（新课标）2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何（课件+习题）（打包14套）.zip

走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习立体几何第七章第一讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图 第七章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2纠错笔记 ·状元秘籍3课 时 作 业4知识梳理 ·双基自测1． 多面体的 结 构特征(1)棱柱的侧棱都平行且 ______，上下底面是全等且 ______的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 ____________的三角形．(3)棱台可由平行于 _____的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．●知 识 梳理 相等 平行公共顶点底面2． 旋 转 体的 结 构特征(1)圆柱可以由矩形绕其 ____________旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其 ____________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕 ____________或等腰梯形绕 ________________旋转得到，也可由 ____________于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆面或圆面绕 ____________旋转得到．任一边任一直角边直角腰上下底中点连线 平行直径3． 空 间 几何体的三 视图空间几何体的三视图是用正投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 ____________的，三视图包括 ____________、 ____________、____________．完全相同 主视图 左视图俯视图4． 空 间 几何体的直 观图空间几何体的直观图常用 ________画法来画，其规则是：(1)原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直，直观图中， x′轴、 y′轴的夹角为 45°(或 135°)， z′轴与 x′轴、 y′轴所在平面 ____________．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 ____________坐标轴．平行于 y轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度 ____________，平行于 x轴的线段长度在直观图中变为____________．斜二测垂直平行于不变原来的一半●双基自 测 (4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． ( )(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台． ( )(6)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面． ( )(7)在用斜二测画法画水平放置的 ∠ A时，若 ∠ A的两边分别平行于 x轴和 y轴，且 ∠ A＝ 90°，则在直观图中 ∠ A＝ 45°.( )[答案 ] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)×[答案 ] C[解析 ] 通 过对 以下四个四棱 锥 的三 视图对 照可知，只有选项 C是符合要求的．[答案 ] ①[解析 ] ① 正确， ②③④⑤ 错误 ．考点突破 ·互动探究空 间 几何体的 结 构特征(2)因 为 “等腰四棱 锥 ”的四条 侧 棱都相等，所以它的 顶 点在底面的射影到底面的四个 顶 点的距离相等，故 A， C正确，且在它的高上必能找到一点到各个 顶 点的距离相等，故 D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形 时结论 就不成立．[答案 ] (1)B (2)B[点 拨 ] (1)棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，其侧棱的延长线必相交于一点．(2)如果四棱锥的四条侧棱都相等，根据射影定理，斜线段相等则射影长相等，底面四边形是有外接圆的四边形，这就抓住了问题的本质．[规 律 总结 ] 解决与空 间 几何体 结 构特征有关 问题 的技巧(1)熟悉空 间 几何体的 结 构特征，依据条件构建几何模型，在条件不 变 的情况下， 变换 模型中的 线 面关系或增加 线 、面等基本元素，然后再依据 题 意判定．(2)利用反例 对结 构特征 进 行辨析，即要 说 明某个命 题 是错误 的，只要 举 出一个反例即可．空 间 几何体的三 视图[解析 ] (1)俯 视图为 在水平投射面上的正投影， 结 合几何体可知 选 B.(2)由俯 视图 易知，只有 选项 D符合 题 意．故 选 D.[答案 ] (1)B (2)D走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习立体几何第七章第二讲 空间几何体的表面积与体积 第七章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2纠错笔记 ·状元秘籍3课 时 作 业4知识梳理 ·双基自测1． 