（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题六 三角函数与解三角形 理（课件+习题）（打包9套）.zip

第 1讲 三角函数的概念与恒等 变换专题六 三角函数与解三角形2016考向 导 航专题六 三角函数与解三角形历 届高考考什么？三年真 题统计 2016会怎 样 考？2015 2014 20131.三角函数的概念 卷 Ⅰ ， T6三角函数的概念与恒等 变换多以小 题 形式考 查 ，注意与向量、平面解析几何的交 汇2.三角函数的求 值 与化 简卷 Ⅰ， T2 卷 Ⅱ ， T153.三角恒等变换 卷 Ⅰ ， T83．辨明易 错 易混点(1)利用平方关系 时 ，若开方要特 别 注意判断符号．(2)已知三角函数 值 求角 时 ，要注意角的范 围 的挖掘．考点一 三角函数的概念B[名 师 点 评 ] 根据三角函数的定 义 ， 设 三角的 终边 上一点P(x， y)， 依据角的 终边 上的点与角的关系 ， 列出关系式 进 行求 值 与化 简 ．已知角 θ的 顶 点与直角坐 标 系的原点重合，始 边 与 x轴 的非 负半 轴 重合， 终边 在直 线 x＋ 3y＝ 0上， 则 |sin θ－ cos θ|＝________．解析： ∵ 点 P在 y＝－ 2x上 ，∴ sin α＝－ 2cos α，∴ sin 2α＋ 2cos 2α＝ 2sin αcos α＋ 2(2cos2α－ 1)＝－ 4cos 2α＋ 4cos2α－ 2＝－ 2.C2．角 α的 终边 和 圆 心在原点的 单 位 圆 的交点 为 P(m， n)．当 |mn|最大 时 ， sin 2α＝ ________．±15考点二 三角函数的求 值 与化 简DCDDA考点三 三角函数的恒等 变换B[名 师 点 评 ] 利用三角函数的基本关系和基本公式 进 行 变 型时 ， 注意： ① 角所在的象限 问题 ． ② 将 变 型式子 “ 公式化 ” ．BD第 2讲 三角函数的 图 象与性 质专题六 三角函数与解三角形2016考向 导 航专题六 三角函数与解三角形历 届高考考什么？三年真 题统计 2016会怎 样 考？2015 2014 20131.三角函数的图 象与性 质卷 Ⅰ ， T6卷 Ⅱ ， T14(1)以三角函数的恒等 变换为平台， 转 化成 y＝ Asin(ωx＋ φ)，写出其相关性质(2)对 称性与三角函数的特殊取值 是重点2.三角函数 y＝Asin(ωx＋ φ)或 y＝ Acos(ωx＋ φ)的 图 象、性 质 及解析式卷 Ⅰ ，T81．必 记 概念与定理正弦、余弦、正切函数的 图 象与性 质 (下表中 k∈ Z)函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝ tan x单调 性[－ π＋ 2kπ，2kπ]为 增；[2kπ， π＋2kπ]为 减函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝ tan x对 称中心对 称 轴(kπ， 0)x＝ kπ 无考点一 三角函数的性 质(2014·高考 课标 全国卷 Ⅱ ， 5分 )函数 f(x)＝ sin(x＋ 2φ)－ 2sin φcos(x＋ φ)的最大 值为 ________．[解析 ] ∵ f(x)＝ sin(x＋ 2φ)－2sin φcos(x＋ φ)＝ sin[(x＋ φ)＋ φ]－ 2sin φcos(x＋ φ)＝ sin(x＋ φ)cos φ＋ cos(x＋ φ)sin φ－12sin φcos(x＋ φ)＝ sin(x＋ φ)cos φ－ cos(x＋ φ)sin φ＝ sin[(x＋ φ)－ φ]＝ sin x，∴ f(x)的最大 值为 1.[名 师 点 评 ] 求解有关三角函数的性 质问题时 ， 一般将原式子化成 标 准型 f(x)＝ Asin (ω x＋ φ)＋ B， 然后 对 比函数 y＝ sin x的性 质进 行求解．函数 f(x)＝ sin(x＋ 2φ)＋ msin φcos(x＋ φ)(m是不 为 0的常数 )的最大 值 是与 φ无关的定 值 ， 则 m的 值为 ( )A． 1 B． 2 C．－ 1 D．－ 2DAC3． 设 0≤ α≤ π，不等式 8x2－ (8sin α)x＋ cos 2α≥ 0对 x∈ R恒成立， 则 α的取 值 范 围为 ___________________．