2017届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 理（课件+习题）（打包11套）.zip

1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数、导数的计算课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．曲线 y＝e x在点 A(0,1)处的切线斜率为( )A．1 B．2 C．e D.1e2．(2016·惠州模拟)已知函数 f(x)＝ cos x，则 f(π)＋ f′ ＝( )1x (π 2)A．－ B．－ C．－ D．－3π 2 1π 2 3π 1π3．设曲线 y＝ 在点 处的切线与直线 x－ ay＋1＝0 平行，则实数 a 等于1＋ cos xsin x (π 2， 1)( )A．－1 B. C．－2 D．2124．(2016·西安模拟)设直线 y＝ x＋ b 是曲线 y＝ln x(x0)的一条切线，则实数 b 的12值为( )A．ln 2－1 B．ln 2－2C．2ln 2－1 D．2ln 2－25．(2016·上饶模拟)若点 P 是曲线 y＝ x2－ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y＝ x－2的最小值为( )A．1 B. C. D.222 3二、填空题6．已知函数 f(x)＝ xln x，若 f′( x0)＝2，则 x0＝________.7．若直线 l 与幂函数 y＝ xn的图象相切于点 A(2,8)，则直线 l 的方程为________．8．(2016·沈阳模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在曲线 C： y＝ x3－ x 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为 2，则点 M 的坐标为________．三、解答题9．已知函数 f(x)＝ x3＋ x－16.(1)求曲线 y＝ f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．10．设函数 y＝ x2－2 x＋2 的图象为 C1，函数 y＝－ x2＋ ax＋ b 的图象为 C2，已知过 C12与 C2的一个交点的两切线互相垂直，求 a＋ b 的值．[冲 击 名 校 ]1．下面四个图象中，有一个是函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋( a2－1) x＋1( a∈R)的导函数13y＝ f′( x)的图象，则 f(－1)＝( )A. B．－13 23C. D．－ 或73 13 532．已知曲线 C： f(x)＝ x3－ ax＋ a，若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为( )A. B．－2 C．2 D．－278 2783．函数 f(x)＝e x＋ x2＋ x＋1 与 g(x)的图象关于直线 2x－ y－3＝0 对称， P， Q 分别是函数 f(x)， g(x)图象上的动点，则| PQ|的最小值为( )A. B. C . D．255 5 255 54．若曲线 f(x)＝ ax3＋ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是________．5．已知函数 f(x)＝ x3－2 x2＋3 x(x∈R)的图象为曲线 C.13(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围．答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题31．解析：选 A 由题意知 y′＝e x，故所求切线斜率 k＝e xx＝0 ＝e 0＝1.2．解析：选 C ∵ f′( x)＝－ cos x＋ (－sin x)，∴ f(π)1x2 1x＋ f′ ＝－ ＋ ·(－1)＝－ .(π 2) 1π 2π 3π3．解析：选 A ∵ y′＝ ，∴ y′ x＝ ＝－1，由条件知 ＝－1，∴ a＝－1.－ 1－ cos xsin2x π 2 1a4．解析：选 A 设切点坐标为( x0，ln x0)，则 ＝ ，即 x0＝2，∴切点坐标为(2，ln 1x0 122)，又切点在直线 y＝ x＋ b 上，∴ln 2＝1＋ b，即 b＝ln 2－1.125．解析：选 B 因为定义域为(0，＋∞)，所以 y′＝2 x－ ＝1，解得 x＝1，则在1xP(1,1)处的切线方程为 x－ y＝0，所以两平行线间的距离为 d＝ ＝ .22 2二、填空题6．解析： f′( x)＝ln x＋1，由 f′( x0)＝2，即 ln x0＋1＝2，解得 x0＝e.