（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十一章 概率 文（课件+习题）（打包6套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.1 随机事件的概率 文1．概率和频率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝ 为事件 A 出现的频率．nAn(2)对于给定的随机事件 A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件 A 的概率，记作 P(A)．2．事件的关系与运算定义 符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) B⊇A(或 A⊆B)相等关系 若 B⊇A 且 A⊇B A＝ B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)A∪ B(或 A＋ B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) A∩ B(或 AB)互斥事件若 A∩ B 为不可能事件( A∩ B＝∅)，则称事件 A 与事件 B 互斥A∩ B＝∅对立事件若 A∩ B 为不可能事件， A∪ B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件P(A)＋ P(B)＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤ P(A)≤1.(2)必然事件的概率 P(E)＝1.(3)不可能事件的概率 P(F)＝0.(4)概率的加法公式2如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)．(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝1－ P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．( × )(2)随机事件和随机试验是一回事．( × )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ )(6)两互斥事件的概率和为 1.( × )1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．①至多有一次中靶 ②两次都中靶③只有一次中靶 ④两次都不中靶答案 ④解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为 0.5，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为________．答案 0.3解析 因为必然事件发生的概率是 1，所以该同学的身高超过 175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.3．(2015·湖北改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为________石．答案 1693解析 因为样品中米内夹谷的比为 ，所以这批米内夹谷为 1 534× ≈169(石)．28254 282544．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品；②做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是 ；③随机事件发生的频率就是这个37随机事件发生的概率．答案 0解析 ①错，不一定是 10 件次品；②错， 是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是37两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有 9 个白球，2 个红球，从中任取 3 个球，则①恰有 1 个红球和全是白球；②至少有 1 个红球和全是白球；③至少有 1 个红球和至少有 2 个白球；④至少有 1 个白球和至少有 1 个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.题型一 事件关系的判断例 1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为“只订甲报纸” ，事件 B 为“至少订一种报纸” ，事件 C 为“至多订一种报纸” ，事件 D 为“不订甲报纸” ，事件 E 为“一种报纸也不订” ．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A 与 C；(2) B 与 E；(3) B 与 C；(4) C 与 E.解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸” ，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件．(2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故 B 与 E是互斥事件．由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生，且事件 E 不发生会导致事件 B 一定发生，故 B 与 E 还是对立事件．(3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸” 、 “只订乙报纸” 、 “订甲、乙两种报纸” ，事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订” 、 “只订甲报纸” 、“只订乙报纸” ，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能，即事件 C 与事件 E 有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件．思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事4件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中①恰有 1 名男生和恰有 2 名男生；②至少有 1 名男生和至少有 1 名女生；③至少有 1 名男生和全是女生．解 ①是互斥事件，不是对立事件．“恰有 1 名男生”实质选出的是“1 名男生和 1 名女生” ，与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件．②不是互斥事件，也不是对立事件．“至少有 1 名男生”包括“1 名男生和 1 名女生”与“2 名都是男生”两种结果， “至少有 1名女生”包括“1 名女生和 1 名男生”与“2 名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．③是互斥事件且是对立事件．“至少有 1 名男生” ，即“选出的 2 人不全是女生” ，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以两个事件互斥且对立．题型二 随机事件的频率与概率例 2 (2015·北京)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买， “×”表示未购买.商品顾客人数甲 乙 丙 丁100 √ × √ √217 × √ × √200 √ √ √ ×300 √ × √ ×85 √ × × ×98 × √ × ×(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 ＝0.2.2001 000(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有5200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 ＝0.3.100＋ 2001 000(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ＝0.2，2001 000顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ＝0.6，100＋ 200＋ 3001 000顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ＝0.1.1001 000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．思维升华 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902优等品频率mn(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解 (1)依据公式 f＝ ，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是mn0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数 n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数 0.950 的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为 0.950.题型三 互斥事件、对立事件的概率命题点 1 互斥事件的概率例 3 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、黄球13 512 512和绿球的概率各是多少？