（新课标）2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量(理)习题（打包9套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 1 讲 分类加法计数原理与(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．已知两条异面直线 a、 b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为 ( )导 学 号 25402342A．40 B．16C．13 D．10[答案] C[解析] 分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．2．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中任意两个数的和都不等于 11，则这样的子集有 ( )导 学 号 25402343A．32 个 B．34 个C．36 个 D．38 个[答案] A[解析] 先把数字分成 5 组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的 5 个数中，任意两个数的和都不等于 11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32 个这样的子集．3．从 2,3,4,5,6,7,8,9 这 8 个数中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为 ( )导 学 号 25402344A．56 B．54C．53 D．52[答案] D[解析] 在 8 个数中任取 2 个不同的数共有 8×7＝56 个对数值；但在这 56 个对数值中，log24＝log 39，log 42＝log 93，log 23＝log 49，log 32＝log 94，即满足条件的对数值共有56－4＝52 个．4．我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 ( )导 学 号 25402345A．18 个 B．15 个C．12 个 D．9 个[答案] B2[解析] 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4,0,0 组成 3个数，分别为 400,040,004；由 3,1,0 组成 6 个数，分别为 310,301,130,103,013,031；由2,2,0 组成 3 个数，分别为 220,202,022；由 2,1,1 组成 3 个数，分别为 211,121,112，共计 3＋6＋3＋3＝15 个．5．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用 5 局 3 胜制的比赛规则，先羸 3 局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ( )导 学 号 25402346A．6 种 B．12 种C．18 种 D．20 种[答案] D[解析] 分三种情况：恰好打 3 局(一人赢 3 局)，有 2 种情形；恰好打 4 局(一人前 3局中赢 2 局，输 1 局，第 4 局赢)，共有 2C ＝6 种情形；恰好打 5 局(一个前 4 局中赢 2 局，23输 2 局，第 5 局赢)，共有 2C ＝12 种情形．所有可能出现的情形共有 2＋6＋12＝20 种．246．(2015·商洛一模)某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元．某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个连续的号，从 21 至 30中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花( )导 学 号 25402347A．3 360 元 B．6 720 元C．4 320 元 D．8 640 元[答案] D[解析] 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法；从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有 9 种选法；从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法；从 31 至 36 中选一个号有 6 种选法，由分步乘法计数原理知共有 8×9×10×6＝4 320(种)选法，故至少需花 4 320×2＝8 640(元)．二、填空题7．(2015·河北保定调研)已知集合 M＝{1,2,3,4}，集合 A， B 为集合 M 的非空子集，若对∀ x∈ A， y∈ B， x＜ y 恒成立，则称 (A， B)为集合 M 的一个 “子集对” ，则集合 M 的“子集对”共有________个. 导 学 号 25402348[答案] 17[解析] A＝{1}时， B 有 23－1 种情况；A＝{2}时， B 有 22－1 种情况；A＝{3}时， B 有 1 种情况；A＝{1,2}时， B 有 22－1 种情况；A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时， B 均有 1 种情况，3故满足题意的“子集对”共有 7＋3＋1＋3＋3＝17 个．8．如图所示，用五种不同的颜色分别给 A、 B、 C、 D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种. 导 学 号 25402349[答案] 180[解析] 按区域分四步：第一步， A 区域有 5 种颜色可选；第二步， B 区域有 4 种颜色可选；第三步， C 区域有 3 种颜色可选；第四步， D 区域也有 3 种颜色可选．