答案：e7．解析：由题意知， A(2,8)在 y＝ xn上，∴2 n＝8，∴ n＝3，∴ y′＝3 x2，直线 l 的斜率 k＝3×2 2＝12，又直线 l 过点(2,8)．∴ y－8＝12( x－2)，即直线 l 的方程为12x－ y－16＝0.答案：12 x－ y－16＝08．解析：∵ y′＝3 x2－1，曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为2，∴3 x2－1＝2， x＝±1，又∵点 M 在第二象限，∴ x＝－1，∴ y＝(－1) 3－(－1)＝0，∴ M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)三、解答题9．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝ f(x)上．∵ f′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3 x2＋1，∴ f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝ f′(2)＝13.∴切线的方程为 y＋6＝13( x－2)，即 y＝13 x－32.(2)设切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的斜率为 f′( x0)＝3 x ＋1， y0＝ x ＋ x0－16，20 30∴直线 l 的方程为 y＝(3 x ＋1)( x－ x0)＋ x ＋ x0－16.20 30又∵直线 l 过原点(0,0)，4∴0＝(3 x ＋1)(－ x0)＋ x ＋ x0－16，整理得， x ＝－8，20 30 30∴ x0＝－2，∴ y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)， k＝3×(－2) 2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13 x，切点坐标为(－2，－26)．10．解：对于 C1： y＝ x2－2 x＋2，有 y′＝2 x－2，对于 C2： y＝－ x2＋ ax＋ b，有 y′＝－2 x＋ a，设 C1与 C2的一个交点为( x0， y0)，由题意知过交点( x0， y0)的两条切线互相垂直．∴(2 x0－2)·(－2 x0＋ a)＝－1，即 4x －2( a＋2) x0＋2 a－1＝0，①20又点( x0， y0)在 C1与 C2上，故有Error!⇒2x －( a＋2) x0＋2－ b＝0.②20由①②消去 x0，可得 a＋ b＝ .52[冲 击 名 校 ]1．解析：选 D ∵ f′( x)＝ x2＋2 ax＋ a2－1，∴ f′( x)的图象开口向上，则②④排除．若 f′( x)的图象为①，此时 a＝0， f(－1)＝ ；若 f′( x)的图象为③，此时53a2－1＝0，又对称轴 x＝－ a＞0，∴ a＝－1，∴ f(－1)＝－ .132．解析：选 A 设切点坐标为( t， t3－ at＋ a)．由题意知， f′( x)＝3 x2－ a，切线的斜率 k＝ y′ x＝ t＝3 t2－ a ①，所以切线方程为 y－( t3－ at＋ a)＝(3 t2－ a)(x－ t) ②.将点 A(1,0)代入②式得－( t3－ at＋ a)＝(3 t2－ a)(1－ t)，解得 t＝0 或 t＝ .分别将 t＝0 和32t＝ 代入①式，得 k＝－ a 和 k＝ － a，由题意得它们互为相反数，故 a＝ .32 274 2783．解析：选 D 因为 f(x)与 g(x)的图象关于直线 2x－ y－3＝0 对称，所以当 f(x)与g(x)在 P， Q 处的切线与 2x－ y－3＝0 平行时，| PQ|的长度最小． f′( x)＝e x＋2 x＋1，令ex＋2 x＋1＝2，得 x＝0，此时 P(0,2)，且 P 到 2x－ y－3＝0 的距离为 ，所以| PQ|min＝25.54．解析：由题意，可知 f′( x)＝3 ax2＋ ，又存在垂直于 y 轴的切线，所以1x3ax2＋ ＝0，即 a＝－ (x0)，故 a∈(－∞，0)．1x 13x3答案：(－∞，0)55．解：(1)由题意得 f′( x)＝ x2－4 x＋3，则 f′( x)＝( x－2) 2－1≥－1，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤ k＜0 或 k≥1，故由－1≤ x2－4 x＋3＜0 或 x2－4 x＋3≥1，得 x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．