（江苏专用）2017版高考数学大一轮复习 第1-12章 文（习题+单元小练+阶段训练）（打包94套）.zip

1第 45 课 一元二次不等式(含分式不等式)(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修5 P75例1改编)不等式-3 x2+6x2的解集为 .【答案】3|-x【解析】将不等式-3 x2+6x2转化为3 x2-6x+20的解集是{ x|30对于任意的 x∈[2，+∞)恒成立，则实数 k的取值范围是 .2【答案】(-∞，- 2)∪( ，+∞)【解析】由 x2-2x+k2-20，得 k2-x2+2x+2，设 f(x)=-x2+2x+2， f(x)=-(x-1)2+3，当 x≥2，可求得 f(x)max=2，则 k2f(x)max=2，所以 k 或 k0或 ax2+bx+c0 Δ=0 Δ0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实数根x1， x2(x10(a0)的解集{x|xx2} |-Rax2+bx+c0)的解集 {x|x10(ab}.4.二次不等式 ax2+bx+c0的解集为R的条件是0，.二次不等式 ax2+bx+c0，方程6 x2+5x-1=0的解为 x1= 6， x2=-1.根据y=6x2+5x-1的图象，可得原不等式的解集为|-1或.4(2)原不等式变形为1x-3≤0，即2-1x≥0，所以原不等式的解集为|0或.【精要点评】(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为-xab0(a-2；(2)x2-(a2+a)x+a30).【解答】(1)解不等式 x-3 -2，可得 x2或 2，得 x4；由 4或0≤ xa，即 a1时，不等式的解集为{ x|a1，即02时，解集为|1xa；当 a=0时，解集为{ x|x1}；当 a1}.三个“二次”的关系例2 已知函数 f(x)=2x2+bx+c(b， c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于 x的不等式 f(x)0 的解集.【解答】(1)由题设可知不等式 x2-ax-b0，即为-6 x2-5x-10，不等式-6 x2-5x-10可化为6 x2+5x+10恒成立，求实数 m的取值范围.【解答】令 t=3x(t1)，则由已知得函数 f(t)=t2-mt+m+1(t∈(1，+∞))的图象恒在 x轴的上方，即Δ=(- m)2-4(m+1)0)的零点为2和3，那么不等式 ax2-bx+c0)的零点为2和3，所以 f(x)=a(x-2)(x-3)，进而函数g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因为 a0，所以不等式 ax2-bx+cf(k)，则实数 k的取值范围为 .【答案】( lo12g9，4)【解析】由题设知 f(x)=20-1)x， ，， ，所以 f(f(-2))=f(4)=9.所以原不等式等价于 f(k)0.设 f(x)=ax2+x-2a，因为 f(0)=-2a0.若 a1，则 f(1)=1-a0，矛盾.所以假设错误，故00的解集为 .(用区间表示)2.不等式 2-1x0的解集为{ x|-14x+a-3恒成立的 x的取值范围是 .8.(2014·苏州期末)已知函数 f(x)=20-x， ，， ，那么不等式 f(x2-x+1)0；命题 q：实数 x满足 x2-4x+3≤0.(1)若 a=1，且 p∧ q为真，求实数 x的取值范围；(2)若 p是 q成立的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.1110.国家为了加强对烟酒的生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶.若政府征收附加税，每销售100元征税R元(叫作税率R%)，则每年产销量将减少10R万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定?11.(2015·大同期末)已知关于 x的不等式 ax2+(a-2)x-2≥0， a∈R.(1)已知不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，求实数 a的值；(2)若不等式 ax2+(a-2)x-2≥2 x2-3对 x∈R恒成立，求实数 a的取值范围.(3)解关于 x的不等式 ax2+(a-2)x-2≥0.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.当 x∈(-∞，-1]时，不等式( m-m2)4x+2x+10恒成立，则实数 m的取值范围是 .13.(2015·南京三模)已知 a， t为正实数，函数 f(x)=x2-2x+a，且对任意的 x∈[0， t]，都有f(x)∈[- a， a].若对每一个正实数 a，记 t的最大值为 g(a)，则函数 g(a)的值域为 .【检测与评估答案】第八章 不 等 式第45课 一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1) 【解析】由 -x2-3x+40，得 -40的解集为( -4，1) .2.0，3.0 【解析】因为解集为( -1，2)，所以由韦达定理可得-12ba，，解得-1，，所以a+b=0.124.