（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第十一章 概率、随机变量及其分布（课件+习题）（打包10套）.zip

第 1讲 随机事件的概率最新考 纲 1.了解随机事件 发 生的不确定性和 频 率的 稳 定性 ， 了解概率的意 义 以及 频 率与概率的区 别； 2.了解两个互斥事件的概率加法公式 .知 识 梳 理1.事件的分 类可能 发 生也可能不 发 生2.频 率与概率频 率 fn(A) 常数3.事件的关系与运算包含B⊇ A并事件A＝ B交事件 (积事件 )若某事件 发 生当且 仅 当__________且 _____________，则 称此事件 为 事件 A与事件 B的交事件 (或 积 事件 )A∩ B(或 AB)互斥事件若 A∩ B为 不可能事件， 则 称事件 A与事件 B互斥 A∩ B＝ ∅对 立事件若 A∩ B为 不可能事件， A∪ B为 必然事件，那么称事件 A与事件 B互为对 立事件A∩ B＝ ∅P(A∪ B)＝P(A)＋ P(B)＝1事件 A发 生事件 B发 生4.概率的几个基本性 质(1)概率的取 值 范 围 ： .(2)必然事件的概率 P(E)＝ .(3)不可能事件的概率 P(F)＝ .(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件 A与事件 B互斥， 则 P(A∪ B)＝ .②若事件 B与事件 A互 为对 立事件， 则 P(A)＝ .0≤ P(A)≤ 110P(A)＋ P(B)1－ P(B)诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )×√××√2.(人教 A必修 3P121T4)一个人打靶 时连续 射 击 两次，事件“ 至少有一次中靶 ”的互斥事件是 ( )A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶解析 事件 “ 至少有一次中靶 ” 包括 “ 中靶一次 ” 和“ 中靶两次 ” 两种情况 ， 由互斥事件的定 义 ， 可知 “两次都不中靶 ” 与之互斥 .答案 D3.(2015·湖北卷 )我国古代数学名著《数 书 九章》有 “ 米谷粒分 ” 题 ：粮 仓 开 仓 收粮，有人送来米 1 534石， 验 得米内 夹 谷，抽 样 取米一把，数得 254粒内 夹 谷 28粒， 则这批米内 夹 谷 约为 ( )A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石答案 B4.(2016·襄阳模拟 )有一个游 戏 ，其 规则 是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向 东 、南、西、北四个方向前进 ，每人一个方向 .事件 “ 甲向南 ” 与事件 “ 乙向南 ” 是 ()A.互斥但非 对 立事件 B.对 立事件C.相互独立事件 D.以上都不 对解析 由于每人一个方向 ， 故 “ 甲向南 ” 意味着 “ 乙向南” 是不可能的 ， 故是互斥事件 ， 但不是 对 立事件 ， 故 选 A.答案 A5.从一副不包括大小王的混合后的扑克牌 (52张 )中，随机抽取 1张 ，事件 A为 “抽得 红 桃 K” ，事件 B为 “ 抽得黑桃 ”， 则 概率 P(A∪ B)＝ ________(结 果用最 简 分数表示 ).考点一 随机事件的关系【例 1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分 别标 以数字 1， 2，3， 4， 5， 6.将 这 个玩具向上抛 掷 1次， 设 事件 A表示 “向上的一面出 现 奇数点 ”，事件 B表示 “向上的一面出 现 的点数不超 过 3”，事件 C表示 “向上的一面出 现 的点数不小于 4”， 则 ( )A.A与 B是互斥而非 对 立事件 B.A与 B是 对 立事件C.B与 C是互斥而非 对 立事件 D.B与 C是 对 立事件D规 律方法 对互斥事件要把握住不能同时发生 ， 而对于对立事件除不能同时发生外 ， 其并事件应为必然事件 ， 这些也可类比集合进行理解 ， 具体应用时 ， 可把所有试验结果写出来 ，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系 .【 训练 1】 对飞 机 连续 射 击 两次，每次 发 射一枚炮 弹 .设 A＝ {两次都 击 中 飞 机 }， B＝ {两次都没 击 中 飞 机 }， C＝ {恰有一次 击 中 飞 机 }， D＝ {至少有一次 击 中 飞 机 }，其中彼此互斥的事件是 ________，互 为对 立事件的是________.答案 A与 B， A与 C， B与 C， B与 D B与 D考点二 随机事件的 频 率与概率【例 2】 某小型超市 发现 每天 营业额 Y(单 位：万元 )与当天进 超市 顾 客人数 X有关 .据 统计 ，当 X＝ 700时 ， Y＝ 4.6；当X每增加 10， Y增加 0.05.