（新课标）2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何习题（打包9套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 8 讲 直线与圆锥曲线习题A 组 基础巩固一、选择题1．直线 y＝ x＋3 与双曲线 － ＝1 的交点个数是 ( )ba x2a2 y2b2 导 学 号 25402101A．1 B．2C．1 或 2 D．0[答案] A[解析] 因为直线 y＝ x＋3 与双曲线的渐近线 y＝ x 平行，所以它与双曲线只有 1 个ba ba交点．2．(2015·浙江舟山三模)已知椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1( m＞0)，如果直线 y＝ x 与x216 y2m2 22椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 ( )导 学 号 25402102A．2 B．2 2C．8 D．2 3[答案] B[解析] 根据已知条件得 c＝ ，则点( ， )在椭圆16－ m2 16－ m222 16－ m2＋ ＝1( m＞0)上，∴ ＋ ＝1，可得 m＝2 .x216 y2m2 16－ m216 16－ m22m2 23．(2015·四川雅安月考)抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 的3直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A， AK⊥ l，垂足为 K，则△ AKF 的面积是( )导 学 号 25402103A．4 B．3 3C．4 D．83[答案] C[解析] ∵ y2＝4 x，∴ F(1,0)， l： x＝－1，过焦点 F 且斜率为 的直线3l1： y＝ (x－1)，与 y2＝4 x 联立，解得 A(3，2 )，∴ AK＝4，∴ S△ AKF＝ ×4×2 ＝4 .3 312 3 34．已知抛物线 C： y2＝8 x 与点 M(－2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A、 B 两点．若 · ＝0，则 k＝ ( )MA→ MB→ 导 学 号 25402104A. B．12 222C. D．22[答案] D[解析] 如图所示，设 F 为焦点，取 AB 的中点 P，过 A、 B 分别作准线的垂线，垂足分别为 G、 H，连接 MF、 MP，由 · ＝0，知MA→ MB→ MA⊥ MB，则| MP|＝ |AB|＝ (|AG|＋| BH|)，所以 MP 为直角梯形 BHGA 的12 12中位线，所以 MP∥ AG∥ BH，所以∠ GAM＝∠ AMP＝∠ MAP，又|AG|＝| AF|， AM 为公共边，所以△ AMG≌△ AMF，所以∠ AFM＝∠ AGM＝90°，则 MF⊥ AB，所以 k＝－ ＝2.1kMF5．(2015·武汉调研)已知椭圆 E： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的x2a2 y2b2直线交 E 于 A、 B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 ( )导 学 号 25402105A. ＋ ＝1 B． ＋ ＝1x245 y236 x236 y227C. ＋ ＝1 D． ＋ ＝1x227 y218 x218 y29[答案] D[解析] 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ＋ ＝1， ＋ ＝1，两式作差并化简变形得x21a2 y21b2 x2a2 y2b2＝－ ，而 ＝ ＝ ， x1＋ x2＝2， y1＋ y2＝－2，所以y1－ y2x1－ x2 b2 x1＋ x2a2 y1＋ y2 y1－ y2x1－ x2 0－  － 13－ 1 12a2＝2 b2，又因为 a2－ b2＝ c2＝9，于是 a2＝18， b2＝9.故选 D.6．(2015·丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 ＋ y2＝1 相交于 A、 B 两点，则| AB|的x24最大值为 ( )导 学 号 25402106A．2 B．455C. D．4105 8105[答案] C[解析] 设 A、 B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l 的方程为 y＝ x＋ t，由Error! 消去 y，得 5x2＋8 tx＋4( t2－1)＝0.则 x1＋ x2＝－ t， x1x2＝ .85 4 t2－ 15∴| AB|＝ |x1－ x2|1＋ k2＝ ·1＋ k2  x1＋ x2 2－ 4x1x23＝ ·2 － 85t 2－ 4×4 t2－ 15＝ · ，425 5－ t2当 t＝0 时，| AB|max＝ .4105二、填空题7．已知抛物线 y2＝8 x，过动点 M(a,0)，且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点A、 B，| AB|≤8，则实数 a 的取值范围是____________________. 导 学 号 25402107[答案] －2＜ a≤－1[解析] 将 l 的方程 y＝ x－ a 代入 y2＝8 x，得 x2－2( a＋4) x＋ a2＝0.则| AB|＝ 2[ x1＋ x2 2－ 4x1x2]＝ ≤8，又∵| AB|＞0，32 4＋ 2a∴－2＜ a≤－1.8．(2015·上海静安一模)已知椭圆 C： ＋ ＝1，过椭圆 C 上一点 P(1， )作倾斜x22 y24 2角互补的两条直线 PA、 PB，分别交椭圆 C 于 A、 B 两点．则直线 AB 的斜率为____________________.导 学 号 25402108[答案] 2[解析] 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，同时设 PA 的方程为 y－ ＝ k(x－1)，代入椭圆方2程化简得( k2＋2) x2－2 k(k－ )x＋ k2－2 k－2＝0，显然 1 和 x1是这个方程的两解．因此2 2x1＝ ， y1＝ .