由分步乘法计数原理，可得共有 5×4×3×3＝180 种不同的涂色方法．9．(2015·湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2，…，9 的 9 个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种. 导 学 号 25402350[答案] 108[解析] 把区域分为三部分，第一部分 1,5,9，有 3 种涂法．第二部分 4,7,8，当 5,7同色时，4,8 各有 2 种涂法，共 4 种涂法；当 5,7 异色时，7 有 2 种涂法，4、8 均只有 1 种涂法，故第二部分共 4＋2＝6 种涂法．第三部分与第二部分一样，共 6 种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有 3×6×6＝108 种涂法．10．在 2014 年南京青奥会百米决赛上，8 名男运动员参加 100 米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有________种. 导 学 号 25402351[答案] 2 880[解析] 分两步安排这 8 名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24 种．第二步：安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120 种．4∴安排这 8 人的方式有 24×120＝2 880 种．三、解答题11．为参加 2014 年云南昭通地震救灾，某运输公司有 7 个车队，每个车队的车辆均多于 4 辆．现从这个公司中抽调 10 辆车，并且每个车队至少抽调 1 辆，那么共有多少种不同的抽调方法？ 导 学 号 25402352[答案] 48[解析] 在每个车队抽调 1 辆车的基础上，还需抽调 3 辆车．可分成三类：一类是从某1 个车队抽调 3 辆，有 C 种抽调方法；一类是从 2 个车队中抽调，其中 1 个车队抽调 1 辆，17另 1 个车队抽调 2 辆，有 A 种抽调方法；一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆，有 C 种抽调方27 37法．故共有 C ＋ A ＋ C ＝84 种抽调方法．17 27 3712．现有 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？ 导 学 号 25402353[答案] 48[解析] 先给最上面的一块着色，有 4 种方法，再给中间左边一块着色，有 3 种方法，再给中间右边一块着色，有 2 种方法，最后再给下面一块着色，有 2 种方法，根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2×2＝48 种方法．B 组 能力提升1．已知集合 M＝{1,2,3}， N＝{1,2,3,4}，定义函数 f： M→ N.若点 A(1， f(1))、B(2， f(2))、 C(3， f(3))，△ ABC 的外接圆圆心为 D，且 ＋ ＝ λ (λ ∈R)，则满足条件DA→ DC→ DB→ 的函数 f(x)有 ( )导 学 号 25402354A．6 种 B．10 种C．12 种 D．16 种[答案] C[解析] 由 ＋ ＝ λ (λ ∈R)，说明△ ABC 是等腰三角形，且 BA＝ BC，必有 f(1)DA→ DC→ DB→ ＝ f(3)， f(1)≠ f(2)；当 f(1)＝ f(3)＝1，时， f(2)＝2、3、4，有三种情况．f(1)＝ f(3)＝2； f(2)＝1、3、4，有三种情况．f(1)＝ f(3)＝3； f(2)＝2、1、4，有三种情况．f(1)＝ f(3)＝4； f(2)＝2、3、1，有三种情况．5因而满足条件的函数 f(x)有 12 种．2．有 10 件不同的电子产品，其中有 2 件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到 2 件不稳定的产品全部找出后结束测试，则恰好 3 次就结束测试的情况有________种. 导 学 号 25402355[答案] 32[解析] 恰好 3 次就结束，即第 3 次测试到的产品运行不稳定：(1)若 3 次测试的产品运行分别为稳定、不稳定、不稳定，则有 2×8＝16(种)情况；(2)若 3 次测试的产品运行分别不稳定、稳定、不稳定，则有 2×8＝16(种)情况，故共有 32 种情况．3．若 m、 n 均为非负整数，在做 m＋ n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称( m， n)为“简单的”有序对，而 m＋ n 称为有序对( m， n)的值，那么值为 1 942的“简单的”有序对的个数是________. 导 学 号 25402356[答案] 300[解析] 第 1 步，1＝1＋0,1＝0＋1，共 2 种组合方式；第 2 步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共 10 种组合方式；第 3 步：4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共 5 种组合方式；第 4 步：2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共 3 种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为 1 942 的“简单的”有序对的个数为 2×10×5×3＝300.4．某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？ 导 学 号 25402357[答案] 20[解析] 由题意得有 1 人既会英语又会日语，6 人只会英语，2 人只会日语．