已知近 20天 X的 值为 ： 1 400， 1 100，1 900， 1 600， 1 400， 1 600， 2 200， 1 100， 1 600， 1 600， 1 900， 1 400， 1 100， 1 600， 2 200， 1 400， 1 600， 1 600， 1 900， 700.(1)完成如下的 频 率分布表：近 20天每天 进 超市 顾 客人数 频 率分布表(2)假定今天 进 超市 顾 客人数与近 20天 进 超市 顾 客人数的分布 规 律相同，并将 频 率 视为 概率，求今天 营业额 低于 10.6万元高于 4.6万元的概率 .解 (1)在所 给 数据中， 进 超市 顾 客人数 为 1 100的有 3个，为 1 600的有 7个， 为 1 900的有 3个， 为 2 200的有 2个 .故近20天每天 进 超市 顾 客人数 频 率分布表 为规 律方法 频率是个不确定的数 ， 在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小 ， 但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小 .但从大量重复试验中发现 ，随着试验次数的增多 ， 事件发生的频率就会稳定于某一固定的值 ， 该值就是概率 .【 训练 2】 某保 险 公司利用 简单 随机抽 样 方法， 对 投保 车辆进 行抽 样 ， 样 本 车辆 中每 辆车 的 赔 付 结 果 统计 如下：赔 付金 额 (元 ) 0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆 数 (辆 ) 500 130 100 150 120(1)若每 辆车 的投保金 额 均 为 2 800元，估 计赔 付金 额 大于投保金 额 的概率；(2)在 样 本 车辆 中， 车 主是新司机的占 10%，在 赔 付金 额为4 000元的 样 本 车辆 中， 车 主是新司机的占 20%，估 计 在已投保 车辆 中，新司机 获赔 金 额为 4 000元的概率 .【例 3】 (2015·陕西卷 )设 某校新、老校区之 间 开 车单 程所需 时间为 T， T只与道路 畅 通状况有关， 对 其容量 为 100的 样 本 进 行 统计 ， 结 果如下：T(分 钟 ) 25 30 35 40频 数 (次 ) 20 30 40 10(1)求 T的分布列与数学期望 E(T)；(2)刘教授 驾车 从老校区出 发 ，前往新校区做一个 50分 钟的 讲 座， 结 束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用 时间 不超 过 120分 钟 的概率 .考点三 互斥事件、 对 立事件的概率解 (1)由 统计结 果可得 T的 频 率分布 为T(分 钟 ) 25 30 35 40频 率 0.2 0.3 0.4 0.1以 频 率估 计 概率得 T的分布列 为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而 E(T)＝ 25× 0.2＋ 30× 0.3＋ 35× 0.4＋ 40× 0.1＝ 32(分钟 ).(2)设 T1， T2分 别 表示往、返所需 时间 ， T1， T2的取 值 相互独立，且与 T的分布列相同，设 事件 A表示 “ 刘教授共用 时间 不超 过 120分 钟 ” ，由于 讲座 时间为 50分 钟 ，所以事件 A对应 于 “ 刘教授在路途中的时间 不超 过 70分 钟 ”.规 律方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法 ， 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 ， 运用互斥事件的概率加法公式计算； (2)间接法 ， 先求此事件的对立事件的概率 ，再用公式 P(A)＝ 1－ P( )求解 ， 即用正难则反的数学思想， 特别是 “ 至多 ”“ 至少 ” 型问题 ， 用间接法就显得较简便 .【 训练 3】 某超市 为 了解 顾 客的 购 物量及 结 算 时间 等信息，安排一名 员 工随机收集了在 该 超市 购 物的 100位 顾 客的相关数据，如下表所示 .第 2讲 古典概型最新考 纲 1.理解古典概型及其概率 计 算公式； 2.会 计 算一些随机事件所包含的基本事件数及事件 发 生的概率 .知 识 梳 理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 的 .(2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成 _________的和 .2.古典概型互斥只有有限个相等基本事件3.如果一次 试验 中可能出 现 的 结 果有 n个，而且所有 结 果出现 的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ___；如果某个事件 A包括的 结 果有 m个，那么事件 A的概率P(A)＝ ____.4.古典概型的概率公式P(A)＝ ________________________.诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )××√(1)“ 在适宜条件下，种下一粒种子 观 察它是否 发 芽 ” 属于古典概型，其基本事件是 “ 发 芽与不 发 芽 ”. ( )(2)掷 一枚硬 币 两次，出 现 “ 两个正面 ” “ 一正一反 ”“ 两个反面 ” ， 这 三个 结 果是等可能事件 .( )(3)从－ 3，－ 2，－ 1， 0， 1， 2中任取一数，取到的数小于0与不小于 0的可能性相同 .( )(4)利用古典概型的概率可求 “ 在 边长为 2的正方形内任取一点， 这 点到正方形中心距离小于或等于 1” 的概率 .( )×答案 B答案 B答案 D5.(2016·深圳高三 检测 )两所学校分 别 有 2名、 3名学生 获奖， 这 5名学生要排成一排合影， 则 同校学生排在一起的概率是 ________.考点一 基本事件与古典概型的判断【例 1】 袋中有大小相同的 5个白球， 3个黑球和 3个 红 球，每球有一个区 别 于其他球的 编 号，从中摸出一个球 .(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的 编 号看作一个基本事件建立概率模型， 该 模型是不是古典概型？(2)若按球的 颜 色 为 划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以 这 些基本事件建立概率模型， 该 模型是不是古典概型？规律方法 古典概型需满足两个条件： ① 对于每次随机试验来说 ， 只可能出 现 有限个不同的 试验结 果； ② 对 于所有不同的 试验结 果而言 ，它 们出 现 的可能性是相等的 .【训练 1】 (1)下列 问题 中是古典概型的是 ( )A.种下一粒 杨树 种子，求其能 长 成大 树 的概率B.掷 一 颗质 地不均匀的骰子，求出 现 1点的概率C.在区 间 [1， 4]上任取一数，求 这 个数大于 1.5的概率D.同 时掷 两 颗 骰子，求向上的点数之和是 5的概率(2)将一枚硬 币 抛 掷 三次共有 ________种 结 果 .解析 (1)A、 B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项 中基本事件的 发 生是等可能的 ， 且是有限个 .(2)设 出 现 正面 为 1， 反面 为 0， 则 共有 (1， 1， 1)， (1， 1，0)， (1， 0， 1)， (1， 0， 0)， (0， 1， 1)， (0， 1， 0)， (0， 0， 1)， (0， 0， 0)8种 结 果 .答案 (1)D (2)8考点 二 简单 的古典概型的概率【例 2】 将一 颗 骰子先后抛 掷 2次， 观 察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数 为 横坐 标 x，第二次向上的点数 为纵坐 标 y的点 (x， y)在 圆 x2＋ y2＝ 15的外部或 圆 上的概率 .规 律方法 计 算古典概型的概率可分三步： (1)算出基本事件的 总 个数 n； (2)求出事件 A所包含的基本事件个数 m； (3)代入公式求出概率 P.解 题时 可根据需要灵活选择 列 举 法、列表法或 树 形 图 法 .考点 三 复 杂 的古典概型的概率【例 3】 (2015·四川卷改 编 )某市 A， B两所中学的学生 组队参加 辩论赛 ， A中学推荐了 3名男生、 2名女生， B中学推荐了 3名男生、 4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训 .由于集 训 后 队员 水平相当，从参加集 训 的男生中随机抽取 3人、女生中随机抽取 3人 组 成代表 队 .(1)求 A中学至少有 1名学生入 选 代表 队 的概率 .(2)某 场 比 赛 前，从代表 队 的 6名 队员 中随机抽取 4人参赛 ，求参 赛 女生人数不少于 2人的概率 .规 律方法 (1)求 较 复 杂 事件的概率 问题 ， 解 题 关 键 是理解题 目的 实际 含 义 ， 把 实际问题转 化 为 概率模型 ， 必要 时将所求事件 转 化成彼此互斥事件的和 ， 或者先求其 对 立事件的概率 ， 进 而再用互斥事件的概率加法公式或 对 立事件的概率公式求解 .(2)注意区 别 排列与 组 合 ， 以及 计 数原理的正确使用 .【 训练 3】 一个盒子里装有三 张 卡片，分 别标记 有数字 1， 2， 3， 这 三 张 卡片除 标记 的数字外完全相同 .随机有放回地抽取 3次，每次抽取 1张 ，将抽取的卡片上的数字依次 记为 a， b， c.(1)求 “ 抽取的卡片上的数字 满 足 a＋ b＝ c” 的概率；(2)求 “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c不完全相同 ” 的概率 .[思想方法 ]1.古典概型 计 算三步曲第一，本 试验 是否是等可能的；第二，本 试验 的基本事件有多少个；第三，事件 A是什么，它包含的基本事件有多少个 .2.确定基本事件个数的方法列 举 法、列表法、 树 状 图 法或利用排列、 组 合 .[易 错 防范 ]1.古典概型的重要思想是事件 发 生的等可能性，一定要注意在 计 算基本事件 总 数和事件包括的基本事件个数 时 ，它们 是否是等可能的 .2.