(2，3) 【解析】由题意知 A=[a-1， a+1]， B=(-∞ ，1]∪[4， +∞ ).因为 A∩ B=，所以a+11，即2 0，所以 a(x-1)+x2-4x+30，令 f(a)=a(x-1)+x2-4x+3，则函数 f(a)=a(x-1)+x2-4x+3表示一条直线，所以要使 f(a)=a(x-1)+x2-4x+30，则有 f(0)0， f(4)0，即 x2-4x+30且 x2-10，解得 x3或 x0，得 a0时， -12a；所以( x+1)(ax-2)≥0 ≤ x≤ -1，综上可得，①当 a=0时，原不等式的解集为{ x|x≤ -1}；②当 a0时，原不等式的解集为2|-xa或；③当 -20恒成立，所以 m-m2-14x.设 t= 2x，因为x∈( -∞ ， -1]，所以 t≥2，所以 m-m2-t2-t，令 g(t)=-t2-t(t≥2)， g(t)=- +14≤ -6，所以 m-m2-6，解得 -2m3.13.(0，1)∪{2} 【解析】因为 f(x)=(x-1)2+a-1，且 f(0)=f(2)=a.当 a-1≥ -a，即 a≥12时，此时恒有 [a-1， a][-a， a]，故 t∈(0，2]，从而它的最大值为2；当 a-1-a，即0 a 时，此时 t∈(0，1)且 t2-2t+a≥ -a在 a∈10，时恒成立，即 t≥1 +-2a(不成立，舍去)或 t≤1 - 1a，由于0 a ，故 t∈(0，1) .综上， g(a)的值域为(0，1)∪{2} .1第 13 课 函数与方程(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修1P75例1改编)对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，若 ac 0，此方程有两个不相等的实根，即有两个零点 .2.(必修1P111复习13改编)已知函数 f(x)=2x-3x，则函数 f(x)的零点个数为 .(第2题)【答案】2【解析】方法一：令 f(x)=0，则2 x=3x，在同一平面直角坐标系中分别作出 y=2x和 y=3x的图象如图所示，由图知函数 y=2x和 y=3x的图象有2个交点，所以函数 f(x)的零点个数为2 .方法二：由 f(0)0， f(1)0，…，知 f(x)有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内 .3.(必修1P96练习2改编)若方程lg x=2-x在区间( n， n+1)(n∈Z)内有解，则 n的值为 .【答案】1【解析】令 f(x)=lg x+x-2，由 f(1)=-10，知 f(x)=0的根介于1和2之间，即n=1.24.(必修1P76习题1改编)若函数 f(x)=x2-ax-b的两个零点分别为2和3，则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是 .【答案】 - 2， -3【解析】由20ab，，得5-6， ，所以 g(x)=-6x2-5x-1的零点为 - 2， -13.5.(必修1P96练习5改编)若函数 f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054那么方程 x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 (精确到0 .1).【答案】1 .4【解析】 f(1.406 25)=-0.0540且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4.1.二次函数的零点一般地，二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为0时自变量 x的值，也就是二次函数的图象与 x轴交点的横坐标 .因此，我们把使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0的实数 x(即一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根)称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点 .当 a0时，二次函数的零点、二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的关系，如下表所示：Δ=b 2-4ac Δ 0 Δ= 0 Δ0)的图象y=ax2+bx+c的零点x1，2 =-bΔax1=x2=-ba函数无零点2.一般地，把使函数 y=f(x)的值为0的实数 x称为 y=f(x)的零点 .函数 y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数 y=f(x)的图象与 x轴交点的横坐标，所以函数 y=f(x)有零点等价于函数 y=f(x)的图象与 x轴有交点，也等价于方程 f(x)=0有根 .3.函数零点的存在性定理一般地，若函数 y=f(x)在区间[ a， b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a)·f(b)0，所以 f(1)·f(8)log22-1=0， f(3)=log25-30，所以方程 x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根 .