考点二 三角函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)或 y＝ Acos(ωx＋ φ)的 图 象与性 质 及解析式(2015·高考全国卷 Ⅰ ， 5分 )函数 f(x)＝ cos(ωx＋ φ)的部分 图 象如 图 所示， 则 f(x)的 单调递 减区 间为 ( )D[名 师 点 评 ] 利用函数 y＝ Asin (ωx＋ φ)或 y＝ Acos (ωx＋ φ)的图 象求解析式的三个基本步 骤 ：(1)先利用周期求 ω；(2)再利用 图 象的水平点或其他特殊点求 φ；(3)最后用最 值 点或 图 象与 y轴 的交点求 A.CDA考点三 与三角函数有关的 动 点 轨 迹 图 象的判断(2014·高考 课标 全国卷 Ⅰ ， 5分 )如 图 ， 圆 O的半径 为 1， A是 圆 上的定点， P是 圆 上的 动 点，角 x的始 边为 射 线 OA， 终边为 射 线 OP， 过 点 P作直 线 OA的垂 线 ，垂足 为 M.将点M到直 线 OP的距离表示成 x的函数 f(x)， 则 y＝ f(x)在 [0， π]上的 图 象大致 为 ( )B[名 师 点 评 ] 判断与三角函数有关的 动 点 轨 迹的三个基本步骤 ：(1)根据几何关系 ， 建立自 变 量 (动 点 )与相关量之 间 的关系；(2)根据目 标 要求 ，建立函数关系；(3)根据函数关系研究其 图 象与性 质时 可将平面几何中点所在的特殊位置与 图 形 结 合起来 ， 或将运 动变 化 趋势 与 图 象 结合起来．如 图 ， 圆 O的半径 为 1， A是 圆 上的定点， P是 圆 上的 动 点，角 x的始 边为 射 线 OA,终边为 射 线 OP,过 点 P作直 线 OA的垂线 ，垂足 为 M，将点 M到直 线 OP的距离与 O到 M的距离之和表示成 x的函数 f(x)， 则 y＝ f(x)在 [0， π]上的 图 象大致是 ( )B第 3讲 解三角形专题六 三角函数与解三角形2016考向 导 航专题六 三角函数与解三角形历 届高考考什么？三年真 题统计2015 2014 20131.正弦定理、余弦定理基本 应 用 卷 Ⅱ ， T17 卷 Ⅰ ， T16卷 Ⅰ ， T10卷Ⅱ ， T42.正、余弦定理的 综 合 应 用 卷 Ⅰ ， T173.正、余弦定理在求解四 边 形中的 应 用卷 Ⅱ ， T174.正、余弦定理的 实际应 用 卷 Ⅰ ， T16专题六 三角函数与解三角形2016会怎 样 考？(1)以三角函数和向量 为 平台，将解三角形 问题 置于其中(2)以三角形中的基本关系式 为载 体， 设 置求解三角形元素(3)正、余弦定理在 实际问题 中的 应 用是 热 点 问题 ， 应 予以重 视3．辨明易 错 易混点(1)利用正弦定理解三角形 时 ，注意解的个数 讨论 ，可能有一解、两解或无解．(2)在判断三角形形状 时 ，等式两 边 一般不要 约 去公因式， 应移 项 提取公因式，以免漏解．考点一 正、余弦定理的基本 应 用(经典考题 )已知 锐 角 △ ABC的内角 A， B， C的 对边 分别为 a， b， c， 23cos2A＋ cos 2A＝ 0， a＝ 7， c＝ 6， 则 b＝( )A． 10 B． 9C． 8 D． 5D[名 师 点 评 ] 利用正余弦定理解三角形 时 ，注意 ① 三 边 或两边 和一角 时 ，主要 选择 利用余弦定理． ② 两 边 与一 边对 角或两角与一角 对边时 ，主要 选择 利用正弦定理．ADCD考点二 正弦定理与余弦定理的 综 合 应 用[名 师 点 评 ] 解三角形 问题时 ： ① 先根据 题 意画出大致 图 形． ② 根据已知条件恰当 选择 正弦定理或余弦定理与三角形面积 公式． ③ 注意三角形 “ 分解 ” 中的公共 边 与公共角 ， 便于利用其 “ 公共性 ” 列出等式．考点三 正弦定理与余弦定理在求解四 边 形中的 应 用(2014·高考 课标 全国卷 Ⅱ ， 12分 )四 边 形 ABCD的内角 A与 C互 补 ， AB＝ 1， BC＝ 3, CD＝ DA＝ 2.(1)求 C和 BD；(2)求四 边 形 ABCD的面 积 ．[名 师 点 评 ] 四 边 形 问题 一般 联 接其中一条 对 角 线 分解成两个三角形，然后利用正、余弦定理或三角形面 积 公式求解．1专题六 三角函数与解三角形 第 1 讲 三角函数的概念与恒等变换考题溯源教材变式 理真题示例 对应教材 题材评说(2015·高考全国卷Ⅰ，5 分)sin 20°·cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A.－ B.32 32C.－ D．