6解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球” “摸到黑球” “摸到黄球” “摸到绿球”分别为 A， B， C， D，则有P(A)＝ ， P(B∪ C)＝ P(B)＋ P(C)＝ ，13 512P(C∪ D)＝ P(C)＋ P(D)＝ ， P(B∪ C∪ D)＝ P(B)＋ P(C)＋ P(D)＝1－ P(A)＝1－ ＝ ，解得512 13 23P(B)＝ ， P(C)＝ ， P(D)＝ ，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ，， .14 16 14 1416 14方法二 设红球有 n 个，则 ＝ ，所以 n＝4，即红球有 4 个．n12 13又得到黑球或黄球的概率是 ，所以黑球和黄球共 5 个．512又总球数是 12，所以绿球有 12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是 ，所以黄球和绿球共 5 个，而绿球有 3 个，所以黄球有5125－3＝2(个)．所以黑球有 12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ＝ ， ＝ ， ＝ .312 14 212 16 312 14命题点 2 对立事件的概率例 4 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、 B、 C，求：(1)P(A)， P(B)， P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1) P(A)＝ ， P(B)＝ ＝ ，11 000 101 000 1100P(C)＝ ＝ .501 000 120故事件 A， B， C 的概率分别为 ， ， .11 000 1100 120(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则M＝ A∪ B∪ C.∵ A、 B、 C 两两互斥，∴ P(M)＝ P(A∪ B∪ C)＝ P(A)＋ P(B)＋ P(C)＝ ＝ .1＋ 10＋ 501 000 611 0007故 1 张奖券的中奖概率为 .611 000(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴ P(N)＝1－ P(A∪ B)＝1－ ＝ .(11 000＋ 1100) 9891 000故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .9891 000思维升华 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－ P( )求解．当题目涉及“至多” “至少”型问题时，多考虑间接法．A国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中 7～10 环的概率如下表所示：命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环概率 0.32 0.28 0.18 0.12求该射击队员射击一次：(1)射中 9 环或 10 环的概率；(2)命中不足 8 环的概率．解 记事件“射击一次，命中 k 环”为 Ak(k∈N， k≤10)，则事件 Ak彼此互斥．(1)记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，那么当 A9， A10之一发生时，事件 A 发生，由互斥事件的加法公式得 P(A)＝ P(A9)＋ P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中 8 环”的事件为 B，则 表示事件“射击一次，命中不足 8 环”B．又 B＝ A8∪ A9∪ A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝ P(A8)＋ P(A9)＋ P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故 P( )＝1－ P(B)＝1－0.78＝0.22.B因此，射击一次，命中不足 8 环的概率为 0.22.21．用正难则反思想求互斥事件的概率典例 (14 分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.8一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人)1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率．(将频率视为概率)思维点拨 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解 (1)由已知得 25＋ y＋10＝55， x＋30＝45，所以 x＝15， y＝20.[2 分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋ 1.5×30＋ 2×25＋ 2.5×20＋ 3×10100＝1.9(分钟)．[8 分](2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ， A1， A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟” ， “该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟” ，将频率视为概率得 P(A1)＝ ＝ ， P(A2)＝ ＝ .[10 分]20100 15 10100 110P(A)＝1－ P(A1)－ P(A2)＝1－ － ＝ .[12 分]15 110 710故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .[14 分]710温馨提醒 (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将 A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示 (1)对统计表的信息不理解，错求 x， y，难以用样本平均数估计总体．(2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误．[方法与技巧]1．对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)．92．从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集A合的补集．[失误与防范]1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件， “互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需准确理解题意，特别留心“至多……” “至少……” “不少于……”等语句的含义．A 组 专项基础训练(时间：45 分钟)1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件 M：“两次出现正面” ，事件 N：“只有一次出现反面” ，则事件 M 与 N 互为对立事件；②若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件 A 与 B 为互斥事件；③若事件 A 与 B 为互斥事件，则事件 A 与 B 互为对立事件；④若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件 A∪ B 为必然事件，其中，真命题是________．答案 ②④解析 对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件 M 与 N 是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件 A、 B为对立事件，则一次试验中 A、 B 一定有一个要发生，故④正确．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率17是 ，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是________．1235答案 1735解析 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A， “从中取出 2 粒都是白子”为事件 B， “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 C＝ A∪ B，且事件 A 与 B 互斥．所以 P(C)＝ P(A)＋ P(B)＝ ＋ ＝ .即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为 .17 1235 1735 17353．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.65， P(B)＝0.2， P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_____________________________．10答案 0.35解析 “抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件，∴所求概率＝1－ P(A)＝0.35.4．从存放的号码分别为 1,2,3，…，10 的卡片的盒子中，有放回地取 100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9则取到号码为奇数的卡片的频率是________．