（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ（课件+习题）（打包17套）.zip

第 1讲 函数及其表示最新考 纲 1.了解构成函数的要素 ， 会求一些 简单 函数的定 义 域和 值 域 ， 了解映射的概念； 2.在 实际 情境中 ， 会根据不同的需要 选择 恰当的方法 (如 图 象法、列表法、解析法 )表示函数； 3.了解 简单 的分段函数 ，并能 简单 地 应 用 (函数分段不超 过 三段 ).知 识 梳 理1.函数的基本概念(1)函数的定 义一般地， 设 A， B是 数集，如果按照某种确定的 对应 关系f，使 对 于集合 A中的 一个数 x，在集合 B中都有 确定的数 f(x)和它 对应 ；那么就称 f： A→ B为 从集合 A到集合 B的一个函数， 记 作 y＝ f(x)， x∈ A.非空唯一任意(2)函数的定 义 域、 值 域在函数 y＝ f(x)， x∈ A中， x叫做自 变 量， x的取 值 范 围 A叫做函数的 ；与 x的 值 相 对应 的 y值 叫做函数 值 ，函数 值 的集合{f(x)|x∈ A}叫做函数的 .(3)函数的三要素是： 、 和 对应 关系 .(4)表示函数的常用方法有： 、 和解析法 .(5)分段函数在函数的定 义 域内， 对 于自 变 量 x的不同取 值 区 间 ，有着不同的 ， 这 种函数称 为 分段函数 .分段函数是一个函数，分段函数的定 义 域是各段定 义 域的 ， 值 域是各段 值 域的 .定 义 域值 域定 义 域 值 域列表法 图 象法对应 法 则并集 并集2.函数定 义 域的求法f(x)≠ 0f(x)＞ 0×××√√诊 断 自 测答案 A答案 C答案 (－ 1， 0∪ (0， 2]答案 (－ ∞ ， 2)答案 (1)D (2)B规 律方法 简单 函数定 义 域的 类 型及求法(1)已知函数的解析式 ， 则 构造使解析式有意 义 的不等式 (组)求解 .(2)抽象函数：① 若已知函数 f(x)的定 义 域 为 [a， b]， 则 函数 f[g(x)]的定 义域由不等式 a≤ g(x)≤ b求出；② 若已知函数 f[g(x)]的定 义 域 为 [a， b]， 则 f(x)的定 义 域 为g(x)在 x∈ [a， b]时 的 值 域 .答案 (1)x2－ 1(x≥ 1) (2)x2＋ 2x＋ 1答案 (1)A (2)(－ ∞ ， 8]规 律方法 (1)应 用分段函数 时 ， 首先要确定自 变 量的 值 属于哪个区 间 ， 其次 选 定相 应 关系代入 计 算求解 ， 特 别 要注意分段区 间 端点的取舍 ， 当自 变 量的 值 不确定 时 ， 要分 类讨论 .(2)当 给 出函数 值 或函数 值 的范 围 求自 变 量的 值 或自变 量的取 值 范 围时 ， 应 根据每一段解析式分 别 求解 ， 但要注意 检验 所求自 变 量的 值 或取 值 范 围 是否符合相 应 段的自变 量的 值 或取 值 范 围 .[思想方法 ]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同 .2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础 .因此，我们一定要树立函数定义域优先意识 .3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法 .第 2讲 函数的 单调 性与最 值最新考 纲 1.理解函数的 单调 性、最大 (小 )值及其几何意 义 ； 2.会运用函数 图 象理解和研究函数的 单调 性 .知 识 梳 理1.函数的 单调 性(1)单调 函数的定 义增函数 减函数定义 一般地， 设 函数 f(x)的定 义 域 为 I：如果 对 于定 义 域 I内某个区 间 D上的任意两个自 变 量的 值 x1， x2当 x1＜ x2时 ，都有 ，那么就说 函数 f(x)在区 间 D上是增函数当 x1＜ x2时 ，都有 ，那么就说 函数 f(x)在区 间 D上是减函数f(x1)＜ f(x2)f(x1)＞ f(x2)图 象描述自左向右看 图 象是自左向右看 图 象是上升的 下降的增函数 减 函数区 间 D2.函数的最 值前提 设 函数 y＝ f(x)的定 义 域 为 I，如果存在 实 数 M满 足条件(1)对 于任意 x∈ I，都有 ；(2)存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M(3)对 于任意 x∈ I，都有 ；(4)存在 x0∈ I，使得结论 M为 最大 值 M为 最小 值f(x)≤ M f(x)≥ Mf(x0)＝ M诊 断 自 测××√√√答案 A答案 D答案 D规 律方法 判断函数 单调 性的常用方法： (1)定 义 法和 导 数法 ， 注意 证 明函数 单调 性只能用定 义 法和 导数法； (2)图 象法 ， 由 图 象确定函数的 单调 区 间 需注意两点：一是 单调 区 间 必 须 是函数定 义 域的子集：二是 图 象不 连续 的 单调 区 间 要分开写 ，用 “ 和 ” 或 “， ” 连 接，不能用 “∪ ” 连 接； (3)利用函数 单调 性的基本性 质 ， 尤其是复合函数 “ 同增异减 ” 的原 则 ，此 时 需先确定函数的 单调 性 .