（新课标）2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量（课件+习题）（打包18套）.zip

走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习计数原理、概率、随机变量及其分布 (理 )第十章第一讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第十章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2纠错笔记 ·状元秘籍3课 时 作 业4知识梳理 ·双基自测1． 分 类 加法 计 算原理完成一件事有 n类不同的方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有 m2种不同的方法，…… ，在第 n类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事共有 N＝ ________________种不同的方法．2． 分步乘法 计 数原理完成一件事需要分成 n个不同的步骤，完成第一步有 m1种不同的方法，完成第二步有 m2种不同的方法，…… ，完成第 n步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ ____________种不同的方法．●知 识 梳理 m1＋ m2＋ … ＋ mnm1·m2… mn●双基自 测 (4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． ( )(5)如果完成一件事情有 n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝ 1,2,3， … ， n)，那么完成这件事共有 m1m2m3… mn种方法． ( )[答案 ] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√[答案 ] 60[解析 ] 项 数 为 ： 3×4×5＝ 60(项 )．[答案 ] 6[解析 ] 因 为 点在一、二象限，故 N中只能 选 5、 6，因此点的个数 为 ： 3×2＝ 6.[答案 ] C[答案 ] A考点突破 ·互动探究分 类 加法 计 数原理[解析 ] (1)分 3类 ：第一 类 ，直接由 A到 O，有 1种走法；第二 类 ，中 间过 一个点，有 A→ B→ O和 A→ C→ O,2种不同的走法；第三 类 ，中 间过 两个点，有 A→ B→ C→ O和A→ C→ B→ O,2种不同的走法，由分 类 加法 计 数原理可得共有1＋ 2＋ 2＝ 5种不同的走法．(2)当 m＝ 1时 ， n＝ 2,3,4,5,6,7共 6种当 m＝ 2时 ， n＝ 3,4,5,6,7共 5种；当 m＝ 3时 ， n＝ 4,5,6,7共 4种；当 m＝ 4时 ， n＝ 5,6,7共 3种；当 m＝ 5时 ， n＝ 6、 7共 2种，故共有 6＋ 5＋ 4＋ 3＋ 2＝ 20种．[答案 ] (1)5 (2)20[规 律 总结 ] (1)分 类 加法 计 数原理的 实质分 类 加法 计 数原理 针对 的是 “分 类 ”问题 ，完成一件事要分 为 若干 类 ，各 类 的方法相互独立，每 类 中的各种方法也相对 独立，用任何一 类 中的任何一种方法都可以 单 独完成 这 件事．(2)使用分 类 加法 计 数原理遵循的原理有 时 分 类 的划分 标 准有多个，但不 论 是以哪一个 为标 准，都 应 遵循 “标 准要明确，不重不漏 ”的原 则 ．提醒： 对 于分 类问题 所含 类 型 较 多 时 也可以考 虑 使用 间接法．[答案 ] (1)B (2)B[解析 ] (1)传递 方式有甲 → 乙 → 丙 → 甲；甲 → 丙 → 乙 → 甲．(2)记 反面 为 1、正面 为 2.则 正反依次相 对 有12121212,21212121两种情况；有两枚反面相 对 有21121212,21211212,21212112三种情况．共 5种 摆 法，故 选B.分步乘法 计 数原理[解析 ] (1)一个二次函数 对应 着 a、 b、 c(a≠0)的一 组 取 值， a的取法有 3种， b的取法有 3种， c的取法有 2种，由分步乘法计 数原理知共有二次函数 3×3×2＝ 18(个 )．若二次函数 为 偶函数， 则 b＝ 0，同上可知偶函数共有 3×2＝ 6(个 )．(2)因 为 每个 焊 接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个 焊 接点脱落， 则电 路就不通，故共有 26－ 1＝ 63(种 )可能情况．[点 拨 ] 一些 问题 的正面所含情况比 较 多，直接 讨论 比 较复 杂 ， 这时 可从反面入手，利用 间 接法来 处 理， 这 体 现 了 “正难则 反 ”的 转 化思想．[规 律 总结 ] (1)分步乘法 计 数原理的 实质分步乘法 计 数原理 针对 的是 “分步 ”问题 ，完成一件事要分为 若干步，各个步 骤 相互依存，完成其中的任何一步都不能 单独完成 该 件事，只有当各个步 骤 都完成后，才算完成 这 件事．(2)使用分步乘法 计 数原理的关注点① 明确 题 目中的 “完成 这 件事 ”是什么，确定完成 这 件事需要几个步 骤 ，且每步都是独立的．② 将完成 这 件事划分成几个步 骤 来完成，各步 骤 之 间 有一定的 连续 性，只有当所有步 骤 都完成了，整个事件才算完成，这 是分步的基 础 ，也是关 键 ，从 计 数上来看，各步的方法数的 积 就是完成事件的方法 总 数．[答案 ] (1)D (2)B[解析 ] (1)由一 层 上二 层 有 2种不同的走法。由二 层 上三层 也有 2种不同的走法，由三 层 上四 层 、五 层 情况一 样 ，故共有 24种的走法，故 选 D.(2)由分步乘法 计 数原理知，用 0,1， … ， 9十个数字 组 成三位数 (可用重复数字 )的个数 为 9×10×10＝ 900， 组 成没有重复数字的三位数的个数 为 9×9×8＝ 648.则组 成有重复数字的三位数的个数 为 900－ 648＝ 252.故 选 B.两个原理的 综 合 应 用[解析 ] 方法一：可分 为 两大步 进 行，先将四棱 锥 一 侧 面三 顶 点染色，然后再分 类 考 虑 另外两 顶 点的染色数，用分步乘法 计 数原理即可得出 结论 ．