12 12(必修 4 P132练习 T5(6))求值. sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°条件结论相互转换是高考试题命制的途径之一，平常学习时，注重这种思想锻炼会收到极佳的学习效果.[教材变式训练]一、选择题[变式 1] (必修 4 P69T8(3)改编)已知 tan α ＝3，则(sin α －cos α )2等于( )A. B．35 25C. D．75 85解析：选 B.∵tan α ＝3，∴(sin α －cos α )2＝1－2sin α cos α ＝1－2sin α cos αsin2α ＋ cos2α＝1－ ＝1－ ＝ .2tan αtan2 α ＋ 1 610 25[变式 2] (必修 4 P146T8(3)改编)化简 －2cos 2 α 等于( )sin 3αsin αA．sin α B．cos αC．1 D．0解析：选 C. －2cos 2 αsin 3αsin α＝ －2cos 2 αsin 2α cos α ＋ cos 2α sin αsin α＝2cos 2α ＋cos 2 α －2cos 2 α＝2cos 2α －(2cos 2α －1)＝1.[变式 3] (必修 4 P143T2改编)已知 sin(α ＋ β )＝ ，sin( α － β )＝ ，若 tan 12 13α ＝ mtan β ，则 m 的值为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选 C.由 sin(α ＋ β )＝ ，sin( α － β )＝ ，12 13∴sin α cos β ＝ ，cos α sin β ＝ ，512 1122∴tan α ＝5tan β ，∴ m＝5，故选 C.[变式 4] (必修 4 P135T3改编)已知 sin 2α ＝－sin α ， α 是第二象限角，则 tan 2α 的值为( )A．－ B．33 33C．－ D．3 3解析：选 D.∵sin 2 α ＝－sin α ，∴cos α ＝－ ，12因 α 为第二象限角，∴sin α ＝ ，32∴tan α ＝－ ，3∴tan 2 α ＝2tan α1－ tan2α＝ ＝ ，故选 D.2×（ － 3）1－ （ － 3） 2 3[变式 5] (必修 4 P135练习 T2改编)已知 sin(α －π)＝ ， α 是第四象限角，则35tan(α ＋ )的值为( )π 4A．7 B．－7 C. D．－17 17解析：选 C.∵sin( α －π)＝ ，35∴sin α ＝－ ，35又∵ α 为第四象限角，∴cos α ＝ ，∴tan α ＝－ ，45 34∴tan( α ＋ )＝π 4 tan α ＋ 11－ tan α＝ ＝ ，故选 C.（ － 34） ＋ 11＋ 34 17[变式 6] (必修 4 P146T5(2)改编)cos 50°( －tan 10°)的值为( )3A．1 B．－1C. D．－3 3解析：选 A.cos 50°( －tan 10°)3＝cos 50°·3cos 10°－ sin 10°cos 10°＝cos 50°·2（ sin 60°cos 10°－ cos 60°sin 10°）cos 10°＝ ＝ ＝ ＝1.2sin 50°cos 50°cos 10° sin 100°cos 10°cos 10°cos 10°故选 A.二、填空题3[变式 7] (必修 4 P137A 组 T5改编)已知 sin(30°＋ α )＝ 且 60°α 150°，则35cos(2α ＋150°)＝________．解析：设 30°＋ α ＝ t，∴90° t180°，∵sin t＝ ，∴cos t＝－ ，35 45∴cos(2 α ＋150°)＝cos[2( t－30°)＋150°]＝cos(2 t＋90°)＝－sin 2 t＝－2sin tcos t＝ .2425答案：2425[变式 8] (必修 4 P146A 组 T6(3)(4)改编)已知 cos 2θ ＝ ，则45sin4θ ＋cos 4θ ＝________．解析：法一：∵cos 2 θ ＝ ，45∴2cos 2θ －1＝ ，1－2sin 2θ ＝ ，45 45∴cos 2θ ＝ ，sin 2θ ＝ ，910 110∴sin 4θ ＋cos 4θ ＝ .4150法二：sin 4θ ＋cos 4θ ＝(sin 2θ ＋cos 2θ )2－ sin22θ12＝1－ (1－cos 22θ )＝1－ × ＝ .12 12 925 4150答案：4150[变式 9] (必修 4 P147B 组 T8改编)已知直线 l 的倾斜角为 α ，且 sin α ＋cos α ＝ ，当直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为 6 时，原点到直线 l 的距离为________．