2 21【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数的综合应用课后作业 理[全 盘 巩 固 ]1．已知 f(x)＝(1－ x)ex－1.(1)求函数 f(x)的最大值；(2)设 g(x)＝ ， x＞－1，且 x≠0，证明： g(x)＜1.f xx2．已知函数 f(x)＝ x3－3 x2＋ ax＋2，曲线 y＝ f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为－2.(1)求 a；(2)证明：当 k0 时， f(x)≥2 a＋ aln .2a4．(2016·烟台模拟)已知函数 f(x)＝ x2－ ax， g(x)＝ln x， h(x)＝ f(x)＋ g(x)．(1)若函数 y＝ h(x)的单调减区间是 ，求实数 a 的值；(12， 1)(2)若 f(x)≥ g(x)对于定义区域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)设函数 y＝ h(x)有两个极值点 x1， x2，且 x1∈ ，若 h(x1)－ h(x2)m 恒成立，(0，12)求实数 m 的最大值．2[冲 击 名 校 ]1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝e mx＋ x2－ mx.(1)证明： f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意 x1， x2∈[－1,1]，都有| f(x1)－ f(x2)|≤e－1，求 m 的取值范围．2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ x3＋ ax＋ ， g(x)＝－ln x.14(1)当 a 为何值时， x 轴为曲线 y＝ f(x)的切线；(2)用 min{m， n}表示 m， n 中的最小值，设函数 h(x)＝min{ f(x)， g(x)}(x0)，讨论h(x)零点的个数．答 案[全 盘 巩 固 ]1．解：(1) f′( x)＝－ xex.当 x∈(－∞，0)时， f′( x)＞0， f(x)单调递增；当 x∈(0，＋∞)时， f′( x)＜0， f(x)单调递减．所以 f(x)的最大值为 f(0)＝0.(2)证明：由(1)知，当 x0 时， f(x)x.设 h(x)＝ f(x)－ x，则 h′( x)＝－ xex－1.当 x∈(－1,0)时，0h(0)＝0，即 g(x)－1 且 x≠0 时，总有 g(x)0.当 x≤0 时， g′( x)＝3 x2－6 x＋1－ k0， g(x)单调递增， g(－1)＝ k－10 时，令 h(x)＝ x3－3 x2＋4，则 g(x)＝ h(x)＋(1－ k)xh(x)．h′( x)＝3 x2－6 x＝3 x(x－2)， h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以 g(x)h(x)≥ h(2)＝0.所以 g(x)＝0 在(0，＋∞)上没有实根．综上， g(x)＝0 在 R 上有唯一实根，即曲线 y＝ f(x)与直线 y＝ kx－2 只有一个交点．3．解：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′( x)＝2e 2x－ .ax当 a≤0 时， f′( x)0， f′( x)没有零点；当 a0 时，设 u(x)＝e 2x， v(x)＝－ ，ax因为 u(x)＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增， v(x)＝－ 在(0，＋∞)上单调递增，ax所以 f′( x)在(0，＋∞)上单调递增．又 f′( a)0，当 b 满足 00 时， f′( x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设 f′( x)在(0，＋∞)上的唯一零点为 x0，当 x∈(0， x0)时，f′( x)0.故 f(x)在(0， x0)上单调递减，在( x0，＋∞)上单调递增，所以当 x＝ x0时， f(x)取得最小值，最小值为 f(x0)．由于 2e2x0－ ＝0，ax0所以 f(x0)＝ ＋2 ax0＋ aln ≥2 a＋ aln .a2x0 2a 2a故当 a0 时， f(x)≥2 a＋ aln .2a44．解：(1)由题意可知， h(x)＝ x2－ ax＋ln x(x0)，则 h′( x)＝ (x0)，2x2－ ax＋ 1x若 h(x)的单调减区间是 ，则 h′(1)＝ h′ ＝0，解得 a＝3，(12， 1) (12)而当 a＝3 时， h′( x)＝ ＝ (x0)．2x2－ 3x＋ 1x  2x－ 1  x－ 1x由 h′( x)0)，∴ a≤ x－ (x0)．