1、12017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 8 讲 直线与圆锥曲线习题A 组 基础巩固一、选择题1直线 y x3 与双曲线 1 的交点个数是 ( )ba x2a2 y2b2 导 学 号 25402101A1 B2C1 或 2 D0答案 A解析 因为直线 y x3 与双曲线的渐近线 y x 平行，所以它与双曲线只有 1 个ba ba交点2(2015浙江舟山三模)已知椭圆 C 的方程为 1( m0)，如果直线 y x 与x216 y2m2 22椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 ( )导 学 号 25402102A2 B2 2C8 D2 3答案 B
2、解析 根据已知条件得 c ，则点( ， )在椭圆16 m2 16 m222 16 m2 1( m0)上， 1，可得 m2 .x216 y2m2 16 m216 16 m22m2 23(2015四川雅安月考)抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 的3直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A， AK l，垂足为 K，则 AKF 的面积是( )导 学 号 25402103A4 B3 3C4 D83答案 C解析 y24 x， F(1,0)， l： x1，过焦点 F 且斜率为 的直线3l1： y (x1)，与 y24 x 联立，解得 A(3，2 )， AK4， S AKF
3、 42 4 .3 312 3 34已知抛物线 C： y28 x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A、 B 两点若 0，则 k ( )MA MB 导 学 号 25402104A. B12 222C. D22答案 D解析 如图所示，设 F 为焦点，取 AB 的中点 P，过 A、 B 分别作准线的垂线，垂足分别为 G、 H，连接 MF、 MP，由 0，知MA MB MA MB，则| MP| |AB| (|AG| BH|)，所以 MP 为直角梯形 BHGA 的12 12中位线，所以 MP AG BH，所以 GAM AMP MAP，又|AG| AF|， AM 为公共边，
4、所以 AMG AMF，所以 AFM AGM90，则 MF AB，所以 k 2.1kMF5(2015武汉调研)已知椭圆 E： 1( a b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的x2a2 y2b2直线交 E 于 A、 B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为 ( )导 学 号 25402105A. 1 B 1x245 y236 x236 y227C. 1 D 1x227 y218 x218 y29答案 D解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1， 1，两式作差并化简变形得x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 ，而 ， x1 x22， y1 y22，所以
5、y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 y1 y2x1 x2 0 13 1 12a22 b2，又因为 a2 b2 c29，于是 a218， b29.故选 D.6(2015丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交于 A、 B 两点，则| AB|的x24最大值为 ( )导 学 号 25402106A2 B455C. D4105 8105答案 C解析 设 A、 B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l 的方程为 y x t，由Error! 消去 y，得 5x28 tx4( t21)0.则 x1 x2 t， x1x2 .85 4 t2 15|
6、AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x23 2 85t 2 44 t2 15 ，425 5 t2当 t0 时，| AB|max .4105二、填空题7已知抛物线 y28 x，过动点 M(a,0)，且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点A、 B，| AB|8，则实数 a 的取值范围是_. 导 学 号 25402107答案 2 a1解析 将 l 的方程 y x a 代入 y28 x，得 x22( a4) x a20.则| AB| 2 x1 x2 2 4x1x2 8，又| AB|0，32 4 2a2 a1.8(2015上海静安一模)已知椭圆 C： 1，过椭圆 C
7、 上一点 P(1， )作倾斜x22 y24 2角互补的两条直线 PA、 PB，分别交椭圆 C 于 A、 B 两点则直线 AB 的斜率为_.导 学 号 25402108答案 2解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，同时设 PA 的方程为 y k(x1)，代入椭圆方2程化简得( k22) x22 k(k )x k22 k20，显然 1 和 x1是这个方程的两解因此2 2x1 ， y1 .由一 k 代替 x1， y1中的 k，得k2 22k 2k2 2 2k2 4k 22k2 2x2 ， y2 ，所以 .k2 22k 2k2 2 2k2 4k 22k2 2 y2 y1x2 x1 29(