对较 复 杂 的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、 组 合数的 计 算， 计 算 时 要首先判断事件是否与 顺 序有关，以确定是按排列 处 理， 还 是按 组 合 处 理 .第 3讲 离散型随机 变 量及其分布列最新考 纲 1.理解取有限个 值 的离散型随机 变 量及其分布列的概念 ， 了解分布列 对 于刻画随机 现 象的重要性； 2.理解超几何分布及其 导 出 过 程 ， 并能 进 行 简单应 用 .知 识 梳 理1.离散型随机 变 量随着 试验结 果 变 化而 变 化的 变 量称 为 _________，所有取值 可以一一列出的随机 变 量，称 为 __________随机 变 量 .2.离散型随机 变 量的分布列及性 质(1)一般地，若离散型随机 变 量 X可能取的不同 值为 x1， x2，… ， xi， … ， xn， X取每一个 值 xi(i＝ 1， 2， … ， n)的概率P(X＝ xi)＝ pi， 则 表随机 变 量离散型X x1 x2 … xi … xnP p1 p2 … pi … pn称 为 离散型随机 变 量 X的 _____________.(2)离散型随机 变 量的分布列的性 质 ：① pi≥ 0(i＝ 1， 2， … ， n)； ②________________ ＝ 1概率分布列p1＋ p2＋ … ＋ pn3.常 见 离散型随机 变 量的分布列(1)两点分布：若随机 变 量 X服从两点分布，其分布列 为X 0 1P 1－ p p，其中 p＝ P(X＝ 1)称 为 成功概率 .(2)超几何分布：在含有 M件次品的 N件 产 品中，任取 n件，其中恰有 X件次品， 则 P(X＝ k)＝ ___________， k＝ 0， 1， 2， … ， m，其中 m＝ min{M， n}，且 n≤ N， M≤ N， n，M， N∈ N*，称随机 变 量 X服从超几何分布 .诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) (1)离散型随机 变 量的概率分布列中，各个概率之和可以小于 1.( )(2)离散型随机 变 量的各个可能 值 表示的事件是彼此互斥的.( )(3)如果随机 变 量 X的分布列由下表 给 出，则 它服从两点分布 .( )(4)从 4名男演 员 和 3名女演 员 中 选 出 4名，其中女演 员 的人数 X服从超几何分布 .( )X 2 5P 0.3 0.7××√√2.袋中有 3个白球、 5个黑球，从中任取两个，可以作 为 随机 变 量的是 ( )A.至少取到 1个白球 B.至多取到 1个白球C.取到白球的个数 D.取到的球的个数解析 选项 A， B表述的都是随机事件 ， 选项 D是确定的 值 2， 并不随机； 选项 C是随机 变 量 ， 可能取 值为 0， 1， 2.答案 C3.(人教 A选 修 2－ 3P49T4改 编 )设 随机 变 量 X的分布列如下：C答案 C5.从装有 3个 红 球， 2个白球的袋中随机取出 2个球， 设 其中有 X个 红 球， 则 随机 变 量 X的概率分布 为 ________.X 0 1 2P 0.1 0.6 0.3答案 X 0 1 2P 0.1 0.6 0.3考点一 离散型随机 变 量分布列的性 质【例 1】 设 离散型随机 变 量 X的分布列 为X 0 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.1 0.3 m求： (1)2X＋ 1的分布列；(2)|X－ 1|的分布列 .解 由分布列的性 质 知：0.2＋ 0.1＋ 0.1＋ 0.3＋ m＝ 1， ∴ m＝ 0.3.首先列表 为X 0 1 2 3 42X＋ 1 1 3 5 7 9|X－ 1| 1 0 1 2 3从而由上表得两个分布列 为(1)2X＋ 1的分布列2X＋ 1 1 3 5 7 9P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(2)|X－ 1|的分布列 为|X－ 1| 0 1 2 3P 0.1 0.3 0.3 0.3规 律方法 (1)利用分布列中各概率之和 为 1可求参数的 值， 此 时 要注意 检验 ， 以保 证 两个概率 值 均 为 非 负 数 .(2)若 X是随机 变 量 ， 则 η＝ |X－ 1|等仍然是随机 变 量 ， 求它的分布列可先求出相 应 随机 变 量的 值 ， 再根据互斥事件概率加法求 对应 的事件概率 ， 进 而写出分布列 .【 训练 1】 随机 变 量 X的分布列如下：X － 1 0 1P a b c其中 a， b， c成等差数列， 则 P(|X|＝ 1)＝ ________.考点二 离散型随机 变 量的分布列【例 2】 (2015·山 东 卷 节选 )若 n是一个三位正整数，且 n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字， 则 称 n为 “ 三位 递 增数 ” (如 137， 359， 567等 ).在某次数学趣味活 动 中，每位参加者需从所有的 “ 三位 递 增数 ” 中随机抽取 1个数，且只能抽取一次 .