1、12017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 1 讲 分类加法计数原理与(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1已知两条异面直线 a、 b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为 ( )导 学 号 25402342A40 B16C13 D10答案 C解析 分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面2从集合1,2,3,4，10中，选出 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中任意两个数的和都不等于 11，则这样的子
2、集有 ( )导 学 号 25402343A32 个 B34 个C36 个 D38 个答案 A解析 先把数字分成 5 组：1,10，2,9，3,8，4,7，5,6，由于选出的 5 个数中，任意两个数的和都不等于 11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2222232 个这样的子集3从 2,3,4,5,6,7,8,9 这 8 个数中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为 ( )导 学 号 25402344A56 B54C53 D52答案 D解析 在 8 个数中任取 2 个不同的数共有 8756 个对数值；但在这 56 个对数值中，log24log 39
3、，log 42log 93，log 23log 49，log 32log 94，即满足条件的对数值共有56452 个4我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 ( )导 学 号 25402345A18 个 B15 个C12 个 D9 个答案 B2解析 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4,0,0 组成 3个数，分别为 400,040,004；由 3,1,0 组成 6 个数，分别为 310,301,130,103,013,031；由2,2,0 组成 3 个数，分别为 220,202,02
4、2；由 2,1,1 组成 3 个数，分别为 211,121,112，共计 363315 个5在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用 5 局 3 胜制的比赛规则，先羸 3 局者获胜，直到决出胜负为止若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ( )导 学 号 25402346A6 种 B12 种C18 种 D20 种答案 D解析 分三种情况：恰好打 3 局(一人赢 3 局)，有 2 种情形；恰好打 4 局(一人前 3局中赢 2 局，输 1 局，第 4 局赢)，共有 2C 6 种情形；恰好打 5 局(一个前 4 局中赢 2 局，23输 2 局，第 5 局赢)，
5、共有 2C 12 种情形所有可能出现的情形共有 261220 种246(2015商洛一模)某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个连续的号，从 21 至 30中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花( )导 学 号 25402347A3 360 元 B6 720 元C4 320 元 D8 640 元答案 D解析 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法；从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有
6、 9 种选法；从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法；从 31 至 36 中选一个号有 6 种选法，由分步乘法计数原理知共有 891064 320(种)选法，故至少需花 4 32028 640(元)二、填空题7(2015河北保定调研)已知集合 M1,2,3,4，集合 A， B 为集合 M 的非空子集，若对 x A， y B， x y 恒成立，则称 (A， B)为集合 M 的一个 “子集对” ，则集合 M 的“子集对”共有_个. 导 学 号 25402348答案 17解析 A1时， B 有 231 种情况；A2时， B 有 221 种情况；A3时， B 有 1 种情况；A1,2时，
7、B 有 221 种情况；A1,3，2,3，1,2,3时， B 均有 1 种情况，3故满足题意的“子集对”共有 7313317 个8如图所示，用五种不同的颜色分别给 A、 B、 C、 D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有_种. 导 学 号 25402349答案 180解析 按区域分四步：第一步， A 区域有 5 种颜色可选；第二步， B 区域有 4 种颜色可选；第三步， C 区域有 3 种颜色可选；第四步， D 区域也有 3 种颜色可选由分步乘法计数原理，可得共有 5433180 种不同的涂色方法9(2015湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色
8、去涂图中标号为 1,2，9 的 9 个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种. 导 学 号 25402350答案 108解析 把区域分为三部分，第一部分 1,5,9，有 3 种涂法第二部分 4,7,8，当 5,7同色时，4,8 各有 2 种涂法，共 4 种涂法；当 5,7 异色时，7 有 2 种涂法，4、8 均只有 1 种涂法，故第二部分共 426 种涂法第三部分与第二部分一样，共 6 种涂法由分步乘法计数原理，可得共有 366108 种涂法10在 2014 年南京青奥会百米决赛上，8 名男