8、2015福建福州质检)已知 F1、 F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，x2a2 y2b2若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y x 对称，则该双曲线的离心率为ba_.导 学 号 25402109答案 5解析 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y 对称，则 PF1 PF2.又bxa ，联立| PF2| PF1|2 a，| PF2|2| PF1|2(2 c)2，可得 b3 a2b2 c2a.所以|PF2|PF1| bab2 a， e .5410(2015大连双基测试)过抛物线 y22 px(p0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于B、 C 两点， l
9、 与抛物线准线交于点 A，且| AF|6， 2 ，则| BC|_.AF FB 导 学 号 25403026答案 92解析 不妨设直线 l 的倾斜角为 ，其中 0 ，点 B(x1， y1)， C(x2， y2)，则 2点 B 在 x 轴的上方过点 B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为 B1，于是有| BF| BB1|3， ，由此得 p2，抛物线方程是 y24 x，焦点 F(1,0)，|AF|AB| p|BB1|cos ，sin ，tan 2 ，直线p|AF| p6 26 13 1 cos2 223 sincos 2l： y2 (x1)由Error! 消去 y，得22x25 x20， x1 x2 ，
10、| BC| x1 x2 p 2 .52 52 92三、解答题11(2015河南洛阳第一次统一考试)已知过点 M( ，0)的直线 l 与抛物线p2y22 px(p0)交于 A、 B 两点，且 3，其中 O 为坐标原点.OA OB 导 学 号 25402110(1)求 p 的值；(2)当| AM|4| BM|最小时，求直线 l 的方程答案 (1) p2 (2)4 x y402解析 (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 的方程为 x my .p2联立Error! 消去 x 得 y22 pmy p20. y1 y22 pm， y1y2 p2. 3， x1x2 y1y23.又OA
11、 OB x1x2 ， p23 p24. p0， p2.y212p y22p p24 p24(2)由抛物线定义，得| AM| x1 x11，| BM| x2 x21，p2 p2| AM|4| BM| x14 x252 59，当且仅当 x14 x2时取等号4x1x2将 x14 x2代入 x1x2 1，得 x2 (负值舍去)p24 12将 x2 代入 y24 x，得 y2 ，即点 B( ， )12 2 12 25将点 B 代入 x my1，得 m .24直线 l 的方程为 x y1，即 4x y40.24 212(2015山西第四次诊断)如图，分别过椭圆 E： 1( a b0)左、右焦点x2a2 y
12、2b2F1、 F2的动直线 l1、 l2相交于点 P，与椭圆 E 分别交于 A、 B 与 C、 D 不同四点，直线OA、 OB、 OC、 OD 的斜率 k1、 k2、 k3、 k4满足 k1 k2 k3 k4.已知当 l1与 x 轴重合时，|AB|2 ，| CD| .3433 导 学 号 25402111(1)求椭圆 E 的方程(2)是否存在定点 M、 N，使得| PM| PN|为定值？若存在，求出点 M、 N 坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由答案 (1) 1 (2)存在， M(0，1)， N(0,1)，定值为 2x23 y22 2解析 (1)当 l1与 x 轴重合时， k1 k2 k3
13、 k40，即 k3 k4， l2垂直于 x 轴，得| AB|2 a2 ，| CD| ，32b2a 433得 a ， b ，椭圆 E 的方程为 1.3 2x23 y22(2)焦点 F1、 F2的坐标分别为(1,0)、(1,0)当直线 l1、 l2斜率存在时，设斜率分别为 m1、 m2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得(23 m )x26 m x3 m 60，21 21 21 x1 x2 ， x1x2 .6m212 3m21 3m21 62 3m21k1 k2 m1( ) m1(2 ) m1(2 ) ，y1x1 y2x2 x1 1x1 x2 1x2 x1 x2x1x