由一 k 代替 x1， y1中的 k，得k2－ 22k－ 2k2＋ 2 － 2k2－ 4k＋ 22k2＋ 2x2＝ ， y2＝ ，所以 ＝ .k2＋ 22k－ 2k2＋ 2 － 2k2＋ 4k＋ 22k2＋ 2 y2－ y1x2－ x1 29．(2015·福建福州质检)已知 F1、 F2是双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的左、右焦点，x2a2 y2b2若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y＝ x 对称，则该双曲线的离心率为ba____________________.导 学 号 25402109[答案] 5[解析] 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y＝ 对称，则 PF1⊥ PF2.又bxa＝ ，联立| PF2|－| PF1|＝2 a，| PF2|2＋| PF1|2＝(2 c)2，可得 b3＋ a2b＝2 c2a.所以|PF2||PF1| bab＝2 a， e＝ .5410．(2015·大连双基测试)过抛物线 y2＝2 px(p＞0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于B、 C 两点， l 与抛物线准线交于点 A，且| AF|＝6， ＝2 ，则| BC|＝___________.AF→ FB→ 导 学 号 25403026[答案] 92[解析] 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ ，其中 0＜ θ ＜ ，点 B(x1， y1)， C(x2， y2)，则π 2点 B 在 x 轴的上方．过点 B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为 B1，于是有| BF|＝| BB1|＝3，＝ ，由此得 p＝2，抛物线方程是 y2＝4 x，焦点 F(1,0)，|AF||AB| p|BB1|cosθ ＝ ＝ ＝ ＝ ，sin θ ＝ ＝ ，tan θ ＝ ＝2 ，直线p|AF| p6 26 13 1－ cos2θ 223 sinθcosθ 2l： y＝2 (x－1)．由Error! 消去 y，得22x2－5 x＋2＝0， x1＋ x2＝ ，| BC|＝ x1＋ x2＋ p＝ ＋2＝ .52 52 92三、解答题11．(2015·河南洛阳第一次统一考试)已知过点 M( ，0)的直线 l 与抛物线p2y2＝2 px(p＞0)交于 A、 B 两点，且 · ＝－3，其中 O 为坐标原点.OA→ OB→ 导 学 号 25402110(1)求 p 的值；(2)当| AM|＋4| BM|最小时，求直线 l 的方程．[答案] (1) p＝2 (2)4 x± y－4＝02[解析] (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 的方程为 x＝ my＋ .p2联立Error! 消去 x 得 y2－2 pmy－ p2＝0.∴ y1＋ y2＝2 pm， y1y2＝－ p2.∵ · ＝－3，∴ x1x2＋ y1y2＝－3.又OA→ OB→ x1x2＝ · ＝ ，∴ － p2＝－3⇒ p2＝4.∵ p＞0，∴ p＝2.y212p y22p p24 p24(2)由抛物线定义，得| AM|＝ x1＋ ＝ x1＋1，| BM|＝ x2＋ ＝ x2＋1，p2 p2∴| AM|＋4| BM|＝ x1＋4 x2＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当 x1＝4 x2时取等号．4x1x2将 x1＝4 x2代入 x1x2＝ ＝1，得 x2＝ (负值舍去)．p24 12将 x2＝ 代入 y2＝4 x，得 y2＝± ，即点 B( ，± )．12 2 12 25将点 B 代入 x＝ my＋1，得 m＝± .24∴直线 l 的方程为 x＝± y＋1，即 4x± y－4＝0.24 212．(2015·山西第四次诊断)如图，分别过椭圆 E： ＋ ＝1( a＞ b＞0)左、右焦点x2a2 y2b2F1、 F2的动直线 l1、 l2相交于点 P，与椭圆 E 分别交于 A、 B 与 C、 D 不同四点，直线OA、 OB、 OC、 OD 的斜率 k1、 k2、 k3、 k4满足 k1＋ k2＝ k3＋ k4.已知当 l1与 x 轴重合时，|AB|＝2 ，| CD|＝ .3433 导 学 号 25402111(1)求椭圆 E 的方程．(2)是否存在定点 M、 N，使得| PM|＋| PN|为定值？若存在，求出点 M、 N 坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．[答案] (1) ＋ ＝1 (2)存在， M(0，－1)， N(0,1)，定值为 2x23 y22 2[解析] (1)当 l1与 x 轴重合时， k1＋ k2＝ k3＋ k4＝0，即 k3＝－ k4，∴ l2垂直于 x 轴，得| AB|＝2 a＝2 ，| CD|＝ ＝ ，32b2a 433得 a＝ ， b＝ ，∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.3 2x23 y22(2)焦点 F1、 F2的坐标分别为(－1,0)、(1,0)．当直线 l1、 l2斜率存在时，设斜率分别为 m1、 m2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得(2＋3 m )x2＋6 m x＋3 m －6＝0，21 21 21∴ x1＋ x2＝－ ， x1x2＝ .6m212＋ 3m21 3m21－ 62＋ 3m21k1＋ k2＝ ＋ ＝ m1( ＋ )＝ m1(2＋ )＝ m1(2－ )＝－ ，y1x1 y2x2 x1＋ 1x1 x2＋ 1x2 x1＋ x2x1x2 2m21m21－ 2 4m1m21－ 2同理 k3＋ k4＝－ .4m2m2－ 2∵ k1＋ k2＝ k3＋ k4，∴ ＝ ，即( m1m2＋2)( m2－ m1)＝0.－ 4m1m21－ 2 － 4m2m2－ 2由题意知 m1≠ m2，∴ m1m2＋2＝0.6设 P(x， y)，则 · ＋2＝0，即 ＋ x2＝1( x≠±1)．