第一类：从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，共有 6 种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此种共有 6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，则只有 1 种方法，则选会日语的有 2 种，此时共有 1×2＝2(种)；所以根据分类加法计数原理知共有 18＋2＝20(种)选法．5．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？ 导 学 号 25402358[答案] 11[解析] 方法一：分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论．(1)若 0 个相同，则信息为 1001.共 1 个．(2)若 1 个相同，则信息为 0001,1101,1011,1000.共 4 个．(3)若 2 个相同，又分为以下情况：6①若位置一与二相同，则信息为 0101；②位置一与二相同，则信息为 0011；③位置一与二相同，则信息为 0000；④位置一与二相同，则信息为 1111；⑤位置一与二相同，则信息为 1100；⑥位置一与二相同，则信息为 1010.共 6 个．故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 1＋4＋6＝11.方法二：若 0 个相同，共有 1 个；若 1 个相同，共有 C ＝4(个)；14若 2 个相同，共有 C ＝6(个)．故共有 1＋4＋6＝11(个)．2412017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 2 讲 排列与组合(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．(教材改编)用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )导 学 号 25402374A．8 B．24C．48 D．120[答案] C[解析] 末位数字排法有 A 种，其他位置排法有 A 种，共有 A A ＝48(种)．12 34 12342．10 名同学合影，站成了前排 3 人，后排 7 人．现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为 ( )导 学 号 25402375A． C A B． C A275 272C． C A D． C A2725 2735[答案] C[解析] 从后排抽 2 人的方法种数是 C ；前排的排列方法种数是 A .由分步乘法计数原27 25理知不同调整方法种数是 C A .27253．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( )导 学 号 25402376A．144 B．120C．72 D．24[答案] D[解析] 剩余的 3 个座位共有 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A ＝4×3×2＝24.344．将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ( )导 学 号 25402377A．12 种 B．10 种C．9 种 D．8 种[答案] A[解析] 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有 C ＝2(种)选派12方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有 C ＝6(种)选派方法．24由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6＝12(种)．5．(2015·四川德阳第一次诊断)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、2数学、英语、理综 4 科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 ( )导 学 号 25402378A．36 种 B．30 种C．24 种 D．6 种[答案] B[解析] 由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从 4 科中任选 2 科看作一个整体，然后做 3 个元素的全排列，共 C A 种方法，再从中排除数学、理综安排在243同一节的情形，共 A 种方法，故总的方法种数为 C A － A ＝36－6＝30.3 243 36．(2015·河北衡水冀州中学上学期第四次月考)将 A、 B、 C、 D、 E 五种不同的文件放入编号依次为 1、2、3、4、5、6、7 的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、 B 必须放入相邻的抽屉内，文件 C、 D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有( )导 学 号 25402379A．192 种 B．144 种C．288 种 D．240 种[答案] D[解析] 本题为相邻排列问题，可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件做排列，则有 A A A ＝240(种)放法，故选 D.2235二、填空题7．将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是________. 导 学 号 25402380[答案] 96[解析] 将 5 张参观券分成 4 堆，有 2 个连号有 4 种分法，每种分法再分给 4 人，各有A 种分法，∴不同的分法种数共有 4A ＝96.4 48．