15解析：∵ α 为直线 l 的倾斜角，∴0≤ α π又∵sin α ＋cos α ＝ ，15∴cos α ＝ －sin α ，15由 sin2α ＋cos 2α ＝1，∴25sin 2α －5sin α －12＝0，∴sin α ＝ 或 sin α ＝－ (舍去)，45 35∴cos α ＝－ ，∴tan α ＝－ ，35 43设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，∴直线 l 的方程为 y＝－ x＋ b，43令 y＝0， l 在 x 轴上的截距为 ，3b4∴ |b|×| b|＝6，∴| b|＝4，12 344∴原点到直线 l 的距离 d＝ ＝ .3|b|42＋ 32 125答案：125[变式 10] (必修 4 P147B 组 T5改编)已知 sin θ ，cos θ 是关于 x 的一元二次方程x2－(2sin α )x＋sin 2 β ＝0 的两实根，则 ＝________．cos 2αcos 2β解析：由题意得 sin θ ＋cos θ ＝2sin α ，①sin θ ·cos θ ＝sin 2β ，②① 2－2×②得 1＝4sin 2α －2sin 2β ，即：2sin 2β ＝4sin 2α －1，∴ ＝ ＝ ＝ .cos 2αcos 2β 1－ 2sin2α1－ 2sin2 β 1－ 2sin2α2－ 4sin2α 12答案：121（通用版）2016 年高考数学二轮复习 专题六 三角函数与解三角形 第 1 讲 三角函数的概念与恒等变换专题强化训练 理(时间：45 分钟 满分：60 分)一、选择题1．sin(－600°)的值为( )A．－ B.12 12C．－ D．32 32解析：选 D.sin(－600°)＝sin[(－2)×360°＋120°]＝sin 120°＝sin 60°＝ .322．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y＝3 x 上，则 tan 2θ 等于( )A．－ B．－43 34C. D．34 43解析：选 B.由题意可知角 θ 的终边在第一、三象限，所以 tan θ ＝3，因此 tan 2θ ＝ ＝ ＝－ .2tan θ1－ tan2θ 2×31－ 32 343．已知 tan α ＝ ，则 ＝( )13 sin α ＋ cos αsin α － cos αA．1 B．－1C．2 D．－2解析：选 D.由 tan α ＝ ，得13 sin α ＋ cos αsin α － cos α＝ ＝ ＝－2.tan α ＋ 1tan α － 113＋ 113－ 14．已知 tan α ＝2，那么 cos 2α 的值是( )A．－ B．45 45C．－ D．35 35解析：选 C.cos 2α ＝cos 2α －sin 2 α＝cos2 α － sin2 αcos2 α ＋ sin2 α＝ ＝－ .1－ tan2 α1＋ tan2 α 355．若 sin( － θ )＝ ，则 cos( ＋2 θ )的值为( )π 6 13 2π3A. B．－13 132C. D．－79 79解析：选 D.cos( －2 θ )＝1－2sin 2( － θ )＝1－2×( )2＝ ，π 3 π 6 13 79所以 cos( ＋2 θ )＝cos [π－( －2 θ )]2π3 π 3＝－cos( －2 θ )＝－ .π 3 796．sin 25°、cos 24°、tan 61°的大小关系正确的是( )A．cos 24°sin 25°tan 61°B．cos 24°tan 61°sin 25°C．tan 61°cos 24°sin 25°D．sin 25°cos 24°tan 61°解析：选 D.因为 sin 25°sin 66°＝cos 24°1tan 61°，所以 sin 25°cos 24°tan 61°，故选 D.7．已知 α 是第二象限角，其终边上一点 P(x， )，且 cos α ＝ x，则 sin(α ＋ )524 π 2＝( )A．－ B．－104 64C. D．64 104解析：选 B.cos α ＝ ＝ x，x5＋ x2 24解得 x＝ 或 x＝－ .3 3又 α 是第二象限角，∴ x＝－ ，3即 cos α ＝－ ，sin( α ＋ )＝cos α ＝－ ，故选 B.64 π 2 648．