yx＋ 1 yx－ 1 y22当直线 l1或 l2斜率不存在时，点 P 坐标为(－1,0)或(1,0)，也满足此方程．∴点 P(x， y)在椭圆 ＋ x2＝1 上，存在点 M(0，－1)和点 N(0,1)，使得| PM|＋| PN|为y22定值，定值为 2 .2B 组 能力提升1．(2015·东北三校)设抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F，过点 M(－1,0)的直线在第一象限交抛物线于 A、 B，且满足 · ＝0，则直线 AB 的斜率 k＝ ( )AF→ BF→ 导 学 号 25402112A. B．222C. D．333[答案] B[解析] 依题意，设直线 AB 的方程为 y＝ k(x＋1)( k≠0)，代入抛物线方程 y2＝4 x 并整理，得 k2x2＋(2 k2－4) x＋ k2＝0.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以 Δ ＝(2 k2－4) 2－4 k4＞0.设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则Error!又因为 · ＝0，所以( x1－1)( x2－1)AF→ BF→ ＋ y1y2＝0，( x1－1)( x2－1)＋ k2(x1＋1)( x2＋1)＝0，(1＋ k2)x1x2＋( k2－1)( x1＋ x2)＋ k2＋1＝0.把Error!代入并整理，得 k2＝ .又 k＞0，所以 k＝ ，故选 B.12 222．(2015·山东腾州第五中学上学期第三次阶段性考试)已知椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)x2a2 y2b2上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为右焦点，若 AF⊥ BF，设∠ ABF＝ α ，且 α ∈[ ， ]，π 6 π 4则该椭圆离心率 e 的取值范围为 ( )导 学 号 25402113A．[ ， －1] B．[ ，1)22 3 22C．[ ， ] D．[ ， ]22 32 33 63[答案] A[解析] ∵ B 和 A 关于原点对称，∴ B 也在椭圆上，设左焦点为 F′.根据椭圆定义| AF|＋| AF′|＝2 a.∵| AF′|＝| BF|，∴| AF|＋| BF|＝2 a.①∵ O 是 Rt△ ABF 的斜边 AB 的中点，∴| AB|＝2 c.又| AF|＝2 csinα ，②7|BF|＝2 ccosα ，③②③代入①，得 2csinα ＋2 ccosα ＝2 a，∴ ＝ ＝ ，即 e＝ .ca 1sinα ＋ cosα 12sin α ＋ π 4 12sin α ＋ π 4∵ α ∈[ ， ]，∴ ≤ α ＋ ≤ ， ≤sin( α ＋ )≤1，∴ ≤ e≤ －1.π 6 π 4 5π12 π 4 π 2 6＋ 24 π 4 22 33．(2015·绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y2＝4 x 上一点， F 是抛物线的焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方)，若| AB|＝2| AF|，则点 A 的坐标为____________________.导 学 号 25402114[答案] (3，－2 )或( ， )313 233[解析] 依题意，①若点 A 位于 x 轴上方，过点 A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有| AB|＝2| AF|＝2| AA1|，∠ BAA1＝60°，直线 AF 的倾斜角为 120°.又点 F(1,0)，因此直线 AF 的方程为 y＝－ (x－1)．3由Error! 得Error!此时点 A 的坐标是( ， )．13 233②若点 A 位于 x 轴下方，则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点，又点 B 的横坐标是－1，故点 A 的横坐标是 2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是 y＝－ ＝－2 ，点 A 的坐标4×3 3是(3，－2 )．3综上所述，点 A 的坐标是(3，－2 )或( ， )．313 2334．(2015·河北衡水冀州中学上学期第四次月考)已知直线 y＝－ x＋1 与椭圆＋ ＝1( a＞ b＞0)相交于 A、 B 两点.x2a2 y2b2 导 学 号 25402115(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为 2，求线段 AB 的长；33(2)若向量 与向量 互相垂直(其中 O 为坐标原点)，当椭圆的离心率 e∈[ ， ]时，OA→ OB→ 12 22求椭圆长轴长的最大值．[答案] (1) (2)835 6[解析] (1)∵ e＝ ，2 c＝2，即 ＝ ， c＝1，∴ a＝ ，则 b＝ ＝ ，33 ca 33 3 a2－ c2 2∴椭圆的方程为 ＋ ＝1.x23 y228将 y＝－ x＋1 代入消去 y，得 5x2－6 x－3＝0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1＋ x2＝ ， x1x2＝－ ，65 35∴| AB|＝ 1＋  － 1 2 x1＋ x2 2－ 4x1x2＝ ＝ .2 65 2＋ 125 835(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，∵ ⊥ ，∴ · ＝0，即 x1x2＋ y1y2＝0.OA→ OB→ OA→ OB→ 由Error! 消去 y 得( a2＋ b2)x2－2 a2x＋ a2(1－ b2)＝0.由 Δ ＝(－2 a2)2－4 a2(a2＋ b2)(1－ b2)＞0，整理得 a2＋ b2＞1.又 x1＋ x2＝ ， x1x2＝ ，2a2a2＋ b2 a2 1－ b2a2＋ b2∴ y1y2＝(－ x1＋1)(－ x2＋1)＝ x1x2－( x1＋ x2)＋1.由 x1x2＋ y1y2＝0，得 2x1x2－( x1＋ x2)＋1＝0，∴ － ＋1＝0，整理得 a2＋ b2－2 a2b2＝0.2a2 1－ b2a2＋ b2 2a2a2＋ b2将 e2＝1－ 代入上式，得 2a2＝1＋ ，∴ a2＝ (1＋ )．