得分 规则 如下：若抽取的“ 三位 递 增数 ” 的三个数字之 积 不能被 5整除，参加者得0分；若能被 5整除，但不能被 10整除，得－ 1分；若能被10整除，得 1分 .(1)写出所有个位数字是 5的 “ 三位 递 增数 ” ；(2)若甲参加活 动 ，求甲得分 X的分布列 .规 律方法 求离散型随机 变 量 X的分布列的步 骤 ： (1)理解 X的意 义 ， 写出 X可能取的全部 值 ； (2)求 X取每个 值 的概率；(3)写出 X的分布列 .求离散型随机 变 量的分布列的关 键 是求随机 变 量所取 值对应 的概率 ， 在求解 时 ， 要注意 应 用 计 数原理、古典概型等知 识 .【 训练 2】 某商店 试销 某种商品 20天， 获 得如下数据：日 销 售量 (件 ) 0 1 2 3频 数 1 5 9 5试销结 束后 (假 设该 商品的日 销 售量的分布 规 律不 变 )， 设某天开始 营业时 有 该 商品 3件，当天 营业结 束后 检查 存 货，若 发现 存量少于 2件， 则 当天 进货补 充至 3件，否 则 不 进货 ，将 频 率 视为 概率 .(1)求当天商店不 进货 的概率；(2)记 X为 第二天开始 营业时该 商品的件数，求 X的分布列 .所以 X的分布列 为考点三 超几何分布【例 3】 (2015·天津卷 节选 )为 推 动乒乓 球运 动 的 发 展，某 乒乓球比 赛 允 许 不同 协 会的运 动员组队 参加 .现 有来自甲 协 会的运动员 3名，其中种子 选 手 2名；乙 协 会的运 动员 5名，其中种子选 手 3名 .从 这 8名运 动员 中随机 选择 4人参加比 赛 .(1)设 A为 事件 “ 选 出的 4人中恰有 2 名种子 选 手，且 这 2名种子选 手来自同一个 协 会 ” ，求事件 A发 生的概率；(2)设 X为选 出的 4人中种子 选 手的人数，求随机 变 量 X的分布列.所以随机 变 量 X的分布列 为规 律方法 超几何分布描述的是不放回抽 样问题 ， 随机 变 量为 抽到的某 类 个体的个数 .超几何分布的特征是： (1)考察 对象分两 类 ； (2)已知各 类对 象的个数； (3)从中抽取若干个个体 ， 考 查 某 类 个体数 X的概率分布 .超几何分布主要用于抽 检产 品、摸不同 类别 的小球等概率模型 ， 其 实质 是古典概型 .【 训练 3】 (2016·杭州高三 联 考 )PM2.5是指 悬 浮在空气中的空气 动 力学当量直径小于或等于 2.5微米的 颗 粒物，也称 为 可入肺 颗 粒物 .根据 现 行国家 标 准 GB3095－ 2012， PM2.5日均 值在 35微克 /立方米以下空气 质 量 为 一 级 ；在 35微克 /立方米～75微克 /立方米之 间 空气 质 量 为 二 级 ；在 75微克 /立方米以上空气 质 量 为 超 标 .从某自然保 护 区 2013年全年每天的 PM2.5监测 数据中随机地抽取 10天的数据作 为样 本， 监测值频 数如下表所示：PM2.5日均 值 (微克 /立方米 )[25，35](35，45](45，55](55，65](65，75](75，85]频 数 3 1 1 1 1 3[思想方法 ]1.对 于随机 变 量 X的研究，需要了解随机 变 量取哪些 值 以及取这 些 值 或取某一个集合内的 值 的概率， 对 于离散型随机 变量，它的分布正是指出了随机 变 量 X的取 值 范 围 以及取 这 些值 的概率 .2.求离散型随机 变 量的分布列，首先要根据具体情况确定 X的取 值 情况，然后利用排列、 组 合与概率知 识 求出 X取各个 值的概率 .[易 错 防范 ]掌握离散型随机 变 量的分布列， 须 注意：(1)分布列的 结 构 为 两行，第一行 为 随机 变 量 X所有可能取得的 值 ；第二行是 对应 于随机 变 量 X的 值 的事件 发 生的概率 .看每一列， 实际 上是上 为 “ 事件 ” ，下 为 “ 事件 发 生的概率 ” ，只不 过 “ 事件 ” 是用一个反映其 结 果的 实 数表示的 .每完成一列，就相当于求一个随机事件 发 生的概率 .(2)要会根据分布列的两个性 质 来 检验 求得的分布列的正 误.(3)超几何分布是一种常 见 的离散型随机 变 量的概率分布模型，要会根据 问题 特征去判断随机 变 量是否服从超几何分布，然后利用相关公式 进 行 计 算 .第 4讲 二 项 分布最新考 纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念； 2.理解 n次独立重复 试验 的模型及二 项 分布 .能解决一些 简单 的 实际问题 .知 识 梳 理1.条件概率条件概率的定 义 条件概率的性 质设 A、 B为 两个事件，且 P(A)＞ 0，称 P(B|A)＝ ___________为 在事件 A发 生的条件下，事件 B发 生的条件概率(1)0≤ P(B|A)≤ 1； (2)如果 B和 C是两个互斥事件， 则P(B∪ C|A)＝______________P(B|A)＋ P(C|A)P(A)P(B)P(B) P(A)P(A1)P(A2)P(A3)… P(An)Cpk(1－ p)n－ k二 项 分布诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) √×√√B3.