ln xx令 φ (x)＝ x－ (x0)，则 φ ′( x)＝ ，ln xx x2＋ ln x－ 1x2∵ y＝ x2＋ln x－1 在(0，＋∞)上是增函数，且 x＝1 时， y＝0.∴当 x∈(0,1)时， φ ′( x)0，即 φ (x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴ φ min(x)＝ φ (1)＝1，故 a≤1.即实数 a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由题意可知， h(x)＝ x2－ ax＋ln x(x0)，则 h′( x)＝ (x0)．2x2－ ax＋ 1x可得方程 2x2－ ax＋1＝0( x0)有两个不相等的实数根 x1， x2，且 x1∈ ，(0，12)∵ x1x2＝ ，∴ x2＝ ∈(1，＋∞)，12 12x1且 ax1＝2 x ＋1， ax2＝2 x ＋1，21 2h(x1)－ h(x2)＝( x － ax1＋ln x1)－( x － ax2＋ln x2)21 2＝[ x －(2 x ＋1)＋ln x1]－[ x －(2 x ＋1)＋ln x2]21 21 2 2＝ x － x ＋ln ＝ x － －ln(2 x )(x21)．2 21x1x2 2 14x2 2设 L(x)＝ x2－ －ln(2 x2)(x1)，14x2则 L′( x)＝ 0(x1)， 2x2－ 1 22x3所以 L(x)在(1，＋∞)上是增函数， L(x)L(1)＝ －ln 2，345即 h(x1)－ h(x2) －ln 2，所以 m≤ －ln 2.34 34即 m 的最大值为 －ln 2.34[冲 击 名 校 ]1．解：(1)证明： f′( x)＝ m(emx－1)＋2 x.若 m≥0，则当 x∈(－∞，0)时，e mx－1≤0， f′( x)0.若 m0， f′( x)0.所以， f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的 m， f(x)在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故 f(x)在 x＝0 处取得最小值．所以对于任意 x1， x2∈[－1,1]，| f(x1)－ f(x2)|≤e－1 的充要条件是Error! 即Error! ①设函数 g(t)＝e t－ t－e＋1，则 g′( t)＝e t－1.当 t0 时， g′( t)0.故 g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又 g(1)＝0， g(－1)＝e －1 ＋2－e1 时，由 g(t)的单调性， g(m)0，即 em－ me－1；当 m0，即 e－ m＋ me－1.综上， m 的取值范围是[－1,1]．2．解：(1)设曲线 y＝ f(x)与 x 轴相切于点( x0,0)，则 f(x0)＝0， f′( x0)＝0，即Error!解得 Error!因此，当 a＝－ 时， x 轴为曲线 y＝ f(x)的切线．34(2)当 x∈(1，＋∞)时， g(x)＝－ln x0，所以只需考虑 f(x)在(0,1)上的零点个数．①若 a≤－3 或 a≥0，则 f′( x)＝3 x2＋ a 在(0,1)上无零点，故 f(x)在(0,1)上单调．而 f(0)＝ ， f(1)＝ a＋ ，所以当 a≤－3 时， f(x)在(0,1)上有一个零点；当 a≥0 时，14 54f(x)在(0,1)上没有零点．②若－3－ 或 a－ 时， h(x)有一个零点；当 a＝－ 或 a＝－ 时， h(x)有两个零34 54 34 54点；当－ a－ 时， h(x)有三个零点．54 341【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性、极值、最值课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．已知函数 f(x)的导函数 f′( x)＝ ax2＋ bx＋ c 的图象如图所示，则 f(x)的图象可能是( ) 2．函数 y＝ x2－ln x 的单调递减区间为( )12A．(0,1) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,2)3．(2016·南昌模拟)已知函数 f(x)＝(2 x－ x2)ex，则( )A． f( )是 f(x)的极大值也是最大值2B． f( )是 f(x)的极大值但不是最大值2C． f(－ )是 f(x)的极小值也是最小值2D． f(x)没有最大值也没有最小值4．函数 f(x)＝ln x－ x 在区间(0，e]上的最大值为( )A．1－e B．－1 C．－e D．05．已知函数 f(x)＝ x＋ 在(－∞，－1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是( )1axA．