b2a2 11－ e2 12 11－ e2∵ ≤ e≤ ，∴ ≤ e2≤ ，∴ ≤1－ e2≤ ，12 22 14 12 12 34∴ ≤ ≤2，∴ ≤1＋ ≤3，43 11－ e2 73 11－ e2∴ ≤ a2≤ ，满足 a2＋ b2＞1，76 32由此得 ≤ a≤ ，∴ ≤2 a≤ ，426 62 423 6故椭圆长轴长的最大值为 .65．(2015·湖南新化一中上学期期末)已知过抛物线 x2＝4 y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A、 B 两点. 导 学 号 25402116(1)设抛物线在 A、 B 处的切线的交点为 M，若点 M 的横坐标为 2，求△ ABM 的外接圆方程．(2)若直线 l 与椭圆 ＋ ＝1 的交点为 C、 D，问是否存在这样3y24 3x22的直线 l 使| AF|·|CF|＝| BF|·|DF|？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由．[答案] (1)( x－2) 2＋( y－3) 2＝16 (2)存在， y＝1 或 y＝± x＋1[解析] (1)设 A(2t1， t )， B(2t2， t )， kAB＝ ＝ ，21 2t21－ t22t1－ 2t2 t1＋ t229故直线 AB 的方程为 y－ t ＝ (x－2 t1)．21t1＋ t22由直线 AB 过点(0,1)，得－ t1t2＝1，又由 y＝ x2，得 y′＝ x，14 12故 kMA·kMB＝ ×(2t1)× ×(2t2)＝ t1t2＝－1，12 12∴过 A、 B、 M 的圆是以 AB 为直径的圆．又直线 MA 的方程为 y－ t ＝ t1(x－2 t1)，直线 MB 的方程为 y－ t ＝ t2(x－2 t2)，21 2即 t － t1x＋ y＝0，且 t － t2x＋ y＝0，21 2联立两式，解得 xM＝ t1＋ t2＝2， yM＝ t1t2＝－1，故线段 AB 的中点 G 的坐标为(2,3)，| GM|＝4，所求圆的方程为( x－2) 2＋( y－3) 2＝16.(2)设 ＝ ＝ λ ，则 ＝ λ ， ＝ λ .|AF||BF| |DF||CF| AF→ FB→ DF→ FC→ 设直线 l 的方程为 y＝ kx＋1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)，则Error!⇒Error!又Error! ⇒x2－4 kx－4＝0，∴ x1＋ x2＝4 k， x1x2＝－4.将 x1＝－ λx 2代入，得 ＝4 k2.① λ － 1 2λ由Error! 得(3 k2＋6) x2＋6 kx－1＝0，∴ x3＋ x4＝－ ， x3x4＝－ .2kk2＋ 2 13k2＋ 6将 x4＝－ λx 3代入，得 ＝ .② λ － 1 2λ 12k2k2＋ 2由①②，得 k＝0 或 k2＝1， k＝±1，经检验 k＝0， k＝±1 时， A， B， C， D 四点各异，且满足要求，故直线 l 存在，且方程为 y＝± x＋1 或 y＝1.12017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 9 讲 曲线与方程(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·长沙一中高三月考)方程(2 x＋3 y－1)( －1)＝0 表示的曲线是x－ 3( )导 学 号 25402131A．两条直线 B．两条射线C．两条线段 D．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程可化为Error!或 －1＝0，即 2x＋3 y－1＝0( x≥3)或 x＝4，故原方x－ 3程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．到两定点 A(0,0)、 B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是 ( )导 学 号 25402132A．椭圆 B． AB 所在的直线C．线段 AB D．无轨迹[答案] C[解析] ∵| AB|＝5，∴到 A、 B 两点距离之和为 5 的点的轨迹是线段 AB.3．若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y＋4＝0 的距离小 2，则 P 的轨迹方程为( )导 学 号 25402133A． y2＝8 x B． y2＝－8 xC． x2＝8 y D． x2＝－8 y[答案] C[解析] 由题意知 P 到 F(0,2)的距离比它到 y＋4＝0 的距离小 2，因此 P 到 F(0,2)的距离与到直线 y＋2＝0 的距离相等，故 P 的轨迹是以 F 为焦点， y＝－2 为准线的抛物线，所以 P 的轨迹方程为 x2＝8 y.4．在△ ABC 中，已知 A(－1,0)， C(1,0)，且| BC|，| CA|，| AB|成等差数列，则顶点 B的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402134A. ＋ ＝1 B． ＋ ＝1( x≠± )x23 y24 x23 y24 3C. ＋ ＝1 D． ＋ ＝1( x≠±2)x24 y23 x24 y23[答案] D[解析] ∵| BC|，| CA|，| AB|成等差数列，∴| BC|＋| BA|＝2| CA|＝4.∴点 B 的轨迹是以 A， C 为焦点，半焦距 c＝1，长轴长 2a＝4 的椭圆．又 B 是三角形的2顶点， A， B， C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为 ＋ ＝1，且 y≠0.x24 y235．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)、 A(1,0)、B(1,1)、 C(0,1)，点 D、 E 分别在线段 OC、 AB 上运动，且| OD|＝| BE|，设 AD 与 OE 交于点G，则点 G 的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402135A． y＝ x(1－ x)(0≤ x≤1) B． x＝ y(1－ y)(0≤ y≤1)C． y＝ x2(0≤ x≤1) D． y＝1－ x2(0≤ x≤1)[答案] A[解析] 设 D(0， λ )， E(1,1－ λ )，0≤ λ ≤1，所以线段 AD 的方程为x＋ ＝1(0≤ x≤1)，线段 OE 的方程为 y＝(1－ λ )x(0≤ x≤1)，联立方程组Error!