sin 2(π＋ α )－cos(π＋ α )cos(－ α )＋1 的值为( )A．1 B．2sin 2αC．0 D．2解析：选 D.sin2(π＋ α )－cos(π＋ α )cos(－ α )＋1＝(－sin α )2－(－cos α )cos α ＋1＝sin 2α ＋cos 2α ＋1＝2.故选 D.9．已知 ＝－ ，则 的值是( )1＋ sin αcos α 12 cos αsin α － 1A. B．－12 12C．2 D．－2解析：选 A.由 1－sin 2α ＝cos 2α 及题意可得 cos α ≠0 且 1－sin α ≠0，∴ ＝ ，1＋ sin αcos α cos α1－ sin α∴ ＝－ ，cos α1－ sin α 12即 ＝ ，故选 A.cos αsin α － 1 1210．已知 sin θ ＋cos θ ＝ (0θ )，则 sin θ －cos θ 的值为( )43 π 43A. B．－23 23C. D．－13 13解析：选 B.∵sin θ ＋cos θ ＝ ，43(sin θ ＋cos θ )2＝1＋sin 2 θ ＝ ，169∴sin 2 θ ＝ ，又 0θ ，79 π 4∴sin θ cos θ ，∴sin θ －cos θ ＝－ （ sin θ － cos θ ） 2＝－ ＝－ .故选 B.1－ sin 2θ2311．函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos 2x－ m 在[0， ]上有零点，则实数 m 的取值π 2范围是( )A．[－ ，1] B．[1， ]2 2C．[－1， ] D．[－ ， ]2 2 2解析：选 C.因为函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos 2x－ m 在[0， ]上有零点，等价π 2于 m 在 g(x)＝(sin x＋cos x)2－2cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋2sin xcos x－2cos 2x＝sin 2x－cos 2 x＝ sin (2x－ )的值域内．2π 4又 x∈[0， ]，π 2所以 2x－ ∈[－ ， ]，π 4 π 4 3π4所以 g(x)∈[－1， ]，2所以－1≤ m≤ .212．已知锐角 α 满足 cos 2α ＝cos( － α )，则 sin 2α 等于( )π 4A. B．－12 12C. D．－22 22解析：选 A.由 cos 2α ＝cos( － α )得，π 4cos2α －sin 2α ＝ cos α ＋ sin α ，而 α 为锐角，22 22∴cos α ＋sin α ≠0，∴cos α －sin α ＝ ，22两边平方得，1－sin 2 α ＝ ，12∴sin 2 α ＝ ，故选 A.12二、填空题413．已知 sin ＝ ，则 cos(π－ α )＝________．α 2 23解析：∵sin ＝ ，α 2 23∴cos(π－ α )＝－cos α ＝－(1－2sin 2 )α 2＝－ .19答案：－1914．已知 tan (3π－ α )＝－ ，tan( β － α )＝－ ，则 tan β ＝________．12 13解析：依题意得 tan α ＝ ，tan β ＝tan[( β － α )＋ α ]＝12＝ .tan（ β － α ） ＋ tan α1－ tan（ β － α ） ·tan α 17答案：1715．若 θ ∈( ， )，sin 2 θ ＝ ，则 cos θ －sin θ 的值是________．π 4 π 2 116解析：(cos θ －sin θ )2＝1－sin 2 θ ＝ ，1516∵ θ ，∴cos θ sin θ ，π 4 π 2∴cos θ －sin θ ＝－ .154答案：－15416．已知函数 f(x)＝cos( x＋2 θ )＋sin( x－2 θ )是奇函数，则 θ ＝________．解析：∵函数 f(x)是奇函数，∴对任意实数 x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，从而 cos(－ x＋2 θ )＋sin(－ x－2 θ )＝－[cos( x＋2 θ )＋sin( x－2 θ )]，cos(x－2 θ )－sin( x＋2 θ )＝－cos( x＋2 θ )－sin( x－2 θ )，∴sin( x＋2 θ )－sin( x－2 θ )＝cos( x－2 θ )＋cos( x＋2 θ )，∴2cos xsin 2θ ＝2cos xcos 2θ .