规 律方法 利用函数的 单调 性求函数的最大 (小 )值 ，即如果函数 y＝ f(x)在区 间 [a， b]上 单调递 增 ， 在区 间[b， c]上 单调递 减 ， 则 函数 y＝ f(x)在区 间 [a， c]上的最大 值 是 f(b)；如果函数 y＝ f(x)在区 间 [a， b]上 单调递 减 ， 在区 间 [b， c]上 单调递 增 ， 则 函数 y＝ f(x)在区间 [a， c]上的最小 值 是 f(b).答案 (1)D (2)D规 律方法 已知函数的 单调 性确定参数的 值 或范 围 要注意以下两点： (1)若函数在区 间 [a， b]上 单调 ， 则该函数在此区 间 的任意子区 间 上也是 单调 的； (2)分段函数的 单调 性 ， 除注意各段的 单调 性外 ， 还 要注意衔 接点的取 值 .答案 D规 律方法 比 较 函数 值 的大小 时 ，若自 变 量的 值 不在同一个 单调 区 间 内，要利用其函数性 质 ， 转 化到同一个 单调 区 间 上 进 行比 较 ， 对 于 选择题 、填空 题 能数形 结 合的尽量用 图 象法求解 .第 3讲 函数的奇偶性与周期性最新考 纲 1.结 合具体函数 ， 了解函数奇偶性的含 义 ； 2.会运用函数的 图 象理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数周期性、最小正周期的含 义 ，会判断、 应 用 简单 函数的周期性 .知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性 定 义 图 象特点偶函数如果 对 于函数 f(x)的定 义 域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)是偶函数关于 ______对 称奇函数如果 对 于函数 f(x)的定 义 域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)是奇函数关于 ______ 对 称f(－ x)＝ f(x)y轴f(－ x)＝ － f(x) 原点相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数(3)若函数 f(x)是奇函数且在 x＝ 0处 有定 义 ， 则 f(0)＝ 0.3.周期性(1)周期函数： 对 于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定 义 域内的任何 值时 ，都有 f(x＋ T)＝ ，那么就称函数 y＝ f(x)为 周期函数，称 T为这 个函数的周期 .(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 的正数，那么 这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 .f(x)存在一个最小诊 断 自 测√√√××答案 D答案 B答案 15.(人教 A必修 1P39A6改 编 )已知函数 f(x)是定 义 在 R上的奇函数，当 x≥ 0时 ， f(x)＝ x(1＋ x)， 则 x＜ 0时 ， f(x)＝________.解析 当 x＜ 0时 ， 则 － x＞ 0， ∴ f(－ x)＝ (－ x)(1－ x).又 f(x)为 奇函数， ∴ f(－ x)＝－ f(x)＝ (－ x)(1－ x)，即f(x)＝ x(1－ x).答案 x(1－ x)规 律方法 判断函数的奇偶性 ， 其中包括两个必 备 条件： (1)定 义 域关于原点 对 称 ， 这 是函数具有奇偶性的必要不充分条件 ，所以首先考 虑 定 义 域； (2)判断 f(x)与 f(－ x)是否具有等量关系 .在判断奇偶性的运算中 ，可以 转 化 为 判断奇偶性的等价等量关系式 f(x)＋ f(－ x)＝ 0(奇函数 )或 f(x)－ f(－ x)＝ 0(偶函数 ))是否成立 .答案 (1)D (2)C答案 (1)C (2)B规 律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数 ， 一般采用待定系数法求解 ， 根据 f(x)±f(x)＝ 0得到关于待求参数的恒等式 ，由系数的 对 等性得参数的 值 或方程 (组 )， 进 而得出参数的值 ； (2)已知函数的奇偶性求函数 值 或解析式 ， 首先抓住奇偶性 讨论 函数在各个区 间 上的解析式 ， 或充分利用奇偶性得出关于 f(x)的方程 ， 从而可得 f(x)的 值 或解析式 .(3)解 ∵ f(0)＝ 0， f(1)＝ 1， f(2)＝ 0， f(3)＝－ 1.