答案 0.53解析 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.531005．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案 0.45解析 设区间[25,30)对应矩形的另一边长为 x，则所有矩形面积之和为 1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋ x)×5＝1，解得 x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.6．在 200 件产品中，有 192 件一级品，8 件二级品，则下列事件：①在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品；②在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品；③在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．答案 ③ ② ①7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随11机模拟产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．答案 0.25解析 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25.5208．若随机事件 A， B 互斥， A， B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)＝2－ a， P(B)＝4 a－5，则实数 a 的取值范围是________________．答案 ( ， ]54 43解析 由题意可知Error!⇒Error!，⇒Error!⇒ 15}，求 P(E∪ F)．解 (1)第六组的频率为 ＝0.08，所以第七组的频率为4501－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.(2)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008×5＝0.04，身高在第二组[160,165)的频率为 0.016×5＝0.08，身高在第三组[165,170)的频率为 0.04×5＝0.2，身高在第四组[170,175)的频率为 0.04×5＝0.2，由于 0.04＋0.08＋0.2＝0.320.5，估计这所学校的 800名男生的身高的中位数为 m，则 17015}是不可能事件， P(F)＝0.由于事件 E 和事件 F 是互斥事件，所以 P(E∪ F)＝ P(E)＋ P(F)＝ .715B 组 专项能力提升13(时间：25 分钟)11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A， B， C， D 的概率分别是 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是_______________________．① A＋ B 与 C 是互斥事件，也是对立事件；② B＋ C 与 D 是互斥事件，也是对立事件；③ A＋ C 与 B＋ D 是互斥事件，但不是对立事件；④ A 与 B＋ C＋ D 是互斥事件，也是对立事件．答案 ④解析 由于 A， B， C， D 彼此互斥，且 A＋ B＋ C＋ D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的 Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，④正确．12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析 记其中被污损的数字为 x，依题意得甲的 5 次综合测评的平均成绩是×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的 5 次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋ x＋9)＝ (442＋ x)，令 90 (442＋ x)，解得 x0， y0，则 x＋ y 的最4x 1y小值为________．答案 9解析 由题意可知 ＋ ＝1，则 x＋ y＝( x＋ y)( ＋ )＝5＋( ＋ )≥9，当且仅当 ＝ ，即4x 1y 4x 1y 4yx xy 4yx xyx＝2 y 时等号成立．14.如图， A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60选择 L1的人数 6 12 18 12 1214选择 L2的人数 0 4 16 16 4(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解 (1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，故用频率估计相应的概率为 0.44.(2)选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人，故由调查结果得频率为所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1(3)设 A1， A2分别表示甲选择 L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站； B1， B2分别表示乙选择L1和 L2时，在 50 分钟内赶到火车站．由(2)知 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵ P(A1)＞ P(A2)，∴甲应选择 L1；同理， P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵ P(B1)P(B2)，∴乙应选择 L2.15．(2015·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解 (1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为 P＝ ＝ .2630 131515(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)，这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 ，78以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 .781【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型 文1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的．3．如果 1 试验的等可能基本事件共有 n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 1n，如果某个事件 A 包含了其中 m 个等可能基本事件，那么事件 A 发生的概率为 P(A)＝ .mn4．古典概型的概率公式P(A)＝ .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽” ．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面” ，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × )(4)(教材改编)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .( √ )13(5)从 1,2,3,4,5 中任取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，且集合 A 中的元素个数为 n，所有的2基本事件构成集合 I，且集合 I 中元素个数为 m，则事件 A 的概率为 .( √ )nm1．从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是________．答案 13解析 基本事件的总数为 6，构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2，所以所求概率 P＝ ＝ .26 132．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．答案 35解析 取两个点的所有情况为 10 种，所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种，概率为＝ .610 353．(2015·课标全国Ⅰ改编)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为________．答案 110解析 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为 .1104．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．答案 56解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6×6＝36 种可能的结果，其中点数相同的结果共有6 个，所以点数不同的概率 P＝1－ ＝ .66×6 565．从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中，任取 2 个数字相加，其和为偶数的概率是________．