∵cos x 不恒为 0，∴sin 2 θ ＝cos 2 θ ，∴tan 2 θ ＝1，∴2 θ ＝ kπ＋ (k∈Z)，π 4即 θ ＝ ＋ (k∈Z)．kπ2 π 8答案： ＋ (k∈Z)kπ2 π 81（通用版）2016 年高考数学二轮复习 专题六 三角函数与解三角形 第 2 讲 三角函数的图象与性质考题溯源教材变式 理真题示例 对应教材 题材评说(2014·高考课标全国卷Ⅱ，5 分)函数 f(x)＝sin( x＋2 φ )－2sin φ ·cos(x＋ φ )的最大值为______.(必修 4 P132练习 T7)已知sin(α － β )cos α －cos( β － α )sin α ＝ ， β 是第三象限角，35求 sin(β ＋ π)的值.54(必修 4 P138习题 A 组 T18)已知 cos(α ＋ β )cos β ＋sin( α ＋ β )·sin β ＝，且 α ∈( π，2π)，求13 32cos(2α ＋ )的值.π 4定值型与动态型转化是试题命制的常用途径之一，在平常学习时，动静结合，效果会更佳.[教材变式训练]一、选择题[变式 1] (必修 4 P70T15(4)改编 )在[0，2π]上函数 y＝sin x 是减函数， y＝cos x 是增函数的区间是( )A．[0， ] B．[ ，π]π 2 π 2C．[π， ] D．[ π，2π]3π2 32解析：选 C.y＝sin x 的减区间是[ ， ]， y＝cos x 的增区间是[π，2π]，π 2 3π2∴ y＝sin x 是减函数， y＝cos x 是增函数的区间是[ ， ]∩[π，2π]＝[π， ]，π 2 3π2 3π2故选 C.[变式 2] (必修 4 P58T2(3)改编)函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0，| φ |0， ω 0)平移得到，则下列12哪个平移法是正确的( )A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度π 4 π 4C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度π 8 π 83解析：选 D.f(x)＝sin 2x＋sin xcos x－ ＝ (1－cos 2 x)＋ sin 2x－12 12 12 12＝ sin(2x－ )22 π 4＝ sin[2(x－ )]，22 π 8∵ f(x)的图象可由 g(x)＝ sin 2x 的图象上各点都向右平移 个单位长度而得到．故22 π 8选 D.[变式 6] (必修 4 P147B 组 T6 改编)若函数 f(x)＝ sin 2x＋2cos 2 x＋ m 在区间[0，3]上的最大值为 6，则当 x∈R 时， f(x)的最小值为( )π 2A．1 B．2C．3 D．4解析：选 B.f(x)＝ sin 2x＋cos 2 x＋1＋ m＝2sin (2 x＋ )＋1＋ m，3π 6x∈[0， ]，2 x＋ ∈[ ， ]π 2 π 6 π 6 7π6∴当 2x＋ ＝ ，π 6 π 2即 x＝ 时， f(x)max＝3＋ m＝6.π 6∴ m＝3.∴ f(x)＝2sin (2 x＋ )＋4.π 6∴ f(x)min＝－2＋4＝2.二、填空题[变式 7] (必修 4 P146A 组 T6(3)(4)改编) f(x)＝sin 4 x＋cos 4 x 的最小值为________．解析： f(x)＝sin 4x＋cos 4x＝(sin 2x＋cos 2x)2－2sin 2xcos2x＝1－ (sin 2x)212＝1－ ·12 1－ cos 4x2＝ ＋ cos 4x，34 14∴ f(x)min＝ － ＝ .34 14 12答案：12[变式 8] (必修 4 P71T8(2)改编)函数 y＝sin (－3 x＋ )， x∈[0，π]，在区间[ a， b]π 4(00， ω 0，0 φ π)，若某行业在当地需要的温度在区间[20－5 ，20＋5 ]之间为最佳营业时间 ，那么该行业在 6～142 2时，最佳营业时间为________小时．解析：由题图知 A＝10， · ＝14－6，12 2πω∴ ω ＝ .π 8∴ y＝10sin ( t＋ φ )＋ b.①π 8ymax＝10＋ b＝30.∴ b＝20.当 t＝6 时， y＝10 代入①得 φ ＝ .3π4∴解析式为 y＝10sin ( t＋ )＋20， t∈[6，14]．