用 1、2、3、4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________. 导 学 号 25402381[答案] 8[解析] 先把两奇数捆绑在一起有 A 种方法，再用插空法共有 A ·C ·A ＝8 个．2 2 12 29．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种.导 学 号 25402382[答案] 24[解析] 甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A ·A ＝24(种)．2 2310．(2015·河北衡水重点中学上学期联考)某宾馆安排 A、 B、 C、 D、 E 五人入住 3 个房3间，每个房间至少住 1 人，且 A、 B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法(用数字作答). 导 学 号 25402383[答案] 114[解析] C ·A ＋ C C C － C ·A ＝114(种)．35 3 132523 24 3三、解答题11．从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数，试问： 导 学 号 25402384(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？[答案] (1)100800 (2)14400 (3)5760[解析] (1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 C 种情况；第二步，在 534个奇数中取 4 个，有 C 种情况；第三步，3 个偶数，4 个奇数进行排列，有 A 种情况．所45 7以符合题意的七位数有 C C A ＝100 800 个．34457(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C C A A ＝14 400 个．344553(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有 C C A A A ＝5 7603445342个．12．将 7 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中. 导 学 号 25402385(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？[答案] (1)20 (2)120[解析] (1)将 7 个相同的小球排成一排，在中间形成的 6 个空当中插入无区别的 3 个“隔板”将球分成 4 份，第一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有 C ＝20 种36不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列，即从10 个位置中选 3 个位置安排隔板，故共有 C ＝120 种放入方式．310B 组 能力提升1．现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在 4 个车库中(每个车库放 2 辆)，则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )导 学 号 25402386A．144 种 B．108 种C．72 种 D．36 种[答案] C[解析] 从 4 种小车中选取 2 种有 C 种选法，从 4 个车库中选取 2 个车库有 C 种选法，24 24然后将这 2 种小车放入这两个车库共有 A 种放法；将剩下的 2 种小车每 1 种分开来放，因24为同一品牌的小车完全相同，只有 1 种放法，所以共有 C C A ＝72(种)不同的放法．242422． “整治裸官” “小官巨贪” 、 “拍蝇打虎” 、 “境外追逃” 、 “回马枪”成为 2014 年国家反腐的 5 个焦点．某大学新闻系学生利用 2015 年元旦的时间调查社会对这些热点的关注度，若准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点，则“整治裸官”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________. 导 学 号 25402387[答案] 72[解析] 先从“小官巨贪” 、 “拍蝇打虎” 、 “境外追逃” 、 “回马枪”这 4 个热点中选出 3个，有 C 种不同的选法；在调查时， “整治裸官”安排的顺序有 A 种可能情况，其余三个34 13热点顺序有 A 种，故不同调查顺序的总数为 C A A ＝72.3 341333．桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各 3 个，相同颜色的球不加以区分，将这 9 个球排成一排共有________种不同的排法(用数字作答). 导 学 号 25402388[答案] 1 680[解析] 可以考虑将此 9 个球同色加以区分的排成一排，除以相同颜色的球的排列数即可．所以满足题意的排列种数为 ＝A9A3·A3·A3＝ ＝3×8×7×5×29×8×7×6×5×4×3×2×13×2×1×3×2×1×3×2×1 9×8×7×5×43×2＝1 680.4．7 名师生站成一排照相留念．其中老师 1 人，男生 4 人，女生 2 人，在下列情况中，各有不同站法多少种. 导 学 号 25402389(1)2 名女生必须相邻；(2)4 名男生互不相邻；(3)若 4 名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．