截面四边形 EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．3.如图，矩形 ABCD 中， E 为边 AB 的中点，将△ ADE 沿直线 DE 翻转成△ A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在△ ADE 翻转过程中，正确的命题是________．①| BM|是定值；②点 M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使 DE⊥ A1C；④一定存在某个位置，使 MB∥平面 A1DE.4．(2016·石家庄模拟)如图，在四棱锥 P­ABCD 中， PA⊥平面ABCD，∠ ABC＝∠ ACD＝90°，∠ BAC＝∠ CAD＝60°， E 为 PD 的中点， F 在 AD 上，且∠ FCD＝30°.(1)求证： CE∥平面 PAB；4(2)若 PA＝2 AB＝2，求四面体 P­ACE 的体积．5．如图，几何体 E­ABCD 是四棱锥，△ ABD 为正三角形， CB＝ CD， EC⊥ BD. (1)求证： BE＝ DE；(2)若∠ BCD＝120°， M 为线段 AE 的中点．求证： DM∥平面 BEC.答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 B 过直线外一点作该直线的平行直线有且只有一条，因为点 P 在平面α 内，所以这条直线也应该在平面 α 内．2．解析：选 C 在 A，B，D 中，均有可能 a⊂α ，错误；在 C 中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故 C 正确．3．解析：选 D 借助正方体模型逐一判断．如图所示，正方体的棱 A1B1， B1C1都与底面 ABCD 平行，但这两条棱相交，故 A 不正确；在正方体中 AB∥ A1B1， A1B1⊂平面 A1B1BA，而 AB 在平面 A1B1BA 内，故 B 不正确；正方体的棱 B1C1既平行于平面 ADD1A1，又平行于平面 ABCD，但这两个平面相交，故 C 不正确；由平面与平面5平行的传递性可知 D 正确．4．解析：选 B ①正确；②中也可能直线 l⊂α ，故错误；③中三条直线也可能相交于一点，故错误；④正确，所以正确的命题有 2 个．5．解析：选 C 借助正方体模型进行判断．易排除选项 A，B，D，故选 C.二、填空题6．解析：由题意知，直线 a 与直线 AF 确定平面 ACF，由面面平行的性质定理，可得BG∥ CF，同理有 HE∥ CF，所以 BG∥ HE.同理 BH∥ GE，所以四边形 BGEH 为平行四边形．答案：平行四边形7.解析：取 PD 的中点 F，连接 EF， AF，在△ PCD 中， EF 綊 CD.12∵ AB∥ CD 且 CD＝2 AB，∴ EF 綊 AB，∴四边形 ABEF 是平行四边形，∴ EB∥ AF.又∵ EB⊄平面 PAD， AF⊂平面 PAD，∴ BE∥平面 PAD.答案：平行8．解析： 如图，假设 Q 为 CC1的中点，因为 P 为 DD1的中点，所以 QB∥ PA.连接 DB，因为 P， O 分别是 DD1， DB 的中点，所以 D1B∥ PO，又 D1B⊄平面 PAO， QB⊄平面 PAO，所以D1B∥平面 PAO， QB∥平面 PAO，又 D1B∩ QB＝ B，所以平面 D1BQ∥平面 PAO.故 Q 满足条件 Q为 CC1的中点时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.答案： Q 为 CC1的中点三、解答题9．证明：(1)连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，6连接 MO，则 MO 为△ ABE 的中位线，所以 BE∥ MO，又 BE⊄平面 DMF， MO⊂平面 DMF，所以 BE∥平面 DMF.(2)因为 N， G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD， EF 的中点，所以 DE∥ GN，又 DE⊄平面 MNG， GN⊂平面 MNG，所以 DE∥平面 MNG.又 M 为 AB 的中点，所以 MN 为△ ABD 的中位线，所以 BD∥ MN，又 MN⊂平面 MNG， BD⊄平面 MNG，所以 BD∥平面 MNG，又 DE， BD⊂平面 BDE， DE∩ BD＝ D，所以平面 BDE∥平面 MNG.10.解：(1)证明：因为 BC∥平面 GEFH， BC⊂平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝ GH，所以 GH∥ BC.同理可证 EF∥ BC，因此 GH∥ EF.(2)连接 AC， BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K，连接 OP， GK.因为 PA＝ PC， O 是 AC 的中点，所以 PO⊥ AC，同理可得 PO⊥ BD.