14、2 2m21m21 2 4m1m21 2同理 k3 k4 .4m2m2 2 k1 k2 k3 k4， ，即( m1m22)( m2 m1)0. 4m1m21 2 4m2m2 2由题意知 m1 m2， m1m220.6设 P(x， y)，则 20，即 x21( x1)yx 1 yx 1 y22当直线 l1或 l2斜率不存在时，点 P 坐标为(1,0)或(1,0)，也满足此方程点 P(x， y)在椭圆 x21 上，存在点 M(0，1)和点 N(0,1)，使得| PM| PN|为y22定值，定值为 2 .2B 组 能力提升1(2015东北三校)设抛物线 y24 x 的焦点为 F，过点 M(1,0)的
15、直线在第一象限交抛物线于 A、 B，且满足 0，则直线 AB 的斜率 k ( )AF BF 导 学 号 25402112A. B222C. D333答案 B解析 依题意，设直线 AB 的方程为 y k(x1)( k0)，代入抛物线方程 y24 x 并整理，得 k2x2(2 k24) x k20.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以 (2 k24) 24 k40.设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则Error!又因为 0，所以( x11)( x21)AF BF y1y20，( x11)( x21) k2(x11)( x21)0，(1 k2)x1x2( k21)( x1 x2) k21
16、0.把Error!代入并整理，得 k2 .又 k0，所以 k ，故选 B.12 222(2015山东腾州第五中学上学期第三次阶段性考试)已知椭圆 1( a b0)x2a2 y2b2上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为右焦点，若 AF BF，设 ABF ，且 ， ， 6 4则该椭圆离心率 e 的取值范围为 ( )导 学 号 25402113A ， 1 B ，1)22 3 22C ， D ， 22 32 33 63答案 A解析 B 和 A 关于原点对称， B 也在椭圆上，设左焦点为 F.根据椭圆定义| AF| AF|2 a.| AF| BF|，| AF| BF|2 a. O 是 Rt A
17、BF 的斜边 AB 的中点，| AB|2 c.又| AF|2 csin ，7|BF|2 ccos ，代入，得 2csin 2 ccos 2 a， ，即 e .ca 1sin cos 12sin 4 12sin 4 ， ， ， sin( )1， e 1. 6 4 512 4 2 6 24 4 22 33(2015绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y24 x 上一点， F 是抛物线的焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方)，若| AB|2| AF|，则点 A 的坐标为_.导 学 号 25402114答案 (3，2 )或( ， )313 233解析 依题意，若点 A 位于 x
18、轴上方，过点 A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有| AB|2| AF|2| AA1|， BAA160，直线 AF 的倾斜角为 120.又点 F(1,0)，因此直线 AF 的方程为 y (x1)3由Error! 得Error!此时点 A 的坐标是( ， )13 233若点 A 位于 x 轴下方，则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点，又点 B 的横坐标是1，故点 A 的横坐标是 21(1)3，相应的纵坐标是 y 2 ，点 A 的坐标43 3是(3，2 )3综上所述，点 A 的坐标是(3，2 )或( ， )313 2334(2015河北衡水冀州中学上学期第四次月考)已知直线 y x1
19、 与椭圆 1( a b0)相交于 A、 B 两点.x2a2 y2b2 导 学 号 25402115(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为 2，求线段 AB 的长；33(2)若向量 与向量 互相垂直(其中 O 为坐标原点)，当椭圆的离心率 e ， 时，OA OB 12 22求椭圆长轴长的最大值答案 (1) (2)835 6解析 (1) e ，2 c2，即 ， c1， a ，则 b ，33 ca 33 3 a2 c2 2椭圆的方程为 1.x23 y228将 y x1 代入消去 y，得 5x26 x30.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，65 35| AB| 1
20、 1 2 x1 x2 2 4x1x2 .2 65 2 125 835(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， ， 0，即 x1x2 y1y20.OA OB OA OB 由Error! 消去 y 得( a2 b2)x22 a2x a2(1 b2)0.由 (2 a2)24 a2(a2 b2)(1 b2)0，整理得 a2 b21.又 x1 x2 ， x1x2 ，2a2a2 b2 a2 1 b2a2 b2 y1y2( x11)( x21) x1x2( x1 x2)1.由 x1x2 y1y20，得 2x1x2( x1 x2)10， 10，整理得 a2 b22 a2b20.2a2 1 b2a2
