2017届高考数学一轮复习 第1-10章练习 文（打包55套）.zip

12-1 函数及其表示练习 文[A组·基础达标练]1．已知 f： x→－sin x是集合 A(A⊆[0,2π])到集合 B＝ 的一个映射，则集合 A{0，12}中的元素个数最多有( )A．4 个 B．5 个C．6 个 D．7 个答案 B解析 当－sin x＝0 时 sinx＝0， x可取 0，π，2π；当－sin x＝ 时，sin x＝－ ， x可取 ， ，12 12 7π6 11π6故集合 A中的元素最多有 5个，故选 B.2．如果函数 f(x)＝ln (－2 x＋ a)的定义域为(－∞，1)，则实数 a的值为( )A．－2 B．－1C．1 D．2答案 D解析 ∵－2 x＋ a0，∴ x3时，log 2(a＋1)＝3，得 a＝7.当 a≤3 时，2 a－3 ＋1＝3，得 a＝4(舍去)，所以 f(a－5)＝ f(7－5)＝ f(2)＝2 2－3 ＋1＝ .328．[2015·浙江高考]存在函数 f(x)满足：对于任意 x∈R 都有( )A． f(sin2x)＝sin x B． f(sin2x)＝ x2＋ xC． f(x2＋1)＝| x＋1| D． f(x2＋2 x)＝| x＋1|答案 D解析 对于 A，令 x＝0，得 f(0)＝0；令 x＝ ，得 f(0)＝1，这与函数的定义不符，π2故 A错．在 B中，令 x＝0，得 f(0)＝0；令 x＝ ，得 f(0)＝ ＋ ，与函数的定义不符，π2 π 24 π2故 B错．在 C中，令 x＝1，得 f(2)＝2；令 x＝－1，得 f(2)＝0，与函数的定义不符，故 C错．在 D中，变形为 f(|x＋1| 2－1)＝| x＋1|，令| x＋1| 2－1＝ t，得 t≥－1，| x＋1|＝，从而有 f(t)＝ ，显然这个函数关系在定义域 (－1，＋∞)上是成立的，选 D.t＋ 1 t＋ 19．[2013·福建高考]已知函数 f(x)＝Error!则 f ＝________.(f(π4))答案 －2解析 ∵ ∈ ，∴ f ＝－tan ＝－1，π4 [0， π2) (π4) π43∴ f ＝ f(－1)＝2×(－1) 3＝－2.(f(π4))10．设 f(x)是 R上的函数，且满足 f(0)＝1，并且对任意的实数 x， y都有 f(x－ y)＝ f(x)－ y(2x－ y＋1)，则 f(x)＝________.答案 x2＋ x＋1解析 由 f(0)＝1， f(x－ y)＝ f(x)－ y(2x－ y＋1)，令 y＝ x，得 f(0)＝ f(x)－ x(2x－ x＋1)，∴ f(x)＝ x2＋ x＋1.11．如图 1是某公共汽车线路收支差额 y元与乘客量 x的图象．(1)试说明图 1上点 A、点 B以及射线 AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图 2、3 所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图 1、图 2、图 3中的票价分别是多少元？解 (1)点 A表示无人乘车时收支差额为－20 元，点 B表示有 10人乘车时收支差额为0元，线段 AB上的点表示亏损， AB延长线上的点表示赢利．(2)图 2的建议是降低成本，票价不变，图 3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图 1、2 中的票价是 2元．图 3中的票价是 4元．12．已知 f(x)是二次函数，若 f(0)＝0，且 f(x＋1)＝ f(x)＋ x＋1.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 y＝ f(x2－2)的值域．解 (1)设 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)，由题意可知Error!整理得Error! 解Error!∴ f(x)＝ x2＋ x.12 12(2)由(1)知 y＝ f(x2－2)＝ (x2－2) 2＋ (x2－2)＝ (x4－3 x2＋2)＝ 2－ ，12 12 12 12(x2－ 32) 18当 x2＝ 时， y取最小值－ ，故函数值域为 .32 18 [－ 18， ＋ ∞ )[B组·能力提升练]41．[2015·湖北高考]已知符号函数 sgnx＝Error! f(x)是 R上的增函数， g(x)＝ f(x)－ f(ax)(a1)，则( )A．sgn[ g(x)]＝sgn xB．sgn[ g(x)]＝－sgn xC．sgn[ g(x)]＝sgn[ f(x)]D．sgn[ g(x)]＝－sgn[ f(x)]答案 B解析 ∵ f(x)是 R上的增函数， a1，∴当 x0时， xax，有 f(x)f(ax)，则 g(x)0.∴sgn[ g(x)]＝Error!∴sgn[ g(x)]＝－sgn x，故选 B.2．