所以不论 m取何值，这个二次函数必有两个不同的零点 .5函数零点个数的判断例2 函数 f(x)=2-30lnx， ，，的零点个数为 .【思维引导】令 f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 .【答案】 2【解析】当 x≤0时，令 x2+2x-3=0，解得 x=-3；当 x0时，令 -2+ln x=0，解得 x=e2，所以函数 f(x)有两个零点 .【精要点评】利用代数法求分段函数的零点时，一定要注意函数表达式所对应的自变量的范围，即通过解方程得到的零点一定要检验 .变式 已知 f(x+1)=f(x-1)， f(x)=f(-x+2)，方程 f(x)=0在[0，1]内有且只有一个根 x=12，则 f(x)=0在区间[0，2 016] 内根的个数为 .【答案】2 016【解析】由 f(x+1)=f(x-1)，可知 f(x+2)=f(x)，所以函数 f(x)的周期为2 .由 f(x)=f(-x+2)，可知函数 f(x)关于直线 x=1对称 .因为函数 f(x)=0在[0，1]内有且只有1个根 x=12，所以函数 f(x)=0在[1，2]上有且只有1个根 x=32，所以 f(x)=0在[0，2 016]内根的个数为2 016 .【精要点评】判断函数零点个数的常用方法：(1)解方程法：令 f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 .(2)零点存在性定理法：利用此定理不仅要判断函数在区间[ a， b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)0时， f(x)=2ax2+2x-3-a的对称轴为 x=-12a.ⅰ)当 -12a≤ -1，即0 时，有 ()f，，即1-30a，，解得 a≥1，所以实数 a的取值范围是[1， +∞ ).③如图(2)，当 a1，即 - 0，知 f(x)=0的根在区间(2，3)内，即 n=2.2.(2016·苏北四市期中)若函数 f(x)=-x2+2x，则不等式 f(log2x)2或log 2x4或00，且 a≠1)有两个零点，则实数 a的取值范围是 .【答案】(1， +∞ )【解析】设函数 y=ax(a0，且 a≠1)和函数 y=x+a，则函数 f(x)=ax-x-a(a0，且 a≠1)有两个零点，就是函数 y=ax(a0，且 a≠1)与函数 y=x+a的图象有两个交点 .由图(1)可知，当0 1时，因为函数 y=ax(a1)与 y轴交于点(0，1)，而直线 y=x+a所经过的定点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数 a的取值范围是(1， +∞ ).图(1) 图(2)(第4题)5.已知二次函数 f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的 a∈R，方程 f(x)=1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若 y=f(x)在区间( -1，0)及0，内各有一个零点，求实数 a的取值范围 .【解答】(1)“对于任意的 a∈R，方程 f(x)=1必有实数根”是真命题，判断过程如下：方程 f(x)=1，即 x2+(2a-1)x-2a=0，因为 Δ =(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的 a∈R恒成立，即 x2+(2a-1)x-2a=0必有实根，从而f(x)=1必有实根 .11(2)依题意，要使 y=f(x)在区间( -1，0)及02，内各有一个零点，只需(-1)02ff，， ，即3-4012-a，，，解得 22时， g(x)1≥ f(x)，此时方程无解；…………………8分当0 0；当 x∈(-∞，-3)∪(2，+∞)时， f(x)0， f(3)0，所以可以判定函数的一个零点在区间(1，2)内 . 4.-12【解析 】由已知得 f(1)=0，即 123+a=0，解得 a=-12.5.2 【解析】由2-x， ，得 x=-3；由 -lnx， ，得 x=e2，所以 f(x)的零点个数为2 .166.2 【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数 y=12x， y=13的图象如图所示 .由图可得x0∈(0，1)，设 f(x)=12x- 3，因为 f=1- 0，所以n=2.(第6题)7.24，【解析】由 f(x)=2-|x， ，， ，得 f(2-x)=2-|0x， ，， ，所以 f(x)+f(2-x)=2-|04||(-)xx， ，， ， ， ，即 f(x)+f(2-x)=2-582x， ，， ， ， ，y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b，所以 y=f(x)-g(x)恰有4个零点等价于方程 f(x)+f(2-x)-b=0有4个不同的解，即函数 y=b与函数 y=f(x)+f(2-x)的图象的4个公共点，画出图象如图所示，由图象可知74b2.(第7题)178.104，【解析】由 f(x+1)=f(x-1)，得 f(x+2)=f(x)，则 f(x)是周期为2的周期函数 .因为f(x)是偶函数，当 x∈[0，1]时， f(x)=x，所以当 x∈[ -1，0]时， f(x)=-x.易得当 x∈[1，2]时，f(x)=-x+2；当 x∈[2，3]时， f(x)=x-2.