21、 b2 2a2a2 b2将 e21 代入上式，得 2a21 ， a2 (1 )b2a2 11 e2 12 11 e2 e ， e2 ， 1 e2 ，12 22 14 12 12 34 2， 1 3，43 11 e2 73 11 e2 a2 ，满足 a2 b21，76 32由此得 a ， 2 a ，426 62 423 6故椭圆长轴长的最大值为 .65(2015湖南新化一中上学期期末)已知过抛物线 x24 y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A、 B 两点. 导 学 号 25402116(1)设抛物线在 A、 B 处的切线的交点为 M，若点 M 的横坐标为 2，求 ABM 的外接圆方程(
22、2)若直线 l 与椭圆 1 的交点为 C、 D，问是否存在这样3y24 3x22的直线 l 使| AF|CF| BF|DF|？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由答案 (1)( x2) 2( y3) 216 (2)存在， y1 或 y x1解析 (1)设 A(2t1， t )， B(2t2， t )， kAB ，21 2t21 t22t1 2t2 t1 t229故直线 AB 的方程为 y t (x2 t1)21t1 t22由直线 AB 过点(0,1)，得 t1t21，又由 y x2，得 y x，14 12故 kMAkMB (2t1) (2t2) t1t21，12 12过 A、 B、 M
23、 的圆是以 AB 为直径的圆又直线 MA 的方程为 y t t1(x2 t1)，直线 MB 的方程为 y t t2(x2 t2)，21 2即 t t1x y0，且 t t2x y0，21 2联立两式，解得 xM t1 t22， yM t1t21，故线段 AB 的中点 G 的坐标为(2,3)，| GM|4，所求圆的方程为( x2) 2( y3) 216.(2)设 ，则 ， .|AF|BF| |DF|CF| AF FB DF FC 设直线 l 的方程为 y kx1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)，则Error!Error!又Error! x2
24、4 kx40， x1 x24 k， x1x24.将 x1 x 2代入，得 4 k2. 1 2由Error! 得(3 k26) x26 kx10， x3 x4 ， x3x4 .2kk2 2 13k2 6将 x4 x 3代入，得 . 1 2 12k2k2 2由，得 k0 或 k21， k1，经检验 k0， k1 时， A， B， C， D 四点各异，且满足要求，故直线 l 存在，且方程为 y x1 或 y1.12017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 9 讲 曲线与方程(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1(2015长沙一中高三月考)方程(2 x3 y1)( 1)0 表示的曲线是x 3(
25、)导 学 号 25402131A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为Error!或 10，即 2x3 y10( x3)或 x4，故原方x 3程表示的曲线是一条直线和一条射线2到两定点 A(0,0)、 B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是 ( )导 学 号 25402132A椭圆 B AB 所在的直线C线段 AB D无轨迹答案 C解析 | AB|5，到 A、 B 两点距离之和为 5 的点的轨迹是线段 AB.3若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y40 的距离小 2，则 P 的轨迹方程为( )导 学 号 25402133A y28 x B y
26、28 xC x28 y D x28 y答案 C解析 由题意知 P 到 F(0,2)的距离比它到 y40 的距离小 2，因此 P 到 F(0,2)的距离与到直线 y20 的距离相等，故 P 的轨迹是以 F 为焦点， y2 为准线的抛物线，所以 P 的轨迹方程为 x28 y.4在 ABC 中，已知 A(1,0)， C(1,0)，且| BC|，| CA|，| AB|成等差数列，则顶点 B的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402134A. 1 B 1( x )x23 y24 x23 y24 3C. 1 D 1( x2)x24 y23 x24 y23答案 D解析 | BC|，| CA|，| AB|成等
27、差数列，| BC| BA|2| CA|4.点 B 的轨迹是以 A， C 为焦点，半焦距 c1，长轴长 2a4 的椭圆又 B 是三角形的2顶点， A， B， C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为 1，且 y0.x24 y235(2015北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)、 A(1,0)、B(1,1)、 C(0,1)，点 D、 E 分别在线段 OC、 AB 上运动，且| OD| BE|，设 AD 与 OE 交于点G，则点 G 的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402135A y x(1 x)(0 x1) B x y(1 y)(0 y1)C y x2(0 x1) D y1