(2015·全国 Ⅰ 卷 )投 篮测试 中，每人投 3次，至少投中 2次才能通 过测试 .已知某同学每次投 篮 投中的概率 为 0.6，且各次投 篮 是否投中相互独立， 则该 同学通 过测试 的概率 为 ( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案 A答案 CC考点二 相互独立事件的概率规 律方法 (1)求解 该类问题 在于正确分析所求事件的构成， 将其 转 化 为 彼此互斥事件的和或相互独立事件的 积 ， 然后利用相关公式 进 行 计 算 .(2)求相互独立事件同 时发 生的概率的主要方法① 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 .② 正面 计 算 较 繁 (如求用 “ 至少 ” 表述的事件的概率 )或 难 以入手 时 ， 可从其 对 立事件入手 计 算 .【 训练 2】 在一 场娱乐 晚会上，有 5位民 间 歌手 (1至 5号 )登台演唱，由 现场 数百名 观 众投票 选 出最受 欢 迎歌手 .各位 观 众 须 彼此独立地在 选 票上 选 3名歌手，其中 观 众甲是1号歌手的歌迷，他必 选 1号，不 选 2号，另在 3至 5号中随机 选 2名 .观 众乙和丙 对 5位歌手的演唱没有偏 爱 ，因此在1至 5号中 选 3名歌手 .(1)求 观 众甲 选 中 3号歌手且 观 众乙未 选 中 3号歌手的概率；(2)X表示 3号歌手得到 观 众甲、乙、丙的票数之和，求事件 “ X≥ 2” 的概率 .考点三 独立重复 试验 与二 项 分布所以 X的分布列 为【 训练 3】 (2015·湖南卷 )某商 场举 行有 奖 促 销 活 动 ，顾 客 购买 一定金 额 的商品后即可抽 奖 ，每次抽 奖 都是从装有 4个 红 球、 6个白球的甲箱和装有 5个 红 球、5个白球的乙箱中，各随机摸出 1个球，在摸出的 2个球中，若都是 红 球， 则获 一等 奖 ；若只有 1个 红 球，则获 二等 奖 ；若没有 红 球， 则 不 获奖 .(1)求 顾 客抽 奖 1次能 获奖 的概率；(2)若某 顾 客有 3次抽 奖 机会， 记该顾 客在 3次抽 奖 中获 一等 奖 的次数 为 X，求 X的分布列 .第 5讲 离散型随机 变 量的均 值 与方差最新考 纲 1.理解取有限个 值 的离散型随机 变 量的均 值 、方差的概念； 2.能 计 算 简单 离散型随机 变 量的均 值 、方差 ， 并能解决一些 简单实际问题 .知 识 梳 理1.离散型随机 变 量的均 值 与方差若离散型随机 变 量 X的分布列 为X x1 x2 … xi … xnP p1 p2 … pi … pnx1p1＋ x2p2＋ … ＋ xipi＋ … ＋ xnpn数学期望平均水平平均偏离程度标准差2.均 值 与方差的性 质(1)E(aX＋ b)＝ ________.(2)D(aX＋ b)＝ ________ (a， b为 常数 ).3.两点分布与二 项 分布的均 值 、方差(1)若 X服从两点分布， 则 E(X)＝ ___， D(X)＝ _________.(2)若 X～ B(n， p)， 则 E(X)＝ ____， D(X)＝ _________.aE(X)＋ ba2D(X)p(1－ p)np(1－ p)pnp诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或“×” ) (1)期望 值 就是算 术 平均数，与概率无关 . ( )(2)随机 变 量的均 值 是常数， 样 本的平均 值 是随机 变 量 .( )(3)随机 变 量的方差和 标 准差都反映了随机 变 量取 值 偏离均 值 的平均程度，方差或 标 准差越小， 则 偏离 变 量平均程度越小 .( )(4)在 篮 球比 赛 中， 罚 球命中 1次得 1分，不中得 0分 .如果某运 动员罚 球命中的概率 为 0.7，那么他 罚 球 1次的得分X的均 值 是 0.7.( )×√√√2.(人教 A选 修 2－ 3P68T1改 编 )已知 X的分布列 为设 Y＝ 2X＋ 3， 则 E(Y)的 值为 ( )答案 A3.设 随机 变 量 X的分布列 为 P(X＝ k)＝ (k＝ 2， 4， 6， 8， 10)， 则 D(X)等于 ( )A.5 B.8 C.10 D.16解析 ∵ E(X)＝ (2＋ 4＋ 6＋ 8＋ 10)＝ 6，∴ D(X)＝ [(－ 4)2＋ (－ 2)2＋ 02＋ 22＋ 42]＝8.答案 B4.(2015·广 东 卷 )已知随机 变 量 X服从二 项 分布 B(n， p)，若 E(X)＝ 30， D(X)＝ 20， 则 p＝ ________.5.(2016·宁波高三 联 考 )某学校要从 5名男生和 2名女生中 选 出 2人作 为 社区志愿者，若用随机 变 量 ξ表示 选出的志愿者中女生的人数， 则 随机 变 量 ξ的数学期望E(ξ)＝ ________(结 果用最 简 分数表示 ).