9、运动员参加 100 米决赛其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_种. 导 学 号 25402351答案 2 880解析 分两步安排这 8 名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排安排方式有43224 种第二步：安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有54321120 种4安排这 8 人的方式有 241202 880 种三、解答题11为参加 2014 年云南昭通地震救灾，某运输公司有 7 个车队，每个车队的车辆均多于 4 辆现从这个公司中抽调
10、 10 辆车，并且每个车队至少抽调 1 辆，那么共有多少种不同的抽调方法？ 导 学 号 25402352答案 48解析 在每个车队抽调 1 辆车的基础上，还需抽调 3 辆车可分成三类：一类是从某1 个车队抽调 3 辆，有 C 种抽调方法；一类是从 2 个车队中抽调，其中 1 个车队抽调 1 辆，17另 1 个车队抽调 2 辆，有 A 种抽调方法；一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆，有 C 种抽调方27 37法故共有 C A C 84 种抽调方法17 27 3712现有 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？ 导 学 号
11、25402353答案 48解析 先给最上面的一块着色，有 4 种方法，再给中间左边一块着色，有 3 种方法，再给中间右边一块着色，有 2 种方法，最后再给下面一块着色，有 2 种方法，根据分步乘法计数原理，共有 432248 种方法B 组 能力提升1已知集合 M1,2,3， N1,2,3,4，定义函数 f： M N.若点 A(1， f(1)、B(2， f(2)、 C(3， f(3)， ABC 的外接圆圆心为 D，且 ( R)，则满足条件DA DC DB 的函数 f(x)有 ( )导 学 号 25402354A6 种 B10 种C12 种 D16 种答案 C解析 由 ( R)，说明 ABC 是等
12、腰三角形，且 BA BC，必有 f(1)DA DC DB f(3)， f(1) f(2)；当 f(1) f(3)1，时， f(2)2、3、4，有三种情况f(1) f(3)2； f(2)1、3、4，有三种情况f(1) f(3)3； f(2)2、1、4，有三种情况f(1) f(3)4； f(2)2、3、1，有三种情况5因而满足条件的函数 f(x)有 12 种2有 10 件不同的电子产品，其中有 2 件产品运行不稳定技术人员对它们进行一一测试，直到 2 件不稳定的产品全部找出后结束测试，则恰好 3 次就结束测试的情况有_种. 导 学 号 25402355答案 32解析 恰好 3 次就结束，即第 3
13、次测试到的产品运行不稳定：(1)若 3 次测试的产品运行分别为稳定、不稳定、不稳定，则有 2816(种)情况；(2)若 3 次测试的产品运行分别不稳定、稳定、不稳定，则有 2816(种)情况，故共有 32 种情况3若 m、 n 均为非负整数，在做 m n 的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称( m， n)为“简单的”有序对，而 m n 称为有序对( m， n)的值，那么值为 1 942的“简单的”有序对的个数是_. 导 学 号 25402356答案 300解析 第 1 步，110,101，共 2 种组合方式；第 2 步，909,918,927,936，990，共 10
14、 种组合方式；第 3 步：404,413,422,431,440，共 5 种组合方式；第 4 步：202,211,220，共 3 种组合方式根据分步乘法计数原理，值为 1 942 的“简单的”有序对的个数为 21053300.4某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？ 导 学 号 25402357答案 20解析 由题意得有 1 人既会英语又会日语，6 人只会英语，2 人只会日语第一类：从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，共有 6 种方法，则说日语的有213(种)，此种共有 6318(种)；第二类：
15、不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，则只有 1 种方法，则选会日语的有 2 种，此时共有 122(种)；所以根据分类加法计数原理知共有 18220(种)选法5在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？ 导 学 号 25402358答案 11解析 方法一：分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论(1)若 0 个相同，则信息为 1001.共 1 个(2)若 1 个相同，则信息为 0001,1101,1011,1000.共 4 个(3)若 2
16、个相同，又分为以下情况：6若位置一与二相同，则信息为 0101；位置一与二相同，则信息为 0011；位置一与二相同，则信息为 0000；位置一与二相同，则信息为 1111；位置一与二相同，则信息为 1100；位置一与二相同，则信息为 1010.共 6 个故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 14611.方法二：若 0 个相同，共有 1 个；若 1 个相同，共有 C 4(个)；14若 2 个相同，共有 C 6(个)故共有 14611(个)2412017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 2 讲 排列与组合(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1(教材