又 BD∩ AC＝ O，且 AC， BD 都在底面 ABCD 内，所以 PO⊥底面 ABCD.又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD，且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH.因为平面 PBD∩平面 GEFH＝ GK，所以 PO∥ GK，且 GK⊥底面 ABCD，从而 GK⊥ EF.所以 GK 是梯形 GEFH 的高．由 AB＝8， EB＝2，得 EB∶ AB＝ KB∶ DB＝1∶4，7从而 KB＝ DB＝ OB，即 K 为 OB 的中点．14 12再由 PO∥ GK 得 GK＝ PO，12即 G 是 PB 的中点，且 GH＝ BC＝4.12由已知可得 OB＝4 ，2PO＝ ＝ ＝6，PB2－ OB2 68－ 32所以 GK＝3.故四边形 GEFH 的面积S＝ ·GK＝ ×3＝18.GH＋ EF2 4＋ 82[冲 击 名 校 ]1．解析：选 C 由面面平行的性质定理可知，①正确；当 n∥ β ， m⊂γ 时， n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．2．解析：设 ＝ ＝ k，DHDA GHAC∴ ＝ ＝1－ k，AHDA EHBD∴ GH＝5 k， EH＝4(1－ k)，∴周长＝8＋2 k.又∵0 k1，∴周长的范围为(8,10)．答案：(8,10)3.解析：取 DC 中点 N，连接 MN， NB，则 MN∥ A1D， NB∥ DE，∴平面 MNB∥平面 A1DE，∵ MB⊂平面 MNB，∴ MB∥平面 A1DE，④正确；∠ A1DE＝∠ MNB， MN＝ A1D＝定值， NB＝ DE＝定值，根据余弦定理得，12MB2＝ MN2＋ NB2－2 MN·NB·cos ∠ MNB，所以 MB 是定值．①正确；B 是定点，所以 M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的圆上，②正确；当矩形 ABCD 满足 AC⊥ DE 时存在，其他情况不存在，③不正确．8所以①②④正确．答案：①②④4．解：(1)证明：∵∠ ACD＝90°，∠ CAD＝60°，∴∠ FDC＝30°.又∠ FCD＝30°，∴∠ ACF＝60°，∴ AF＝ CF＝ DF，即 F 为 AD 的中点．又 E 为 PD 的中点，∴ EF∥ PA.∵ AP⊂平面 PAB， EF⊄平面 PAB，∴ EF∥平面 PAB.又∠ BAC＝∠ ACF＝60°，∴ CF∥ AB，可得 CF∥平面 PAB.又 EF∩ CF＝ F，∴平面 CEF∥平面 PAB，而 CE⊂平面 CEF，∴ CE∥平面 PAB.(2)∵ EF∥ AP， AP⊂平面 APC， EF⊄平面 APC，∴ EF∥平面 APC.又∠ ABC＝∠ ACD＝90°，∠ BAC＝60°， PA＝2 AB＝2，∴ AC＝2 AB＝2， CD＝ ＝2 .ACtan 30° 3∴ VP­ACE＝ VE­PAC＝ VF­PAC＝ VP­ACF＝ × ×S△ ACD·PA＝ × × ×2×2 ×2＝ .13 12 13 12 12 3 2335．证明：(1)如图所示，取 BD 的中点 O.连接 CO， EO. 由于 CB＝ CD，所以 CO⊥ BD.又 EC⊥ BD， EC∩ CO＝ C，CO， EC⊂平面 EOC，所以 BD⊥平面 EOC，因此 BD⊥ EO.又 O 为 BD 的中点，所以 BE＝ DE.(2)法一：如图所示，取 AB 的中点 N，连接 DM， DN， MN.9因为 M 是 AE 的中点，所以 MN∥ BE.又 MN⊄平面 BEC，BE⊂平面 BEC，所以 MN∥平面 BEC.又因为△ ABD 为正三角形，所以∠ BDN＝30°.又 CB＝ CD，∠ BCD＝120°，因此∠ CBD＝30°.所以 DN∥ BC.又 DN⊄平面 BEC， BC⊂平面 BEC，所以 DN∥平面 BEC.又 MN∩ DN＝ N，所以平面 DMN∥平面 BEC.又 DM⊂平面 DMN，所以 DM∥平面 BEC.法二：如图所示，延长 AD， BC 交于点 F，连接 EF.因为 CB＝ CD，∠ BCD＝120°，所以∠ CBD＝30°.因为△ ABD 为正三角形，所以∠ BAD＝∠ ABD＝60°，∠ ABC＝90°，因此∠ AFB＝30°，所以 AB＝ AF.12又 AB＝ AD，所以 D 为线段 AF 的中点，连接 DM，由点 M 是线段 AE 的中点，得 DM∥ EF.又 DM⊄平面 BEC， EF⊂平面 BEC，10所以 DM∥平面 BEC.1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．下列说法正确的是( )A．若 a⊂α ， b⊂β ，则 a 与 b 是异面直线B．若 a 与 b 异面， b 与 c 异面，则 a 与 c 异面C．若 a， b 不同在平面 α 内，则 a 与 b 异面D．若 a， b 不同在任何一个平面内，则 a 与 b 异面2．设 A、 B、 C、 D 是空间中四个不同的点，下列命题中，不正确的是( )A．