由 题设 ，四棱 锥 S－ ABCD的 顶点 S、 A、 B所染的 颜 色互不相同，它 们 共有 5×4×3＝ 60(种 )染色方法．当 S、 A、 B染好 时 ，不妨 设 其 颜 色分 别为 1、 2、 3，若 C染 2， 则 D可染 3或 4或 5，有 3种染法；若 C染 4， 则 D可染 3或 5，有 2种染法；若 C染 5， 则 D可染 3或 4，有 2种染法．可 见 ，当 S、 A、 B已染好 时 ， C、 D还 有 7种染法，故不同的染色方法有 60×7＝ 420(种 )．方法二：以 S、 A、 B、 C、 D顺 序分步染色．第一步， S点染色，有 5种方法；第二步， A点染色，与 S在同一条棱上，有 4种方法；第三步， B点染色，与 S、 A分 别 在同一条棱上，有 3种方法；第四步， C点染色，也有 3种方法，但考 虑 到 D点与 S、 A、 C相 邻 ，需要 针对 A与 C是否同色 进 行分 类 ，当 A与 C同色 时， D点有 3种染色方法；当 A与 C不同色 时 ，因 为 C与 S、 B也不同色，所以 C点有 2种染色方法， D点也有 2种染色方法．由分步乘法、分 类 加法 计 数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋ 2×2)＝ 420(种 )．走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习计数原理、概率、随机变量及其分布 (理 )第十章第二讲 排列与组合第十章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测●知 识 梳理 不同顺序所有不同排列n(n－ 1)(n－ 2)…( n－ m＋ 1)n！1不同合成一组所有不同组合1[答案 ] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√●双基自 测 [答案 ] A[答案 ] C[答案 ] 1 560[答案 ] 11 040考点突破 ·互动探究排列数公式和 组 合数公式的 应 用排列 问题 的求解[答案 ] (1)B (2)576[规 律 总结 ] 求解排列 问题 的主要方法直接法 把符合条件的排列数直接列式 计 算优 先法 优 先安排特殊元素或特殊位置捆 绑 法 相 邻问题 捆 绑处 理，即可以把相 邻 元素看作一个整体与其他元素 进 行排列，同 时 注意捆 绑 元素的内部排列插空法 不相 邻问题 插空 处 理，即先考 虑 不受限制的元素的排列，再将不相 邻 的元素插在前面元素排列的空中除法 对 于定序 问题 ，可先不考 虑顺 序限制，排列后，再除以定元素的全排列间 接法 正 难则 反，等价 转 化的方法[答案 ] (1)C (2)B组 合 问题 的求解[分析 ] (1)可直接求解，也可用间接法求解，注意题目中 “至少 ”的含义； (2)求出基本事件数，然后根据古典概型和对立事件的概率公式求解．[点 拨 ] 题 (1)是一个 “至少 ”型问题，解法一在分类时，总体上分了三类，而在每一类中又分别分了三类；解法二中用了三次间接法．题 (2)综合考查了组合问题和概率问题，尤其是古典概型，应重点掌握．[规 律 总结 ] (1)组 合 问题 的常 见题 型及解 题 思路① 常 见题 型：一般有 选 派 问题 、抽 样问题 、 图 形 问题 、集合 问题 、分 组问题 等．② 解 题 思路： ① 分清 问题 是否 为组 合 题 ； ② 对较 复 杂 的组 合 问题 ，要搞清是 “分 类 ”还 是 “分步 ”，一般是先整体分 类，然后局部分步，将复 杂问题 通 过 两个原理化 归为简单问题．走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习计数原理、概率、随机变量及其分布 (理 )第十章第三讲 二项式定理 第十章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2纠错笔记 ·状元秘籍3课 时 作 业4知识梳理 ·双基自测●知 识 梳理 二项式系数通项k＋ 12． 二 项 展开式形式上的特点(1)项数为 ________.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a与 b的指数的和为 ____.(3)字母 a按 ______排列，从第一项开始，次数由 n逐项减小1直到零；字母 b按 ______排列，从第一项起，次数由零逐项增加 1直到 n.n＋ 1n降幂升幂2n2n－ 1●双基自 测 (5)若 (3x－ 1)7＝ a7x7＋ a6x6＋ … ＋ a1x＋ a0，则 a7＋ a6＋ … ＋a1的值为 128.( )(6)(a＋ b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( )[答案 ] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×[答案 ] C[答案 ] 80[答案 ] 40[答案 ] 1考点突破 ·互动探究求二 项 展开式的特定 项 或系数[分析 ] [点 拨 ] 解决此 类问题 的关 键 是利用通 项 公式找到二 项展开式中一般 项 的形式，出 现 根式 时 先将根式 转 化 为 分数指数 幂 ，然后利用分数指数 幂 的运算性 质进 行运算．[规 律 总结 ] 求二项展开式中的特定项或项的系数的方法(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式 (组 )求取值范围．二 项 式系数和或各 项 系数和的 问题[点 拨 ] 注意区分二 项 式的展开式中 项 的系数与二 项 式系数．走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习计数原理、概率、随机变量及其分布 (理 )第十章第四讲 随机事件的概率 第十章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测●知 识 梳理 频数频率频率 fn(A)2． 