函数 g(x)=f(x)-kx-k在[ -1，3]上有4个零点，即函数y=f(x)与 y=kx+k在[ -1，3]上的图象有4个不同的交点 .作出函数 y=f(x)与 y=kx+k在[ -1，3]上的图象(如图)，结合图形知 k∈0，.(第8题)9.因为 f(x)=log3(ax2-x)有零点，所以log 3(ax2-x)=0有解 .所以 ax2-x=1有解 .当 a=0时， x=-1；当 a≠0时，若 ax2-x-1=0有解，则 Δ= 1+4a≥0，解得 a≥ - 4且 a≠0 .综上所述，实数 a的取值范围是14.10.由题意知 f(x)的图象是开口向下，交 x轴于点 A(-3，0)和点 B(2，0)的抛物线，对称轴方程为 x=-12，图象如图所示 .(第10题)那么，当 x=-3和 x=2时，有 y=0，18代入原式得20(-3)8(-3)abab，，解得 8b，或-5.，经检验知0a，不符合题意，舍去 .所以 f(x)=-3x2-3x+18.(1) 由图象知，函数在[0，1]上单调递减，当 x=0时， y=18；当 x=1时， y=12.所以 f(x)在[0，1]上的值域为[12，18] .(2) 令 g(x)=-3x2+5x+c，要使 g(x)≤0的解集为R .则需要方程 -3x2+5x+c=0的判别式 Δ ≤0，即25 +12c≤0，解得 c≤ -1.所以当 c≤ - 2时， ax2+bx+c≤0的解集为R .11. (1) 当 k=2时， f(x)=|x2-1|+x2+2x.①当 x2-1≥0，即 x≥1或 x≤ -1时，方程化为2 x2+2x-1=0，解得 x=-132.因为0 131，所以 x=3.②当 x2-10，即 -1x1时，方程化为1 +2x=0，解得 x=- 2.综上，当 k=2时，方程 f(x)=0的解是 x=-13或 x=- .(2) 不妨设0 x1x22，因为 f(x)=-|k， ，， ，所以 f(x)在(0，1]上是单调函数 .19故 f(x)=0在(0，1]上至多有一个解 .若 x1， x2∈(1，2)，则 x1x2=- 0，故不符合题意 .因此， x1∈(0，1]， x2∈(1，2) .由 f(x1)=0，得 k=- 1，所以 k≤ -1；由 f(x2)=0，得 k= 2x-2x2，所以 -7k-1.故实数 k的取值范围是7|--12k.12.(-3，0) 【解析】作出函数 f(x)的图象如图所示，设一根 x0∈(0，1)，则由图可知另外三根为2 +x0， -x0，2 -x0，则 x1x2x3x4=x0(2+x0)(-x0)(2-x0)，因为 x0∈(0，1)，故 x1x2x3x4的取值范围为( -3，0) .(第12题)13.4 【解析】由 f(-4)=f(0)可得16 -4b+2=2，即 b=4，所以 f(x)=240|-x， ，， ，令y=f(x)-ln(x+2)=0，即 f(x)=ln(x+2)，在同一平面直角坐标系中分别作出 y=f(x)与 y=ln(x+2)的图象如图所示，由图象易知， y=f(x)与 y=ln(x+2)的图象有4个交点 .(第13题)201第 14课 函数模型及其应用(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修1P110练习1改编)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0 .6 ℃ .已知山顶的温度是14 .6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为 m.【答案】1 900【解析】(26 -14.6)÷0.6×100=1 900.2.(必修1P32习题12改编)某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元 .某单位购买 x件( x∈N *， x≤15)，设最低的购买费用是 f(x)，则 f(x)的解析式是 .【答案】 f(x)=0{12345}4567890x， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，【解析】这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论 .3.(必修1P71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为 件 .【答案】1 331【解析】1 000 ×(1+10%)3=1 331.4.(必修1P31习题3改编)近几年由于房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆 .已知小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格 y(单位：万元)与价格年膨胀率 x之间的函数关系式是 .【答案】80(1 +x)10【解析】一年后的价格为80 +80·x=80(1+x)，两年后的价格为80(1 +x)+80(1+x)·x=80(1+x)(1+x)=80(1+x)2，…，由此可推得10年后的价格为80(1 +x)10.25.