( λ 为参yλ数)，消去参数 λ 得点 G 的轨迹方程为 y＝ x(1－ x)(0≤ x≤1)，故 A 正确．6．△ ABC 的顶点 A(－5,0)， B(5,0)，△ ABC 的内切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402136A. － ＝1 B． － ＝1x29 y216 x216 y29C. － ＝1( x＞3) D． － ＝1( x＞4)x29 y216 x216 y29[答案] C[解析] 如图，| AD|＝| AE|＝8，| BF|＝| BE|＝2，| CD|＝| CF|，所以| CA|－| CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、 B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 － ＝1( x＞3)．x29 y216二、填空题7．长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 分别在 x、 y 轴上移动，动点 C(x， y)满足 ＝2 ，AC→ CB→ 则动点 C 的轨迹方程____________________. 导 学 号 25402137[答案] x2＋ ＝1y24[解析] 设 A(a,0)， B(0， b)，则 a2＋ b2＝9.又 C(x， y)，则由 ＝2 ，得( x－ a， y)AC→ CB→ ＝2(－ x， b－ y)．即Error! 即Error!代入 a2＋ b2＝9，并整理，得 x2＋ ＝1.y248．已知△ ABC 的顶点 B(0,0)， C(5,0)， AB 边上的中线长| CD|＝3，则顶点 A 的轨迹方程为____________________. 导 学 号 254021383[答案] ( x－10) 2＋ y2＝36( y≠0)[解析] 方法一：直接法．设 A(x， y)， y≠0，则 D( ， )．x2 y2∴| CD|＝ ＝3. x2－ 5 2＋ y24化简，得( x－10) 2＋ y2＝36.由于 A、 B、 C 三点构成三角形，所以 A 不能落在 x 轴上，即 y≠0.方法二：定义法．如图，设 A(x， y)， D 为 AB 的中点，过 A 作 AE∥ CD 交 x 轴于 E.∵| CD|＝3，∴| AE|＝6，则 E(10,0)，∴ A 到 E 的距离为常数 6.∴ A 的轨迹为以 E 为圆心，6 为半径的圆，即( x－10) 2＋ y2＝36.又 A， B， C 不共线，故 A 点纵坐标 y≠0，故 A 点轨迹方程为( x－10) 2＋ y2＝36( y≠0)．9．设 P 是圆 x2＋ y2＝100 上的动点，点 A(8,0)，线段 AP 的垂直平分线交半径 OP 于 M点，则点 M 的轨迹为____________________. 导 学 号 25402139[答案] 椭圆[解析] 如图，设 M(x， y)，由于 l 是 AP 的垂直平分线，于是|AM|＝| PM|，又由于 10＝| OP|＝| OM|＋| MP|＝| OM|＋| MA|，即|OM|＋| MA|＝10，也就是说，动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0)的距离之和是10，故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、 A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是 5 的椭圆．10．若过抛物线 y2＝4 x 的焦点作直线与其交于 M、 N 两点，作平行四边形 MONP，则点P 的轨迹方程为____________________. 导 学 号 25402140[答案] y2＝4( x－2)[解析] 设直线方程为 y＝ k(x－1)，点 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P(x， y)，由 ＝ ，OM→ NP→ 得( x1， y1)＝( x－ x2， y－ y2)．得 x1＋ x2＝ x， y1＋ y2＝ y.由Error! 联立得 x＝ x1＋ x2＝ .2k2＋ 4k2y＝ y1＋ y2＝ ，消去参数 k，得 y2＝4( x－2)．4kk2三、解答题11．设圆 C：( x－1) 2＋ y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 导 学 号 254021414[答案] ( x－ )2＋ y2＝ (0＜ x≤1)12 14[解析] 方法一：直译法：设 OQ 为过 O 的一条弦， P(x， y)为其中点，则 CP⊥ OP， OC中点为 M( ，0)，12方法二：定义法：∵∠ OPC＝90°，∴动点 P 在以 M( ，0)为圆心 OC 为直径的圆上，| OC|＝1，再利用圆的方程得解．12方法三：相关点法：设 Q(x1， y1)，则Error!⇒Error!又∵( x1－1) 2＋ y ＝1，21∴(2 x－1) 2＋(2 y)2＝1(0＜ x≤1)．方法四：参数法：设动弦 PQ 的方程为 y＝ kx，代入圆的方程得( x－1) 2＋ k2x2＝1，即(1＋ k2)x2－2 x＝0，∴ x＝ ＝ ， y＝ kx＝ 消去 k 即可．x1＋ x22 11＋ k2 k1＋ k2方法五：(参数法)设 Q 点坐标为(1＋cos θ ，sin θ )，∴ P(x， y)的坐标为Error!消 θ 即可．[点拨] 本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可．则| MP|＝ |OC|＝ ，得方程( x－ )2＋ y2＝ ，考虑轨迹的范围知 0＜ x≤1.12 12 12 1412．