事件的关系与运算定义 符号表示包含关系若事件 A______，则事件 B __________，这时称事件 B包含事件 A(或称事件 A包含于事件 B)_________________相等关系若 B⊇ A，且 ________，则称事件 A与事件 B相等 ________并事件(和事件 )若某事件发生______________ ____________________，则称此事件为事件 A与事件 B的并事件 (或和事件 )____________________发生一定发生 B⊇ A(或 A⊆ B) A⊇ B A＝ B当且仅当事件 A发生或事件 B发生 A∪ B(或 A＋ B)定义 符号表示交事件(积事件 )若某事件发生_______________ ________________，则称此事件为事件 A与事件 B的交事件 (或积事件 )____________________ 互斥事件若 A∩ B为 ________事件，则称事件 A与事件 B互斥_____________对立事件若 A∩ B为 ________事件，A∪ B为 __________，则称事件 A与事件 B互为对立事件______________________当且仅当事件 A发生且事件 B发生 A∩B(或 AB)不可能 A∩B＝ ∅不可能必然事件A∩B＝ ∅，且 A∪ B＝ Ω 3.概率的几个基本性 质(1)概率的取值范围： ________________.(2)必然事件的概率： P(A)＝ ____.(3)不可能事件的概率： P(A)＝ ____.(4)概率的加法公式：若事件 A与事件 B互斥，则 P(A∪ B)＝____________．(5)对立事件的概率：若事件 A与事件 B互为对立事件，则A∪ B为必然事件． P(A∪ B)＝ ____， P(A)＝ ____________．0≤P(A)≤110P(A)＋ P(B)1 1－ P(B)[答案 ] (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√●双基自 测 [答案 ] ≤[答案 ] ②考点突破 ·互动探究随机事件及其 频 率和概率(1)估计甲品牌产品寿命小于 200小时的概率．(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．[规 律 总结 ] (1)概率与 频 率的关系频 率反映了一个随机事件出 现 的 频 繁程度， 频 率是随机的，而概率是一个确定的 值 ，通常用概率来反映随机事件 发 生的可能性的大小，有 时 也用 频 率来作 为 随机事件概率的估 计值 ．(2)随机事件概率的求法利用概率的 统计 定 义 求事件的概率，即通 过 大量的重复试验 ，事件 发 生的 频 率会逐 渐趋 近于某一个常数， 这 个常数就是概率．X 1 2 3 4Y 51 48 45 42随机事件的关系[分析 ] 要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．[解析 ] (1)是互斥事件，不是 对 立事件．原因是：从 40张 扑克牌中任意抽取 1张 ， “抽出 红 桃 ”与 “抽出黑桃 ”是不可能同 时发 生的，所以是互斥事件，但是不能保证 其中必有一个 发 生， 这 是由于 还 有可能抽出 “方 块 ”或者 “梅花 ”，因此，二者不是 对 立事件．(2)既是互斥事件，又是 对 立事件．原因是：从 40张 扑克牌中任意抽取 1张 ， “抽出 红 色牌 ”与 “抽出黑色牌 ”是不可能同 时发 生的，且其中必有一个 发 生。所以它 们 既是互斥事件，又是 对 立事件．(3)不是互斥事件，也不是 对 立事件．原因是：从 40张 扑克牌中任意抽取 1张 ， “抽出的牌点数 为5的倍数 ”与 “抽出的牌点数大于 9”这 两个事件可能同 时发 生，如抽出的牌点数 为 10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是 对 立事件．[点 拨 ] 从集合的角度上看：事件 A、 B对应的基本事件构成了集合 A、 B，则 A、 B互斥时， A∩ B＝ ∅； A、 B对立时，A∩ B＝ ∅且 A∪ B＝ Ω(Ω为全集 )．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．[规 律 总结 ] 1.准确把握互斥事件与 对 立事件的概念(1)互斥事件是不可能同 时发 生的事件，但可以同 时 不 发生．(2)对 立事件是特殊的互斥事件，特殊在 对 立的两个事件不可能都不 发 生，即有且 仅 有一个 发 生．2．判 别 互斥、 对 立事件的方法判 别 互斥事件、 对 立事件一般用定 义 判断，不可能同 时发 生的两个事件 为 互斥事件；两个事件，若有且 仅 有一个 发生， 则这 两事件 为对 立事件， 对 立事件一定是互斥事件，[解析 ] (1)由于事件 C“至多 订 一种 报纸 ”中有可能 “只 订 甲报纸 ”，即事件 A与事件 C有可能同 时发 生，故 A与 C不是互斥事件；(2)事件 B“至少 订 一种 报纸 ”与事件 E“一种 报纸 也不 订 ”是不可能同 时发 生的，故 B与 E是互斥事件．又因居民要么 “至少订 一种 报纸 ”，要么 “一种也不 订 ”，故 B与 E也是 对 立事件；(3)事件 B“至少 订 一种 报纸 ”中有可能 “只 订 乙 报纸 ”，即有可能 “不 订 甲 报纸 ”，即事件 B发 生，事件 D也可能 发 生，故 B与D不是互斥事件；(4)事件 B“ 至少 订 一种 报纸 ” 中有 这 些可能： “ 只 订 甲报纸 ”“ 只 订 乙 报纸 ”“ 订 甲、乙两种 报纸 ” ；事件 C“ 至多 订 一种 报纸 ” 中有 这 些可能： “ 什么 报纸 也不 订 ”“ 只 订甲 报纸 ”“ 只 订 乙 报纸 ” ，由于 这 两个事件可能同 时发 生，故 B与 C不是互斥事件；(5)由 (4)的分析，事件 E“ 一种 报纸 也不 订 ” 只是事件 C的一种可能，故事件 C与事件 E有可能同 时发 生，故 C与 E不是互斥事件．走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习计数原理、概率、随机变量及其分布 (理 )第十章第五讲 古典概型第十章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测1． 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 _____的．