(必修1P100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格 P(单位：元)与时间 t(单位：天)的函数关系为 P=205-13tttN， ， ，， ， ，且该商品的日销售量 Q(单位：件)与时间 t(单位：天)的函数关系为 Q=-t+40(00且 a≠1)3对数函数模型 f(x)=blogax+c(a， b， c为常数， b≠0， a0且 a≠1)幂函数模型 f(x)=axn+b(a， b为常数， a≠0)分段函数模型 上面两种或多种模型的综合3.解函数应用题时，要注意四个步骤：第一步：阅读理解 .第二步：引入数学符号，建立数学模型 .第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果 .第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答 .【要点导学】要点导学 各个击破二次函数模型例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(单位：万元)与年产量 x(单位：t)之间的函数关系式可以近似地表示为 y=25x-48x+8 000，已知此生产线年产量最大为210 t .(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本 .(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?【思维引导】(1)根据函数模型，建立函数解析式；(2)求函数最值 .【解答】(1)每吨平均成本为yx(万元) .则yx= 5+80-48≥2805-48=32，当且仅当 5x=80，即 x=200时取等号 .4所以年产量为200 t时，每吨平均成本最低，最低为32万元 .(2)设可获得总利润为 R(x)万元，则 R(x)=40x-y=40x-25+48x-8 000=-25x+88x-8 000=-15(x-220)2+1 680 (0≤ x≤210) .因为 R(x)在[0，210]上是增函数，所以当 x=210时， R(x)有最大值，为 -5(210-220)2+1 680=1 660.所以年产量为210 t时，可获得最大利润1 660万元 .【精要点评】二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值 .在解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围 .利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得 .变式 A， B两城相距100 km，在两地之间距 A城 x km处的 D地建一核电站给 A， B两城供电 .为保证城市安全，核电站与城市的距离不得少于10 km .已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数 λ= 0.25.设 A城供电量为20亿度 /月， B城为10亿度 /月 .(1)求 x的取值范围；(2)把月供电总费用 y表示成 x的函数；(3)核电站建在距 A城多远的地方，才能使供电费用最小?【思维引导】函数模型的建立，即是将实际问题抽象为具体函数，根据核电站与城市的距离不得少于10 km确定 x的取值范围，然后根据正比例关系确定 y关于 x的函数解析式，最后利用配方法求解最小值 .【解答】(1) x的取值范围为[10，90] .(2)y=0.25×20x2+0.25×10(100-x)2=5x2+2.5(100-x)2(10≤ x≤90) .(3)y=5x2+2.5(100-x)2=7.5x2-500x+25 000=7.510-3+ ，当 x=103时， y取得最小值 .故当核电站距 A城 km时，才能使供电费用最小 .5【精要点评】本题首先利用正比例关系建立月供电总费用 y的函数解析式，解决实际问题一定要注意自变量的取值范围(即函数的定义域)要符合实际情况，然后利用二次函数的知识解决问题 .分段函数模型例2 经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间 t(单位：天)的函数，且日销售量近似地满足 g(t)=-13t+2(1≤ t≤100， t∈N) .前40天价格为 f(t)=14t+22(1≤ t≤40， t∈N)，后 60天价格为 f(t)=-1t+52(41≤ t≤100， t∈N)，试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最小值 .【思维引导】因为不同阶段日销售价格不同，所以确定日销售额 S(t)是分段函数，然后在不同分段上利用二次函数知识求解，最后综合分析，确定最值 .【解答】当1≤ t≤40， t∈N时，S(t)=g(t)f(t)=12-34t=-12t2+2t+=- (t-12)2+503，所以768 =S(40)≤ S(t)≤ S(12)=2503.当41≤ t≤100， t∈N时 ，S(t)=g(t)f(t)=1--523t=16t2-36t+5= (t-108)2-83，所以8 =S(100)≤ S(t)≤ S(41)=1492.6所以 S(t)的最大值为2503，最小值为8 .【精要点评】由于价格函数 f(t)是分段函数，所以日销售额 S(t)也应分段求出；分别求出 S(t)在各段中的最值，通过比较，最后确定 S(t)的最值 .利用二次函数知识研究最值，要注意定义域对其的影响 .