[答案] (1)1 440 (2)144 (3)420 (4)2 112[解析] (1)2 名女生站在一起有 A 种站法，视为一个元素与其余 5 人全排，有 A 种2 6排法，∴有不同站法 A A ＝1 440 种．26(2)先站老师和女生，有 A 种站法，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插男生，每3空一人，有插入方法 A 种，∴共有不同站法 A A ＝144 种．4 34(3)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A 种，而由高到低自从左到右，4或从右到左的不同．∴共有不同站法 2· ＝420.A7A4(4)中间和两侧是特殊位置可分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A A A 种站法．②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外 4 个位置之一，有 A12145A A 种站法．241445∴共有不同站法 A A A ＋ A A A ＝960＋1 152＝2 112 种．12145 241445．按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ 导 学 号 25402390(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本．[答案] (1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)15(6)90 (7)30[分析] 这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．[解析] (1)无序不均匀分组问题，先选 1 本有 C 种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有16C 种选法；最后余下 3 本全选有 C 种方法，故共有 C C C ＝60 种．25 3 16253(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C C C A ＝360 种．162533(3)无序均匀分组问题，先分三步，则应是 C C C 种方法，但是这里出现了重复．不妨26242记 6 本书为 A， B， C， D， E， F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为( AB， CD， EF)，则 C C C 种分法中还有( AB， EF， CD)，( CD， AB， EF)，( CD， EF， AB)，26242(EF， CD， AB)，( EF， AB， CD)，共 A 种情况，而这 A 种情况仅是 AB， CD， EF 的顺序不同，3 3因此只能作为一种分法，故分配方式有 ＝15 种．C26C24C2A3(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 ·A ＝ C C C ＝90 种．C26C24C2A3 3 26242(5)无序部分均匀分组问题，共有 ＝15 种．C46C12C1A2(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 ·A ＝90 种．C46C12C1A2 3(7)直接分配问题．甲选 1 本有 C 种方法，乙从余下 5 本中选 1 本有 C 种方法，余下16 154 本留给丙有 C 种方法，共有 C C C ＝30 种．4 1615412017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 3 讲 二项式定理(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·湖南)已知( － )5的展开式中含 x 的项的系数为 30，则 a＝xax 32 ( )导 学 号 25402408A. B．－3 3C．6 D．－6[答案] D[解析] 由二项展开式的通项可得Tr＋1 ＝ C ( )5－ r(－ )r＝(－ a)rC x － ＝(－ a)rC x － r，令 － r＝ ，得 r＝1，r5 xax r55-r2 r2 r552 52 32所以(－ a)rC ＝(－ a)×C ＝30，则 a＝－6，选 D.r5 152．二项式( x－ )6的展开式中常数项为 ( )1x 导 学 号 25402409A．－15 B．15C．－20 D．20[答案] B[解析] 依题意，二项展开式的通项公式 Tr＋1 ＝ C x6－ r(－ x－ )r＝(－1) rC x6－ r－ ，令r612r6r26－ r－ ＝0，得 r＝4，所以常数项为(－1) 4C ＝15.r2 463．二项式( ax＋ )6的展开式的第二项的系数为－ ，则 －2 x2dx 的值为36 3 a∫( )导 学 号 25402410A. B．373C．3 或 D．3 或－73 103[答案] A[解析] 二项展开式的第二项为 T2＝ C (ax)5× ，则由题意有 ×C a5＝－ ，解得1636 36 16 32a＝－1，所以 x2dx＝ x3| ＝－ －(－ )＝ .－ 1∫－ 2 13 － 1－ 2 13 83 734．( x2－ x＋1) 10展开式中 x3项的系数为 ( )导 学 号 25402411A．－210 B．210C．30 D．－30[答案] A[解析] ( x2－ x＋1) 10＝[ x2－( x－1)] 10＝ C (x2)10－ C (x2)9(x－1)＋…－ C x2(x－1)01 10 9109＋ C (x－1) 10，所以含 x3项的系数为－ C C ＋ C (－ C )＝－210，故选 A.10 91089 10 7105．设复数 x＝ (i 是虚数单位)，则 C x＋ C x2＋ C x3＋…＋ C x2 2i1－ i 12 013 22 013 32 013 2 013013＝ ( )导 学 号 25402412A．