28、 x2(0 x1)答案 A解析 设 D(0， )， E(1,1 )，0 1，所以线段 AD 的方程为x 1(0 x1)，线段 OE 的方程为 y(1 )x(0 x1)，联立方程组Error!( 为参y数)，消去参数 得点 G 的轨迹方程为 y x(1 x)(0 x1)，故 A 正确6 ABC 的顶点 A(5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402136A. 1 B 1x29 y216 x216 y29C. 1( x3) D 1( x4)x29 y216 x216 y29答案 C解析 如图，| AD| AE|8，| B
29、F| BE|2，| CD| CF|，所以| CA| CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、 B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 1( x3)x29 y216二、填空题7长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 分别在 x、 y 轴上移动，动点 C(x， y)满足 2 ，AC CB 则动点 C 的轨迹方程_. 导 学 号 25402137答案 x2 1y24解析 设 A(a,0)， B(0， b)，则 a2 b29.又 C(x， y)，则由 2 ，得( x a， y)AC CB 2( x， b y)即Error! 即Error!代入 a2 b29，并整理，得 x2 1.y
30、248已知 ABC 的顶点 B(0,0)， C(5,0)， AB 边上的中线长| CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_. 导 学 号 254021383答案 ( x10) 2 y236( y0)解析 方法一：直接法设 A(x， y)， y0，则 D( ， )x2 y2| CD| 3. x2 5 2 y24化简，得( x10) 2 y236.由于 A、 B、 C 三点构成三角形，所以 A 不能落在 x 轴上，即 y0.方法二：定义法如图，设 A(x， y)， D 为 AB 的中点，过 A 作 AE CD 交 x 轴于 E.| CD|3，| AE|6，则 E(10,0)， A 到 E 的距离为常数
31、 6. A 的轨迹为以 E 为圆心，6 为半径的圆，即( x10) 2 y236.又 A， B， C 不共线，故 A 点纵坐标 y0，故 A 点轨迹方程为( x10) 2 y236( y0)9设 P 是圆 x2 y2100 上的动点，点 A(8,0)，线段 AP 的垂直平分线交半径 OP 于 M点，则点 M 的轨迹为_. 导 学 号 25402139答案 椭圆解析 如图，设 M(x， y)，由于 l 是 AP 的垂直平分线，于是|AM| PM|，又由于 10| OP| OM| MP| OM| MA|，即|OM| MA|10，也就是说，动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0)的距离之和是10，
32、故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、 A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是 5 的椭圆10若过抛物线 y24 x 的焦点作直线与其交于 M、 N 两点，作平行四边形 MONP，则点P 的轨迹方程为_. 导 学 号 25402140答案 y24( x2)解析 设直线方程为 y k(x1)，点 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P(x， y)，由 ，OM NP 得( x1， y1)( x x2， y y2)得 x1 x2 x， y1 y2 y.由Error! 联立得 x x1 x2 .2k2 4k2y y1 y2 ，消去参数 k，得 y24( x2)4kk2三、解答题11设
33、圆 C：( x1) 2 y21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 导 学 号 254021414答案 ( x )2 y2 (0 x1)12 14解析 方法一：直译法：设 OQ 为过 O 的一条弦， P(x， y)为其中点，则 CP OP， OC中点为 M( ，0)，12方法二：定义法： OPC90，动点 P 在以 M( ，0)为圆心 OC 为直径的圆上，| OC|1，再利用圆的方程得解12方法三：相关点法：设 Q(x1， y1)，则Error!Error!又( x11) 2 y 1，21(2 x1) 2(2 y)21(0 x1)方法四：参数法：设动弦 PQ 的方程为 y k
34、x，代入圆的方程得( x1) 2 k2x21，即(1 k2)x22 x0， x ， y kx 消去 k 即可x1 x22 11 k2 k1 k2方法五：(参数法)设 Q 点坐标为(1cos ，sin )， P(x， y)的坐标为Error!消 即可点拨 本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可则| MP| |OC| ，得方程( x )2 y2 ，考虑轨迹的范围知 0 x1.12 12 12 1412(2015云南红河州毕业生复习统一检测)在直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点F(1,0)的距离和它到定直线 x2 的距离之比是