(2)任何事件都可以表示成 _________的和 (除不可能事件 )．2． 古典概型的定 义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件 __________．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 _______．●知 识 梳理 互斥基本事件只有有限个相等3． 古典概型的概率公式P(A)＝ _____________________.●双基自 测 [答案 ] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√[答案 ] C[解析 ] 任取三个数和 为 偶数共有： (1,2,3)， (1,2,5)，(1,3,4)， (1,4,5)， (2,3,5)， (3,4,5)共 6个， 选 C.考点突破 ·互动探究基本事件及事件的构成[解析 ] (1)利用枚 举 法，共有： (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,1)，(4,2)， (4,3)， (4,4)16种情况．(2)事件 “底面出 现 点数之和大于 3”的有 (1,3)， (1,4)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)，(4,4)共 13种情况．(3)事件 “底面出 现 点数相等 ”的有 (1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)共 4种情况．[规 律 总结 ] 古典概型中基本事件的探求方法(1)枚 举 法：适合 给 定的基本事件个数 较 少且易一一列 举出的．(2)树 状 图 法：适合 较为 复 杂 的 问题 中的基本事件的探求，注意在确定基本事件 时 (x， y)可以看成是有序的，如 (1,2)与(2,1)不同．有 时 也可以看成是无序的，如 (1,2)， (2,1)相同．简单 的古典概型 问题[点 拨 ] (1)求解古典概型概率问题的关键是找出样本空间中基本事件的总数及所求事件所包含的基本事件数，常用方法是列举法、列表法、画树状图法等．(2)古典概型的求解，主要是列举基本事件，列举基本事件时要注意不重复不遗漏．较 复 杂 的古典概型 问题[解析 ] (1)由 题设 知，分 层 抽 样 的抽取比例 为 6%，所以各 组 抽取的人数如下表：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 3 6 9 9 3(2)记 从 A组 抽到的 3个 评 委 为 a1、 a2、 a3，其中 a1、 a2支持1号歌手；从 B组 抽到的 6个 评 委 为 b1、 b2、 b3、 b4、 b5、 b6，其中 b1、 b2支持 1号歌手．从 {a1， a2， a3}和 {b1， b2， b3， b4， b5，b6}中各抽取 1人的所有 结 果 为走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习计数原理、概率、随机变量及其分布 (理 )第十章第六讲 几何概型 第十章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2纠错笔记 ·状元秘籍3课 时 作 业4知识梳理 ·双基自测1． 几何概型的定 义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ________ ___________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2． 几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．●知 识 梳理 长度 (面积或体积 )●双基自 测 [答案 ] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√[答案 ] A[答案 ] A[答案 ] A[点 拨 ] 解 对 数不等式的关 键 是将底数 统 一，利用 对 数函数的 单调 性来解决．几何概型的概率 计 算 问题 可以分 为 四种类 型： (1)长 度型； (2)面 积 型； (3)体 积 型； (4)角度型．本 题 是长 度型 问题 ，利用 对 数函数的 单调 性求解不等式是解决本 题的关 键 ．12017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 1 讲 分类加法计数原理与(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．已知两条异面直线 a、 b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为 ( )导 学 号 25402342A．40 B．16C．13 D．10[答案] C[解析] 分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．2．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中任意两个数的和都不等于 11，则这样的子集有 ( )导 学 号 25402343A．32 个 B．34 个C．36 个 D．38 个[答案] A[解析] 先把数字分成 5 组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的 5 个数中，任意两个数的和都不等于 11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32 个这样的子集．3．从 2,3,4,5,6,7,8,9 这 8 个数中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为 ( )导 学 号 25402344A．56 B．54C．53 D．52[答案] D[解析] 在 8 个数中任取 2 个不同的数共有 8×7＝56 个对数值；但在这 56 个对数值中，log24＝log 39，log 42＝log 93，log 23＝log 49，log 32＝log 94，即满足条件的对数值共有56－4＝52 个．4．