17、改编)用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )导 学 号 25402374A8 B24C48 D120答案 C解析 末位数字排法有 A 种，其他位置排法有 A 种，共有 A A 48(种)12 34 1234210 名同学合影，站成了前排 3 人，后排 7 人现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为 ( )导 学 号 25402375A C A B C A275 272C C A D C A2725 2735答案 C解析 从后排抽 2 人的方法种数是 C ；前排的排列方法种数是 A .由分步乘法计数原27 25理知不同
18、调整方法种数是 C A .272536 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( )导 学 号 25402376A144 B120C72 D24答案 D解析 剩余的 3 个座位共有 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A 43224.344将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ( )导 学 号 25402377A12 种 B10 种C9 种 D8 种答案 A解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有 C 2(种)选派12方法
19、；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有 C 6(种)选派方法24由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2612(种)5(2015四川德阳第一次诊断)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、2数学、英语、理综 4 科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 ( )导 学 号 25402378A36 种 B30 种C24 种 D6 种答案 B解析 由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从 4 科中任选 2 科看作一个整体，然后做 3 个元素的全排列，共 C A 种方法，再从中排除数学、理综安排在243同一节的情形，共
20、 A 种方法，故总的方法种数为 C A A 36630.3 243 36(2015河北衡水冀州中学上学期第四次月考)将 A、 B、 C、 D、 E 五种不同的文件放入编号依次为 1、2、3、4、5、6、7 的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、 B 必须放入相邻的抽屉内，文件 C、 D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有( )导 学 号 25402379A192 种 B144 种C288 种 D240 种答案 D解析 本题为相邻排列问题，可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件做排列，则有 A A A 240(种)放法，故选 D.2235二、填空题7将序号分别为 1、2、3
21、、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_. 导 学 号 25402380答案 96解析 将 5 张参观券分成 4 堆，有 2 个连号有 4 种分法，每种分法再分给 4 人，各有A 种分法，不同的分法种数共有 4A 96.4 48用 1、2、3、4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_. 导 学 号 25402381答案 8解析 先把两奇数捆绑在一起有 A 种方法，再用插空法共有 A C A 8 个2 2 12 29某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成
22、一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有_种.导 学 号 25402382答案 24解析 甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A A 24(种)2 2310(2015河北衡水重点中学上学期联考)某宾馆安排 A、 B、 C、 D、 E 五人入住 3 个房3间，每个房间至少住 1 人，且 A、 B 不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法(用数字作答). 导 学 号 25402383答案 114解析 C A C C C C A 114(种)35 3 132523 24 3三、解答题11从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数
23、 4 个奇数，试问： 导 学 号 25402384(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？答案 (1)100800 (2)14400 (3)5760解析 (1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 C 种情况；第二步，在 534个奇数中取 4 个，有 C 种情况；第三步，3 个偶数，4 个奇数进行排列，有 A 种情况所45 7以符合题意的七位数有 C C A 100 800 个34457(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C C A A 14 400 个3445
24、53(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有 C C A A A 5 7603445342个12将 7 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中. 导 学 号 25402385(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？答案 (1)20 (2)120解析 (1)将 7 个相同的小球排成一排，在中间形成的 6 个空当中插入无区别的 3 个“隔板”将球分成 4 份，第一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有 C 20 种36不同的放入方式(2)每种放入方式对应于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板”进行一次排列，即从10 个位置中