35、.22 导 学 号 25402142(1)求动点 P 的轨迹 的方程；(2)设曲线 上的三点 A(x1， y1)、 B(1， )、 C(x2， y2)与点 F 的距离成等差数列，线22段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T，求直线 BT 的斜率 k.答案 (1) y21 (2)x22 2解析 (1)设 P(x， y)由已知，得 ，两边同时平方，化简得 x 1 2 y2|x 2| 22 y21，故动点 P 的轨迹 的方程是 y21.x22 x22(2)由已知得| AF| (2 x1)，| BF| (21)，22 22|CF| (2 x2)因为 2|BF| AF| CF|，225所以 (2
36、x1) (2 x2)2 (21)，22 22 22所以 x1 x22.故线段 AC 的中点坐标为(1， )，y1 y22其垂直平分线的方程为 y (x1)y1 y22 x1 x2y1 y2因为 A， C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把代入化简，得 y1 y2.x1 x2y1 y2把代入，令 y0，得 x ，所以点 T 的坐标为( ，0)12 12所以直线 BT 的斜率 k .22 01 12 2B 组 能力提升1(2015吉林市毕业班检测)设圆 O1和圆 O2是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都外切，则圆 P 的圆心轨迹可能是 ( )导 学 号 25402143A BC D答案 A解析
37、当两定圆相离时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆外切时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆相交时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆内切时，圆 P 的圆心轨迹为.2平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)、 B(1,3)，若点 C 满足 1 2 (OOC OA OB 为原点)，其中 1、 2R，且 1 21，则点 C 的轨迹是 ( )导 学 号 25402144A直线 B椭圆C圆 D双曲线答案 A解析 设 C(x， y)，则 ( x， y)， (3,1)， (1,3)，OC OA OB 1 2 ，Error!，OC OA OB 6又 1 21， x2 y50，表示一条直线3如图所示，正方体 ABCD A
38、1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且AM AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平方与 P 到点13M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨迹方程是_.导 学 号 25402145答案 y2 x23 19解析 过 P 作 PQ AD 于 Q，再过 Q 作 QH A1D1于 H，连接 PH、 PM，可证 PH A1D1，设 P(x， y)，由| PH|2| PM|21，得 x21( x )2 y21，13化简得 y2 x .23 194(2015山东实验中学第三次诊断)已知点 A(2,0)、 B(2,0)，曲线 C
39、上的动点 P 满足 3.AP BP 导 学 号 25402146(1)求曲线 C 的方程；(2)若过定点 M(0，2)的直线 l 与曲线 C 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(3)若动点 Q(x， y)在曲线 C 上，求 u 的取值范围y 2x 1答案 (1) x2 y21 (2)(， ，) (3)(， 3 334解析 (1)设 P(x， y)， ( x2， y)(x2， y) x24 y23，得 P 点轨迹AP BP (曲线 C)方程为 x2 y21，即曲线 C 是圆(2)可设直线 l 的方程为 y kx2，其一般方程为 kx y20.由直线 l 与曲线 C 有交点，得 1，得
40、 k 或 k ，|0 0 2|k2 1 3 3即所求 k 的取值范围是(， ，)3 3(3)由动点 Q(x， y)，设定点 N(1，2)，则直线 QN 的斜率 kQN u，y 2x 1又点 Q 在曲线 C 上，故直线 QN 与圆有交点，设直线 QN 的方程为 y2 u(x1)，即ux y u20.当直线与圆相切时， 1，解得 u .| u 2|u2 1 347另当 u 不存在时，直线与圆相切，所以 u(， 345(2015东北三省三校第一次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被 y 轴所截得的弦长为 4.导 学 号 25402147(1)求动圆圆心的轨迹 C1的方程(