又 f(x)是周期 为 4的周期函数， ∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＝ f(4)＋ f(5)＋f(6)＋ f(7)＝ … ＝ f(2 008)＋ f(2 009)＋ f(2 010)＋ f(2 011)＝ 0.∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋ … ＋ f(2 014)＝ f(2 012)＋ f(2 013)＋ f(2 014)＝ f(0)＋ f(1)＋ f(2)＝ 1.规 律方法 (1)判断函数的周期性只需 证 明 f(x＋ T)＝f(x)(T≠ 0)即可，且周期 为 T.(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性 质 得到函数的整体性 质 ，函数的周期性常与函数的其他性 质综 合命 题 .(3)在解决具体 问题时 ，要注意结论 “ 若 T是函数的周期， 则 kT(k∈ Z且 k≠ 0)也是函数的周期 ”的 应 用 .[思想方法 ]1.判断函数的奇偶性，首先 应该 判断函数定 义 域是否关于原点 对 称 .定 义 域关于原点 对 称是函数具有奇偶性的一个必要条件 .2.利用函数奇偶性可以解决以下 问题 ：(1)求函数 值 ，将待求 值 利用奇偶性 转 化 为 已知区 间 上的函数 值 求解；(2)求解析式，将待求区 间 上的自 变 量 转 化到已知区 间 上，再利用奇偶性求出；(3)求解析式中的参数，利用待定系数法求解；(4)画函数 图 象，利用奇偶性可画出另一 对 称区 间 上的 图 象 .[易 错 防范 ]1.f(0)＝ 0既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件 .2.函数 f(x)满 足的关系 f(a＋ x)＝ f(b－ x)表明的是函数 图象的 对 称性，函数 f(x)满 足的关系 f(a＋ x)＝ f(b＋x)(a≠ b)表明的是函数的周期性，在使用 这 两个关系时 不要混淆 .第 4讲 二次函数与 幂 函数知 识 梳 理1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：① 一般式： f(x)＝ .② 顶 点式： f(x)＝ a(x－ m)2＋ n(a≠ 0).③ 零点式： f(x)＝ a(x－ x1)(x－ x2)(a≠ 0).ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)(2)二次函数的 图 象和性 质解析式 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a＞ 0) f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a＜0)图 象定 义 域 (－ ∞ ，＋ ∞ ) (－ ∞ ，＋ ∞ )2.幂 函数(1)幂 函数的定 义一般地，形如 的函数称 为幂 函数，其中 x是自 变量， α为 常数 .(2)常 见 的 5种 幂 函数的 图 象y＝ xα(3)常 见 的 5种 幂 函数的性 质[0，＋ ∞ )奇偶性 奇 偶 奇非奇非偶 奇单调性 增(－ ∞ ， 0]减，[0，＋ ∞ )增增 增(－ ∞ ， 0)减，(0，＋ ∞ )减定点 (0， 0)， (1， 1) (1， 1)诊 断 自 测×××√√B答案 C答案 C(2)已知函数 f(x)＝ x2＋ mx－ 1，若 对 于任意 x∈ [m， m＋ 1]，都有 f(x)0成立， 则实 数 m的取 值 范围 是 ______.规 律方法 (1)识别 二次函数的 图 象主要从开口方向、 对 称轴 、特殊点 对应 的函数 值这 几个方面入手 .(2)而用数形 结合法解决与二次函数 图 象有关的 问题时 ， 要尽量 规 范作 图， 尤其是 图 象的开口方向、 顶 点、 对 称 轴 及与两坐 标轴 的交点要 标 清楚 ， 这样 在解 题时 才不易出 错 .答案 B考点二 二次函数在 给 定区 间 上的最 值问题[微 题 型 1] 轴 定 ， 区 间动类 型【例 2－ 1】 若函数 y＝ x2－ 2x＋ 3在区 间 [0， m]上有最大 值3，最小 值 2，求 实 数 m的取 值 范 围 .解 作出函数 y＝ x2－ 2x＋ 3的 图 象如 图 .由 图 象可知，要使函数在 [0， m]上取得最小 值 2， 则1∈ [0， m]，从而 m≥ 1，当 x＝ 0时 ， y＝ 3；当 x＝ 2时 ， y＝ 3，所以要使函数取得最大 值为 3， 则 m≤ 2，故所求 m的取 值 范 围为 [1， 2].规 律方法 由于二次函数 图 象的 对 称 轴 确定 ， 所以不定区 间 的参量 a应该 以是否含有对 称 轴为标 准 进 行分 类讨论 .【例 2－ 2】 求函数 f(x)＝ ax2－ 2x在区 间 [0， 1]上的最小 值 .[微 题 型 2] 轴动 ， 区 间 定 类 型规 律方法 (1)二次函数在 闭 区 间 上的最 值 主要有三种 类 型： 轴 定区 间 定、 轴动 区 间 定、 轴 定区 间动 ，不 论 哪种 类型，解决的关 键 是考 查 对 称 轴 与区 间 的关系 ，当含有参数时 ，要依据 对 称 轴 与区 间 的关系 进 行分 类讨论 .