[2016·西安八校联考]设[ x]表示不超过实数 x的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设 g(x)＝ (a0且 a≠1)，那么函数 f(x)＝ ＋ 的值域axax＋ 1 [g x － 12] [g － x － 12]为( )A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1，－1} D．{－1,0}答案 D解析 ∵ g(x)＝ ，∴ g(－ x)＝ ，axax＋ 1 1ax＋ 1∴0 g(x)1,0g(－ x)1， g(x)＋ g(－ x)＝1.当 g(x)1时，0 g(－ x) ，∴ f(x)＝－1；12 12当 0g(x) 时， g(－ x)1，∴ f(x)＝－1；12 12当 g(x)＝ 时， g(－ x)＝ ，∴ f(x)＝0.12 12综上， f(x)的值域为{－1,0}，故选 D.3．[2015·浙江高考]已知函数f(x)＝Error! 则 f(f(－3))＝________， f(x)的最小值是________．答案 0 2 －32解析 ∵－31，∴ f(－3)＝lg [(－3) 2＋1]＝lg 10＝1，∴ f(f(－3))＝ f(1)＝1＋ －3＝0.21当 x≥1 时， f(x)＝ x＋ －3≥2 －3(当且仅当 x＝ 时，取“＝”)；当 x1时，2x 2 2x2＋1≥1，∴ f(x)＝lg ( x2＋1)≥0.又∵2 －30，2∴ f(x)min＝2 －3.254．如果对∀ x， y∈R 都有 f(x＋ y)＝ f(x)·f(y)，且 f(1)＝2.(1)求 f(2)， f(3)， f(4)的值；(2)求 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ 的值．f 2f 1 f 4f 3 f 6f 5 f 2010f 2009 f 2012f 2011 f 2014f 2013解 (1)∵∀ x， y∈R， f(x＋ y)＝ f(x)·f(y)，且 f(1)＝2 ，∴ f(2)＝ f(1＋1)＝ f(1)·f(1)＝2 2＝4，f(3)＝ f(1＋2)＝ f(1)·f(2)＝2 3＝8，f(4)＝ f(1＋3)＝ f(1)·f(3)＝2 4＝16.(2)由(1)知 ＝2， ＝2， ＝2，…， ＝2，f 2f 1 f 4f 3 f 6f 5 f 2014f 2013故原式＝2×1007＝2014.另解：(2)对∀ x、 y∈R 都有 f(x＋ y)＝ f(x)·f(y)且 f(1)＝2，令 x＝ n， y＝1，则f(n＋1)＝ f(n)·f(1)，即 ＝ f(1)＝2，故 ＝ ＝…＝ ＝2，f n＋ 1f n f 2f 1 f 4f 3 f 2014f 2013故原式＝2×1007＝2014.12-10 导数的概念及运算练习 文[A 组·基础达标练]1．[2015·赣州高三期末]已知 t 为实数， f(x)＝( x2－4)( x－ t)且 f′(－1)＝0，则 t等于( )A．0 B．－1C. D．212答案 C解析 依题意得， f′( x)＝2 x(x－ t)＋( x2－4)＝3 x2－2 tx－4，∴ f′(－1)＝3＋2 t－4＝0，即 t＝ .122．[2015·洛阳二练]曲线 f(x)＝ 在点(1， f(1))处切线的倾斜角为 ，则实数x2＋ ax＋ 1 3π4a＝( )A．1 B．－1C．7 D．－7答案 C解析 f′( x)＝ ＝ ，2x x＋ 1 －  x2＋ a x＋ 1 2 x2＋ 2x－ a x＋ 1 2又∵ f′(1)＝tan ＝－1，∴ a＝7.3π43．[2016·云南师大附中月考]曲线 y＝ ax在 x＝0 处的切线方程是 xln 2＋ y－1＝0，则a＝( )A. B．212C．ln 2 D．ln 12答案 A解析 由题知， y′＝ axln a， y′Error!＝ln a，切线斜率为－ln 2＝ln a，∴ a＝ ，12故选 A.4．[2016·辽宁五校联考]已知 f(x)＝ x3－2 x2＋ x＋6，则 f(x)在点 P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A．4 B．5C. D.254 132答案 C解析 ∵ f(x)＝ x3－2 x2＋ x＋6，∴ f′( x)＝3 x2－4 x＋1，∴ f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8( x＋1)，即 8x－ y＋10＝0，令 x＝0，得 y＝10，令 y＝0，得 x＝－ ，∴所求面积542S＝ × ×10＝ .12 54 2545．[2015·郑州二检]如图， y＝ f(x)是可导函数，直线 l： y＝ kx＋2 是曲线 y＝ f(x)在x＝3 处的切线，令 g(x)＝ xf(x)， g′( x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝( )A．－1 B．0C．2 D．4答案 B解析 由图可知曲线 y＝ f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－ ，即 f′(3)＝－ .又 g(x)13 13＝ xf(x)， g′( x)＝ f(x)＋ xf′( x)， g′(3)＝ f(3)＋3 f′(3)，由图可知 f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3× ＝0.(－13)6．[2015·平顶山模拟]点 P 是曲线 x2－ y－ln x＝0 上的任意一点，则点 P 到直线y＝ x－2 的最小距离为( )A．1 B.32C. D.52 2答案 D解析 将 x2－ y－ln x＝0 变形为 y＝ x2－ln x(x0)，则 y′＝2 x－ .令 y′＝1，则1xx＝1 或 x＝－ (舍)，可知函数 y＝ x2－ln x 的斜率为 1 的切线的切点横坐标为 x＝1，纵坐12标为 y＝1.故切线方程为 x－ y＝0.则点 P 到直线 y＝ x－2 的最小距离即切线 x－ y＝0 与y＝ x－2 的两平行线间的距离， d＝ ＝ .|0＋ 2|2 27．[2016·昆明一中调研]若曲线 f(x)＝ acosx 与曲线 g(x)＝ x2＋ bx＋1 在交点(0， m)处有公切线，则 a＋ b＝( )A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析 依题意得， f′( x)＝－ asinx， g′( x)＝2 x＋ b，于是有 f′(0)＝ g′(0)，即－ asin0＝2×0＋ b，故 b＝0，又有 m＝ f(0)＝ g(0)，则 m＝ a＝1，因此 a＋ b＝1，选 C.38．[2016·大同质检]已知 a 为常数，若曲线 y＝ ax2＋3 x－ln x 存在与直线x＋ y－1＝0 垂直的切线，则实数 a 的取值范围是( )A. B.[－12， ＋ ∞ ) (－ ∞ ， － 12]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]答案 A解析 由题意知曲线上存在某点的导数为 1，所以 y′＝2 ax＋3－ ＝1 有正根，即1x2ax2＋2 x－1＝0 有正根．当 a≥0 时，显然满足题意；当 a0(∀x0， x≠1)． g(x)满足 g(1)＝0，且 g′( x)＝1－ f′( x)＝ .x2－ 1＋ ln xx2当 01 时， x2－10，ln x0，所以 g′( x)0，故 g(x)单调递增．所以， g(x)g(1)＝0(∀ x0， x≠1)．所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．[B 组·能力提升练]1．[2015·洛阳期末]已知直线 m： x＋2 y－3＝0，函数 y＝3 x＋cos x 的图象与直线 l 相切于 P 点，若 l⊥ m，则 P 点的坐标可能是( )A. B.(－π 2， － 3π2) (π 2， 3π2)C. D.(3π2， π 2) (－ 3π2， － π 2)答案 B解析 因为直线 m 的斜率为－ ， l⊥ m，所以直线 l 的斜率为 2.因为函数 y＝3 x＋cos x12的图象与直线 l 相切于点 P，设 P(a， b)，则 b＝3 a＋cos a 且 y′Error!＝3－sin a＝2，所以sina＝1，解得 a＝ ＋2 kπ( k∈Z)，所以 b＝ ＋6 kπ( k∈Z)，所以 Pπ 2 3π2(k∈Z)，当 k＝0 时， P ，故选 B.(π 2＋ 2kπ ， 3π2＋ 6kπ ) (π 2， 3π2)2．[2016·新乡质检]过点 A(2,1)作曲线 f(x)＝ x3－3 x 的切线最多有( )A．3 条 B．2 条C．1 条 D．0 条答案 A解析 由题意得， f′( x)＝3 x2－3，设切点为( x0， x －3 x0)，那么切线的斜率为 k＝3 x30－3，利用点斜式方程可知切线方程为 y－( x －3 x0)＝(3 x －3)( x－ x0)，将点 A(2,1)代入20 30 205可得关于 x0的一元三次方程 2x －6 x ＋7＝0.令 y＝2 x －6 x ＋7，则 y′＝6 x －12 x0.由30 20 30 20 20y′＝0 得 x0＝0 或 x0＝2.当 x0＝0 时， y＝70； x0＝2 时， y＝－10.所以方程2x －6 x ＋7＝0 有 3 个解．故过点 A(2,1)作曲线 f(x)＝ x3－3 x 的切线最多有 3 条，故选 A.30 203．[2015·石家庄一模]对于曲线 f(x)＝－e x－ x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线 l1，总存在过曲线 g(x)＝ ax＋2cos x 上一点处的切线 l2，使得 l1⊥ l2，则实数 a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 函数 f(x)＝－e x－ x 的导数为 f′( x)＝－e x－1，设曲线 f(x)＝－e x－ x 上的切点为( x1， f(x1))，则 l1的斜率 k1＝－e x1－1.函数 g(x)＝ ax＋2cos x 的导数为 g′( x)＝ a－2sin x，设曲线 g(x)＝ ax＋2cos x 上的切点为( x2， g(x2))，则 l2的斜率 k2＝ a－2sin x2.由题设可知 k1·k2＝－1，从而有(－e x1－1)( a－2sin x2)＝－1，∴ a－2sin x2＝ ，对1ex1＋ 1∀x1，∃ x2使得等式成立，则有 y1＝ 的值域是 y2＝ a－2sin x2值域的子集，即(0,1)1ex1＋ 1⊆[a－2 ， a＋2]， Error!，∴－1≤ a≤2.4．[2016·唐山一中月考]已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，且 f′(－1)＝0.(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是曲线 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得 f′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，∵ f′(－1)＝0，∴3 a－6－6 a＝0，∴ a＝－2.(2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y＝ g(x)的切线，则设切点为( x0,3x ＋6 x0＋12)．20∵ g′( x0)＝6 x0＋6，∴切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)＝(6 x0＋6)( x－ x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由(1)知 f(x)＝－2 x3＋3 x2＋12 x－11，①由 f′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.在 x＝－1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9.②由 f′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.在 x＝0 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－11；在 x＝1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－10，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线不是 y＝12 x＋9.6综上所述， y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.12-11 导数在研究函数中的应用练习 文[A 组·基础达标练]1．[2013·大纲全国卷]已知曲线 y＝ x4＋ ax2＋1 在点(－1， a＋2)处切线的斜率为 8，则 a＝( )A．9 B．6C．－9 D．－6答案 D解析 由题意知 y′Error!＝(4 x3＋2 ax)Error!＝－4－2 a＝8，则 a＝－6，故选 D.2．[2015·郑州一检]已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－3)＝ f(5)＝1， f′( x)为f(x)的导函数，且导函数 y＝ f′( x)的图象如图所示．则不等式 f(x)0 时， f′( x)0， f(x)是增函数；当 x0， f(x2)－122B． f(x1)0， f(x2)－12答案 D解析 f′( x)＝ln x－2 ax＋1，依题意知 f′( x)＝0 有两个不等实根 x1， x2.即曲线 y1＝1＋ln x 与 y2＝2 ax 有两个不同交点，如图．由直线 y＝ x 是曲线 y＝1＋ln x 的切线，可知：00，当 xx2时， f′( x)f(1)＝－ a－ ，故选 D.125．[2015·沈阳一模]若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋ f′( x)1， f(0)＝4，则不等式 f(x) ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为( )3exA．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)答案 A解析 由 f(x) ＋1 得，e xf(x)3＋e x，构造函数 F(x)＝e xf(x)－e x－3，对 F(x)求导3ex得 F′( x)＝e xf(x)＋e xf′( x)－e x＝e x[f(x)＋ f′( x)－1]．由 f(x)＋ f′( x)1，e x0，可知 F′( x)0，即 F(x)在 R 上单调递增，又因为 F(0)＝e 0f(0)－e 0－3＝ f(0)－4＝0，所以F(x)0 的解集为(0，＋∞)，所以选 A.6．[2013·浙江高考]已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)＝(e x－1)( x－1) k(k＝1,2)，则( )A．当 k＝1 时， f(x)在 x＝1 处取到极小值B．当 k＝1 时， f(x)在 x＝1 处取到极大值3C．当 k＝2 时， f(x)在 x＝1 处取到极小值D．当 k＝2 时， f(x)在 x＝1 处取到极大值答案 C解析 当 k＝1 时， f(x)＝(e x－1)( x－1)， f′( x)＝ xex－1， f′(1)≠0，故 A，B 错；当 k＝2 时， f(x)＝(e x－1)( x－1) 2， f′( x)＝( x2－1)e x－2 x＋2＝( x－1)[( x＋1)e x－2]，故 f′( x)＝0 有一根为 x1＝1，另一根 x2∈(0,1)．当 x∈( x2,1)时， f′( x)0， f(x)递增，∴ f(x)在 x＝1 处取得极小值，故选 C.7．[2016·东北八校月考]已知函数 y＝ f(x)＝ x3＋3 ax2＋3 bx＋ c 在 x＝2 处有极值，其图象在 x＝1 处的切线平行于直线 6x＋2 y＋5＝0，则 f(x)的极大值与极小值之差为________．答案 4解析 ∵ f′( x)＝3 x2＋6 ax＋3 b，∴Error!⇒Error!∴ f′( x)＝3 x2－6 x，令 3x2－6 x＝0，得 x＝0 或 x＝2，∴ f(x)极大值 － f(x)极小值 ＝ f(0)－ f(2)＝4.8．已知函数 f(x)＝－ x2＋4 x－3ln x 在[ t， t＋1]上不单调，则 t 的取值范围是12________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知 f′( x)＝－ x＋4－ ＝3x － x2＋ 4x－ 3x＝－ ， x－ 1  x－ 3x由 f′( x)＝0 得函数 f(x)的两个极值点为 1,3，则只要这两个极值点有一个在区间( t， t＋1)内，函数 f(x)在区间[ t， t＋1]上就不单调， 由 t0，∴4 x2＋3 x＋10， x(1＋2 x)20.∴当 x0 时， f′( x)0.∴ f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵ f(x)＝ln x－ ，∴ f(1)＝ln 1－ ＝－ .x1＋ 2x 11＋ 2×1 13由 f[x(3x－2)]0，得 x ，1e∴ f(x)的单调递增区间为 .(1e， ＋ ∞ )又当 x∈ 时， f′( x)0，则 f(x)在 上单调递增，(1e， ＋ ∞ ) (1e， ＋ ∞ )∴ f(x)的最小值为 f ＝－ .(1e) 1e(2)∵ f′( x)＝ln x＋1， g′( x)＝3 ax2－ ，12设公切点的横坐标为 x0，则与 f(x)的图象相切的直线方程为： y＝(ln x0＋1) x－ x0，与 g(x)的图象相切的直线方程为： y＝ x－2 ax － ，(3ax20－12) 30 23e∴Error!解之得 x0ln x0＝－ ，由(1)知 x0＝ ，1e 1e5∴ a＝ .e2612．[2016·云南检测]已知 f(x)＝e x(x3＋ mx2－2 x＋2)．(1)假设 m＝－2，求 f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数 m，使 f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当 m＝－2 时，f(x)＝e x(x3－2 x2－2 x＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则 f′( x)＝e x(x3－2 x2－2 x＋2)＋e x(3x2－4 x－2)＝ xex(x2＋ x－6)＝( x＋3) x(x－2)e x，∴当 x∈(－∞，－3)或 x∈(0,2)时， f′( x)0；f′(－3)＝ f′(0)＝ f′(2)＝0，∴ f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增；在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当 x＝－3 或 x＝2 时， f(x)取得极小值；当 x＝0 时， f(x)取得极大值，∴ f(x)极小值 ＝ f(－3)＝－37e －3 ，f(x)极小值 ＝ f(2)＝－2e 2，f(x)极大值 ＝ f(0)＝2.(2)f′( x)＝e x(x3＋ mx2－2 x＋2)＋e x(3x2＋2 mx－2)＝ xex[x2＋( m＋3) x＋2 m－2]．∵ f(x)在[－2，－1]上单调递增，∴当 x∈[－2，－1]时， f′( x)≥0.又∵当 x∈[－2，－1]时， xex0，且 x≠1， f(x)≥2D．∃ x00， f(x)在( x0，＋∞)内是增函数答案 D解析 由已知得， f′( x)＝ · (x0 且 x≠1)，令 f′( x)＝0，得 ln x＝±1，1x ln2x－ 1ln2x得 x＝e 或 x＝ .当 x∈ 时， f′( x)0；当 x∈ ， x∈(1，e)时， f′( x)0.故 x＝ 和 x＝e 分别是函数 f(x)的极大值点和极小值点，但是1e由函数的定义域可知 x≠1，故函数 f(x)在 x∈ 内不是单调的，所以 A，B 错；当(1e， e)00；②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1， x2，都有 n0；③对于任意的 a，存在不相等的实数 x1， x2，使得 m＝ n；④对于任意的 a，存在不相等的实数 x1， x2，使得 m＝－ n.其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 ① f(x)＝2 x是增函数，∴对任意不相等的实数 x1， x2，都有 f x1 － f x2x1－ x20，即 m0，∴①成立．7②由 g(x)＝ x2＋ ax 图象可知，当 x∈ 时， g(x)是减函数，∴当不相等的实(－ ∞ ， －a2)数 x1、 x2∈ 时， 2x＋ a，此时 h(x)在 R 上是增函数．若 h(x1)＝ h(x2)，则 x1＝ x2，∴③不成立．④若 m＝－ n，则有 ＝－ ，f x1 － f x2x1－ x2 g x1 － g x2x1－ x2f(x1)＋ g(x1)＝ f(x2)＋ g(x2)，令 φ (x)＝ f(x)＋ g(x)，则 φ (x)＝2 x＋ x2＋ ax，φ ′( x)＝2 xln 2＋2 x＋ a.令 φ ′( x)＝0，得 2xln 2＋2 x＋ a＝0，即 2xln 2＝－2 x－ a.由 y1＝2 xln 2 与 y2＝－2 x－ a 的图象可知，对任意的 a，存在 x0，使 xx0时y1y2， xx0时， φ ′( x)0， x0 时， x2ln 2 时， f′( x)0， f(x)单调递增．所以当 x＝ln 2 时， f(x)有极小值，且极小值为 f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．(2)证明：令 g(x)＝e x－ x2，则 g′( x)＝e x－2 x.由(1)得， g′( x)＝ f(x)≥ f(ln 2)＝2－ln 40，即 g′( x)0.所以 g(x)在 R 上单调递增，又 g(0)＝10，所以当 x0 时， g(x)g(0)0，即 x20 时， x2x0时，e xx2 x，即 x0)，要使不等式 xkx 成立．1c而要使 exkx 成立，则只需要 xln (kx)，即 xln x＋ln k 成立．①若 00 时， xln x≥ln x＋ln k 成立．即对任意 c∈[1，＋∞)，取 x0＝0，当 x∈( x0，＋∞)时，恒有 x1，令 h(x)＝ x－ln x－ln k，则 h′( x)＝1－ ＝ ，1x x－ 1x所以当 x1 时， h′( x)0， h(x)在(1，＋∞)内单调递增．取 x0＝4 k， h(x0)＝4 k－ln (4 k)－ln k＝2( k－ln k)＋2( k－ln 2)，易知 kln k， kln 2，所以 h(x0)0.因此对任意 c∈(0,1)，取 x0＝ ，当 x∈( x0，＋∞)时，恒有 xcex.4c综上，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x∈( x0，＋∞)时，恒有 xcex.12-2 函数的单调性与最值练习 文[A 组·基础达标练]1．[2015·泸州三模]下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( )A． f(x)＝ln x B． f(x)＝( x－1) 2C． f(x)＝ x3 D． f(x)＝1x＋ 1答案 D解析 对于 A， y＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，故 A 不满足；对于 B，函数在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数，故 B 不满足；对于 C，函数在 R 上是增函数，故 C 不满足；对于 D，函数在(－1，＋∞)，(－∞，－1)上均为减函数，则在(0，＋∞)上是减函数，故 D 满足．2．[2015·长春二模]已知函数 f(x)＝| x＋ a|在(－∞，－1)上是单调函数，则 a 的取值范围是( )A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)答案 A解析 因为函数 f(x)在(－∞，－ a)上是单调函数，所以－ a≥－1，解得 a≤1.故选 A.3．[2013·安徽高考]“ a≤0”是“函数 f(x)＝|( ax－1) x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析 充分性：当 a0，则 f(x)＝|( ax－1) x|＝－ ax2＋ x 为开口向上的二次函数，且对称轴为 x＝ 0.∴ f(x)在(0,1)上是增函数，∴ f(0)0，则一定正确的是( )A． f(4)f(－6) B． f(－4) f(－6) D． f(4)0 知 f(x)在(0，＋∞)上递增，所以 f(4) f(－ 6)．8．已知函数 f(x)＝Error!若 f(2－ a2)f(a)，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 f(x)＝Error!由 f(x)的图象可知 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由 f(2－ a2)f(a)得2－ a2a，即 a2＋ a－22 时， h(x)＝3－ x 是减函数，则 h(x)在 x＝2 时，取得最大值 h(2)＝1.11．已知 f(x)＝ (x≠ a)．xx－ a(1)若 a＝－2，试证： f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围．解 (1)证明：任设 x10， x1－ x20， x2－ x10，所以要使 f(x1)－ f(x2)0，只需( x1－ a)(x2－ a)0 恒成立，所以 a≤1.综上所述知 a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，且满足 f(xy)＝ f(x)＋ f(y)， f ＝1，如果(12)对于 0f(y)．(1)求 f(1)的值；(2)解不等式 f(－ x)＋ f(3－ x)≥－2.解 (1)令 x＝ y＝1，则 f(1)＝ f(1)＋ f(1)， f(1)＝0.4(2)解法一：由题意知 f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且Error!∴ x0，即Error!，所以Error!，即－ 0 得 x1，由 f′( x)0 成立．f a ＋ f ba＋ b(1)判断 f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式 f 0， x1－ x20，f x1 ＋ f － x2x1＋  － x2∴ f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，∴ f(x)在[－1,1]上单调递增．(2)∵ f(x)在[－1,1]上单调递增，∴Error! 解得－ ≤ x－1.32∴不等式的解集为Error!.(3)∵ f(1)＝1， f(x)在[－1,1]上单调递增，∴在[－1,1]上， f(x)≤1.问题转化为 m2－2 am＋1≥1，即 m2－2 am≥0，对 a∈[－1,1]成立．下面来求 m 的取值范围．设 g(a)＝－2 m·a＋ m2≥0.①若 m＝0，则 g(a)＝0≥0，对 a∈[－1,1]恒成立．②若 m≠0，则 g(a)为关于 a 的一次函数，若 g(a)≥0，对 a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且 g(1)≥0，∴ m≤－2 或 m≥2.∴ m 的取值范围是 m＝0 或 m≥2 或 m≤－2.12-3 函数的奇偶性与周期性练习 文[A 组·基础达标练]1．[2016·大连双基]已知函数 f(x)为奇函数，且当 x ，所以 lg 2lg lg ，5412 54 12所以 cf(2a)，则实数a 的取值范围是________．答案 (－3,1)解析 由题意可得 f(x)＝ x2＋2 x(x≥0)在[0，＋∞)上为增函数，又 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)在 R 上为增函数．由 f(3－ a2)f(2a)得 3－ a22a，即 a2＋2 a－31)恰有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是( )A．(1,2) B．(2，＋∞)C．(1， ) D．( ，2)34 34答案 D解析 ∵ f(x)是定义在 R 上的偶函数，∴ f(x)的图象关于 y 轴对称．∵对∀ x∈R，都有 f(x－2)＝ f(x＋2)，∴ f(x)是周期函数，且周期为 4.∵当 x∈[－2,0]时， f(x)＝ x－1，(12)∴ f(x)在区间(－2,6]内的图象如图所示．∴在区间(－2,6]内关于 x 的方程 f(x)－log a(x＋2)＝0( a1)恰有 3 个不同的实数根可转化为函数 f(x)的图象与 y＝log a(x＋2)的图象有且只有三个不同的交点，则Error!解得 a∈( ，2)．343．已知定义在 R 上的函数 y＝ f(x)满足以下三个条件：①对于任意的 x∈R，都有f(x＋1)＝ ；②函数 y＝ f(x＋1)的图象关于 y 轴对称；③对于任意的 x1， x2∈[0,1]，1f x且 x1f(x2)．则 f ， f(2)， f(3)从小到大排列是________．(32)答案 f(3)3 对任意x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围．解 (1)若 f(x)在 R 上为奇函数，则 f(0)＝0，令 a＝ b＝0，则 f(0＋0)＝ f(0)＋ f(0)＋ k，所以 k＝0.证明：由 f(a＋ b)＝ f(a)＋ f(b)，令 a＝ x， b＝－ x，则 f(x－ x)＝ f(x)＋ f(－ x)，又 f(0)＝0，则有 0＝ f(x)＋ f(－ x)，即 f(－ x)＝－ f(x)对任意 x∈R 成立，所以 f(x)是奇函数．(2)因为 f(4)＝ f(2)＋ f(2)－1＝5，所以 f(2)＝3.所以 f(mx2－2 mx＋3)3＝ f(2)对任意 x∈R 恒成立．又 f(x)是 R 上的增函数，所以 mx2－2 mx＋32 对任意 x∈R 恒成立，即 mx2－2 mx＋10 对任意 x∈R 恒成立，当 m＝0 时，显然成立；当 m≠0 时，由Error!得 0m1.所以实数 m 的取值范围是[0,1)．12-4 幂函数与二次函数练习 文[A 组·基础达标练]1．[2016·泰安阶段检测]若幂函数 y＝( m2－3 m＋3)· xm2－ m－2 的图象不过原点，则 m 的取值是( )A．－1≤ m≤2 B． m＝1 或 m＝2C． m＝2 D． m＝1答案 B解析 由幂函数性质可知 m2－3 m＋3＝1，∴ m＝2 或 m＝1.又幂函数图象不过原点，∴ m2－ m－2≤0，即－1≤ m≤2，∴ m＝2 或 m＝1.2．[2016·芜湖质检]已知函数 f(x)＝ x2＋ x＋ c.若 f(0)0， f(p)0 B． f(p＋1)0， f(p)120，∴ f(p＋1)0.3．[2015·沧州质检]如果函数 f(x)＝ x2＋ bx＋ c 对任意的 x 都有 f(x＋1)＝ f(－ x)，那么( )A． f(－2)cba B． abcdC． dcab D． abdc答案 B解析 幂函数 a＝2， b＝ ， c＝－ ， d＝－1 的图象，正好和题目所给的形式相符合，12 13在第一象限内， x＝1 的右侧部分的图象，由下至上幂指数增大，所以 abcd.故选 B.7．[2015·郑州二检]已知函数 f(x)＝Error!，函数 g(x)＝ f(x)－2 x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )A．[－1,1) B．[0,2]3C．[－2,2) D．[－1,2)答案 D解析 由题意知 g(x)＝Error!.因为 g(x)有三个不同的零点，所以 2－ x＝0 在 xa 时有一个解，由 x＝2 得 a0)没有零点，则的取值范围是( )a＋ cbA．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案 D解析 ∵函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a， b， c0)没有零点，∴ b2－4 ac0，∴( a＋ c)2＝ a2＋ c2＋2 ac≥4 ac，∴( a＋ c)2b2，又 a， b， c0，∴ a＋ cb0，∴ 1，∴ 的取值范围是(1，＋∞)，故选 D.a＋ cb a＋ cb9．[2015·陕西一检]若 x1 时， xa－1 1， xa－1 2f(a－1)的实数 a 的取值范围．解 (1)∵ m2＋ m＝ m(m＋1)( m∈N *)，而 m 与 m＋1 中必有一个为偶数，∴ m2＋ m 为偶数，∴函数 f(x)＝ x(m2＋ m)－1 (m∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数 f(x)的图象经过点(2， )，2∴ ＝2 (m2＋ m) -1，即 2 ＝2 (m2＋ m) -1，2 ∴ m2＋ m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2.又∵ m∈N *，∴ m＝1， f(x)＝ x . 又∵ f(2－ a)f(a－1)，∴Error! 解得 1≤ af(a－1)的实数 a 的取值范围为 .[1，32)[B 组·能力提升练]1．设函数 f(x)＝ xα ＋1( α ∈Q)的定义域为[－ b，－ a]∪[ a， b]，其中 00，即对于任意实数 b， b2－4 ab＋8 a0，所以 Δ b＝(－4 a)2－4×8 a0，解得 0a2.(3)设 A(x1， x1)， B(x2， x2)，由题意知函数 f(x)的两个不同的不动点为 x1， x2，则x1， x2是 ax2＋ bx＋ b－2＝0 的两个不等实根，所以 x1＋ x2＝－ ，线段 AB 的中点坐标为ba.(－b2a， － b2a)因为直线 y＝ kx＋ 是线段 AB 的垂直平分线，直线 AB 的斜率为 1，所以 k＝－1，1a2＋ 1且 在直线 y＝ kx＋ 上，(－b2a， － b2a) 1a2＋ 1则－ ＝ ＋ ，又 a∈(0,2)，b2a b2a 1a2＋ 1所以 b＝－ ＝－ ≥－ ＝－ ，当且仅当 a＝1 时等号成立．aa2＋ 1 1a＋ 1a 12a·1a 12又由 b＝－ ， a∈(0,2)知 b0，所以实数 b 的取值范围是 .aa2＋ 1 [－ 12， 0)