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0,1]C．(0,1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)二、填空题6．(2016·上饶模拟) f(x)＝ x3－3 x＋ a 有 3 个不同的零点，则 a 的取值范围是________．7．若函数 f(x)＝ x3－12 x 在区间( k－1， k＋1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是________．28．已知函数 f(x)＝1＋ x－ ＋ － ＋…－ ＋ ，若函数 f(x)的零点均x22 x33 x44 x2 0142 014 x2 0152 015在[ a， b](a0.讨论 f(x)的单调性．2x10．(2016·衡阳模拟)已知函数 f(x)＝ x－ － aln x.1x(1)若 f(x)无极值点，求 a 的取值范围；(2)设 g(x)＝ x＋ －(ln x)a，当 a 取(1)中的最大值时，求 g(x)的最小值．1x[冲 击 名 校 ]1．(2016·渭南模拟)设 f(x)在定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数 f′( x)的图象可能是( ) 2．已知定义域为 R 的奇函数 y＝ f(x)的导函数为 y＝ f′( x)，当 x≠0 时， f′( x)＋0，若 a＝ f ， b＝－2 f(－2)， c＝ f ，则 a， b， c 的大小关系正确的是f xx 12(12) (ln12) (ln12)( )A． ay0 的实数 x， y 恒成立，则实数 c 的最大值为________．4．(2016·烟台模拟)已知函数 f(x)＝ ax－2 x(a0，且 a≠1)．(1)当 a＝2 时，求曲线 f(x)在点 P(2， f(2))处的切线方程；(2)若 f(x)的值恒非负，试求 a 的取值范围；(3)若函数 f(x)存在极小值 g(a)，求 g(a)的最大值．3答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 D 当 x0 时，由导函数 f′( x)＝ ax2＋ bx＋ c 的图象可知，导函数在区间(0， x1)内的值是大于 0 的，则在此区间内函数 f(x)单调递增．2．解析：选 A 对于函数 y＝ x2－ln x，易得其定义域为{ x|x0}， y′＝ x－ ＝12 1x，令 0，所以 x2－10，函数 f(x)单调递增；当 x 时， f′( x)0，在 x＝－ 处取得极小值2 2 2 2 2f(－ )＝2(－ －1)e － 0；当 x∈(1，e]1x 1－ xx时， f′( x)1，则有 ≤1，解得 a≥1 或 a0，解得单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，f′( x)0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，4由 y′－1 时， f′( x)0，当x0，所以 f(x)单调递增，而 f(0)＝1， f(－1)0 都有 f′( x)0.2此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当 Δ ＝0，即 a＝2 时，仅对 x＝ 有 f′( x)＝0，对其余的 x0 都有 f′( x)0.2 2此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当 Δ 0，即 a2 时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝ ， x2＝2a－ a2－ 82，00， m(x)单调递增，x∈(1，＋∞)时， m′( x)0， g′( x)0， g(x)单调递增，∴ g(x)≥ g(1)＝2，故 g(x)的最小值为 2.[冲 击 名 校 ]1．解析：选 B 由 f(x)的图象可知，当 x0 时，函数的单调性是先减后增再减．∴当 x→∞时， f′( x)0 时， h′( x)＝ f(x)＋ x·f′( x)0，此时函数 h(x)单调递增．∵ a＝ f ＝ h ， b＝－2 f(－2)＝2 f(2)＝ h(2)， c＝ ·f ＝ h ＝ h(－ln 12(12) (12) (ln12) (ln12) (ln12)2)＝ h(ln 2)，又 2ln 2 ，∴ bca.123．解析：由 xy0,2y2－ x2≥ c(x2－ xy)得 c≤ ，即 c≤ .