(2)二次函数的 单调 性 问题则 主要依据二次函数 图 象的 对 称 轴进 行分析 讨论 求解 .【 训练 2】 若将例 2－ 2中的函数改 为 f(x)＝ x2－ 2ax，其他不 变 ， 应 如何求解？规 律方法 (1)可以借助 幂 函数的 图 象理解函数的 对称性、 单调 性； (2)在比 较幂值 的大小 时 ， 必 须结 合幂值 的特点 ， 选择 适当的函数 ， 借助其 单调 性 进 行比 较 ， 准确掌握各个 幂 函数的 图 象和性 质 是解 题 的关键 .第 5讲 指数与指数函数知 识 梳 理根式0 没有意义arsar＋ sarbr3.指数函数及其性 质(1)概念：函数 y＝ ax(a＞ 0且 a≠ 1)叫做指数函数，其中指数 x是 变 量，函数的定 义 域是 R， a是底数 . (2)指数函数的 图 象与性 质a＞ 1 0＜ a＜ 1图象定 义 域值 域 性 质过 定点 ，即 x＝ 0时 ， y＝ 1当 x＞ 0时 ， ；当 x＜ 0时 ， 当 x＜ 0时 ， ；当 x＞ 0时 ，在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是 ______函数在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是 _____函数R(0，＋ ∞ )(0， 1)0＜ y＜ 1y＞ 10＜ y＜ 1增 减y＞ 1诊 断 自 测××××√2.设 a＝ 0.60.6， b＝ 0.61.5， c＝ 1.50.6， 则 a， b， c的大小关系是 ( )A.a＜ b＜ c B.a＜ c＜ b C.b＜ a＜ c D.b＜ c＜ a解析 根据指数函数 y＝ 0.6x在 R上 单调递 减可得 0.61.5＜0.60.6＜ 0.60＝ 1， 而 c＝ 1.50.6＞ 1， ∴ b＜ a＜ c.答案 C3.函数 f(x)＝ ax－ 2＋ 1(a＞ 0，且 a≠ 1)的 图 象必 经过 点 ( )A.(0， 1) B.(1， 1) C.(2， 0) D.(2， 2)解析 ∵ a0＝ 1， ∴ f(2)＝ 2， 故 f(x)的 图 象必 过 点 (2，2).答案 D4.(2015·山 东 卷 )已知函数 f(x)＝ ax＋ b(a＞ 0， a≠ 1) 的定 义域和 值 域都是 [－ 1， 0]， 则 a＋ b＝ ________.答案 4a考点一 指数 幂 的运算(2)原式＝规 律方法 (1)指数 幂 的运算首先将根式、分数指数 幂统 一 为 分数指数 幂 ， 以便利用法 则计 算 ， 但 应 注意： ① 必 须 同底数 幂 相乘 ， 指数才能相加； ② 运算的先后 顺 序 .(2)当底数是 负 数 时 ， 先确定符号 ， 再把底数化 为 正数 .(3)运算 结 果不能同 时 含有根号和分数指数， 也不能既有分母又含有 负 指数 .【 训练 1】 (1)化 简 ： (2)计 算：；.解 (1)原式＝ ＝ (2)原式＝(2)已知 实 数 a， b满 足等式 2 014a＝ 2 015b，下列五个关系式： ① 0＜ b＜ a； ② a＜ b＜ 0； ③ 0＜ a＜ b； ④ b＜ a＜ 0； ⑤ a＝ b.其中不可能成立的关系式有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(2) 设 2 014a＝ 2 015b＝ y，如 图 所示，由函数 图 象，可得若 y＞ 1， 则 有 a＞ b＞0；若 y＝ 1， 则 有 a＝ b＝ 0；若 0＜ y＜ 1， 则 有 a＜ b＜ 0.故 ①②⑤ 可能成立，而③④ 不可能成立 .答案 (1)D (2)B规 律方法 (1)与指数函数有关的函数 图 象 问题 的研究 ， 往往利用相 应 指数函数的 图 象 ， 通 过 平移、 对 称变换 得到其 图 象 .(2)一些指数方程、不等式 问题 的求解 ， 往往 结 合相 应 的指数型函数 图 象 ， 利用数形 结 合求解 .【 训练 2】 (1)函数 f(x)＝ ax－ b的 图 象如 图 ，其中a， b为 常数， 则 下列 结论 正确的是 ( )A.a＞ 1， b＜ 0 B.a＞ 1， b＞ 0C.0＜ a＜ 1， b＞ 0 D.0＜ a＜ 1， b＜ 0(2)(2016·衡水模 拟 )若曲 线 |y|＝ 2x＋ 1与直 线 y＝ b没有公共点， 则 b的取 值 范 围是 ________.(2)曲 线 |y|＝ 2x＋ 1与直 线 y＝ b的 图 象如图 所示，由 图 象可知：如果 |y|＝ 2x＋ 1与直 线 y＝ b没有公共点， 则 b应满 足的条件是 b∈ [－ 1， 1].答案 (1)D (2)[－ 1， 1]解析 (1)由 f(x)＝ ax－ b的 图 象可以 观 察出 ， 函数 f(x)＝ ax－ b在定 义 域上 单调递 减 ， 所以 0＜ a＜ 1.又由 图 象在 y轴 截距小于 1可知 a－ b＜ 1， 即－ b＞ 0， 所以 b＜ 0， 故 选 D.