i B．－iC．－1＋i D．1＋i[答案] C[解析] x＝ ＝－1＋i， C x＋ C x2＋ C x3＋…＋ C x2 013＝(1＋ x)2i1－ i 12 013 22 013 32 013 2 0132 013－1＝i 2 013－1＝i－1，选 C.6．若(1－2 x)2 016＝ a0＋ a1x＋…＋ a2 016x2 016(x∈R)，则 ＋ ＋ ＋…＋ 的值a12 a222 a323 a2 01622 016为 ( )导 学 号 25402413A．2 B．0C．－1 D．－2[答案] C[解析] 方法一：由二项式定理得通项为 Tr＋1 ＝ C (－2 x)r＝(－1) r2rC xr，r2 016 r2 016则 an＝(－1) n2nC ，∴ ＝(－1) nC .n2 016an2n n2 016则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝(1－1) 2 016－ C ＝－1.a12 a222 a323 a2 01622 016 02 16故选 C.方法二：原式令 x＝0，则 a0＝1.令 x＝ ，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝(1－2× )2 016－1＝－1.故选 C.12 a12 a222 a323 a2 01622 016 12二、填空题7．(2015·广东)在( －1) 4的展开式中， x 的系数为________.x 导 学 号 25402414[答案] 63[解析] 由题意得 Tr＋1 ＝ C ( )4－ r(－1) r＝(－1) rC ·x ，令 ＝1，得 r＝2，r4 x r44－ r2 4－ r2所以所求系数为(－1) 2C ＝6.24[点拨] 在应用二项展开式的通项时，要注意(－1) r，稍有不慎就会出错．8．设(5 x－ )n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若 M－ N＝240，1x则 n＝________. 导 学 号 25402415[答案] 4[解析] 令 x＝1 可得各项系数之和 M＝(5×1－ )n＝4 n，二项式系数之和 N＝2 n，由11M－ N＝240，得 4n－2 n＝240，即(2 n)2－2 n＝240，解得 2n＝16 或 2n＝－15(舍去)，所以n＝4.9．(2015·烟台一模)若( x2－ )n的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(1－3 x)1xn＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋…＋ anxn，则 a1＋ a2＋…＋ an的值为________. 导 学 号 25403027[答案] 255[解析] 展开式( x2－ )n的通项为 Tk＋1 ＝ C (x2)n－ k(－ )k＝ C (－1) kx2n－3 k，因为含 x1x kn 1x kn的项为第 6 项，所以 k＝5,2 n－3 k＝1，解得 n＝8.令 x＝1，得 a0＋ a1＋…＋ a8＝(1－3)8＝2 8，又 a0＝1，所以 a1＋…＋ a8＝2 8－1＝255.10．若 a1(x－1) 4＋ a2(x－1) 3＋ a3(x－1) 2＋ a4(x－1)＋ a5＝ x4，则a2＋ a3＋ a4＝________. 导 学 号 25402416[答案] 14[解析] x4＝[( x－1)＋1] 4＝ C (x－1) 4＋ C (x－1) 3＋ C (x－1) 2＋ C (x－1)＋ C ，对照04 14 24 34 4a1(x－1) 4＋ a2(x－1) 3＋ a3(x－1) 2＋ a4(x－1)＋ a5＝ x4得 a2＝ C ， a3＝ C ， a4＝ C ，所以14 24 34a2＋ a3＋ a4＝ C ＋ C ＋ C ＝14.14 24 34三、解答题11．已知( － )n(n∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1.x2x2导 学 号 25402417(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含 x 的项．32[答案] (1)1 (2)－16 x32[解析] 由题意知，第五项系数为 C ·(－2) 4，4n4第三项的系数为 C ·(－2) 2，则有 ＝ ，2nC4n· － 2 4C2n· － 2 2 101化简得 n2－5 n－24＝0，解得 n＝8 或 n＝－3(舍去)．(1)令 x＝1 得各项系数的和为(1－2) 8＝1.(2)通项公式 Tr＋1 ＝ C ( )8－ r(－ )r＝ C (－2) rx －2 r.r8 x2x2 r8 8-r2 令 －2 r＝ ，得 r＝1，故展开式中含 x 的项为8－ r2 32 32 T2＝－16 x .3212．已知( ＋2 x)n，12 导 学 号 25402418(1)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项．[答案] (1)3432 (2)16896 x10[解析] (1)∵ C ＋ C ＝2 C ，∴ n2－21 n＋98＝0，4n 6n 5n∴ n＝7 或 n＝14，当 n＝7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5，∴ T4的系数为 C ( )423＝ ，3713 352T5的系数为 C ( )324＝70.4712当 n＝14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8，∴ T8的系数为 C ( )727＝3 432.71412(2)∵ C ＋ C ＋ C ＝79，∴ n2＋ n－156＝0.0n 1n 2n∴ n＝12 或 n＝－13(舍去)．