25、选 3 个位置安排隔板，故共有 C 120 种放入方式310B 组 能力提升1现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在 4 个车库中(每个车库放 2 辆)，则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )导 学 号 25402386A144 种 B108 种C72 种 D36 种答案 C解析 从 4 种小车中选取 2 种有 C 种选法，从 4 个车库中选取 2 个车库有 C 种选法，24 24然后将这 2 种小车放入这两个车库共有 A 种放法；将剩下的 2 种小车每 1 种分开来放，因24为同一品牌的小车完全相同，只有 1 种放法，所以共有 C C
26、 A 72(种)不同的放法242422 “整治裸官” “小官巨贪” 、 “拍蝇打虎” 、 “境外追逃” 、 “回马枪”成为 2014 年国家反腐的 5 个焦点某大学新闻系学生利用 2015 年元旦的时间调查社会对这些热点的关注度，若准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点，则“整治裸官”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为_. 导 学 号 25402387答案 72解析 先从“小官巨贪” 、 “拍蝇打虎” 、 “境外追逃” 、 “回马枪”这 4 个热点中选出 3个，有 C 种不同的选法；在调查时， “整治裸官”安排的顺序有 A 种可能情况，其余三个34 13热点顺序有 A 种，
27、故不同调查顺序的总数为 C A A 72.3 341333桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各 3 个，相同颜色的球不加以区分，将这 9 个球排成一排共有_种不同的排法(用数字作答). 导 学 号 25402388答案 1 680解析 可以考虑将此 9 个球同色加以区分的排成一排，除以相同颜色的球的排列数即可所以满足题意的排列种数为 A9A3A3A3 38752987654321321321321 98754321 680.47 名师生站成一排照相留念其中老师 1 人，男生 4 人，女生 2 人，在下列情况中，各有不同站法多少种. 导 学 号 25402389(1)2 名女生必须相邻；(2
28、)4 名男生互不相邻；(3)若 4 名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端答案 (1)1 440 (2)144 (3)420 (4)2 112解析 (1)2 名女生站在一起有 A 种站法，视为一个元素与其余 5 人全排，有 A 种2 6排法，有不同站法 A A 1 440 种26(2)先站老师和女生，有 A 种站法，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插男生，每3空一人，有插入方法 A 种，共有不同站法 A A 144 种4 34(3)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A 种，而由高到低自从左到右，4或从右到左的不同共有不同站法 2 420
29、.A7A4(4)中间和两侧是特殊位置可分类求解：老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A A A 种站法两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外 4 个位置之一，有 A12145A A 种站法241445共有不同站法 A A A A A A 9601 1522 112 种12145 241445按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ 导 学 号 25402390(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本
30、；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本答案 (1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)15(6)90 (7)30分析 这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏解析 (1)无序不均匀分组问题，先选 1 本有 C 种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有16C 种选法；最后余下 3 本全选有 C 种方法，故共有 C C C 60 种25 3 16253(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同
31、的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C C C A 360 种162533(3)无序均匀分组问题，先分三步，则应是 C C C 种方法，但是这里出现了重复不妨26242记 6 本书为 A， B， C， D， E， F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为( AB， CD， EF)，则 C C C 种分法中还有( AB， EF， CD)，( CD， AB， EF)，( CD， EF， AB)，26242(EF， CD， AB)，( EF， AB， CD)，共 A 种情况，而这 A 种情况仅是 AB， CD， EF 的顺序不同，3 3因此只能作为一种分