我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 ( )导 学 号 25402345A．18 个 B．15 个C．12 个 D．9 个[答案] B2[解析] 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4,0,0 组成 3个数，分别为 400,040,004；由 3,1,0 组成 6 个数，分别为 310,301,130,103,013,031；由2,2,0 组成 3 个数，分别为 220,202,022；由 2,1,1 组成 3 个数，分别为 211,121,112，共计 3＋6＋3＋3＝15 个．5．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用 5 局 3 胜制的比赛规则，先羸 3 局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ( )导 学 号 25402346A．6 种 B．12 种C．18 种 D．20 种[答案] D[解析] 分三种情况：恰好打 3 局(一人赢 3 局)，有 2 种情形；恰好打 4 局(一人前 3局中赢 2 局，输 1 局，第 4 局赢)，共有 2C ＝6 种情形；恰好打 5 局(一个前 4 局中赢 2 局，23输 2 局，第 5 局赢)，共有 2C ＝12 种情形．所有可能出现的情形共有 2＋6＋12＝20 种．246．(2015·商洛一模)某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元．某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个连续的号，从 21 至 30中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花( )导 学 号 25402347A．3 360 元 B．6 720 元C．4 320 元 D．8 640 元[答案] D[解析] 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法；从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有 9 种选法；从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法；从 31 至 36 中选一个号有 6 种选法，由分步乘法计数原理知共有 8×9×10×6＝4 320(种)选法，故至少需花 4 320×2＝8 640(元)．二、填空题7．(2015·河北保定调研)已知集合 M＝{1,2,3,4}，集合 A， B 为集合 M 的非空子集，若对∀ x∈ A， y∈ B， x＜ y 恒成立，则称 (A， B)为集合 M 的一个 “子集对” ，则集合 M 的“子集对”共有________个. 导 学 号 25402348[答案] 17[解析] A＝{1}时， B 有 23－1 种情况；A＝{2}时， B 有 22－1 种情况；A＝{3}时， B 有 1 种情况；A＝{1,2}时， B 有 22－1 种情况；A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时， B 均有 1 种情况，3故满足题意的“子集对”共有 7＋3＋1＋3＋3＝17 个．8．如图所示，用五种不同的颜色分别给 A、 B、 C、 D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种. 导 学 号 25402349[答案] 180[解析] 按区域分四步：第一步， A 区域有 5 种颜色可选；第二步， B 区域有 4 种颜色可选；第三步， C 区域有 3 种颜色可选；第四步， D 区域也有 3 种颜色可选．由分步乘法计数原理，可得共有 5×4×3×3＝180 种不同的涂色方法．9．(2015·湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2，…，9 的 9 个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种. 导 学 号 25402350[答案] 108[解析] 把区域分为三部分，第一部分 1,5,9，有 3 种涂法．第二部分 4,7,8，当 5,7同色时，4,8 各有 2 种涂法，共 4 种涂法；当 5,7 异色时，7 有 2 种涂法，4、8 均只有 1 种涂法，故第二部分共 4＋2＝6 种涂法．第三部分与第二部分一样，共 6 种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有 3×6×6＝108 种涂法．10．在 2014 年南京青奥会百米决赛上，8 名男运动员参加 100 米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有________种. 导 学 号 25402351[答案] 2 880[解析] 分两步安排这 8 名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24 种．第二步：安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120 种．4∴安排这 8 人的方式有 24×120＝2 880 种．三、解答题11．为参加 2014 年云南昭通地震救灾，某运输公司有 7 个车队，每个车队的车辆均多于 4 辆．现从这个公司中抽调 10 辆车，并且每个车队至少抽调 1 辆，那么共有多少种不同的抽调方法？ 导 学 号 25402352[答案] 48[解析] 在每个车队抽调 1 辆车的基础上，还需抽调 3 辆车．可分成三类：一类是从某1 个车队抽调 3 辆，有 C 种抽调方法；一类是从 2 个车队中抽调，其中 1 个车队抽调 1 辆，17另 1 个车队抽调 2 辆，有 A 种抽调方法；一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆，有 C 种抽调方27 37法．故共有 C ＋ A ＋ C ＝84 种抽调方法．17 27 3712．