(2015·云南红河州毕业生复习统一检测)在直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点F(1,0)的距离和它到定直线 x＝2 的距离之比是 .22 导 学 号 25402142(1)求动点 P 的轨迹 Γ 的方程；(2)设曲线 Γ 上的三点 A(x1， y1)、 B(1， )、 C(x2， y2)与点 F 的距离成等差数列，线22段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T，求直线 BT 的斜率 k.[答案] (1) ＋ y2＝1 (2)x22 2[解析] (1)设 P(x， y)．由已知，得 ＝ ，两边同时平方，化简得 x－ 1 2＋ y2|x－ 2| 22＋ y2＝1，故动点 P 的轨迹 Γ 的方程是 ＋ y2＝1.x22 x22(2)由已知得| AF|＝ (2－ x1)，| BF|＝ ×(2－1)，22 22|CF|＝ (2－ x2)．因为 2|BF|＝| AF|＋| CF|，225所以 (2－ x1)＋ (2－ x2)＝2× ×(2－1)，22 22 22所以 x1＋ x2＝2.①故线段 AC 的中点坐标为(1， )，y1＋ y22其垂直平分线的方程为 y－ ＝－ (x－1)．②y1＋ y22 x1－ x2y1－ y2因为 A， C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把①代入化简，得－ ＝ y1＋ y2.③x1－ x2y1－ y2把③代入②，令 y＝0，得 x＝ ，所以点 T 的坐标为( ，0)．12 12所以直线 BT 的斜率 k＝ ＝ .22－ 01－ 12 2B 组 能力提升1．(2015·吉林市毕业班检测)设圆 O1和圆 O2是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都外切，则圆 P 的圆心轨迹可能是 ( )导 学 号 25402143A．①②③⑤ B．②③④⑤C．①②④⑤ D．①②③④[答案] A[解析] 当两定圆相离时，圆 P 的圆心轨迹为①；当两定圆外切时，圆 P 的圆心轨迹为②；当两定圆相交时，圆 P 的圆心轨迹为③；当两定圆内切时，圆 P 的圆心轨迹为⑤.2．平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)、 B(－1,3)，若点 C 满足 ＝ λ 1 ＋ λ 2 (OOC→ OA→ OB→ 为原点)，其中 λ 1、 λ 2∈R，且 λ 1＋ λ 2＝1，则点 C 的轨迹是 ( )导 学 号 25402144A．直线 B．椭圆C．圆 D．双曲线[答案] A[解析] 设 C(x， y)，则 ＝( x， y)， ＝(3,1)， ＝(－1,3)，OC→ OA→ OB→ ∵ ＝ λ 1 ＋ λ 2 ，∴Error!，OC→ OA→ OB→ 6又 λ 1＋ λ 2＝1，∴ x＋2 y－5＝0，表示一条直线．3．如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且AM＝ AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平方与 P 到点13M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨迹方程是____________________.导 学 号 25402145[答案] y2＝ x－23 19[解析] 过 P 作 PQ⊥ AD 于 Q，再过 Q 作 QH⊥ A1D1于 H，连接 PH、 PM，可证 PH⊥ A1D1，设 P(x， y)，由| PH|2－| PM|2＝1，得 x2＋1－[( x－ )2＋ y2]＝1，13化简得 y2＝ x－ .23 194．(2015·山东实验中学第三次诊断)已知点 A(－2,0)、 B(2,0)，曲线 C 上的动点 P 满足 · ＝－3.AP→ BP→ 导 学 号 25402146(1)求曲线 C 的方程；(2)若过定点 M(0，－2)的直线 l 与曲线 C 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(3)若动点 Q(x， y)在曲线 C 上，求 u＝ 的取值范围．y＋ 2x－ 1[答案] (1) x2＋ y2＝1 (2)(－∞，－ ]∪[ ，＋∞) (3)(－∞，－ ]3 334[解析] (1)设 P(x， y)， · ＝( x＋2， y)(x－2， y)＝ x2－4＋ y2＝－3，得 P 点轨迹AP→ BP→ (曲线 C)方程为 x2＋ y2＝1，即曲线 C 是圆．(2)可设直线 l 的方程为 y＝ kx－2，其一般方程为 kx－ y－2＝0.由直线 l 与曲线 C 有交点，得 ≤1，得 k≤－ 或 k≥ ，|0－ 0－ 2|k2＋ 1 3 3即所求 k 的取值范围是(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)．3 3(3)由动点 Q(x， y)，设定点 N(1，－2)，则直线 QN 的斜率 kQN＝ ＝ u，y＋ 2x－ 1又点 Q 在曲线 C 上，故直线 QN 与圆有交点，设直线 QN 的方程为 y＋2＝ u(x－1)，即ux－ y－ u－2＝0.当直线与圆相切时， ＝1，解得 u＝－ .|－ u－ 2|u2＋ 1 347另当 u 不存在时，直线与圆相切，所以 u∈(－∞，－ ]．345．(2015·东北三省三校第一次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被 y 轴所截得的弦长为 4.导 学 号 25402147(1)求动圆圆心的轨迹 C1的方程．(2)过点 P(1,2)分别作斜率为 k1、 k2的两条直线 l1、 l2，分别交 C1于 A、 B 两点(点A、 B 异于点 P)．若 k1＋ k2＝0，且直线 AB 与圆 C2：( x－2) 2＋ y2＝ 相切，求△ PAB 的面积．12[答案] (1) y2＝4 x (2)4 2[解析] (1)设动圆圆心坐标为( x， y)，半径为 r.由题可知Error!⇒ y2＝4 x，∴动圆圆心的轨迹方程为 y2＝4 x.(2)设直线 l1斜率为 k，则 l1： y－2＝ k(x－1)， l2： y－2＝－ k(x－1)．点 P(1,2)在抛物线 y2＝4 x 上，由Error! 