32、法，故分配方式有 15 种C26C24C2A3(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 A C C C 90 种C26C24C2A3 3 26242(5)无序部分均匀分组问题，共有 15 种C46C12C1A2(6)有序部分均匀分组问题在第(5)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 A 90 种C46C12C1A2 3(7)直接分配问题甲选 1 本有 C 种方法，乙从余下 5 本中选 1 本有 C 种方法，余下16 154 本留给丙有 C 种方法，共有 C C C 30 种4 1615412017 高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第 3
33、 讲 二项式定理(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1(2015湖南)已知( )5的展开式中含 x 的项的系数为 30，则 axax 32 ( )导 学 号 25402408A. B3 3C6 D6答案 D解析 由二项展开式的通项可得Tr1 C ( )5 r( )r( a)rC x ( a)rC x r，令 r ，得 r1，r5 xax r55-r2 r2 r552 52 32所以( a)rC ( a)C 30，则 a6，选 D.r5 152二项式( x )6的展开式中常数项为 ( )1x 导 学 号 25402409A15 B15C20 D20答案 B解析 依题意，二项展开式的通项公式 Tr
34、1 C x6 r( x )r(1) rC x6 r ，令r612r6r26 r 0，得 r4，所以常数项为(1) 4C 15.r2 463二项式( ax )6的展开式的第二项的系数为 ，则 2 x2dx 的值为36 3 a( )导 学 号 25402410A. B373C3 或 D3 或73 103答案 A解析 二项展开式的第二项为 T2 C (ax)5 ，则由题意有 C a5 ，解得1636 36 16 32a1，所以 x2dx x3| ( ) . 1 2 13 1 2 13 83 734( x2 x1) 10展开式中 x3项的系数为 ( )导 学 号 25402411A210 B210C3
35、0 D30答案 A解析 ( x2 x1) 10 x2( x1) 10 C (x2)10 C (x2)9(x1) C x2(x1)01 10 9109 C (x1) 10，所以含 x3项的系数为 C C C ( C )210，故选 A.10 91089 10 7105设复数 x (i 是虚数单位)，则 C x C x2 C x3 C x2 2i1 i 12 013 22 013 32 013 2 013013 ( )导 学 号 25402412Ai BiC1i D1i答案 C解析 x 1i， C x C x2 C x3 C x2 013(1 x)2i1 i 12 013 22 013 32 01
36、3 2 0132 0131i 2 0131i1，选 C.6若(12 x)2 016 a0 a1x a2 016x2 016(xR)，则 的值a12 a222 a323 a2 01622 016为 ( )导 学 号 25402413A2 B0C1 D2答案 C解析 方法一：由二项式定理得通项为 Tr1 C (2 x)r(1) r2rC xr，r2 016 r2 016则 an(1) n2nC ， (1) nC .n2 016an2n n2 016则 (11) 2 016 C 1.a12 a222 a323 a2 01622 016 02 16故选 C.方法二：原式令 x0，则 a01.令 x ，
37、则 (12 )2 01611.故选 C.12 a12 a222 a323 a2 01622 016 12二、填空题7(2015广东)在( 1) 4的展开式中， x 的系数为_.x 导 学 号 25402414答案 63解析 由题意得 Tr1 C ( )4 r(1) r(1) rC x ，令 1，得 r2，r4 x r44 r2 4 r2所以所求系数为(1) 2C 6.24点拨 在应用二项展开式的通项时，要注意(1) r，稍有不慎就会出错8设(5 x )n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若 M N240，1x则 n_. 导 学 号 25402415答案 4解析 令 x1 可得
38、各项系数之和 M(51 )n4 n，二项式系数之和 N2 n，由11M N240，得 4n2 n240，即(2 n)22 n240，解得 2n16 或 2n15(舍去)，所以n4.9(2015烟台一模)若( x2 )n的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(13 x)1xn a0 a1x a2x2 anxn，则 a1 a2 an的值为_. 导 学 号 25403027答案 255解析 展开式( x2 )n的通项为 Tk1 C (x2)n k( )k C (1) kx2n3 k，因为含 x1x kn 1x kn的项为第 6 项，所以 k5,2 n3 k1，解得 n8.令 x1，得 a0 a1 a
39、8(13)82 8，又 a01，所以 a1 a82 81255.10若 a1(x1) 4 a2(x1) 3 a3(x1) 2 a4(x1) a5 x4，则a2 a3 a4_. 导 学 号 25402416答案 14解析 x4( x1)1 4 C (x1) 4 C (x1) 3 C (x1) 2 C (x1) C ，对照04 14 24 34 4a1(x1) 4 a2(x1) 3 a3(x1) 2 a4(x1) a5 x4得 a2 C ， a3 C ， a4 C ，所以14 24 34a2 a3 a4 C C C 14.14 24 34三、解答题11已知( )n(nN *)的展开式中第五项的系数
40、与第三项的系数的比是 101.x2x2导 学 号 25402417(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含 x 的项32答案 (1)1 (2)16 x32解析 由题意知，第五项系数为 C (2) 4，4n4第三项的系数为 C (2) 2，则有 ，2nC4n 2 4C2n 2 2 101化简得 n25 n240，解得 n8 或 n3(舍去)(1)令 x1 得各项系数的和为(12) 81.(2)通项公式 Tr1 C ( )8 r( )r C (2) rx 2 r.r8 x2x2 r8 8-r2 令 2 r ，得 r1，故展开式中含 x 的项为8 r2 32 32 T216 x .3212已