π 8 3π4由题意得20－5 ≤10sin ( t＋ )＋20≤20＋5 .2π 8 3π4 2即－ ≤sin ( t＋ )≤ .22 π 8 3π4 22∴2 kπ－ ≤ t＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z.π 4 π 8 3π4 π 45即 16k－8≤ t≤16 k－4.∵ t∈[6，14]，∴ k＝1，即 8≤ t≤12.所以最佳营业时间为 12－8＝4 小时．答案：41（通用版）2016 年高考数学二轮复习 专题六 三角函数与解三角形 第 3 讲 解三角形考题溯源教材变式 理真题示例 对应教材 题材评说(经典考题)△ ABC 的内角A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c，已知 a＝ bcos C＋ csin B(1)求 B；(2)若 b＝2，求△ ABC 面积的最大值.(必修 5 P18练习 T3)在△ ABC中，求证： a＝ bcos C＋ ccos B， b＝ ccos A＋ acos C， c＝ acos B＋ bcos A.对照变化，对应求答是高考试题求解的有效策略，体现类比、猜想的基本数学思想.[教材变式训练]一、选择题[变式 1] (必修 5 P4练习 T1(1)改编)在△ ABC 中， A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c， A＝45°， C＝30°， c＝1，则 b 等于( )A. B. －6－ 22 6 2C. D． ＋6＋ 22 6 2解析：选 C.B＝180°－45°－30°＝105°.由正弦定理得 ＝ ，bsin B csin C∴ b＝ ×sin 105°1sin 30°＝2sin (60°＋45°)＝2( × ＋ × )32 22 12 22＝ .6＋ 22[变式 2] (必修 5 P10B 组 T2改编)在△ ABC 中， atan A＝ btan B，则△ ABC 一定是( )A．等腰三角形 B．正三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：选 A.由 atan A＝ btan B，得asin Acos B＝ bsin Bcos A.由正弦定理和余弦定理得a2· ＝ b2· ，a2＋ c2－ b22ac b2＋ c2－ a22bc即( a－ b)[(a＋ b)2＋ c2]＝0，∴ a－ b＝0，即 a＝ b.[变式 3] (必修 5 P18T3① 改编)在△ ABC 中，2 acos A＋ bcos C＋ ccos B＝0，则角 A 为( )2A. B．π 6 π 3C. D．2π3 5π6解析：选 C.由余弦定理得2acos A＋ b· ＋ c· ＝0，a2＋ b2－ c22ab a2＋ c2－ b22ac即 2acos A＋ a＝0，∴cos A＝－ .12A＝ .故选 C.2π3[变式 4] (必修 5 P19T4改编)如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B＝90°，∠ C＝30°， D 是 BC上一点，且∠ ADB＝45°.若 AB＝4，则 DC 等于( )A．2 B．2 3C．4( －1) D．2( －1)3 3解析：选 C.由题意知，BC＝4 ， BD＝ AB＝4.3∴ DC＝4 －4＝4( －1)．3 3[变式 5] (必修 5 P20T13① 改编)△ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若a＝4， b＝3， c＝2，则中线 AD 的长为( )A. B．5 10C. D．52 102解析：选 D.如图，由余弦定理得AB2＝ DA2＋ DB2－2 DA·DBcos∠ ADB，AC2＝ DA2＋ DC2－2 DA·DCcos∠ ADC，两式相加得AB2＋ AC2＝2 DA2＋ DB2＋ DC2，即 22＋3 2＝2 DA2＋2 2＋2 2，∴2 DA2＝5.∴ DA＝ .102[变式 6] (必修 5 P25B 组 T3(1)改编)设 l， l＋1， l＋2 是钝角三角形的三边长，则 l的取值范围是( )A．00，且 l＋21.设最长边所对的角为 C，由题意知，cos C0，3即 cos C＝ 0，l2＋ （ l＋ 1） 2－ （ l＋ 2） 22l（ l＋ 1）∴ 0，l2－ 2l－ 32l（ l＋ 1）即 l2－2 l－30，－1 l3，∴1 l3，故选 B.