若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面B．若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线C．若 AB＝ AC， DB＝ DC，则 AD＝ BCD．若 AB＝ AC， DB＝ DC，则 AD⊥ BC3．若空间三条直线 a， b， c 满足 a⊥ b， b⊥ c，则直线 a 与 c( )A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交或异面都有可能4． l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A． l1⊥ l2， l2⊥ l3⇒l1∥ l3B． l1⊥ l2， l2∥ l3⇒l1⊥ l3C． l1∥ l2∥ l3⇒l1， l2， l3共面D． l1， l2， l3共点⇒ l1， l2， l3共面5．已知直线 a 和平面 α ， β ， α ∩ β ＝ l， a⊄α ， a⊄β ，且 a 在 α ， β 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面二、填空题6．给出下列命题，其中正确的命题有________．①如果线段 AB 在平面 α 内，那么直线 AB 在平面 α 内；②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点 A， B， C；③若三条直线 a， b， c 互相平行且分别交直线 l 于 A， B， C 三点，则这四条直线共面；2④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．7．设 a， b， c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若 a∥ b， b∥ c，则 a∥ c；②若 a⊥ b， b⊥ c，则 a∥ c；③若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；④若 a⊂平面 α ， b⊂平面 β ，则 a， b 一定是异面直线；⑤若 a， b 与 c 成等角，则 a∥ b.正确的命题是________(写出全部正确结论的序号)．8.如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1＝2 AB＝2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为________．三、解答题9.如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，∠ BAD＝∠ FAB＝90°， BC 綊 AD， BE 綊 FA， G， H 分别为 FA， FD 的中点．12 12(1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？10．如图所示， A 是△ BCD 所在平面外的一点， E， F 分别是 BC， AD 的中点．3(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC⊥ BD， AC＝ BD，求 EF 与 BD 所成的角．[冲 击 名 校 ]1．过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l 可以作( )A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条2．在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为棱 AA1， CC1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1， EF， CD 都相交的直线有________条．3.如图，在三棱锥 PABC 中， PA⊥底面 ABC， D 是 PC 的中点．已知∠ BAC＝ ， AB＝2， AC＝2 ， PA＝2.求：π 2 3(1)三棱锥 PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值．答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 D 由异面直线的定义可知．2．解析：选 C 若 AB＝ AC， DB＝ DC， AD 不一定等于 BC，C 不正确．3．解析：选 D 当 a， b， c 共面时， a∥ c；当 a， b， c 不共面时， a 与 c 可能异面也4可能相交．4．解析：选 B 若 l1⊥ l2， l2⊥ l3，则 l1， l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A 不正确；当 l1∥ l2∥ l3或 l1， l2， l3共点时， l1， l2， l3可能共面，也可能不共面，C，D 不正确；当 l1⊥ l2， l2∥ l3时，则有 l1⊥ l3，故选 B.5．