现有 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？ 导 学 号 25402353[答案] 48[解析] 先给最上面的一块着色，有 4 种方法，再给中间左边一块着色，有 3 种方法，再给中间右边一块着色，有 2 种方法，最后再给下面一块着色，有 2 种方法，根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2×2＝48 种方法．B 组 能力提升1．已知集合 M＝{1,2,3}， N＝{1,2,3,4}，定义函数 f： M→ N.若点 A(1， f(1))、B(2， f(2))、 C(3， f(3))，△ ABC 的外接圆圆心为 D，且 ＋ ＝ λ (λ ∈R)，则满足条件DA→ DC→ DB→ 的函数 f(x)有 ( )导 学 号 25402354A．6 种 B．10 种C．12 种 D．16 种[答案] C[解析] 由 ＋ ＝ λ (λ ∈R)，说明△ ABC 是等腰三角形，且 BA＝ BC，必有 f(1)DA→ DC→ DB→ ＝ f(3)， f(1)≠ f(2)；当 f(1)＝ f(3)＝1，时， f(2)＝2、3、4，有三种情况．f(1)＝ f(3)＝2； f(2)＝1、3、4，有三种情况．f(1)＝ f(3)＝3； f(2)＝2、1、4，有三种情况．f(1)＝ f(3)＝4； f(2)＝2、3、1，有三种情况．5因而满足条件的函数 f(x)有 12 种．2．有 10 件不同的电子产品，其中有 2 件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到 2 件不稳定的产品全部找出后结束测试，则恰好 3 次就结束测试的情况有________种. 导 学 号 25402355[答案] 32[解析] 恰好 3 次就结束，即第 3 次测试到的产品运行不稳定：(1)若 3 次测试的产品运行分别为稳定、不稳定、不稳定，则有 2×8＝16(种)情况；(2)若 3 次测试的产品运行分别不稳定、稳定、不稳定，则有 2×8＝16(种)情况，故共有 32 种情况．3．若 m、 n 均为非负整数，在做 m＋ n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称( m， n)为“简单的”有序对，而 m＋ n 称为有序对( m， n)的值，那么值为 1 942的“简单的”有序对的个数是________. 导 学 号 25402356[答案] 300[解析] 第 1 步，1＝1＋0,1＝0＋1，共 2 种组合方式；第 2 步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共 10 种组合方式；第 3 步：4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共 5 种组合方式；第 4 步：2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共 3 种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为 1 942 的“简单的”有序对的个数为 2×10×5×3＝300.4．某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？ 导 学 号 25402357[答案] 20[解析] 由题意得有 1 人既会英语又会日语，6 人只会英语，2 人只会日语．第一类：从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，共有 6 种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此种共有 6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，则只有 1 种方法，则选会日语的有 2 种，此时共有 1×2＝2(种)；所以根据分类加法计数原理知共有 18＋2＝20(种)选法．5．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？ 导 学 号 25402358[答案] 11[解析] 方法一：分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论．(1)若 0 个相同，则信息为 1001.共 1 个．(2)若 1 个相同，则信息为 0001,1101,1011,1000.共 4 个．(3)若 2 个相同，又分为以下情况：6①若位置一与二相同，则信息为 0101；②位置一与二相同，则信息为 0011；③位置一与二相同，则信息为 0000；④位置一与二相同，则信息为 1111；⑤位置一与二相同，则信息为 1100；⑥位置一与二相同，则信息为 1010.共 6 个．故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 1＋4＋6＝11.方法二：若 0 个相同，共有 1 个；若 1 个相同，共有 C ＝4(个)；14若 2 个相同，共有 C ＝6(个)．故共有 1＋4＋6＝11(个)．2412017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 2 讲 排列与组合(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．(教材改编)用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )导 学 号 25402374A．8 B．24C．48 D．120[答案] C[解析] 末位数字排法有 A 种，其他位置排法有 A 种，共有 A A ＝48(种)．12 34 12342．10 名同学合影，站成了前排 3 人，后排 7 人．现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为 ( )导 学 号 25402375A． C A B． C A275 272C． C A D． C A2725 2735[答案] C[解析] 从后排抽 2 人的方法种数是 C ；前排的排列方法种数是 A .由分步乘法计数原27 25理知不同调整方法种数是 C A .27253．