设 t＝ ，则2y2－ x2x2－ xy2－ x2y2x2y2－ xy xyt1，令 g(t)＝ ＝ ＝－1＋ ，2－ t2t2－ t － t2＋ t＋ 2－ tt2－ t 2－ tt2－ tg′( t)＝ ＝ ，当 12＋ 时， g′( t)0，所以 g(t)min＝ g(2＋ )＝ 2 －4.则 c≤2 －4，即实数 c2 2 2 2的最大值为 2 －4.2答案：2 －4264．解：(1)当 a＝2 时， f(x)＝2 x－2 x，所以 f′( x)＝2 xln 2－2，所以 f′(2)＝4ln 2－2，又 f(2)＝0，所以所求切线方程为 y＝(4ln 2－2)( x－2)．(2)当 x≤0 时， f(x)≥0 恒成立；当 x0 时，若 01 时，f(x)1.由 f(x)≥0 知 ax≥2 x，所以 xln a≥ln(2 x)，所以 ln a≥ .ln 2xx令 g(x)＝ ，则 g′( x)＝ ＝ ，令 g′( x)ln 2xx 12x×2×x－ ln 2xx2 1－ ln 2xx2＝0，则 x＝ ，e2且 00， x 时， g′( x)0，ln a1 时，设方程 f′( x)＝0 的根为 t，得 at＝ ，2ln a即 t＝log a ＝ ，2ln a ln2ln aln a所以 f(x)在(－∞， t)上为减函数，在( t，＋∞)上为增函数，所以 f(x)的极小值为f(t)＝ at－2 t＝ －2 ，即 g(a)＝ －2 ，又 a1，所以 0.2ln a ln2ln aln a 2ln a ln2ln aln a 2ln a设 h(x)＝ x－ xln x， x0，则 h′( x)＝1－ln x－ x· ＝－ln x，1x令 h′( x)＝0，得 x＝1，所以 h(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以 h(x)的最大值为 h(1)＝1，即 g(a)的最大值为 1，此时 a＝e 2.1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第五节 热点专题——导数综合应用的热点问题课后作业 理1．(2016·兰州模拟)已知函数 f(x)＝e x－ ax(a∈R，e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 a＝1，函数 g(x)＝( x－ m)f(x)－e x＋ x2＋ x 在(2，＋∞)上为增函数，求实数 m的取值范围．2．已知 a∈R，函数 f(x)＝ ax－ln x， x∈(0，e](其中 e 是自然对数的底数)．(1)当 a＝2 时，求 f(x)的单调区间和极值；(2)求函数 f(x)在区间(0，e]上的最小值．3．已知函数 f(x)＝ln x＋ (a0)．ax(1)求 f(x)的单调区间；(2)讨论关于 x 的方程 f(x)＝ － 的实根情况．x3＋ 2 bx＋ a2x 124．(2016·郑州模拟)已知函数 f(x)＝ ax－1＋ln x，其中 a 为常数．(1)当 a∈ 时，若 f(x)在区间(0，e)上的最大值为－4，求 a 的值；(－ ∞ ， －1e)(2)当 a＝－ 时，若函数 g(x)＝| f(x)|－ － 存在零点，求实数 b 的取值范围．1e ln xx b25．已知函数 f(x)＝( x＋1)e － x(e 为自然对数的底数)．2(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 φ (x)＝ xf(x)＋ tf′( x)＋e － x，存在实数 x1， x2∈[0,1]，使得 2φ (x1)0，∴ f(x)在 R 上为增函数；当 a0 时，由 f′( x)＝0 得 x＝ln a，则当 x∈(－∞，ln a)时， f′( x)0，∴函数 f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数．(2)当 a＝1 时， g(x)＝( x－ m)(ex－ x)－e x＋ x2＋ x，∵ g(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴ g′( x)＝ xex－ mex＋ m＋1≥0 在(2，＋∞)上恒成立，即 m≤ 在(2，＋∞)上恒成立，xex＋ 1ex－ 1令 h(x)＝ ， x∈(2，＋∞)，xex＋ 1ex－ 1h′( x)＝ ＝ . ex 2－ xex－ 2ex ex－ 1 2 ex ex－ x－ 2 ex－ 1 2令 L(x)＝e x－ x－2， L′( x)＝e x－10 在(2，＋∞)上恒成立，即 L(x)＝e x－ x－2 在(2，＋∞)上为增函数，即 L(x)L(2)＝e 2－40，∴ h′( x)0，3即 h(x)＝ 在(2，＋∞)上为增函数，xex＋ 1ex－ 1∴ h(x)h(2)＝ ，2e2＋ 1e2－ 1∴ m≤ .2e2＋ 1e2－ 1所以实数 m 的取值范围是 .