得 ky2－4 y＋8－4 k＝0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， Δ ＞0 恒成立，即( k－1) 2＞0，有 k≠1，∴ y1yp＝ ，∵ yp＝2，∴ y1＝ .8－ 4kk 4－ 2kk代入直线方程，得 x1＝ . k－ 2 2k2同理可得 x2＝ ， y2＝ ， 2＋ k 2k2 4＋ 2k－ kkAB＝ ＝ ＝－1.y2－ y1x2－ x14＋ 2k－ k－ 4－ 2kk k＋ 2 2－  k－ 2 2k2不妨设 lAB： y＝－ x＋ b.∵直线 AB 与圆 C2相切，∴ ＝ ，解得 b＝3 或 1.|2－ b|2 22当 b＝3 时，直线 AB 过点 P，舍去；当 b＝1 时，由Error!⇒ x2－6 x＋1＝0.Δ ＝32，| AB|＝ × ＝8，1＋ 1 32P 到直线 AB 的距离 d＝ ，则△ PAB 的面积为 4 .2 212017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 1 讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程习题A 组 基础巩固一、选择题1．直线 l： xsin30°＋ ycos150°＋1＝0 的斜率是 ( )导 学 号 25401876A. B．33 3C．－ D．－333[答案] A[解析] 设直线 l 的斜率为 k，则 k＝－ ＝ .sin30°cos150° 332．在等腰三角形 AOB 中， AO＝ AB，点 O(0,0)， A(1,3)，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线 AB 的方程为 ( )导 学 号 25401877A． y－1＝3( x－3) B． y－1＝－3( x－3)C． y－3＝3( x－1) D． y－3＝－3( x－1)[答案] D[解析] 因为 AO＝ AB，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以kAB＝－ kOA＝－3，所以直线 AB 的点斜式方程为： y－3＝－3( x－1)．3．已知直线 l： ax＋ y－2－ a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( )导 学 号 25401878A．1 B．－1C．－2 或－1 D．－2 或 1[答案] D[解析] 由题意可知 a≠0.当 x＝0 时， y＝ a＋2.当 y＝0 时， x＝ .a＋ 2a∴ ＝ a＋2，a＋ 2a解得 a＝－2 或 a＝1.4．两条直线 l1： － ＝1 和 l2： － ＝1 在同一直角坐标系中的图象可以是xa yb xb ya( )导 学 号 254018792[答案] A[解析] 取特殊值法或排除法，可知 A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数 y＝ asinx－ bcosx 的一条对称轴为 x＝ ，则直线π 4l： ax－ by＋ c＝0 的倾斜角为 ( )导 学 号 25401880A．45° B．60°C．120° D．135°[答案] D[解析] 由函数 y＝ f(x)＝ asinx－ bcosx 的一条对称轴为 x＝ 知， f(0)＝ f( )，即π 4 π 2－ b＝ a，∴直线 l 的斜率为－1，∴倾斜角为 135°.6．(2015·北京顺义区二模)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是 ( )导 学 号 25401881A．－1＜ k＜ B． k＞1 或 k＜15 12C． k＞ 或 k＜1 D． k＞ 或 k＜－115 12[答案] D[解析] 设直线的斜率为 k，则直线方程为 y－2＝ k(x－1)，令 y＝0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 1－ ，则－3＜1－ ＜3，解得 k＞ 或 k＜－1.2k 2k 12二、填空题7．若直线 l 的斜率为 k，倾斜角为 α ，而 α ∈[ ， ]∪[ ， π )，则 k 的取值范π 6 π 4 2π3围是____________________. 导 学 号 25401882[答案] [－ ，0)∪[ ，1]3333[解析] ∵ k＝tan α ， α ∈[ ， ]∪[ ， π )π 6 π 4 2π3∴－ ≤ k＜0 或 ≤ k≤1.3338．若 ab＞0，且 A(a,0)， B(0， b)， C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为____________________.导 学 号 25401883[答案] 16[解析] 根据 A(a,0)， B(0， b)确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，xa yb故 ＋ ＝1，所以－2( a＋ b)＝ ab.又 ab＞0，故 a＜0， b＜0.－ 2a － 2b根据基本不等式 ab＝－2( a＋ b)≥4 ，从而 ≤0(舍去)或 ≥4，故 ab≥16，当ab ab ab且仅当 a＝ b＝－4 时取等号．即 ab 的最小值为 16.9．设点 A(－1,0)， B(1,0)，直线 2x＋ y－ b＝0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是____________________.导 学 号 25403024[答案] [－2,2][解析] b 为直线 y＝－2 x＋ b 在 y 轴上的截距，如图，当直线y＝－2 x＋ b 过点 A(－1,0)和点 B(1,0)时， b 分别取得最小值和最大值．∴ b 的取值范围是[－2,2]．10．一条直线经过点 A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为____________________. 导 学 号 25401884[答案] x＋2 y－2＝0 或 2x＋ y＋2＝0[解析] 设直线的斜率为 k(k≠0)，则直线方程为 y－2＝ k(x＋2)，由 x＝0 知 y＝2 k＋2.由 y＝0 知 x＝ .