答案 25解析 从 6 个数字中任取 2 个数字的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，3(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共 6 种，所以所求的概率是 .25题型一 基本事件与古典概型的判断例 1 袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 (1)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有 11 种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分别记为 A：“摸到白球” ，B：“摸到黑球” ， C：“摸到红球” ，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 ，而白球有 5 个，111故一次摸球摸到白球的可能性为 ，511同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 ，311显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．下列试验中，是古典概型的个数为__________________________________．①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点 C 重合；③从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于 2 的概率．答案 14解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型．②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型．③符合古典概型的特点，是古典概型问题．题型二 古典概型的求法例 2 (1)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为________________________________．答案 0.6解析 5 件产品中有 2 件次品，记为 a， b，有 3 件合格品，记为 c， d， e，从这 5 件产品中任取 2 件，结果有( a， b)，( a， c)，( a， d)，( a， e)，( b， c)，( b， d)，( b， e)，( c， d)，(c， e)，( d， e)共 10 种．恰有一件次品的结果有 6 种，则其概率为 P＝ ＝0.6.610(2)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________．答案 56解析 设取出的 2 只球颜色不同为事件 A.基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共 6 种，事件 A 包含 5 种．故 P(A)＝ .56(3)(2014·四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为a， b， c.①求“抽取的卡片上的数字满足 a＋ b＝ c”的概率；②求“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”的概率．解 ①由题意知，( a， b， c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种．设“抽取的卡片上的数字满足 a＋ b＝ c”为事件 A，则事件 A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种．所以 P(A)＝ ＝ .327 19因此， “抽取的卡片上的数字满足 a＋ b＝ c”的概率为 .195②设“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”为事件 B，则事件 包括(1,1,1)，(2,2,2)，B(3,3,3)，共 3 种．所以 P(B)＝1－ P( )＝1－ ＝ .B327 89因此， “抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”的概率为 .89引申探究1．本例(2)中，将 4 个球改为颜色相同，标号分别为 1,2,3,4 的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解 基本事件数仍为 6.设标号和为奇数为事件 A，则 A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共 4 种，所以 P(A)＝ ＝ .46 232．本例(2)中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．解 基本事件：(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共 16 种，其中颜色相同的有 6 种，故所求概率为 P＝ ＝ .616 38思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标 x，第二次向上的点数为纵坐标 y 的点( x， y)在圆x2＋ y2＝15 的外部或圆上的概率．解 由题意，先后抛掷 2 次，向上的点数( x， y)共有 n＝6×6＝36 种等可能结果，为古典概型．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B，则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为 .B∵事件 包含的基本事件数 m＝3×3＝9.B∴ P( )＝ ＝ ，则 P(B)＝1－ P( )＝ ，B936 14 B 34因此，两数中至少有一个奇数的概率为 .34(2)点( x， y)在圆 x2＋ y2＝15 的内部记为事件 C，则 表示“点( x， y)在圆 x2＋ y2＝15 上或C6圆的外部” ．又事件 C 包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8 种．∴ P(C)＝ ＝ ，836 29从而 P( )＝1－ P(C)＝1－ ＝ .C29 79∴点( x， y)在圆 x2＋ y2＝15 的外部或圆上的概率为 .79题型三 古典概型与统计的综合应用例 3 (2015·天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1， A2， A3， A4， A5， A6.现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到” ，求事件 A 发生的概率．解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3,1,2.(2)①从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为{ A1， A2}，{ A1， A3}，{A1， A4}，{ A1， A5}，{ A1， A6}，{ A2， A3}，{ A2， A4}，{ A2， A5}，{ A2， A6}，{ A3， A4}，{A3， A5}，{ A3， A6}，{ A4， A5}，{ A4， A6}，{ A5， A6}，共 15 种．②编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结果为{ A1， A5}，{ A1， A6}，{A2， A5}，{ A2， A6}，{ A3， A5}，{ A3， A6}，{ A4， A5}，{ A4， A6}，{ A5， A6}，共 9 种．因此，事件 A 发生的概率 P(A)＝ ＝ .915 35思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．(2014· 山东)海关对同时从 A， B， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.地区 A B C数量 50 150 100(1)求这 6 件样品中来自 A， B， C 各地区商品的数量；(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地7区的概率．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 ＝ ，650＋ 150＋ 100 150所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50× ＝1,150× ＝3,100× ＝2.150 150 150所以 A， B， C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2.(2)设 6 件来自 A， B， C 三个地区的样品分别为：A； B1， B2， B3； C1， C2.则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：{ A， B1}，{ A， B2}，{ A， B3}，{A， C1}，{ A， C2}，{ B1， B2}，{ B1， B3}，{ B1， C1}，{ B1， C2}，{ B2， B3}，{ B2， C1}，{ B2， C2}，{B3， C1}，{ B3， C2}，{ C1， C2}，共 15 个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件 D：“抽取的这 2 件商品来自相同地区” ，则事件 D 包含的基本事件有：{ B1， B2}，{B1， B3}，{ B2， B3}，{ C1， C2}，共 4 个．