答案 (1)B (2)D规 律方法 (1)在利用指数函数性 质 解决相关 综 合 问题时 ，要特 别 注意底数 a的取 值 范 围 ， 并在必要 时进 行分 类讨论； (2)与指数函数有关的指数型函数的定 义 域、 值 域 (最 值 )、 单调 性、奇偶性的求解方法 ， 要化 归 于指数函数来解 .【 训练 3】 (1)（ 2016·象山中学高三考 试 ） 下列各式比 较大小正确的是 ( )A.1.72.51.73 B.0.6－ 10.62C.0.8－ 0.11.250.2 D.1.70.30.62.C中 ， ∵ 0.8－ 1＝ 1.25， ∴ 问题转 化 为 比 较 1.250.1与1.250.2的大小 .∵ y＝ 1.25x在 R上是增函数 ， 0.11， 0＜ 0.93.10.93.1.答案 (1)B (2)(－ ∞ ， 4][思想方法 ]1.比 较 两个指数 幂 大小 时 ，尽量化同底或同指数，当底数相同，指数不同 时 ，构造同一指数函数，然后比 较 大小；当指数相同，底数不同 时 ，构造两个指数函数，利用图 象比 较 大小 .2.指数函数 y＝ ax(a＞ 0，且 a≠ 1)的 单调 性和底数 a有关，当底数 a与 1的大小关系不确定 时应 注意分 类讨论 .3.与指数函数有关的复合函数的 单调 性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最 值问题，往往 转 化 为 二次函数的最 值问题 .[易 错 防范 ]1.指数 幂 的运算容易出 现 的 问题 是 误 用指数 幂 的运算法 则，或在运算中 变换 的方法不当，不注意运算的先后 顺 序等 .2.形如 a2x＋ b·ax＋ c＝ 0或 a2x＋ b·ax＋ c≥ 0(≤ 0)形式，常借助 换 元法 转 化 为 二次方程或不等式求解，但 应 注意 换 元后 “ 新元 ” 的范 围 .第 6讲 对 数与 对 数函数知 识 梳 理1.对 数的概念如果 ax＝ N(a0，且 a≠ 1)，那么数 x叫做以 a为 底 N的 对 数， 记 作 ，其中 叫做 对 数的底数， 叫做真数 .Nax＝ logaNN NlogaM＋ logaN logaM－ logaNnlogaMlogad3.对 数函数及其性 质(1)概念：函数 y＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1)叫做 对 数函数，其中 x是自 变 量，函数的定 义 域是 (0，＋ ∞ ).(2)对 数函数的 图 象与性 质a＞ 1 0＜ a＜ 1图 象定 义 域 值 域性 质过 点 ，即 x＝ 时 ， y＝④ 当 x＞ 1时 ， ；当 0＜ x＜ 1时 ，⑤ 当 x＞ 1时 ， ；当 0＜ x＜ 1时 ，⑥ 在 (0，＋ ∞ )上是 _____ 函数⑦ 在 (0，＋ ∞ )上是 ___函数(0，＋ ∞ )R(1， 0) 1 0y＞ 0y＜ 0y＜ 0y＞ 0增 减①②③诊 断 自 测×××××2.函数 f(x)＝ loga(x＋ 2)－ 2(a＞ 0，且 a≠ 1)的 图 象 必 过 定点 ( )A.(1， 0) B.(1，－ 2) C.(－ 1，－ 2) D.(－ 1，－ 1)解析 令 x＝－ 1， 则 loga(x＋ 2)＝ 0，此 时 f(－ 1)＝－ 2，故 选 C.答案 C3.(2015·浙江卷 )若 a＝ log43， 则 2a＋ 2－ a＝ ________.4.函数 f(x)＝ log5(2x＋ 1)的 单调 增区 间 是 ________.考点一 对 数式的运算规 律方法 在 对 数运算中 ， 要熟 练 掌握 对 数式的定 义 ， 灵活使用 对 数的运算性 质 、 换 底公式和 对 数恒等式 对 式子 进 行恒等 变 形 ， 多个 对 数式要尽量化成同底的形式 .考点二 对 数函数的 图 象及 应 用【例 2】 (1)（ 2016·丽 水模 拟 ） 已知函数 y＝ loga(x＋ c)(a， c为 常数， 其中 a＞ 0，且 a≠ 1)的 图 象如 图 ， 则 下列 结论成立的是 ( )A.a＞ 1， c＞ 1 B.a＞ 1， 0＜ c＜ 1C.0＜ a＜ 1， c＞ 1 D.0＜ a＜ 1， 0＜ c＜ 1答案 (1)D (2)B规 律方法 (1)研究 对 数型函数的 图 象 时 ， 一般从最基本的对 数函数的 图 象入手 ，通 过 平移、伸 缩 、 对 称 变换 得到 对数型 函数的 图 象 .(2)对 于 较 复 杂 的不等式有解或恒成立 问题 ， 可以借助函数 图 象解决 ， 具体做法 为 ： ① 对 不等式 变形 ， 使不等号两 边对应 两函数 f(x)， g(x)； ② 在同一坐 标 系下作出两函数 y＝ f(x)及 y＝ g(x)的 图 象； ③ 比 较 当 x在某一范围 内取 值时图 象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值 或解的情况 .