－ 2k－ 2k由 |2k＋2|| |＝1.12 － 2k－ 2k得 k＝－ 或 k＝－2.12故直线方程为 x＋2 y－2＝0 或 2x＋ y＋2＝0.三、解答题11．已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，求当| |·| |取得最小值时，直线 l 的方程.MA→ MB→ 导 学 号 254018854[答案] x＋ y－3＝0[解析] 设 A(a,0)， B(0， b)，则 a＞0， b＞0，直线 l 的方程为 ＋ ＝1，所以 ＋ ＝1.xa yb 2a 1b故| |·| |＝－ · ＝－( a－2，－1)·(－2， b－1)＝2( a－2)MA→ MB→ MA→ MB→ ＋ b－1＝2 a＋ b－5＝(2 a＋ b)( ＋ )－5＝ ＋ ≥4，当且仅当 a＝ b＝3 时取等号，2a 1b 2ba 2ab此时直线 l 的方程为 x＋ y－3＝0.12．如图，射线 OA、 OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、 OB 于 A、 B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝ x 上时，求直线 AB 的方程.12 导 学 号 25401886[答案] (3＋ x－2 y－3－ ＝03 3[解析] 由题意可得 kOA＝tan45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－ ，33所以直线 lOA： y＝ x， lOB： y＝－ x.33设 A(m， m)， B(－ n， n)，3所以 AB 的中点 C( ， )，m－ 3n2 m＋ n2由点 C 在直线 y＝ x 上，且 A、 P、 B 三点共线得Error!12解得 m＝ ，所以 A( ， )．3 3 3又 P(1,0)，所以 kAB＝ kAP＝ ＝ ，33－ 1 3＋ 32所以 lAB： y＝ (x－1)，3＋ 32即直线 AB 的方程为(3＋ )x－2 y－3－ ＝0.3 3B 组 能力提升1．(原创题)已知直线 l 过点 O(0,0)和点 P( cosα ， sinα －4)，其中2 2α ≠ kπ ＋ ， k∈Z，则直线 l 的斜率的取值范围为 ( )π 2 导 学 号 25401887A．[－ ， ] B．(－∞，－ ]∪( ，＋∞)7 7 7 7C．(－ ， ) D．(－∞，－ )∪( ，＋∞)7 7 7 7[答案] B5[解析] 动点 P 的轨迹为圆 C： x2＋( y＋4) 2＝2，但应除去圆与 y 轴的两个交点．当直线 l 与圆 C 相切时，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y＝ kx，由圆心 C(0，－4)到直线 l 的距离等于半径 ，得 ＝ ，解得 k＝± .利用数形结合，得直线 l 的斜率24k2＋ 1 2 7的取值范围为(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)．7 72．(2015·南京调研)已知两直线的方程分别为l1： x＋ ay＋ b＝0， l2： x＋ cy＋ d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，那么 ( )导 学 号 25401888A． b＞0， d＜0， a＜ c B． b＞0， d＜0， a＞ cC． b＜0， d＞0， a＞ c D． b＜0， d＞0， a＜ c[答案] C[解析] 由题意知 l1： y＝－ x－ ，则Error!所以Error!1a ba由题意知 l2： y＝－ x－ ，则Error!所以Error!1c dc由Error! 得( a－ c)y＝ d－ b.因为直线 l1与 l2的交点在第一象限，所以 y＝ ＞0，又 d－ b＞0，所以 a－ c＞0，d－ ba－ c即 a＞ c，故选 C.3．经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)， B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为____________________，____________________. 导 学 号 25401889[答案] [－1,1] [0， ]∪[ ， π )π 4 3π4[解析] 如图所示，结合图形：为使 l 与线段 AB 总有公共点，则kPA≤ k≤ kPB，而 kPB＞0， kPA＜0，故 k＜0 时，倾斜角 α 为钝角， k＝0 时，α ＝0， k＞0 时， α 为锐角．又 kPA＝ ＝－1，－ 2－  － 11－ 0kPB＝ ＝1，－ 1－ 10－ 2∴－1≤ k≤1.又当 0≤ k≤1 时，0≤ α ≤ ；当－1≤ k＜0 时， ≤ α ＜ π .π 4 3π4故倾斜角 α 的取值范围为 α ∈[0， ]∪[ ， π )．π 4 3π44．设直线 l 的方程为( a＋1) x＋ y＋2－ a＝0( a∈R). 导 学 号 254018906(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．[答案] (1)3 x＋ y＝0 或 x＋ y＋2＝0 (2) a≤－1[解析] (1)当直线过原点时，在 x 轴和 y 轴上的截距为零．∴ a＝2，方程即为 3x＋ y＝0.当直线不过原点时， a≠2，由截距存在且均不为 0，∴ ＝ a－2，即 a＋1＝1.a－ 2a＋ 1∴ a＝0，方程即为 x＋ y＋2＝0.因此直线 l 的方程为 3x＋ y＝0 或 x＋ y＋2＝0.(2)将 l 的方程化为 y＝－( a＋1) x＋ a－2，∴Error! ∴ a≤－1.综上可知 a 的取值范围是 a≤－1.5．在△ ABC 中，已知 A(1,1)， AC 边上的高线所在直线方程为 x－2 y＝0， AB 边上的高线所在直线方程为 3x＋2 y－3＝0.求 BC 边所在直线方程. 导 学 号 25401891[答案] 2 x＋5 y＋9＝0[解析] kAC＝－2， kAB＝ .23∴ AC： y－1＝－2( x－1)，即 2x＋ y－3＝0，AB： y－1＝ (x－1)，即 2x－3 y＋1＝0.23由Error! 得 C(3，－3)．由Error! 得 B(－2，－1)．∴ BC：2 x＋5 y＋9＝0.