41、知( 2 x)n，12 导 学 号 25402418(1)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项答案 (1)3432 (2)16896 x10解析 (1) C C 2 C ， n221 n980，4n 6n 5n n7 或 n14，当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5， T4的系数为 C ( )423 ，3713 352T5的系数为 C ( )32470.4712当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8， T8的系数为 C ( )72
42、73 432.71412(2) C C C 79， n2 n1560.0n 1n 2n n12 或 n13(舍去)设 Tk1 项的系数最大，( 2 x)12( )12(14 x)12，12 12Error!9.4 k10.4， k10.展开式中系数最大的项为 T11，T11 C ( )210x1016 896 x10.102125B 组 能力提升1在(2 x xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1 120，则 x( )导 学 号 25402419A1 B110C1 或 D1110答案 C解析 二项式系数最大的项为第 5 项，由题意可知 T41 C (2x)4(xlgx)41 1
43、20，所48以 x4(1lg x)1，两边取对数可知 lg2xlg x0，得 lgx0 或 lgx1，故 x1 或 x .1102( )5的展开式中的常数项为_(用数字作答)x2 1x 2 导 学 号 25402420解析 解法一：原式( )5 (x )25 (x )10.x2 22x 22x 132x5 2 132x5 2求原式的展开式中的常数项，转化为求( x )10的展开式中含 x5项的系数，即 C (2 510)5.2所以所求的常数项为 .C510 2 532 6322解法二：要得到常数项，可以对 5 个括号中的选取情况进行分类：5 个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( )5.2
44、5 个括号中的 1 个选 ，1 个选 ，3 个选 ，这样得到的常数项为 C C C ( )3.x2 1x 2 1512143 25 个括号中的 2 个选 ，2 个选 ，1 个选 ，这样得到的常数项为 C ( )2C .x2 1x 2 2512 232因此展开式的常数项为( )5 C C C ( )3 C ( )2C .2 1512143 2 2512 232 6322点拨 解法一利用完全平方式进行转化，利用二项式定理求解，是求解这类问题的一般方法；解法二利用组合的意义，关键是正确的分类，分类的标准是各个因式中对元素的不同选取方法，在分类时要做到“不重不漏” 3(2014安徽)设 a0， n 是
45、大于 1 的自然数，(1 )n的展开式为xaa0 a1x a2x2 anxn.若点 Ai(i， ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则 a_.导 学 号 254024216答案 3解析 由题图可知 a01， a13， a24，由题意知Error!即Error!解得Error!4若( )n展开式中前三项的系数成等差数列，求：x124x 导 学 号 25402422(1)展开式中所有 x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项答案 (1) T1 x4， T5 x， T9 (2) T37 x ， T47 x358 1256x2 52 74 解析 易求得展开式前三项的系数为 1， C ， C .121
46、n 142n据题意得 2 C 1 C n8.121n 142n(1)设展开式中的有理项为 Tk1 ，由 Tk1 C ( )8 k( )k( )kC x ，k8 x124x 12 k816-3k4 k 为 4 的倍数，又 0 k8， k0,4,8.故有理项为 T1( )0C x x4，12 0816-304 T5( )4C x x，12 4816-344 358T9( )8C x .12 816-348 1256x2(2)设展开式中 Tk1 项的系数最大，则：( )kC ( )k1 C 且( )kC ( )12 k8 12 k 18 12 k8 12k1 C k 2 或 k3.k 18故展开式中
47、系数最大的项为 T3( )2C x 7 x ，12 2816-328 52 T4( )3C x 7 x .12 3816-338 74 5已知(12 x)7 a0 a1x a2x2 a7x7.导 学 号 25402423求：(1) a1 a2 a7；7(2)a1 a3 a5 a7；(3)a0 a2 a4 a6；(4)|a0| a1| a2| a7|.答案 (1)2 (2)1094 (3)1093 (4)2187解析 令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a71. 令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a73 7. (1) a0 C 1， a1 a2 a3 a72.07(2)()2，得 a1 a3 a5 a7 1 094. 1 372(3)()2，得 a0 a2 a4 a6 1 093. 1 372(4)方法一：(12 x)7展开式中， a0、 a2、 a4、 a6大于零，而 a1、 a3、 a5、 a7小于零，| a0| a1| a2| a7|( a0 a2 a4 a6)( a1 a3 a5 a7)1 093(1 094)2 187.方法二：| a0| a1| a2| a7|，即(12 x)7展开式中各项的系数和，令 x1，| a0| a1| a2| a7|3 72 187.