柱、 锥 、台和球的 侧 面 积 和体 积●知 识 梳理 Shπrlch Sh4πR22.几何体的表面 积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 ____________．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 _____、 _____、 ____________；它们的表面积等于 _______与底面面积之和．各面面积之和矩形 扇形扇环形 侧面积3． 几何体的外接球与内切球(1)长方体的外接球：① 球心：体对角线的交点； ② 半径： r＝ ____________(a， b， c为长方体的长、宽、高 )．(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：① 外接球：球心是正方体中心；半径 r＝ ____(a为正方体的棱长 )；② 内切球：球心是正方体中心；半径 r＝ ____(a为正方体的棱长 )；③ 与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径 r＝ ____(a为正方体的棱长 )．(3)正四面体的外接球与内切球 (正四面体可以看作是正方体的一部分 )：① 外接球：球心是正四面体的中心；半径 r＝ _____(a为正四面体的棱长 )；② 内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝ ____(a为正四面体的棱长 )．●双基自 测 (4)若某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则此几何体的体积等于 24 cm3.( )[答案 ] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√ (7)×考点突破 ·互动探究几何体的 侧 面 积 及表面 积[点 拨 ] (1)本 题 求解的关 键 是将三 视图还 原 为 直 观图 ，并确定每个面的形状和各条棱的 长 度，然后求得表面 积 ．(2)三 视图 中常 见 的是 “静 态 ”问题 ，本 题 是 “动态 ”问题 ，很有新意．在 这类问题 的求解中要有 变动为 静的思 维 ，通 过寻 找相关的量构造一定的等式关系，使得 问题 在静中得以求解．[规 律 总结 ] 几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[解析 ] (1)根据三视图可知，该几何体是由棱长为 2的正方体割去一个棱长为 1的小正方体形成的，其表面积与原正方体的表面积相同，为 6×2×2＝ 24.(2)由三视图可知，此组合体是由半个圆柱和半个球体组合而成的，其表面积为 πr2＋ 2πr2＋ 4r2＋ 2πr2＝ 20π＋ 16，所以 r＝ 2，故选 B.几何体的体 积走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习立体几何第七章第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 第七章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2纠错笔记 ·状元秘籍3课 时 作 业4知识梳理 ·双基自测1． 平面的基本性 质公理 1：如果一条直线上的 ____________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理 2：过 _______________的三点，有且只有一个平面．公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 ____________过该点的公共直线．●知 识 梳理 两点不在一条直线上一条平行相交任何锐角 (或直角 )3． 直 线 与平面的位置关系有 ________、 _______、__________三种情况．4．平面与平面的位置关系有 ______、 _______两种情况．5． 公理 4平行于 ____________的两条直线互相平行．6． 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ____________．平行 相交在平面内平行 相交同一条直线相等或互补●双基自 测 (4)没有公共点的两条直线是异面直线． ( )(5)如果两个不重合的平面 α， β有一条公共直线 a，就说平面 α， β相交，并记作 α∩β＝ a.( )[答案 ] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√[解析 ] 可用反 证 法．假 设 l与 l1， l2都不相交，因 为 l与 l1都在平面 α内，于是 l∥l1，同理 l∥l2，于是 l1∥l2，与已知矛盾，故 l至少与 l1， l2中的一条相交．考点突破 ·互动探究平面的基本性 质② 在正方体 AC1中， 设 A1CC1确定的平面 为 α，又 设 平面 BDEF为 β.因 为 Q∈A1C1，所以 Q∈α.又 Q∈EF，所以 Q∈β.所以 Q是 α与 β的公共点．同理， P是 α与 β的公共点．所以 α∩β＝ PQ.又 A1C∩β＝ R，所以 R∈A1C， R∈α，且 R∈β.则 R∈PQ，故 P， Q， R三点共 线 ．③∵ EF∥BD且 EF＜ BD，∴DE与 BF相交． 