考点一 离散型随机 变 量的均 值 与方差【例 1】 根据以往的 经验 ，某工程施工期 间 的降水量 X(单位： mm)对 工期的影响如下表：降水量 X X120发电 机最多可运行台数 1 2 3若某台 发电 机运行， 则该 台年利 润为 5 000万元；若某台发电 机未运行， 则该 台年 亏 损 800万元 .欲使水 电 站年 总 利润 的均 值 达到最大， 应 安装 发电 机多少台？Y 4 200 10 000P 0.2 0.81【创新设计】 （浙江专用）2017 版高考数学一轮复习 第十一章 概率、随机变量及其分布 第 1 讲 随机事件的概率练习基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.把红、蓝、黑、白 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A.对立事件 B.互斥但不对立事件C.不可能事件 D.以上都不对解析 由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选 B.答案 B2.(2016·安阳二模)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件 C＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.65， P(B)＝0.2， P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3解析 事件“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件，由于 P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为 P＝1－ P(A)＝1－0.65＝0.35.答案 C3.从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球解析 A 中的两个事件不互斥，B 中两个事件互斥且对立，C 中两个事件不互斥，D 中的两个事件互斥而不对立.答案 D4.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙不输的概率是( )12 13A. B. C. D.56 23 12 13解析 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为 ＋ ＝ .12 13 562答案 A5.在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 ，那么概率为 的事件是( )310 710A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡” “两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，故选 A.答案 A二、填空题6.在 200 件产品中，有 192 件一级品，8 件二级品，则下列事件：①在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品；②在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品；③在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品.其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件.答案 ③ ② ①7.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件 A 为“出现奇数点” ，事件 B 为“出现 2 点” ，已知 P(A)＝ ， P(B)＝ ，则“出现奇数点或 2 点”的概率为________.12 16解析 因为事件 A 与事件 B 是互斥事件，所以 P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ ＋ ＝ .12 16 23答案 238.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为 0.28，若红球有 21 个，则黑球有________个.解析 摸出黑球的概率为 1－0.42－0.28＝0.30，口袋内球的个数为 21÷0.42＝50，所以黑球的个数为 50×0.30＝15.答案 15三、解答题9.一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球.从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.