所以 P(D)＝ ，415即这 2 件商品来自相同地区的概率为 .415六审细节更完善典例 (14 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n90°的概率是__________．答案 512解析 ∵( m， n)·(－1,1)＝－ m＋ nn.基本事件总共有 6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，11(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共 1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴ P＝ ＝ .1536 5125．现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，－3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是________．答案 35解析 an＝(－3) n－1 ，∴ a2＝－3， a3＝9， a4＝－27，…，小于 8 的项共有 a1， a2， a4， a6， a8， a10，共 6 项．所以所求概率为 ＝ .610 356．(2014·浙江)在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖．甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是________．答案 13解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共 6 种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共 2 种，所以 P(A)＝ ＝ .26 137．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．答案 14解析 由于只有两种颜色，不妨将其设为 1 和 2，若只用一种颜色有 111；222.若用两种颜色有 122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有 8 种．又相邻颜色各不相同的有 2 种，故所求概率为 .148．连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于 m”为事件 A，则 P(A)最大时， m＝________.答案 7解析 1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,122＋5＝7,2＋6＝8……依次列出 m 的可能的值，知 7 出现次数最多．9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m， n，令平面向量 a＝( m， n)， b＝(1，－3)．(1)求使得事件“ a⊥ b”发生的概率；(2)求使得事件“| a|≤| b|”发生的概率．解 (1)由题意知， m∈{1,2,3,4,5,6}， n∈{1,2,3,4,5,6}，故( m， n)所有可能的取法共 36种．a⊥ b，即 m－3 n＝0，即 m＝3 n，共有 2 种：(3,1)，(6,2)，所以事件 a⊥ b 的概率为 ＝ .236 118(2)|a|≤| b|，即 m2＋ n2≤10，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6 种，其概率为 ＝ .636 1610．有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50(1)为了调查大众评委对 7 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从 B 组中抽取了 6 人．请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 6(2)在(1)中，若 A， B 两组被抽到的大众评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 3 6 9 9 3(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1， a2， a3，其中 a1， a2支持 1 号歌手；从 B 组抽到的 6 个评委为 b1， b2， b3， b4， b5， b6，其中 b1， b2支持 1 号歌手．从{ a1， a2， a3}和{b1， b2， b3， b4， b5， b6}中各抽取 1 人的所有结果为由以上树状图知所有结果共 18 种，其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1， a1b2， a2b1， a2b2共134 种，故所求概率 P＝ ＝ .418 29B 组 专项能力提升(时间：25 分钟)11．从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．答案 15解析 如图所示，从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点，可以看作随机选 2 个顶点，剩下的 4 个顶点构成四边形，有A、 B， A、 C， A、 D， A、 E， A、 F， B、 C， B、 D， B、 E， B、 F， C、 D， C、 E， C、 F， D、 E， D、 F， E、 F，共 15 种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有 A、 D， B、 E， C、 F，共 3种，故其概率为 ＝ .315 1512．已知集合 M＝{1,2,3,4}， N＝{( a， b)|a∈ M， b∈ M}， A 是集合 N 中任意一点， O 为坐标原点，则直线 OA 与 y＝ x2＋1 有交点的概率是________．答案 14解析 易知过点(0,0)与 y＝ x2＋1 相切的直线为 y＝2 x(斜率小于 0 的无需考虑)，集合 N 中共有 16 个元素，其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 4 个，故所求的概率为 ＝ .416 1413．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为 1，两个编号为 2，三个编号为 3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于 4 的概率是________．答案 518解析 基本事件数为 6×6＝36，编号之和为 4 的有：10 种，所求概率为 ＝ .1036 51814．甲、乙两人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．14(1)设( i， j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃 2，乙抽到红桃 3，记为(2,3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．解 (1)方片 4 用 4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共 12种不同的情况．(2)甲抽到 3，乙抽到的牌只能是 2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于 3 的概率为 .23(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共 5 种情况．甲胜的概率为 P1＝ ，乙胜的概率为 P2＝ .因为 ，所以此游戏不公平．512 712 51271215．(2014·福建)根据世行 2013 年新标准，人均 GDP 低于 1 035 美元为低收入国家；人均GDP 为 1 035～4 085 美元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为 4 085～12 616 美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12 616 美元为高收入国家．某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表：行政区 区人口占城市人口比例 区人均 GDP(单位：美元)A 25% 8 000B 30% 4 000C 15% 6 000D 10% 3 000E 20% 10 000(1)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．解 (1)设该城市人口总数为 a，则该城市人均 GDP 为 (8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 1a000×0.15a＋3 000×0.10 a＋10 000×0.20 a)＝6 400.因为 6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是：{ A， B}，{ A， C}，{ A， D}，{A， E}，{ B， C}，{ B， D}，{ B， E}，{ C， D}，{ C， E}，{ D， E}，共 10 个．设事件“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为 M，15则事件 M 包含的基本事件是：{ A， C}，{ A， E}，{ C， E}，共 3 个，所以所求概率为 P(M)＝.310