变式 为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药薰消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(单位：mg)与时间 t(单位：h)成正比，药物释放完毕后，y与 t之间的函数关系式为 y=-16ta(a为常数)，其图象如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题 .(变式)(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量 y(单位：mg)与时间 t(单位：h)之间的函数关系式 .(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0 .25 mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过多少小时后，学生才可能回到教室 .【思维引导】(1)根据图象知，所求函数在[0，0 .1]上是一次函数，设出解析式，而在(0.1， +∞ )上解析式已知，依据图象上的点(0 .1，1)求参数；(2)即求函数值为0 .25时对应的自变量的值 .【解答】(1)当0≤ t≤0 .1时，设 y=kt，图象过点(0 .1，1)，从而1 =0.1k， k=10，所以 y=10t.又 y=-6ta的图象过点(0 .1，1)，得1 =0.1-6a，所以0 .1-a=0， a=0.1.所以当 t0.1时， y=-0.6t.7故每立方米空气中的含药量 y(单位：mg)与时间 t(单位：h)之间的函数关系式为 y=-0.1.6t， ， ，(2)由 y=-0.1t≤0 .25，得2-0.14t≤ ，所以2 t-0.2≥1，解得 t≥0 .6.故从药物释放开始至少需要经过0 .6 h后，学生才可能回到教室 .“y=x+ax”型函数模型的应用例3 (2014·黄冈中学)某工厂去年某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元 .今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第 n次投入后，每只产品的固定成本为 g(n)= 1k(k0， k为常数， n∈Z且 n≥0) .若产品销售价保持不变，第 n次投入后的年利润为 f(n).(1)求 k的值，并求出 f(n)的表达式 .(2)若今年是第1年，则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?【思维引导】(1)根据每只产品的固定成本 g(0)=8知 k的值及 f(n)的表达式；(2)利用基本不等式确定最高利润 .【解答】(1) g(n)= 1k，当 n=0时，可求得 k=8，所以 f(n)=(100+10n)8-100n.(2)由 f(n)=(100+10n)10-100n=1 000-80=1 000-80918≤1 000 -80×2 9=520，当且仅当 1n= ，即 n=8时取等号 .所以第8年工厂的利润最高，最高利润为520万元 .【精要点评】“ y=x+ax”型函数模型的应用技巧： (1)“y=x+ax”型函数模型在实际问题中会经常出现 .解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“ y=x+ x”型函数模型 .(2)求函数解析式要确定函数的定义域 .对于y=x+ax(a0， x0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性 .变式 (2014·济南模拟)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第 t天(1≤ t≤30， t∈N *)的旅游人数 f(t)(单位：万人)近似地满足 f(t)=4+1，而人均消费 g(t)(单位：元)近似地满足 g(t)=120-|t-20|.(1)求该城市的旅游日收益 W(t)(单位：万元)与时间 t(1≤ t≤30， t∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值 .【解答】(1) W(t)=f(t)g(t)=14t(120-|t-20|)=104259-3.ttt， ，，(2)当 t∈[1，20]， W(t)=401+4t+0t≥401 +2104t=441(t=5时取最小值)；当 t∈(20，30]时，因为 W(t)=559+1t-4t单调递减，所以当 t=30时， W(t)取得最小值 W(30)=44323.综上，该城市旅游日收益的最小值为441万元 .9指(对)数函数模型例4 已知某物体的温度 θ (单位：℃)随时间 t(单位：min)的变化规律为 θ=m ·2t+21-t(t≥0且 m0).(1)如果 m=2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求实数 m的取值范围 .【思维引导】(1)通过解方程确定时间，注意定义域对结果的影响；(2)转化为不等式恒成立问题，然后分离参数，通过求解相应函数的最值，确定实数 m的取值范围 .【解答】(1)若 m=2，则 θ= 2·2t+21-t=2tt，当 θ= 5时，2 t+1= ，令2 t=x≥1，则 x+ x= ，即2 x2-5x+2=0，解得 x=2或 x=1(舍去)，此时 t=1.所以经过1 min，物体的温度变为5 ℃ .