【 训练 2】 已知函数 f(x)＝ loga(2x＋ b－ 1)(a＞ 0， a≠ 1)的 图 象如 图 所示， 则 a， b满 足的关系是 ( )A.0＜ a－ 1＜ b＜ 1 B.0＜ b＜ a－ 1＜ 1C.0＜ b－ 1＜ a＜ 1 D.0＜ a－ 1＜ b－ 1＜ 1答案 A考点三 对 数函数的性 质 及 应 用答案 (1)D (2)D规 律方法 (1)若底数 为 同一常数 ， 则 可由 对 数函数的 单调 性直接 进 行判断；若底数 为 同一字母 ， 则 需对 底数 进 行分 类讨论 ； (2)若底数不同 ， 真数相同 ，则 可以先用 换 底公式化 为 同底后 ， 再 进 行比 较 ； (3)若底数与真数都不同 ， 则 常借助 1， 0等中 间 量 进 行比较 .答案 (1)C (2)C规 律方法 形如 logax＞ logab的不等式 ， 借助 y＝ logax的 单调 性求解 ， 如果 a的取 值 不确定 ， 需分 a＞ 1与 0＜a＜ 1两种情况 讨论 ；形如 logax＞ b的不等式 ， 需先将b化 为 以 a为 底的 对 数式的形式 .[思想方法 ]1.对 数 值 取正、 负值 的 规 律当 a＞ 1且 b＞ 1或 0＜ a＜ 1且 0＜ b＜ 1时 ， logab＞ 0；当 a＞ 1且 0＜ b＜ 1或 0＜ a＜ 1且 b＞ 1时 ， logab＜ 0.2.研究 对 数型函数的 图 象 时 ，一般从最基本的 对 数函数的图 象入手，通 过 平移、伸 缩 、 对 称 变换 得到 .特 别 地，要注意底数 a＞ 1和 0＜ a＜ 1的两种不同情况 .有些复 杂 的 问题 ，借助于函数 图 象来解决，就 变 得 简单 了， 这 是数形结 合思想的重要体 现 .3.利用 单调 性可解决比 较 大小、解不等式、求最 值 等 问题，其基本方法是 “ 同底法 ” ，即把不同底的 对 数式化 为同底的 对 数式，然后根据 单调 性来解决 .4.多个 对 数函数 图 象比 较 底数大小的 问题 ，可通 过图 象与直 线 y＝ 1交点的横坐 标进 行判定 .[易 错 防范 ]1.在运算性 质 logaMn＝ nlogaM中，要特 别 注意条件，在无 M＞ 0的条件下 应为 logaMn＝ nloga|M|(n∈ N*，且 n为 偶数 ).2.解决与 对 数函数有关的 问题时 需注意两点： (1)务 必先研究函数的定 义 域； (2)注意 对 数底数的取 值 范 围 .第 7讲 函数的 图 象最新考 纲 1.理解点的坐 标 与函数 图 象的关系； 2.会利用平移、 对 称、伸 缩变换 ， 由一个函数 图 象得到另一个函数的 图 象； 3.会运用函数 图 象理解和研究函数的性 质 ， 解决方程解的个数与不等式的解的 问题 .知 识 梳 理1.利用描点法作函数 图 象其基本步 骤 是列表、描点、 连线 .首先： (1)确定函数的定 义 域， (2)化 简 函数解析式， (3)讨论 函数的性 质 (奇偶性、 单调 性、周期性、 对 称性等 ).其次：列表 (尤其注意特殊点、零点、最大 值 点、最小 值点、与坐 标轴 的交点等 )，描点， 连线 .2.函数 图 象 间 的 变换(1)平移 变换对 于平移，往往容易出 错 ，在 实际 判断中可熟 记 口诀 ：左加右减，上加下减 .y=f(x)-k(2)对 称 变换y=-f(-x)(3)伸 缩变换诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) (1)当 x∈ (0，＋ ∞ )时 ，函数 y＝ |f(x)|与 y＝ f(|x|)的 图 象相同.( )(2)函数 y＝ f(x)与 y＝－ f(x)的 图 象关于原点 对 称 .( )(3)若函数 y＝ f(x)满 足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)， 则 函数 f(x)的 图 象关于直 线 x＝ 1对 称 .( )(4)若函数 y＝ f(x)满 足 f(x－ 1)＝ f(x＋ 1)， 则 函数 f(x)的 图 象关于直 线 x＝ 1对 称 .( ) (5)将函数 y＝ f(－ x)的 图 象向右平移 1个 单 位得到函数 y＝ f(－ x－ 1)的 图 象 .( )××××√2.(2016·广州一 调 )把函数 y＝ (x－ 2)2＋ 2的 图 象向左平移 1个单 位，再向上平移 1个 单 位，所得 图 象 对应 的函数解析式是 ( )A.y＝ (x－ 3)2＋ 3 B.y＝ (x－ 3)2＋ 1C.y＝ (x－ 1)2＋ 3 D.y＝ (x－ 1)2＋ 1解析 把函数 y＝ f(x)的 图 象向左平移 1个 单 位 ， 即把其中 x换 成 x＋ 1， 于是得 y＝ [(x＋ 1)－ 2]2＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 2， 再向上平移 1个 单 位 ， 即得到 y＝ (x－ 1)2＋ 2＋ 1＝ (x－ 1)2＋ 3.答案 C3.