(－ ∞ ，2e2＋ 1e2－ 1]2．解：(1)当 a＝2 时， f(x)＝2 x－ln x，对 f(x)求导，得 f′( x)＝2－ ＝ .1x 2x－ 1x所以 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，(0，12] [12， e]由此可知 f(x)的极小值为 f ＝1＋ln 2，没有极大值．(12)(2)记 g(a)为函数 f(x)在区间(0，e]上的最小值．f′( x)＝ a－ ＝ .1x ax－ 1x当 a≤0 时， f′( x) 时， f(x)在区间 上单调递减，在 上单调递增，则 g(a)＝ f ＝1＋ln 1e (0， 1a] [1a， e] (1a)a.综上所述， g(a)＝Error!3．解：(1) f(x)＝ln x＋ 的定义域为(0，＋∞)，则 f′( x)＝ － ＝ .ax 1x ax2 x－ ax2因为 a0，由 f′( x)0，得 x∈( a，＋∞)，由 f′( x)0，当 x∈(1，＋∞)时， h′( x)0，即 b0 时， y＝ h(x)的图象与 x 轴无交点，方程 f(x)＝ － 无实根．x3＋ 2 bx＋ a2x 124．解：(1) f′( x)＝ a＋ ，令 f′( x)＝0 得 x＝－ ，1x 1a因为 a∈ ，所以 00 得 00}，当 a＝－ 时， f(x)＝－ －1＋ln x，所以 f′( x)＝－ ＋ ＝－ ，1e xe 1e 1x x－ eex当 00；当 xe 时， f′( x)0；当 xe 时， h′( x)0；当 x0 时， f′( x)3－ 1.e2②当 t≤0 时， φ ′( x)0， φ (x)在[0,1]上单调递增，∴2 φ (0)0， φ (x)在( t,1]上单调递增，所以 2φ (t)0)，可知 g(x)在(0,1)上1x x3－ 1x  x－ 1 3x是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，6所以 g(x)≥ g(1)＝0，所以 f(x)≥－ ＋ －4 x＋ 成立．x33 5x22 116(3)由 x∈[e，＋∞)知， x＋ln x0，所以 f(x)≥0 恒成立等价于 a≤ 在 x∈[e，＋∞)时恒成立，x2x＋ ln x令 h(x)＝ ， x∈[e，＋∞)，有 h′( x)＝ 0，x2x＋ ln x x x－ 1＋ 2ln x x＋ ln x 2所以 h(x)在[e，＋∞)上是增函数，有 h(x)≥ h(e)＝ ，所以 a≤ .e2e＋ 1 e2e＋ 1故所求 a 的取值范围是 .(－ ∞ ，e2e＋ 1]1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 定积分与微积分基本定理课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．∫ 0sin2 dx＝( )π 2 xA．0 B. －π 4 12C. － D. －1π 4 14 π 22．设 f(x)＝Error!(其中 e 为自然对数的底数)，则 f(x)dx 的值为( )e∫0A. B．2 C．1 D.43 233．曲线 y＝ 与直线 y＝x－1 及 x＝4 所围成的封闭图形的面积为( )2xA．2ln 2 B．2－ln 2C．4－ln 2 D．4－2ln 24．若 S1＝ dx，S 2＝ (ln x＋1) dx，S 3＝ xdx，则 S1，S 2，S 3的大小关系为( )2∫11x2∫12∫1A．S 10)成立，则 a＝________.1∫8．设 a0.若曲线 y＝ 与直线 x＝a，y＝0 所围成封闭图形的面积为 a2，则x2a＝________.三、解答题9．求下列定积分．10．已知函数 f(x)＝x 3－x 2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x)＝x 2围成的图形的面积．[冲 击 名 校 ]1.如图，由曲线 y＝x 2和直线 y＝t 2(0t1)，x＝1，x＝0 所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A. B. 14 12C．1 D．22．若函数 f(x)，g(x)满足 －1f(x)g(x) dx＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的1∫一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin x，g(x)＝cos x；12 12②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A．0 B．1 C．2 D．33．