解析：选 D 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面．二、填空题6．解析：显然①③正确．若两平面有三个不共线的公共点，则这两平面重合，故②不正确；三条直线两两相交于同一点时，三条直线不一定共面，故④不正确；两组对边相等的四边形可能是空间四边形，⑤不正确．答案：①③7．解析：由公理 4 知①正确；当 a⊥ b， b⊥ c 时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α ， b⊂β ，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内” ，故④不正确；当 a， b 与 c 成等角时， a 与 b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①8.解析：连接 BC1，易证 BC1∥ AD1，则∠ A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角．连接 A1C1，由 AB＝1， AA1＝2，得 A1C1＝ ， A1B＝ BC1＝ ，2 5故 cos∠ A1BC1＝ ＝ .5＋ 5－ 22×5×5 45答案：45三、解答题9.解：(1)证明：由题设知， FG＝ GA， FH＝ HD，所以 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD，12 12故 GH 綊 BC.所以四边形 BCHG 是平行四边形．(2)C， D， F， E 四点共面．理由如下：5由 BE 綊 FA， G 是 FA 的中点知， BE 綊 GF，12则四边形 BGFE 是平行四边形，所以 EF 綊 BG.由(1)知 BG∥ CH，所以 EF∥ CH，故 EC， FH 共面．又点 D 在直线 FH 上，所以 C， D， F， E 四点共面．10．解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A， B， C， D 在同一平面内，这与 A 是△ BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线．(2)取 CD 的中点 G，连接 EG， FG，则 AC∥ FG， EG∥ BD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角．又因为 AC⊥ BD，则 FG⊥ EG.在 Rt△ EGF 中，由 EG＝ FG＝ AC，求得∠ FEG＝45°，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为1245°.[冲 击 名 校 ]1．解析：选 D 如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 .联想正方体的其他体对角线，如连接 BD1，则 BD1与棱 BC， BA， BB1所成的角都2相等，∵ BB1∥ AA1， BC∥ AD，∴体对角线 BD1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，同理，体对角线 A1C， DB1也与棱AB， AD， AA1所成的角都相等，过 A 点分别作 BD1， A1C， DB1的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4条．2．解析：6法一：在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有1 个交点 N， M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N，而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点．如图所示．法二：在 A1D1上任取一点 P，过点 P 与直线 EF 作一个平面 α ，因 CD 与平面 α 不平行，所以它们相交，设它们交于点 Q，连接 PQ，则 PQ 与 EF 必然相交，即 PQ 为所求直线．由点 P 的任意性，知有无数条直线与三条直线 A1D1， EF， CD 都相交．答案：无数3.解：(1) S△ ABC＝ ×2×2 ＝2 ，三棱锥 PABC 的体积为 V＝ S△12 3 3 13ABC·PA＝ ×2 ×2＝ .13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED∥ BC，所以∠ ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角．在△ ADE 中， DE＝2， AE＝ ， AD＝2，2cos∠ ADE＝ ＝ .22＋ 22－ 22×2×2 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .34