（江苏专用）2017版高考数学 专题3 导数及其应用习题 文（打包7套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 3 导数及其应用 17 导数的概念及运算 文训练目标 (1)导数的概念；(2)导数的运算.训练题型 (1)导数的四则运算；(2)曲线的切线问题.解题策略(1)求导数技巧：乘积可展开化为多项式，根式化为分数指数幂，绝对值化为分段函数；(2)求切线方程首先要确定切点坐标.1．设函数 f(x)＝ ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a＝________.2．(2015·河北衡水中学高二调考)设 f(x)为可导函数，且 ＝5，limhf 3 － f 3＋ h2h则 f′(3)＝________.3．(2015·内蒙古巴彦淖尔第一中学月考)曲线 y＝4 x－ x3在点(－1，－3)处的切线方程是________．4．在曲线 y＝ x2上切线倾斜角为 的点是________．π 45．设曲线 y＝ 在点( ，1)处的切线与直线 x－ ay＋1＝0 平行，则实数1＋ cos xsin x π 2a＝________.6．曲线 y＝ x－cos x 在点( ， )处的切线方程为________________．π 2 π 27．已知曲线 y＝ －3ln x 的一条切线的斜率为－ ，则切点的横坐标为________．x24 128．设 f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线 y＝ f(x)在点limxf 1 － f 1－ xx(1， f(1))处的切线的斜率是________．9．设函数 f(x)＝ ax＋ (a， b∈Z)，曲线 y＝ f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为 y＝3.1x＋ b则函数 f(x)的解析式为____________．10．已知函数 f(x)＝ln x－ f′(－1) x2＋3 x－4，则 f′(1)＝________.11．已知 M 是曲线 y＝ln x＋ x2＋(1－ a)x 上的一点，若曲线在 M 处的切线的倾斜角是均不12小于 的锐角，则实数 a 的取值范围是__________．π 412．已知 f1(x)＝sin x＋cos x，记 f2(x)＝ f1′( x)， f3(x)＝ f2′( x)，…， fn(x)＝ fn－1 ′( x)(n∈N *， n≥2)，则 f1( )＋ f2( )＋…＋ f2 017( )＝________.π 2 π 2 π 2213．已知曲线 y＝ x3上一点 P(2， )，则过点 P 的切线方程为13 83__________________________．14．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C： y＝ x3－10 x＋3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为__________．答案解析1．1 2.－10 3.y＝ x－2 4.( ， ) 12 145.－1 6.2x－ y－ ＝0 π 27.2 8.－1 9.f(x)＝ x＋ 1x－ 110.8 11.(－∞，1)12．1解析 f2(x)＝ f1′( x)＝cos x－sin x， f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x， f5(x)＝sin x＋cos x，以此类推，可得出 fn(x)＝ fn＋4 (x)，又∵ f1(x)＋ f2(x)＋ f3(x)＋ f4(x)＝0，∴ f1( )＋ f2( )＋…＋ f2 017( )＝504[ f1( )＋ f2( )＋ f3( )＋ f4( ) ]＋ f1( )＝ f1(π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2)＝1.π 213．12 x－3 y－16＝0 或 3x－3 y＋2＝0解析 设切点为( x0， x )．由 y′＝ x2，得 k＝ x2|x＝ x0＝ x .即切线斜率为 x .1330 20 20∴切线方程为 y－ x ＝ x (x－ x0)．1330 20又∵切线过点 P(2， )，833∴ － x ＝ x (2－ x0)，即 x －3 x ＋4＝0，83 1330 20 30 20∴ x0＝2 或 x0＝－1.∴切线过点 P(2， )，切线斜率为 4 或 1.83∴切线方程为 y－ ＝4( x－2)或 y－ ＝ x－2，即 12x－3 y－16＝0 或 3x－3 y＋2＝0.83 8314．(－2,15)1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 3 导数及其应用 18 用倒数研究函数的单调性 文训练目标 (1)函数的单调性与导数的关系；(2)函数单调性的应用.训练题型(1)求函数单调区间；(2)利用函数单调性求参数值；(3)利用函数单调性比较函数值大小.解题策略(1)函数的单调性可通过解不等式 f′( x)0 或 f′( x)0)的单调递减区间是(0,4)，则 m＝________.4．函数 f(x)＝ x2－ln x 的单调递减区间是________．125．(2015·广东江门普通高中调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝ xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间是________________．6．已知函数 f(x)＝ x2＋3 x－2ln x，则函数 f(x)的单调递减区间为__________．7．已知函数 f(x)＝ x2－2 ax－ aln x 在(1,2)上单调递减，则 a 的取值范围是________．128．设函数 y＝ f(x)， x∈R 的导函数为 f′( x)，且 f(x)＝ f(－ x)， f′( x)0，则对任意实数 a， b，下列结论成立的是________．① ab⇔eaf(b)ebf(a)；② ab⇔eaf(b)b⇔eaf(a)b⇔eaf(a)ebf(b)．10．已知函数 f(x)＝ － － ax(a∈R)．ex2 1ex(1)当 a＝ 时，求函数 f(x)的单调区间；322(2)若函数 f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数 a 的取值范围．答案解析1．(－1,1) 2.① 3. 4.(0,1]135．(－π，－ ]和[0， ] 6.π 2 π 2 (0， 12)7．[ ，＋∞) 8. f(3)0，得 xln 2；令 f′( x)0，函数 h(t)为单调递增函数．2故 h(t)在[ ，e]上的极小值点为 t＝ ，且 h( )＝ .，1e 2 2 2又 h(e)＝ ＋ h( )＝ ＋e，∴ ≤ h(t)≤e＋ .e2 1e 1e 12e 2 12e∵函数 f(x)在[－1,1]上为单调函数，①若函数在[－1,1]上单调递增，则 a≤ ＋ 对 t∈[ ，e]恒成立，所以 a≤ ；t2 1t 1e 2②若函数 f(x)在[－1,1]上单调递减，则 a≥ ＋ 对 t∈[ ，e]恒成立，所以 a≥e＋ ，t2 1t 1e 12e综上可得 a 的取值范围是(－∞， ]∪[e＋ ，＋∞)．212e1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 3 导数及其应用 19 函数的极值与最值 文训练目标 (1)函数极值、最值的概念、求法；(2)函数极值、最值的应用.训练题型 (1)求函数的极值；(2)求函数的最值；(3)恒成立的问题；(4)零点问题.解题策略(1)f′( x)＝0 是函数 f(x)存在极值点的必要条件， f(x)的极值可用列表法求解；(2)利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；(3)零点问题可借助于函数的图象解决.1． “可导函数 y＝ f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝ f(x)在这点取得极值”的________条件．2．函数 y＝ 的最大值为________．ln xx3．设三次函数 f(x)的导函数为 f′( x)，函数 y＝ x·f′( x)的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是________．① f(x)的极大值为 f( )，极小值为 f(－ )；3 3② f(x)的极大值为 f(－ )，极小值为 f( )；3 3③ f(x)的极大值为 f(－3)，极小值为 f(3)；④ f(x)的极大值为 f(3)，极小值为 f(－3)．4．已知直线 y＝ a 与函数 y＝ x3－3 x 的图象有三个相异的交点，则 a 的取值范围是________．5．设函数 g(x)＝ x(x2－1)，则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．6．(2015·宜昌模拟)已知 y＝ f(x)是奇函数，当 x∈(0,2)时， f(x)＝ln x－ ax(a )，当12x∈(－2,0)时， f(x)的最小值为 1，则 a＝________.7．已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx－ a2－7 a 在 x＝1 处取得极大值 10，则 ＝________.ab8．(2015·河北保定第一中学模拟)已知 f(x)＝ ax3， g(x)＝9 x2＋3 x－1，当 x∈[1,2]时，f(x)≥ g(x)恒成立，则 a 的取值范围为________．9．(2015·唐山一模)直线 y＝ a 分别与曲线 y＝2( x＋1)， y＝ x＋ln x 交于点 A， B，则 AB的最小值为________．10．设 a∈R，若函数 y＝e x＋ ax 有大于零的极值点，则 a 的取值范围是________．211．已知| a|＝2| b|≠0，且关于 x 的函数 f(x)＝ x3＋ |a|x2＋ a·bx 在 R 上有极值，则 a13 12与 b 的夹角范围为________．12．已知函数 f(x)＝ ax3－3 x＋1 对 x∈(0,1]总有 f(x)≥0 成立，则实数 a 的取值范围是__________．13．已知 g(x)＝ λx ＋sin x 是区间[－1,1]上的减函数，且 g(x)≤ t2＋ λt ＋1 在x∈[－1,1]上恒成立，则实数 t 的取值范围是__________．14．定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：对任意 x∈ D，存在常数 M0，都有| f(x)|≤ M 成立，则称 f(x)是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x)的上界，已知函数 f(x)＝1＋ a ( )x＋(A12)x，若函数 f(x)在[0，＋∞)上是以 3 为上界的有界函数，则实数 a 的取值范围是14______．3答案解析1．必要不充分 2. 3.④1e4．－20.12 34∴ h(t)在[ ，1]上是增函数．12∴ a≥ h(1)＝11.9.324解析 令 2(x＋1)＝ a，解得 x＝ －1.设方程 x＋ln x＝ a 的根为 t(x≥0， t0)，a2即 t＋ln t＝ a，则 AB＝| t－ ＋1|＝| t－ ＋1|＝| － ＋1|.a2 t＋ ln t2 t2 ln t2设 g(t)＝ － ＋1( t0)，则 g′( t)＝ － ＝ ，令 g′( t)＝0，得 t＝1，t2 ln t2 12 12t t－ 12t当 t∈(0,1)时， g′( t)0，所以 g(t)min＝ g(1)＝ ，所以 AB≥ ，所以 AB 的最小值为 .32 32 3210． a ，1t2 12故 t≥1 时， h′( t)0，所以 h(t)在[1，＋∞)上单调递减，又 p(t)在[1，＋∞)上单调递增，故 h(t)在[1，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－5， p(t)在[1，＋∞)上的最小值为 p(1)＝1，所以实数 a 的取值范围为[－5,1]．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 3 导数及其应用 20 与导数有关的创新题 文训练目标 (1)导数概念应用的深化；(2)创新能力、转化思想的养成.训练题型 (1)和导数有关的新定义问题；(2)灵活利用导数解决实际问题.解题策略(1)将题中信息转化成数学语言，和导数知识相结合；(2)和导数 f′( x)有关的不等式，可构造函数，考察函数的单调性.1．函数 f(x)的定义域为 R， f(－1)＝2，对任意 x∈R， f′( x)2，则 f(x)2x＋4 的解集为________．2.已知函数 f(x)的定义域为( a， b)，导函数 f′( x)在( a， b)上的图象如图所示，则函数 f(x)在( a， b)上的极大值点的个数为________．3．若曲线 f(x)＝ acos x 与曲线 g(x)＝ x2＋ bx＋1 在交点(0， m)处有公切线，则a＋ b＝________.4．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f′( x)，当 x∈(－∞，0]时，恒有xf′( x)F(2x－1)的实数 x 的取值范围是________．① f( )2f( )；② f( )f( )；④ f(1)1)的图象不经过第四象限，则函数 g(x)＝ f(x)＋ k 的值域为________．7．如图，在半径为 10 的半圆形( O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中 A， B 在3直径上， C， D 在圆周上，将所截得的矩形铁皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为 V，设 AD＝ x，则 Vmax＝________.28．(2015·湖北省八校高三第一次联考)设定义在 D 上的函数 y＝ h(x)在点 P(x0， h(x0))处的切线方程为 l： y＝ g(x)，当 x≠ x0时，若 0 在 D 内恒成立，则称 P 为函h x － g xx－ x0数 y＝ h(x)的“类对称点” ，则 f(x)＝ x2－6 x＋4ln x 的“类对称点”的横坐标是________．9．(2015·四川)已知函数 f(x)＝2 x， g(x)＝ x2＋ ax(其中 a∈R)．对于不相等的实数x1， x2，设 m＝ ， n＝ ，f x1 － f x2x1－ x2 g x1 － g x2x1－ x2现有如下命题：①对于任意不相等的实数 x1， x2，都有 m＞0；②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1， x2，都有 n＞0；③对于任意的 a，存在不相等的实数 x1， x2，使得 m＝ n；④对于任意的 a，存在不相等的实数 x1， x2，使得 m＝－ n.其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．10．若 x0是函数 y＝ f(x)的极值点，同时也是其导函数 y＝ f′( x)的极值点，则称 x0是函数y＝ f(x)的“致点” ．(1)已知 a0，求函数 f(x)＝( x2＋ ax＋1)e x的极值和单调区间；(2)函数 f(x)＝( x2＋ ax＋1)e x是否有“致点”？若有，求出“致点” ；若没有，试说明理由．3答案解析1．(－1，＋∞) 2.2 3.1 4.② 5.162276．[e，＋∞)7.2 000π解析 设圆柱形罐子的底面半径为 r，则由题意得 AB＝2 ＝2π r，所以 r＝ 103 2－ x2，所以 V＝π r2x＝π( )2x＝ (－ x3＋300 x)(0 时， φ (x)在( ， x0)上单调递减，所以当 x∈( ， x0)时， φ (x)φ (x0)＝0.22x0 2x0从而有 x∈( ， x0)时， 0.22x 2 φ  xx－ x0所以 x＝ 是一个“类对称点”的横坐标．29．①④10．解 (1)由已知得，f′( x)＝( x2＋ ax＋1) ex＋e x(2x＋ a)＝[ x2＋( a＋2) x＋ a＋1]e x＝( x＋ a＋1)( x＋1)e x.A∵ a0，∴－ a－10；当 x∈(－ a－1，－1)时， f′( x)0.f(x)的单调递增区间为(－∞，－ a－1)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－ a－1，－1)．且当 x＝－1 时， f(x)有极小值(2－ a) e－1 ，A当 x＝－ a－1 时， f(x)有极大值( a＋2) e－ a－1 .(2)由(1)知， f′( x)＝( x＋ a＋1)( x＋1)e x，令 g(x)＝ f′( x)，则 g′( x)＝[ x2＋( a＋4) x＋2 a＋3]e x.假设 f(x)有“致点” x0，则 x0首先应是 f(x)的极值点，即 f′( x0)＝0，∴ x0＝－1 或 x0＝－ a－1.当 a＝0 时，－ a－1＝－1，此时 f′( x)≥0 恒成立， f(x)无极值．∴要使 f(x)有极值，须 a≠0.若 x0＝－1，则由题意可知 g′(－1)＝0，∴1－( a＋4)＋2 a＋3＝0，解得 a＝0，与 a≠0 矛盾，即－1 不是 f(x)的“致点” ．若 x0＝－ a－1，则 g′(－ a－1)＝0，即( a＋1) 2－( a＋4) (a＋1)＋2 a＋3＝0，A解得 a＝0，与 a≠0 矛盾，即－ a－1 也不是 f(x)的“致点” ．5∴函数 f(x)无“致点” ．1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 3 导数及其应用 21 导数中的易错题 文训练目标 (1)导数知识的细化、深化、巩固提高；(2)解题过程的细节训练.训练题型 (1)导数和函数的极值；(2)利用导数求参数范围；(3)导数的综合应用.解题策略(1)注意 f′( x0)＝0 是 x＝ x0为极值点的必要不充分条件；(2)已知单调性求参数范围要注意验证 f′( x)＝0 的情况.1．(2015·福建八县(市)一中联考)函数 f(x)＝e xcos x 的图象在点(0， f(0))处的切线的倾斜角 α ＝________.2．(2015·福建福州三中月考)已知点 A(1,2)在函数 f(x)＝ ax3的图象上，则过点 A 的曲线C： y＝ f(x)的切线方程是____________________．3．已知函数 y＝ f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式 xf′( x)0)上任意一点， l 是曲线 C 在点 P 处的切线，且 l 交坐标轴于 A， B 两点，则以下结论正确的是________．①△ OAB 的面积为定值 2②△ OAB 的面积有最小值 3③△ OAB 的面积有最大值 4④△ OAB 的面积的取值范围是[3,4]5．(2015·红河州高三一模)若函数 f(x)＝ x3＋ x2－ 在区间( a， a＋5)内存在最小值，则实13 23数 a 的取值范围是________．6．若函数 y＝ x3－3 ax＋ a 在(1,2)内有极小值，则实数 a 的取值范围是________．7．已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ x＋2 (a0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数 a 的取值范围是________．8．已知函数 f(x)＝ ax3－3 x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是________．9．已知函数 f(x)＝ x－ sin x－ cos x 的图象在 A(x0， f(x0))点处的切线斜率为 ，则12 14 34 12tan 的值为__________．(x0＋π 4)10．若函数 f(x)＝ln x＋ ax 存在与直线 2x－ y＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是2____________________．11．当 x∈[－2,1]时，不等式 ax3－ x2＋4 x＋3≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．12．函数 f(x)＝ ax－cos x， x∈[ ， ]，若∀ x1， x2∈[ ， ]， x1≠ x2，π 4 π 3 π 4 π 30)，若 f(x)为 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是ex1＋ ax2________．3答案解析1. π 42.6x－ y－4＝0 或 3x－2 y＋1＝03．(－∞，0)∪( ，2) 4.① 5.[－3,0) 6.10)．1x∵函数 f(x)＝ln x＋ ax 存在与直线 2x－ y＝0 平行的切线，∴方程 ＋ a＝2 在区间(0，＋∞)上有解，即 a＝2－ 在区间(0，＋∞)上有解，1x 1x∴ a0，解得 a1.14．(0,1]1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 3 导数及其应用 22 导数的应用 文训练目标 (1)利用导数研究函数的常见题型；(2)解题步骤的规范训练.训练题型 (1)利用导数求切线问题；(2)导数与单调性；(3)导数与极值、最值.解题策略(1)求曲线切线的关键是确定切点；(2)讨论函数的单调性、极值、最值可通过研究导数的符号用列表法解决；(3)证明不等式、不等式恒成立或有解、函数零点问题都可以转化为函数极值、最值问题.1．设函数 f(x)＝( x－1)e x－ kx2.(1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在 x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数 k 的取值范围．2．已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx＋ c 在 x＝2 处取得极值 c－16.(1)求 a， b 的值；(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值．3．已知函数 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx 的图象在点(1， f(1))处的切线方程为6x－2 y－1＝0， f′( x)为 f(x)的导函数， g(x)＝ aex(a， b， c∈R，e 为自然对数的底数)．(1)求 b， c 的值；(2)若∃ x0∈(0,2] ，使 g(x0)＝ f′( x0)成立，求 a 的取值范围．4．(2015·南平质检)已知函数 f(x)＝sin x， g(x)＝ mx－ (m 为实数)．x36(1)求曲线 y＝ f(x)在点 P( ， f( ))处的切线方程；π 4 π 4(2)求函数 g(x)的单调递减区间；(3)若 m＝1，证明：当 x0 时， f(x)0.x222(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．e答案解析1．解 (1)当 k＝1 时， f(x)＝( x－1)e x－ x2，∴ f′( x)＝e x＋( x－1)e x－2 x＝ x(ex－2)．令 f′( x)0，即 x(ex－2)0，∴ xln 2 或 x0，故 f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当 x∈(－2,2)时， f′( x)0，故 f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知 f(x)在 x＝－2 处取得极大值 f(－2)＝16＋ c，f(x)在 x＝2 处取得极小值 f(2)＝ c－16.由题设条件知 16＋ c＝28，解得 c＝12.此时 f(－3)＝9＋ c＝21， f(3)＝－9＋ c＝3， f(2)＝－16＋ c＝－4，因此 f(x)在[－3,3]上的最小值为 f(2)＝－4.3．解 (1)由题意得 f′( x)＝3 x2＋2 bx＋ c，∴ f′(1)＝2 b＋ c＋3＝3.又 f(1)＝ b＋ c＋1，点(1， f(1))在直线 6x－2 y－1＝0 上，∴6－2( b＋ c＋1)－1＝0，故 b＝－ ， c＝3.32(2)∵ g(x0)＝ f′( x0)，∴ aex0＝3 x －3 x0＋3，20∴ a＝ .3x20－ 3x0＋ 3ex0令 h(x)＝ ，3x2－ 3x＋ 3ex则 h′( x)＝ ，－ 3 x2－ 3x＋ 2ex令 h′( x)＝0，得 x＝1 或 x＝2.当 x 变化时， h(x)与 h′( x)在 x∈(0,2]上的变化情况如下表所示：x (0,1) 1 (1,2) 2h′( x) － 0 ＋ 0h(x)  A3e  A9e2∴ h(x)在 x∈(0,2]上有极小值 h(1)＝ ，又 h(2)＝ ， h(0)＝3 ，3e 9e2 9e2∴ h(x)在 x∈(0,2]上的取值范围为[ ，3)，3e∴ a 的取值范围为[ ，3)．3e4．(1)解 由题意得所求切线的斜率 k＝ f′( )＝cos ＝ .π 4 π 4 22切点 P( ， )，则切线方程为 y－ ＝ (x－ )，即 x－ y＋1－ ＝0.π 4 22 22 22 π 4 2 π 44(2)解 g′( x)＝ m－ x2.12①当 m≤0 时， g′( x)≤0，则 g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当 m0 时，令 g′( x) ，2m 2m则 g(x)的单调递减区间是(－∞，－ )，( ，＋∞)．2m 2m(3)证明 当 m＝1 时， g(x)＝ x－ .x36令 h(x)＝ g(x)＋ － f(x)＝ x－sin x， x∈(0，＋∞)， h′( x)＝1－cos x≥0，x36则 h(x)是(0，＋∞)上的增函数，故当 x0 时， h(x)h(0)＝0，即 sin x0)得 f′( x)＝ x－ ＝ .x22 kx x2－ kx由 f′( x)＝0 解得 x＝ (负值舍去)．kf(x)与 f′( x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0， )k k ( ，＋∞)kf′( x) － 0 ＋f(x)  Ak 1－ ln k2  A所以， f(x)的单调递减区间是(0， )，单调递增区间是( ，＋∞)．k kf(x)在 x＝ 处取得极小值 f( )＝ ，无极大值．k kk 1－ ln k2(2)证明 由(1)知， f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为 f( )＝ .kk 1－ ln k2因为 f(x)存在零点，所以 ≤0，从而 k≥e，k 1－ ln k2当 k＝e 时， f(x)在区间(1， )上单调递减，且 f( )＝0，e e所以 x＝ 是 f(x)在区间(1， ]上的唯一零点．e e当 ke 时， f(x)在区间(0， )上单调递减，且 f(1)＝ 0， f( )＝ 0，e12 e e－ k2所以 f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．e综上可知，若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．e1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 3 导数及其应用 23 导数与学科知识的综合应用 文训练目标 (1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破.训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围.解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.1．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x， f′( x)是 f(x)的导函数．(1)求函数 F(x)＝ f(x)f′( x)＋( f(x))2的最大值和最小正周期；(2)若 f(x)＝2 f′( x)，求 的值．1＋ sin2xcos2x－ sin xcos x2．已知函数 f(x)＝ ax－e x(a0)．(1)若 a＝ ，求函数 f(x)的单调区间；12(2)当 1≤ a≤1＋e 时，求证： f(x)≤ x.3．已知函数 f(x)＝ ax＋ln x， a∈R，(1)求 f(x)的单调区间；(2)设 g(x)＝ x2－2 x＋1，若对任意 x1∈(0，＋∞)，总存在 x2∈[0,1]，使得 f(x1)0；当 x－ln 2 时， f′( x)0，∴ f(x)≤ x 成立．②当 1ln(a－1)时， F′( x)0，∴ F(x)在(－∞，ln( a－1))上单调递减，在(ln( a－1)，＋∞)上单调递增，∴ F(x)≥ F(ln(a－1))＝e ln(a－1) －( a－1)·ln( a－1)＝( a－1)[1－ln( a－1)]，∵10,1－ln( a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，∴ F(x)≥0，即 f(x)≤ x 成立．综上，当 1≤ a≤1＋e 时， f(x)≤ x.3．解 (1) f′( x)＝ a＋ ＝ (x0)．1x ax＋ 1x3①当 a≥0 时，由于 x0，故 ax＋10， f′( x)0，所以 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当 a0， f(x)单调递增．1a 1a在区间(－ ，＋∞)上， f′( x)－1－ln(－ a)，解得 a0)， f′( x)＝ x－ ， x0，12 1x∴ k＝ f′(1)＝0，所以曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处的切线的斜率为 0.(2)f′( x)＝ ax－ ＝ ， x0.1x ax2－ 1x当 a≤0 时， f′( x)0 时，令 f′( x)＝0，解得 x＝ (负值舍去)．aa当 x∈(0， )时， f′( x)0， f(x)在( ，＋∞)上单调递增．aa aa(3)存在 a∈(0，e 3)，使得方程 f(x)＝2 有两个不等的实数根．理由如下：由(2)可知当 a≤0 时， f′( x)0 时，函数 f(x)在(0， )上单调递减，在( ，＋∞)上单调递增，使得方程 f(x)＝2aa aa有两个不等的实数根，等价于函数 f(x)的极小值 f( )2，即 f( )＝ ＋ ln a2，解得aa aa 12 120ae3，所以 a 的取值范围是(0，e 3)．