41、2)过点 P(1,2)分别作斜率为 k1、 k2的两条直线 l1、 l2，分别交 C1于 A、 B 两点(点A、 B 异于点 P)若 k1 k20，且直线 AB 与圆 C2：( x2) 2 y2 相切，求 PAB 的面积12答案 (1) y24 x (2)4 2解析 (1)设动圆圆心坐标为( x， y)，半径为 r.由题可知Error! y24 x，动圆圆心的轨迹方程为 y24 x.(2)设直线 l1斜率为 k，则 l1： y2 k(x1)， l2： y2 k(x1)点 P(1,2)在抛物线 y24 x 上，由Error! 得 ky24 y84 k0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2
42、)， 0 恒成立，即( k1) 20，有 k1， y1yp ， yp2， y1 .8 4kk 4 2kk代入直线方程，得 x1 . k 2 2k2同理可得 x2 ， y2 ， 2 k 2k2 4 2k kkAB 1.y2 y1x2 x14 2k k 4 2kk k 2 2 k 2 2k2不妨设 lAB： y x b.直线 AB 与圆 C2相切， ，解得 b3 或 1.|2 b|2 22当 b3 时，直线 AB 过点 P，舍去；当 b1 时，由Error! x26 x10. 32，| AB| 8，1 1 32P 到直线 AB 的距离 d ，则 PAB 的面积为 4 .2 212017 高考数学一
43、轮复习 第八章 解析几何 第 1 讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程习题A 组 基础巩固一、选择题1直线 l： xsin30 ycos15010 的斜率是 ( )导 学 号 25401876A. B33 3C D333答案 A解析 设直线 l 的斜率为 k，则 k .sin30cos150 332在等腰三角形 AOB 中， AO AB，点 O(0,0)， A(1,3)，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线 AB 的方程为 ( )导 学 号 25401877A y13( x3) B y13( x3)C y33( x1) D y33( x1)答案 D解析 因为 AO AB，所以直线 AB 的斜率与
44、直线 AO 的斜率互为相反数，所以kAB kOA3，所以直线 AB 的点斜式方程为： y33( x1)3已知直线 l： ax y2 a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( )导 学 号 25401878A1 B1C2 或1 D2 或 1答案 D解析 由题意可知 a0.当 x0 时， y a2.当 y0 时， x .a 2a a2，a 2a解得 a2 或 a1.4两条直线 l1： 1 和 l2： 1 在同一直角坐标系中的图象可以是xa yb xb ya( )导 学 号 254018792答案 A解析 取特殊值法或排除法，可知 A 正确5(2015哈尔滨模拟)函数 y asinx
45、 bcosx 的一条对称轴为 x ，则直线 4l： ax by c0 的倾斜角为 ( )导 学 号 25401880A45 B60C120 D135答案 D解析 由函数 y f(x) asinx bcosx 的一条对称轴为 x 知， f(0) f( )，即 4 2 b a，直线 l 的斜率为1，倾斜角为 135.6(2015北京顺义区二模)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是 ( )导 学 号 25401881A1 k B k1 或 k15 12C k 或 k1 D k 或 k115 12答案 D解析 设直线的斜率为 k，则直线方程为
46、y2 k(x1)，令 y0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 1 ，则31 3，解得 k 或 k1.2k 2k 12二、填空题7若直线 l 的斜率为 k，倾斜角为 ，而 ， ， )，则 k 的取值范 6 4 23围是_. 导 学 号 25401882答案 ，0) ，13333解析 ktan ， ， ， ) 6 4 23 k0 或 k1.3338若 ab0，且 A(a,0)， B(0， b)， C(2，2)三点共线，则 ab 的最小值为_.导 学 号 25401883答案 16解析 根据 A(a,0)， B(0， b)确定直线的方程为 1，又 C(2，2)在该直线上，xa yb故 1，所以2(
47、a b) ab.又 ab0，故 a0， b0. 2a 2b根据基本不等式 ab2( a b)4 ，从而 0(舍去)或 4，故 ab16，当ab ab ab且仅当 a b4 时取等号即 ab 的最小值为 16.9设点 A(1,0)， B(1,0)，直线 2x y b0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是_.导 学 号 25403024答案 2,2解析 b 为直线 y2 x b 在 y 轴上的截距，如图，当直线y2 x b 过点 A(1,0)和点 B(1,0)时， b 分别取得最小值和最大值 b 的取值范围是2,210一条直线经过点 A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此