二、填空题[变式 7] (必修 5 P15练习 T1改编)如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 α ，沿倾斜角为 β 的斜坡向上走 a 米到达 B，在 B 测得山顶 P 的仰角为 γ ，则山高 PQ＝________米．解析：在△ APB 中，∠ PAB＝ α － β ，∠ APB＝ γ － α ，∠ ABP＝180°－( γ － β )，由正弦定理得＝APsin ∠ ABP ABsin ∠ APB∴ AP＝ ＝asin [180°－ （ γ － β ） ]sin （ γ － α ） asin （ γ － β ）sin （ γ － α ）∴ PQ＝ APsin α ＝ .asin α sin（ γ － β ）sin（ γ － α ）答案：asin α sin （ γ － β ）sin （ γ － α ）[变式 8] (必修 5 P18练习 T1(3)改编；P 20B 组 T2(1)改编)△ ABC 的三边长为a＝5， b＝6， c＝7，则 S△ ABC＝________．解析：法一：∵cos C＝a2＋ b2－ c22ab＝ ＝ ，52＋ 62－ 722×5×6 15∴sin C＝ ＝ ，1－ cos2 C265∴ S△ ABC＝ absin C＝ ×5×6×12 12 265＝6 .6法二： p＝ (5＋6＋7)＝9.12∴ S△ ABC＝ 9×（ 9－ 5） （ 9－ 6） （ 9－ 7）＝6 .6答案：6 6三、解答题[变式 9] (必修 5 P20A 组 T14改编)在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c(asin B－ bcos A)＝ a2－ b2，(1)求 B；(2)求 cos A＋cos C 的范围；(3)若 b＝3，求△ ABC 面积的最大值．解：(1)由 c(asin B－ bcos A)＝ a2－ b24⇒acsin B－ bc· ＝ a2－ b2b2＋ c2－ a22bc⇒acsin B＝ ，a2＋ c2－ b22又 b2＝ a2＋ c2－2 accos B，∴ ＝ accos B，a2＋ c2－ b22∴ acsin B＝ accos B，即 tan B＝1，又 0Bπ，∴ B＝ .π 4(2)由(1)知 A＋ C＝ ，3π4即 C＝ － A，3π4∴cos A＋cos C＝cos A＋cos( － A)3π4＝cos A－ (cos A－sin A)22＝(1－ )cos A＋ sin A22 22＝ sin(A＋ φ )12＋ （ 1－ 22） 2＝ sin(A＋ φ )(其中 φ 为锐角且2－ 2tan φ ＝ －1)，2∵0 A ，3π4∴ φ A＋ φ ＋ φ π，3π4∴ ＝sin φ sin(A＋ φ )≤1，2－ 22故 cos A＋cos C 的取值范围是(1－ ， ]．22 2－ 2(3)由 b＝3 及 b2＝ a2＋ c2－2 accos B 得ac＝ a2＋ c2－9≥2 ac－9，2∴(2－ )ac≤9， ac≤ ＝ (2＋ )，292－ 2 92 2∴ S△ ABC＝ acsin B＝ ac≤ × (2＋ )12 24 24 92 2＝ ( ＋1)．94 2[变式 10] (必修 5 P25B 组 T3改编)是否存在满足以下条件的三角形，①三边长是三个连续偶数；②最大角是最小角的 2 倍．若存在，求出该三角形的内切圆半径；若不存在，说明理由．解：假设存在满足条件①②的三角形，设三边分别为 x－2， x， x＋2，其中 x－2 对角为 α ， x＋2 对角为 2α (其中 x 为大于2 的偶数)，由正弦定理可知： ＝ ＝ ，x－ 2sin α x＋ 2sin 2α x＋ 22sin α cos α52(x－2)cos α ＝ x＋2，∴2( x－2)·x2＋ （ x＋ 2） 2－ （ x－ 2） 22x（ x＋ 2）＝ x＋2，∴( x－2)· ＝ x＋2⇒( x－2)( x＋8)＝( x＋2) 2，x2＋ 8xx（ x＋ 2）∴ x2＋6 x－16＝ x2＋4 x＋4，∴ x＝10，∴存在这样一个三角形，其三边长为 8，10，12.设该三角形为△ ABC 且 a＝8， b＝10， c＝12.∴cos A＝ ＝ ，102＋ 122－ 822×10×12 34∴sin A＝ ，74∴ S△ ABC＝ bcsin A＝15 .12 7又设内切圆半径为 r，∴ S＝ (a＋ b＋ c)·r，12∴ r＝ ＝ ＝ .2Sa＋ b＋ c 30730 7