设 Tk＋1 项的系数最大，∵( ＋2 x)12＝( )12(1＋4 x)12，12 12∴Error!∴9.4≤ k≤10.4，∴ k＝10.∴展开式中系数最大的项为 T11，T11＝ C ·( )·210·x10＝16 896 x10.102125B 组 能力提升1．在(2 x＋ xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1 120，则 x＝( )导 学 号 25402419A．1 B．110C．1 或 D．－1110[答案] C[解析] 二项式系数最大的项为第 5 项，由题意可知 T4＋1 ＝ C (2x)4(xlgx)4＝1 120，所48以 x4(1＋lg x)＝1，两边取对数可知 lg2x＋lg x＝0，得 lgx＝0 或 lgx＝－1，故 x＝1 或 x＝ .1102．( ＋ ＋ )5的展开式中的常数项为________．(用数字作答)x2 1x 2 导 学 号 25402420[解析] 解法一：原式＝( )5＝ ·[(x＋ )2]5＝ (x＋ )10.x2＋ 22x＋ 22x 132x5 2 132x5 2求原式的展开式中的常数项，转化为求( x＋ )10的展开式中含 x5项的系数，即 C ·(2 510)5.2所以所求的常数项为 ＝ .C510· 2 532 6322解法二：要得到常数项，可以对 5 个括号中的选取情况进行分类：①5 个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( )5.2②5 个括号中的 1 个选 ，1 个选 ，3 个选 ，这样得到的常数项为 C C C ( )3.x2 1x 2 1512143 2③5 个括号中的 2 个选 ，2 个选 ，1 个选 ，这样得到的常数项为 C ( )2C .x2 1x 2 2512 232因此展开式的常数项为( )5＋ C C C ( )3＋ C ( )2C ＝ .2 1512143 2 2512 232 6322[点拨] 解法一利用完全平方式进行转化，利用二项式定理求解，是求解这类问题的一般方法；解法二利用组合的意义，关键是正确的分类，分类的标准是各个因式中对元素的不同选取方法，在分类时要做到“不重不漏” ．3．(2014·安徽)设 a≠0， n 是大于 1 的自然数，(1＋ )n的展开式为xaa0＋ a1x＋ a2x2＋…＋ anxn.若点 Ai(i， ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则 a＝________.导 学 号 254024216[答案] 3[解析] 由题图可知 a0＝1， a1＝3， a2＝4，由题意知Error!即Error!解得Error!4．若( ＋ )n展开式中前三项的系数成等差数列，求：x124x 导 学 号 25402422(1)展开式中所有 x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．[答案] (1) T1＝ x4， T5＝ x， T9＝ (2) T3＝7 x ， T4＝7 x358 1256x2 52 74 [解析] 易求得展开式前三项的系数为 1， C ， C .121n 142n据题意得 2× C ＝1＋ C ⇒n＝8.121n 142n(1)设展开式中的有理项为 Tk＋1 ，由 Tk＋1 ＝ C ( )8－ k( )k＝( )kC x ，k8 x124x 12 k816-3k4 ∴ k 为 4 的倍数，又 0≤ k≤8，∴ k＝0,4,8.故有理项为 T1＝( )0C x ＝ x4，12 0816-3×04 T5＝( )4C x ＝ x，12 4816-3×44 358T9＝( )8C x ＝ .12 816-3×48 1256x2(2)设展开式中 Tk＋1 项的系数最大，则：( )kC ≥( )k＋1 C 且( )kC ≥( )12 k8 12 k＋ 18 12 k8 12k－1 C ⇒k＝ 2 或 k＝3.k－ 18故展开式中系数最大的项为 T3＝( )2C x ＝7 x ，12 2816-3×28 52 T4＝( )3C x ＝7 x .12 3816-3×38 74 5．已知(1－2 x)7＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋…＋ a7x7.导 学 号 25402423求：(1) a1＋ a2＋…＋ a7；7(2)a1＋ a3＋ a5＋ a7；(3)a0＋ a2＋ a4＋ a6；(4)|a0|＋| a1|＋| a2|＋…＋| a7|.[答案] (1)－2 (2)－1094 (3)1093 (4)2187[解析] 令 x＝1，则 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝－1. ①令 x＝－1，则 a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5＋ a6－ a7＝3 7. ②(1)∵ a0＝ C ＝1，∴ a1＋ a2＋ a3＋…＋ a7＝－2.07(2)(①－②)÷2，得 a1＋ a3＋ a5＋ a7＝ ＝－1 094.－ 1－ 372(3)(①＋②)÷2，得 a0＋ a2＋ a4＋ a6＝ ＝1 093.－ 1＋ 372(4)方法一：∵(1－2 x)7展开式中， a0、 a2、 a4、 a6大于零，而 a1、 a3、 a5、 a7小于零，∴| a0|＋| a1|＋| a2|＋…＋| a7|＝( a0＋ a2＋ a4＋ a6)－( a1＋ a3＋ a5＋ a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.方法二：| a0|＋| a1|＋| a2|＋…＋| a7|，即(1＋2 x)7展开式中各项的系数和，令 x＝1，∴| a0|＋| a1|＋| a2|＋…＋| a7|＝3 7＝2 187.