曲线 y＝ ＋2x＋2e 2x，直线 x＝1，x＝e 和 x 轴所围成的区域的面积是________．1x4.3如图所示，由抛物线 y＝－x 2＋4x－3 及其在点 A(0，－3)和点 B(3，0)处的切线所围成的图形的面积为________．5.已知二次函数 f(x)＝ax 2＋bx＋c，直线 l1：x＝2，直线 l2：y＝－t 2＋8t(其中0≤t≤2，t 为常数)，若直线 l1，l 2与函数 f(x)的图象以及 l2，y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求 a，b，c 的值；(2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式．答 案 [全 盘 巩 固 ]一、选择题1．2．3．4解析：选 D 由曲线 y＝ 与直线 y＝x－1 联立，解得 x＝－1，x＝2，如图所示，故所2x求图形的面积为 S＝ （x－1 － ） dx＝ ＝4－2 ln 2.4∫2 2x4．解析：选 A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选 A.5．二、填空题6．解析：∵ － 1f(x)dx＝ － 1(3x2＋2x＋1) dx＝(x 3＋x 2＋x) ＝4，∴2(3a 2＋2a＋1)1∫ 1∫＝4，即 3a2＋2a－1＝0，解得 a＝ 或 a＝－1(舍去)，所以 a＝ .13 13答案：137.5答案：π 28．解析：由题意知 dx＝ a2，又Error! ＝a 2，a∫0x a0即 a ＝a 2，所以 a＝ .2332 49答案：49三、解答题9． 10．解：∵(1,2)为曲线 f(x)＝x 3－x 2＋x＋1 上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为 k，则 k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)Error!＝2，6∴过点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.y＝2x 与函数 g(x)＝x 2围成的图形如图：由Error! 可得交点 A(2,4)．∴y＝2x 与函数 g(x)＝x 2围成的图形的面积S＝ (2x－x 2)dx＝ Error! ＝4－ ＝ .∫ 20 (x2－13x3) 20 83 43[冲 击 名 校 ]1.解析：选 A 设图中阴影部分的面积为 S(t)，则 S(t)＝ (t2－x 2)dx＋ (x2－t 2)∫ t0 ∫ 1tdx＝ t3－t 2＋ .由 S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得 t＝ 为 S(t)在区间(0,1)上的最小值点，此43 13 12时 S(t)min＝S ＝ .(12) 142．3．解析：由题意得，所求面积为 dx＝∫ e1(1x＋ 2x＋ 2e2x)dx＋ 2xdx＋ 2e2xdx＝ln x ＋x 2 ＋e 2x ＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e－e 2)∫ e11x ∫ e1 ∫ e1 |e1 |e1 |e1＝e 2e.答案： e2e4.解析：由题意，知抛物线 y＝－x 2＋4x－3 在点 A 处的切线斜率是 k1＝y′| x＝0 ＝4，在点 B 处的切线斜率是 k2＝y′| x＝3 ＝－2.因此，抛物线过点 A 的切线方程为 y＝4x－3，过点 B 的切线方程为 y＝－2x＋6.设两切线相交于点 M，由Error!消去 y，得 x＝ ，即点 M 的横坐标为 .32 32在区间 上，直线 y＝4x－3 在曲线 y＝－x 2＋4x－3 的上方；在区间 上，直[0，32] [32， 3]线 y＝－2x＋6 在曲线 y＝－x 2＋4x－3 的上方．因此，所求的图形的面积是7答案：945.解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且 f(x)的最大值为 16，则Error! 解得Error!即 a 的值为－1，b 的值为 8，c 的值为 0.(2)由(1)知，f(x)的解析式为 f(x)＝－x 2＋8x.由Error! 得 x2－8x－t(t－8)＝0，∴x 1＝t，x 2＝8－t.∵0≤t≤2，∴直线 l2与 f(x)的图象的位于 l1左侧的交点坐标为(t，－t 2＋8t)，由定积分的几何意义知：S(t)＝ [(－t 2＋8t)－(－x 2＋8x)] dx＋ [(－x 2＋8x)－(－t 2＋8t)]∫ t0 ∫ 2tdx＝(－t 2＋8t)x－－ ＋4x 2 ＋ ＝－ t3＋10t 2－16t＋ .x33 t0 [(－ x33＋ 4x2)－  － t2＋ 8t x]2t 43 403