点 P从点 O出 发 ，按逆 时针 方向沿周 长为 l的 图 形运 动 一周， O， P两点 连线 的距离 y与点 P走 过 的路程 x的函数关系如 图 ，那么点 P所走的 图 形是 ( )答案 C4.(2015·营 口 调 研 )函数 y＝ xsin x在 [－ π， π]上的 图 象是 ( )答案 A答案 (0， 1]考点一 函数 图 象的作法【例 1】 分 别 画出下列函数的 图 象：(1)y＝ |lg(x－ 1)|； (2)y＝ 2x＋ 1－ 1； (3)y＝ x2－ |x|－2.解 (1)先画函数 y＝ x2－ 4x＋ 3的 图 象，再将其 x轴 下方的 图 象翻折到 x轴 上方，如 图 1.答案 (1)D (2)C规 律方法 函数 图 象的辨 识 可从以下方面入手： (1)从函数的定 义 域 ， 判断 图 象的左右位置；从函数的 值 域 ， 判断 图象的上下位置； (2)从函数的 单调 性 ， 判断 图 象的 变 化 趋势； (3)从函数的奇偶性 ， 判断 图 象的 对 称性； (4)从函数的特征点 ， 排除不合要求的 图 象 .利用上述方法排除、 筛选选项.【 训练 2】 (1)函数 f(x)＝ (1－ cos x)sin x在 [－ π， π]的 图 象大致 为 ( )答案 (1)C (2)B考点三 函数 图 象的 应 用[微题型 1] 求解不可解方程根的个数问题【例 3－ 1】 已知函数 y＝ f(x)的周期 为 2，当 x∈ [－ 1， 1]时 ， f(x)＝ x2，那么函数 y＝ f(x)的 图 象与函数 y＝ |lg x|的 图 象的交点共有 ( )A.10个 B.9个 C.8个 D.7个解析 根据 f(x)的性 质 及 f(x)在 [－ 1， 1]上的解析式可作 图 如下：可 验证 当 x＝ 10时 ， y＝ |lg 10|＝ 1；当 x＞ 10时 ， |lg x|＞ 1.因此 结 合 图 象及数据特点知 y＝ f(x)与 y＝ |lg x|的 图 象交点共有 10个 .答案 A规 律方法 当某些方程求解很复 杂时 ， 可以考 虑 利用函数的 图 象判断解的个数 ， 即将方程解的个数 问题转 化 为 两个函数 图 象的交点 问题 ， 对应图 象有几个交点 ， 则 方程有几个解 .答案 规 律方法 对 于形如 f(x)＞ g(x)或可化 为 f(x)＞ g(x)的不等式 ， 可以分 别 作出函数 f(x)， g(x)的 图 象 ， 找到f(x)的 图 象位于 g(x)的 图 象上方部分所 对应 的 x的取 值范 围 ， 即 为 不等式 f(x)＞ g(x)的解集 .答案 (1)C (2)(0， 1)∪ (1， 4)第 8讲 函数的 应 用最新考 纲 1.结 合二次函数的 图 象 ， 了解函数的零点与方程根的 联 系 ， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2.了解指数函数、 对 数函数、 幂 函数的增 长 特征 ， 结 合具体实 例体会直 线 上升、指数增 长 、 对 数增 长 等不同函数 类 型增 长 的含 义 ； 3.了解函数模型 (如指数函数、 对 数函数、 幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛 应 用 .知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数的零点的概念对 于函数 y＝ f(x)，把使 的 实 数 x叫做函数 y＝ f(x)的零点.(2)函数的零点与方程的根的关系方程 f(x)＝ 0有 实 数根 ⇔ 函数 y＝ f(x)的 图 象与 有交点 ⇔ 函数 y＝ f(x)有 .(3)零点存在性定理如果函数 y＝ f(x)满 足： ① 在区 间 [a， b]上的 图 象是 连续 不断的一条曲 线 ； ② ； 则 函数 y＝ f(x)在 (a， b)上存在零点，即存在 c∈ (a， b)，使得 f(c)＝ 0， 这 个 c也就是方程 f(x)＝ 0的根 .f(x)＝ 0x轴零点f(a)·f(b)＜ 02.二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a＞ 0)的 图 象与零点的关系Δ0 Δ＝ 0 Δ0)的 图 象与 x轴 的交点 无交点零点个数 两个 一个 零个(x1， 0)， (x2， 0) (x1， 0)3.指数、 对 数、 幂 函数模型性 质 比 较函数性 质 y＝ ax(a＞ 1) y＝ logax(a＞ 1) y＝ xn(n＞ 0)在 (0，＋ ∞ )上的增减性 单调 单调 单调递 增增 长 速度 越来越快 越来越慢 相 对 平 稳图 象的 变 化 随 x的增大逐 渐 表现为 与 平行 随 x的增大逐 渐 表现为 与 平行随 n值变化而各有不同值 的比 较 存在一个 x0，当 x＞ x0时 ，有 logax＜ xn＜ axx轴y轴递增 递增诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) (1)函数的零点就是函数的 图 象与 x轴 的交点 .