(2)物体的温度总不低于2 ℃，即 θ ≥2恒成立，即 m·2t+ ≥2 恒成立，即 m≥221-tt恒成立 .令 t=x，则0 log0.80.05，化简得 n1lg-32，解得 n13.4，则 n的最小值为14 .5.(2014·南京三模)某种树苗栽种时高度为 A(A为常数)m，栽种 n年后的高度记为 f(n)(单位：m).经研究发现 f(n)近似地满足 f(n)=9nabt，其中 t=2-3， a， b为常数， n∈N， f(0)=A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍 .(1)栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍?(2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大?【解答】(1)由题意知 f(0)=A， f(3)=3A，12所以9314Aab， ，解得 a=1， b=8.所以 f(n)=98nAt，其中 t=2-3.令 f(n)=8A，得 1nt=8A，解得 tn= 64，即2-3= 64，所以 n=9.所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍 .(2)由(1)知 f(n)=918nAt.第 n年的增长高度为 Δ=f (n)-f(n-1)=918nAt- -1nt，所以 Δ=-1-72(8))nAt=-12-17()64nntt= -7(-)6481nAt≤-1264()ntt=2(-1)t=9(-)At，当且仅当64 tn= -1，即(-)3n= 时取等号，此时 n=5.所以该树木栽种后第5年的增长高度最大 .趁热打铁，事半功倍 .请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第27 ~28页 .【检测与评估】13第14课 函数模型及其应用一、 填空题1.(2014·江西五校联考)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，那么每件还获利 元.2.(2014·北京卷改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p与加工时间 t(单位： min)满足函数关系 p=at2+bt+c(a， b， c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 min.(第2题)3.已知产品生产件数 x与成本 y(单位：万元)之间的函数关系为 y=3 000+20x-0.1x2.若每件产品的成本不超过25元，且每件产品用料6 t.现有库存原料30 t，旺季可进原料900 t，则旺季最高产量是 .4.(2015·辽宁实验中学)拟定从甲地到乙地通话 m min的电话费(单位：元)由 f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出，其中 m0，[ m]是不超过 m的最大整数(如[3]=3，[3.7]=3，[3.1]=3)，则从甲到乙通话6.5 min的话费为 元.5.(2015·兖州模拟)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加10.4%，那么经过 x年可增长到原来的 y倍，则函数 y=f(x)的图象大致是 .(填序号)① ② ③ ④14(第5题)6.(2014·枣庄期末)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加.假设细菌A的数量每2 h可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5 h可以增加为原来的4倍.若现在养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的2倍，则需要的时间为 .7.如图，一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，以 b02b为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为 .(第7题)8.(2014·河南适应性测试)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2，L 2=2x，其中 x为销售量(单位：辆).若该公司在甲、乙两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 .二、 解答题9.某种海洋生物的身长 f(t)(单位： m)与生长年限 t(单位：年)满足如下的函数关系： f(t)=-4102t(设该生物出生时的时刻 t=0).(1)需经过多少时间，该生物的身长超过8 m?(2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米?并据此判断，这两年中哪一年长得更快.1510.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 k(k0).现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a， b，它们连线上任意一点C处的污染指数 y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC= x km.