48、直线的方程为_. 导 学 号 25401884答案 x2 y20 或 2x y20解析 设直线的斜率为 k(k0)，则直线方程为 y2 k(x2)，由 x0 知 y2 k2.由 y0 知 x . 2k 2k由 |2k2| |1.12 2k 2k得 k 或 k2.12故直线方程为 x2 y20 或 2x y20.三、解答题11已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，求当| | |取得最小值时，直线 l 的方程.MA MB 导 学 号 254018854答案 x y30解析 设 A(a,0)， B(0， b)，则 a0， b0，
49、直线 l 的方程为 1，所以 1.xa yb 2a 1b故| | | ( a2，1)(2， b1)2( a2)MA MB MA MB b12 a b5(2 a b)( )5 4，当且仅当 a b3 时取等号，2a 1b 2ba 2ab此时直线 l 的方程为 x y30.12如图，射线 OA、 OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、 OB 于 A、 B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y x 上时，求直线 AB 的方程.12 导 学 号 25401886答案 (3 x2 y3 03 3解析 由题意可得 kOAtan451， kOBt
50、an(18030) ，33所以直线 lOA： y x， lOB： y x.33设 A(m， m)， B( n， n)，3所以 AB 的中点 C( ， )，m 3n2 m n2由点 C 在直线 y x 上，且 A、 P、 B 三点共线得Error!12解得 m ，所以 A( ， )3 3 3又 P(1,0)，所以 kAB kAP ，33 1 3 32所以 lAB： y (x1)，3 32即直线 AB 的方程为(3 )x2 y3 0.3 3B 组 能力提升1(原创题)已知直线 l 过点 O(0,0)和点 P( cos ， sin 4)，其中2 2 k ， kZ，则直线 l 的斜率的取值范围为 (
51、) 2 导 学 号 25401887A ， B(， ( ，)7 7 7 7C( ， ) D(， )( ，)7 7 7 7答案 B5解析 动点 P 的轨迹为圆 C： x2( y4) 22，但应除去圆与 y 轴的两个交点当直线 l 与圆 C 相切时，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y kx，由圆心 C(0，4)到直线 l 的距离等于半径 ，得 ，解得 k .利用数形结合，得直线 l 的斜率24k2 1 2 7的取值范围为(， ，)7 72(2015南京调研)已知两直线的方程分别为l1： x ay b0， l2： x cy d0，它们在坐标系中的位置如图所示，那么 ( )导 学 号
52、25401888A b0， d0， a c B b0， d0， a cC b0， d0， a c D b0， d0， a c答案 C解析 由题意知 l1： y x ，则Error!所以Error!1a ba由题意知 l2： y x ，则Error!所以Error!1c dc由Error! 得( a c)y d b.因为直线 l1与 l2的交点在第一象限，所以 y 0，又 d b0，所以 a c0，d ba c即 a c，故选 C.3经过 P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，2)， B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为_，_. 导 学
53、号 25401889答案 1,1 0， ， ) 4 34解析 如图所示，结合图形：为使 l 与线段 AB 总有公共点，则kPA k kPB，而 kPB0， kPA0，故 k0 时，倾斜角 为钝角， k0 时， 0， k0 时， 为锐角又 kPA 1， 2 11 0kPB 1， 1 10 21 k1.又当 0 k1 时，0 ；当1 k0 时， . 4 34故倾斜角 的取值范围为 0， ， ) 4 344设直线 l 的方程为( a1) x y2 a0( aR). 导 学 号 254018906(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围答
54、案 (1)3 x y0 或 x y20 (2) a1解析 (1)当直线过原点时，在 x 轴和 y 轴上的截距为零 a2，方程即为 3x y0.当直线不过原点时， a2，由截距存在且均不为 0， a2，即 a11.a 2a 1 a0，方程即为 x y20.因此直线 l 的方程为 3x y0 或 x y20.(2)将 l 的方程化为 y( a1) x a2，Error! a1.综上可知 a 的取值范围是 a1.5在 ABC 中，已知 A(1,1)， AC 边上的高线所在直线方程为 x2 y0， AB 边上的高线所在直线方程为 3x2 y30.求 BC 边所在直线方程. 导 学 号 25401891答案 2 x5 y90解析 kAC2， kAB .23 AC： y12( x1)，即 2x y30，AB： y1 (x1)，即 2x3 y10.23由Error! 得 C(3，3)由Error! 得 B(2，1) BC：2 x5 y90.