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( )导 学 号 25402376A．144 B．120C．72 D．24[答案] D[解析] 剩余的 3 个座位共有 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A ＝4×3×2＝24.344．将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ( )导 学 号 25402377A．12 种 B．10 种C．9 种 D．8 种[答案] A[解析] 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有 C ＝2(种)选派12方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有 C ＝6(种)选派方法．24由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6＝12(种)．5．(2015·四川德阳第一次诊断)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、2数学、英语、理综 4 科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 ( )导 学 号 25402378A．36 种 B．30 种C．24 种 D．6 种[答案] B[解析] 由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从 4 科中任选 2 科看作一个整体，然后做 3 个元素的全排列，共 C A 种方法，再从中排除数学、理综安排在243同一节的情形，共 A 种方法，故总的方法种数为 C A － A ＝36－6＝30.3 243 36．(2015·河北衡水冀州中学上学期第四次月考)将 A、 B、 C、 D、 E 五种不同的文件放入编号依次为 1、2、3、4、5、6、7 的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、 B 必须放入相邻的抽屉内，文件 C、 D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有( )导 学 号 25402379A．192 种 B．144 种C．288 种 D．240 种[答案] D[解析] 本题为相邻排列问题，可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件做排列，则有 A A A ＝240(种)放法，故选 D.2235二、填空题7．将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是________. 导 学 号 25402380[答案] 96[解析] 将 5 张参观券分成 4 堆，有 2 个连号有 4 种分法，每种分法再分给 4 人，各有A 种分法，∴不同的分法种数共有 4A ＝96.4 48．用 1、2、3、4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________. 导 学 号 25402381[答案] 8[解析] 先把两奇数捆绑在一起有 A 种方法，再用插空法共有 A ·C ·A ＝8 个．2 2 12 29．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种.导 学 号 25402382[答案] 24[解析] 甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A ·A ＝24(种)．2 2310．(2015·河北衡水重点中学上学期联考)某宾馆安排 A、 B、 C、 D、 E 五人入住 3 个房3间，每个房间至少住 1 人，且 A、 B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法(用数字作答). 导 学 号 25402383[答案] 114[解析] C ·A ＋ C C C － C ·A ＝114(种)．35 3 132523 24 3三、解答题11．从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数，试问： 导 学 号 25402384(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？[答案] (1)100800 (2)14400 (3)5760[解析] (1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 C 种情况；第二步，在 534个奇数中取 4 个，有 C 种情况；第三步，3 个偶数，4 个奇数进行排列，有 A 种情况．所45 7以符合题意的七位数有 C C A ＝100 800 个．34457(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C C A A ＝14 400 个．344553(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有 C C A A A ＝5 7603445342个．12．将 7 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中. 导 学 号 25402385(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？[答案] (1)20 (2)120[解析] (1)将 7 个相同的小球排成一排，在中间形成的 6 个空当中插入无区别的 3 个“隔板”将球分成 4 份，第一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有 C ＝20 种36不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列，即从10 个位置中选 3 个位置安排隔板，故共有 C ＝120 种放入方式．310B 组 能力提升1．