(1)试将 y表示为 x的函数； (2)若 a=1，且当 x=6时， y取得最小值，试求 b的值.11.(2014·镇江期末)在2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销.某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只.(1)据市场调查，若每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本)，则该口罩每只售价最多为多少元?(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价为 x(x≥9)元，并投入265(x-9)万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每只售价每提高 0.5元，月销售量将相应减少20-8)万只，则当每只售价为多少元时，下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·启东最后一卷)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐地普及开来，2015年5月据商报记者了解，中国(上海)电动汽车国际示范区运营服务公司将以嘉定为核心，逐步走向全市乃至全国的分时租赁的服务体系为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供可复制的市场化运营模式.现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元.根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆.设每辆电动汽车的日租金 x(单位：元)(60≤ x≤300， x∈N *)，用 y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入(即一日出租电动汽车的总收入减去管理费用后的所得).(1)求函数 y=f(x)的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多?16【检测与评估答案】第14课 函数模型及其应用1.12.5 【解析】九折出售时每件价格为100 ×(1+25%)×90%=112.5(元)，此时每件还获利112.5-100=12.5(元) .2.3.75 【解析】由题意得079.81645abc， ，，解得-0.215a，，，所以 p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5，即当 t=3.75时， p有最大值 .故最佳加工时间为3 .75 min.3. 155件 【解析】由题意得230-.1569xx， 150≤ x≤155 .4. 4.24 【解析】因为 m=6.5，所以[ m]=6，则 f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.5.④ 【解析】设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为1 +10.4%；经过2年森林的蓄积量为(1 +10.4%)2；…；经过 x年的森林蓄积量为(1 +10.4%)x(x≥0)，即y=1.104x(x≥0) .底数1 .104大于1，根据指数函数的图象，应填④ .6.10 h 【解析】假设一开始两种细菌数量均为 m，则由题意知经过 x h后，细菌 A的数量是f(x)=m· 2x，细菌 B的数量是 g(x)=m· 54x.令 m· 2x=2·m· 54，解得 x=10.7.3π 【解析】由题意知实线部分的总长度 l(b)=4(3-2b)+2π b=(2π -8)b+12， l是关于 b的一次函数且一次项系数2π -8 ，所以第4年长得快 .10. (1) 设点 C受 A污染源污染指数为 2kax，则点 C受 B污染源污染指数为2(18-)kbx，其中 k为比例系数，且 k0.从而点 C处受污染指数 y= 2kx+2(18-)b.(2) 因为 a=1，所以 y= 2+2，则 y'=k33-2(8)bx，令 y'=0，得 x= 31.又此时 x=6，解得 b=8，经验证符合题意 .所以污染源 B的污染强度 b的值为8 . 11.(1)设每只售价为 x元，则月销售量为-850.2x万只 .由已知得-850.2(x-6)≥(8 -6)×5，所以2x2-3x+96≤0，即2 x2-53x+296≤0，解得8≤ x≤372，即每只售价最多为18 .5元 .18(2)下月的月总利润：y=2-80.5.()x·(x-6)- 265(x-9)=24-x-1x+34=0.(8).-5x+=-4()x+74.因为 x≥9，所以 5(-8)x+ ≥2425= ，当且仅当45(-8)x= ，即 x=10时等号成立，所以 ymax=14.故当 x=10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元 .12.(1) 当60≤ x≤90， x∈N *时， y=750x-1 725，当90 65 775，所以当每辆电动汽车的日租金定在170元时，才能使一日的净收入最多 .