( )(2)函数 y＝ f(x)在区 间 (a， b)内有零点 (函数 图 象 连续 不断 )， 则 f(a)·f(b)＜ 0.( )(3)二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)存在一个正零点、一个 负 零点的充要条件 为 ac＜ 0.( )(4)幂 函数增 长 比直 线 增 长 更快 .( )(5)当 x＞ 0时 ，函数 y＝ 2x与 y＝ x2的 图 象有两个交点 .( )√√×××2.若函数 f(x)唯一的一个零点同 时 在区 间 (0， 16)， (0， 8)，(0， 4)， (0， 2)内，那么下列命 题 中正确的是 ( )A.函数 f(x)在区 间 (0， 1)内有零点B.函数 f(x)在区 间 (0， 1)或 (1， 2)内有零点C.函数 f(x)在区 间 [2， 16)上无零点D.函数 f(x)在区 间 (1， 16)内无零点解析 由 题 意可知，函数 f(x)的唯一零点一定在区 间 (0， 2)内，故一定不在 [2， 16)内 .答案 C答案 C答案 A5.(人教 A必修 1P104例 5改 编 )某桶装水 经营 部每天的房租、人 员 工 资 等固定成本 为 200元，每桶水的 进 价是 5元， 销售 单 价与日均 销 售量的关系如表所示：销 售 单 价 /元 6 7 8 9 10 11 12日均 销 售量 /桶 480 440 400 360 320 280 240请 根据以上数据作出分析， 这 个 经营 部 为获 得最大利 润 ，定价 应为 ________元 .解析 设 在 进 价基 础 上增加 x元后，日均 销 售利 润为 y元，日均 销 售量 为 480－ 40(x－ 1)＝ 520－ 40x(桶 )，则 y＝ (520－ 40x)x－ 200＝－ 40x2＋ 520x－ 200， 0＜ x＜13.当 x＝ 6.5时 ， y有最大 值 .所以只需将 销 售 单 价定 为 11.5元，就可 获 得最大的利 润 .答案 11.5(2)令 y1＝ (x－ a)(x－ b)＋ (x－ b)(x－ c)＝ (x－ b)·[2x－ (a＋ c)]， y2＝－ (x－ c)(x－ a)，由 a＜ b＜ c作出函数 y1， y2的 图 象 (图 略 )，由 图 可知两函数 图 象的两个交点分 别 位于区 间 (a， b)和 (b， c)内，即函数 f(x)的两个零点分 别 位于区 间 (a， b)和 (b， c)内 .答案 (1)C (2)A规 律方法 判断函数在某个区 间 上是否存在零点 ， 要根据具体 题 目灵活 处 理 .当能直接求出零点 时 ， 就直接求出 进 行判断；当不能直接求出 时 ， 可根据零点存在性定理判断 ， 当用零点存在性定理也无法判断 时 可画出 图 象判断 .答案 (1)B (2)3规 律方法 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点， 令 f(x)＝ 0， 有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理 ， 要求函数在区 间 [a， b]上是 连续 不断的曲 线 ，且 f(a)·f(b)＜ 0， 再 结 合函数的 图 象与性 质 确定函数零点个数； (3)利用 图 象交点个数 ，作出两函数 图 象， 观察其交点个数即得零点个数 .答案 (－ ∞ ， 0)∪ (1，＋ ∞ )规 律方法 已知函数有零点 (方程有根 )求参数 值 常用的方法和思路： (1)直接法 ， 直接求解方程得到方程的根 ， 再通 过解不等式确定参数范 围 ； (2)分离参数法 ， 先将参数分离 ，转 化成求函数 值 域 问题 加以解决； (3)数形 结 合 ， 先 对 解析式 变 形 ， 在同一平面直角坐 标 系中 ， 画出函数的 图 象 ， 然后 观 察求解 .答案 (1)D (2)D考点二 二次函数的零点 问题 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ 2， a∈ R.(1)若不等式 f(x)≤ 0的解集 为 [1， 2]，求不等式 f(x)≥ 1－ x2的解集；(2)若函数 g(x)＝ f(x)＋ x2＋ 1在区 间 (1， 2)上有两个不同的零点， 求 实 数 a的取 值 范 围 .规 律方法 解决与二次函数有关的零点 问题 ： (1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判 别 式及根与系数之 间 的关系； (3)利用二次函数的 图象列不等式 组 .【 训练 2】 已知 f(x)＝ x2＋ (a2－ 1)x＋ (a－ 2)的一个零点比 1大，一个零点比 1小，求 实 数 a的取 值 范 围 .解 法一 设 方程 x2＋ (a2－ 1)x＋ (a－ 2)＝ 0的两根分别为 x1， x2(x1x2)， 则 (x1－ 1)(x2－ 1)0， ∴ x1x2－ (x1＋ x2)＋ 10，由根与系数的关系，得 (a－ 2)＋ (a2－ 1)＋ 10，即 a2＋ a－ 20， ∴ －2a1.