解 法一 (利用互斥事件求概率)记事件 A1＝{任取 1 球为红球}， A2＝{任取 1 球为黑球}，3A3＝{任取 1 球为白球}， A4＝{任取 1 球为绿球}，则 P(A1)＝ ， P(A2)＝ ＝ ， P(A3)＝ ＝ ， P(A4)＝ ，512 412 13 212 16 112根据题意知，事件 A1、 A2、 A3、 A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为P(A1∪ A2)＝ P(A1)＋ P(A2)＝ ＋ ＝ .512 412 34(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪ A2∪ A3)＝ P(A1)＋ P(A2)＋ P(A3)＝ ＋ ＋ ＝ .512 412 212 1112法二 (利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A1∪ A2的对立事件为 A3∪ A4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为P(A1∪ A2)＝1－ P(A3∪ A4)＝1－ P(A3)－ P(A4)＝1－ － ＝ .212 112 34(2)因为 A1∪ A2∪ A3的对立事件为 A4，所以取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪ A2∪ A3)＝1－ P(A4)＝1－ ＝ .112 111210.某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买， “×”表示未购买.商品顾客人数甲 乙 丙 丁100 √ × √ √217 × √ × √200 √ √ √ ×300 √ × √ ×85 √ × × ×98 × √ × ×(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 ＝0.2.2001 0004(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 ＝0.3.100＋ 2001 000(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ＝0.2，2001 000顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概100＋ 200＋ 3001 000率可以估计为 ＝0.1.1001 000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.一个人掷骰子(均匀正方体形状的骰子)游戏，在他连续掷 5 次都掷出奇数点朝上的情况下，掷第 6 次奇数点朝上的概率是( )A. B. C. D.12 13 16 14解析 无论哪一次掷骰子都有 6 种情况.其中有 3 种奇数点朝上，另外 3 种偶数点朝上.故掷第 6 次奇数点朝上的概率是 ，故选 A.12答案 A12.设事件 A， B，已知 P(A)＝ ， P(B)＝ ， P(A∪ B)＝ ，则 A， B 之间的关系一定为( )15 13 815A.两个任意事件 B.互斥事件C.非互斥事件 D.对立事件解析 因为 P(A)＋ P(B)＝ ＋ ＝ ＝ P(A∪ B)，所以 A， B 之间的关系一定为互斥事件.15 13 815答案 B13.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39、32、33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是________，他属于不超过 2 个小组的概率是________.解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况，故他属于至少 2 个5小组的概率为 P＝ ＝ .11＋ 10＋ 7＋ 86＋ 7＋ 8＋ 8＋ 10＋ 10＋ 11 35“不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组” ，其对立事件是“3 个小组”.故他属于不超过 2 个小组的概率是 P＝1－ ＝ .86＋ 7＋ 8＋ 8＋ 10＋ 10＋ 11 1315答案 35 131514.如图， A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60选择 L1的人数 6 12 18 12 12选择 L2的人数 0 4 16 16 4(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解 (1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为 0.44.(2)选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1(3)设 A1， A2分别表示甲选择 L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站； B1， B2分别表示乙选择 L1和 L2时，在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵ P(A1)＞ P(A2)，∴甲应选择 L1.同理， P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵ P(B1)＜ P(B2)，∴乙应选择 L2.