现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在 4 个车库中(每个车库放 2 辆)，则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )导 学 号 25402386A．144 种 B．108 种C．72 种 D．36 种[答案] C[解析] 从 4 种小车中选取 2 种有 C 种选法，从 4 个车库中选取 2 个车库有 C 种选法，24 24然后将这 2 种小车放入这两个车库共有 A 种放法；将剩下的 2 种小车每 1 种分开来放，因24为同一品牌的小车完全相同，只有 1 种放法，所以共有 C C A ＝72(种)不同的放法．242422． “整治裸官” “小官巨贪” 、 “拍蝇打虎” 、 “境外追逃” 、 “回马枪”成为 2014 年国家反腐的 5 个焦点．某大学新闻系学生利用 2015 年元旦的时间调查社会对这些热点的关注度，若准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点，则“整治裸官”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________. 导 学 号 25402387[答案] 72[解析] 先从“小官巨贪” 、 “拍蝇打虎” 、 “境外追逃” 、 “回马枪”这 4 个热点中选出 3个，有 C 种不同的选法；在调查时， “整治裸官”安排的顺序有 A 种可能情况，其余三个34 13热点顺序有 A 种，故不同调查顺序的总数为 C A A ＝72.3 341333．桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各 3 个，相同颜色的球不加以区分，将这 9 个球排成一排共有________种不同的排法(用数字作答). 导 学 号 25402388[答案] 1 680[解析] 可以考虑将此 9 个球同色加以区分的排成一排，除以相同颜色的球的排列数即可．所以满足题意的排列种数为 ＝A9A3·A3·A3＝ ＝3×8×7×5×29×8×7×6×5×4×3×2×13×2×1×3×2×1×3×2×1 9×8×7×5×43×2＝1 680.4．7 名师生站成一排照相留念．其中老师 1 人，男生 4 人，女生 2 人，在下列情况中，各有不同站法多少种. 导 学 号 25402389(1)2 名女生必须相邻；(2)4 名男生互不相邻；(3)若 4 名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．[答案] (1)1 440 (2)144 (3)420 (4)2 112[解析] (1)2 名女生站在一起有 A 种站法，视为一个元素与其余 5 人全排，有 A 种2 6排法，∴有不同站法 A A ＝1 440 种．26(2)先站老师和女生，有 A 种站法，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插男生，每3空一人，有插入方法 A 种，∴共有不同站法 A A ＝144 种．4 34(3)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A 种，而由高到低自从左到右，4或从右到左的不同．∴共有不同站法 2· ＝420.A7A4(4)中间和两侧是特殊位置可分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A A A 种站法．②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外 4 个位置之一，有 A12145A A 种站法．241445∴共有不同站法 A A A ＋ A A A ＝960＋1 152＝2 112 种．12145 241445．按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ 导 学 号 25402390(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本．[答案] (1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)15(6)90 (7)30[分析] 这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．[解析] (1)无序不均匀分组问题，先选 1 本有 C 种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有16C 种选法；最后余下 3 本全选有 C 种方法，故共有 C C C ＝60 种．25 3 16253(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C C C A ＝360 种．162533(3)无序均匀分组问题，先分三步，则应是 C C C 种方法，但是这里出现了重复．不妨26242记 6 本书为 A， B， C， D， E， F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为( AB， CD， EF)，则 C C C 种分法中还有( AB， EF， CD)，( CD， AB， EF)，( CD， EF， AB)，26242(EF， CD， AB)，( EF， AB， CD)，共 A 种情况，而这 A 种情况仅是 AB， CD， EF 的顺序不同，3 3因此只能作为一种分法，故分配方式有 ＝15 种．C26C24C2A3(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 ·A ＝ C C C ＝90 种．C26C24C2A3 3 26242(5)无序部分均匀分组问题，共有 ＝15 种．C46C12C1A2(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 ·A ＝90 种．C46C12C1A2 3(7)直接分配问题．甲选 1 本有 C 种方法，乙从余下 5 本中选 1 本有 C 种方法，余下16 154 本留给丙有 C 种方法，共有 C C C ＝30 种．4 16154