设 交点 为 M，则 由 M∈DE， DE⊂ 平面 D1DCC1，得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1， ∴M∈CC1.∴DE， BF， CC1三 线 交于点 M.[答案 ] (1)B[规 律 总结 ] (1)证 明点共面或 线 共面的常用方法① 直接法： 证 明直 线 平行或相交，从而 证 明 线 共面．② 同一法：先确定一个平面，再 证 明有关点、 线 在此平面内．③ 辅 助平面法：先 证 明有关的点、 线 确定平面 α，再 证 明其余元素确定平面 β，最后 证 明平面 α， β重合．(2)证 明空 间 点共 线问题 的方法① 公理法：一般 转 化 为证 明 这 些点是某两个平面的公共点，再根据基本性 质 3证 明 这 些点都在 这 两个平面的交 线 上．② 同一法： 选择 其中两点确定一条直 线 ，然后 证 明其余点也在 该 直 线 上．(3)证 明三 线 共点的方法先 选 取两 线 交于一点，再 证 明 该 点在第三 线 上即可．空 间 直 线 的位置关系[解析 ] (1)图 ① 中，直 线 GH∥MN；图 ② 中， G、 H、 N三点共面，但 M∉面 GHN，因此直 线 GH与 MN异面；图 ③ 中， 连 接 MG， GM∥HN，因此 GH与 MN共面；图 ④ 中， G、 M、 N共面，但 H∉面 GMN，因此 GH与 MN异面．所以 图 ②④ 中 GH与 MN异面．(2)方法一：在 EF上任意取一点 M，直 线A1D1与 M确定一个平面， 这 个平面与 CD有且仅 有 1个交点 N，当 M取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD有不同的交点 N，而直 线MN与 这 3条异面直 线 都有交点．如 图 所示．方法二：在 A1D1上任取一点 P， 过 点 P与直 线 EF作一个平面 α，因 CD与平面 α不平行，所以它 们 相交， 设 它 们 交于点 Q， 连 接 PQ， 则 PQ与 EF必 须 相交，即 PQ为 所求直 线 ．由点 P的任意性，知有无数条直 线 与三条直 线 A1D1， EF， CD都相交．[答案 ] (1)②④ (2)无数[规 律 总结 ] 异面直 线 的判定方法(1)反 证 法：先假 设 两条直 线 不是异面直 线 ，即两条直 线平行或相交，由假 设 出 发 ， 经过严 格的推理， 导 出矛盾，从而否定假 设 ，肯定两条直 线 异面．此法在异面直 线 的判定中经 常用到．(2)判定定理法：平面外一点 A与平面内一点 B的 连线 和平面内不 经过 点 B的直 线 是异面直 线 ．走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习立体几何第七章第四讲 直线、平面平行的判定与性质 第七章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测1． 直 线 与平面平行的判定与性 质●知 识 梳理 a∩α＝ ∅ a⊂ α， b⊄α，a∥ b a∥ α a∥ α， a⊂ β，α∩β＝ ba∩α＝ ∅ a∥ b2.面面平行的判定与性 质α∩β＝ ∅a⊂ β， b⊂ β，a∩b＝ P，a∥ α， b∥ αα∥ β，α∩γ＝ a，β∩γ＝ b●双基自 测 (5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． ( )(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面． ( )(7)空间四边形 ABCD中， E， F分别是 AB， AD的中点，则 EF∥ 平面 BCD.( )[答案 ] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)√考点突破 ·互动探究与 线 、面平行关系有关命 题 真假的判断(2)A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故 A错误 ； B中，平行于同一个平面的两条直 线 可能平行、相交或异面，故 B错误 ； C中，若两个平面相交， 则 一个平面内与交 线 平行的直 线 一定和另一个平面平行，故 C错误 ； D中，若两条直 线 垂直于同一个平面， 则这 两条直 线 平行，所以若两条直 线 不平行， 则 它 们 不可能垂直于同一个平面，故 D正确．[答案 ] (1)B (2)D[规 律 总结 ] 与平行关系有关命 题 真假的判断技巧(1)熟悉 线 、面关系的各个定理，无 论 是 单项选择还 是含选择项 的填空 题 ，都可以从中先 选 出最熟悉最容易判断的 选项 先确定或排除，再逐步判断其余 选项 ．(2)结 合 题 意构造或 绘 制 图 形， 结 合 图 形作出判断．(3)特 别 注意定理所要求的条件是否完 备 ， 图 形是否有特殊情形．直 线 与平面平行的判定与性 质[分析 ] 证明线面平行的步骤[规 律 总结 ] (1)证 明 线线 平行的常用方法① 利用基本性 质 4：找第三 线 ，只需 证 明两 线 都与第三 线平行即可．② 利用三角形的中位 线 的性 质 ．③ 构建平行四 边 形利用其 对边 平行．(2)证 明直 线 与平面平行的两种重要方法及关 键① 利用直 线 与平面平行的判定定理．关 键 ：在 该 平面内找或作一 线证 明其与已知直 线 平行．② 利用面面平行的性 质 ．关 键 ： 过该线 找或作一平面 证 明其与已知平面平行．[证 明 ] (1)因 为 三棱柱 ABC－ A1B1C1为 直三棱柱，所以CC1⊥平面 ABC，又 AD⊂ 平面 ABC，所以 CC1⊥AD.又 AB＝ AC， D为 BC的中点，所以 AD⊥BC.因 为 BC∩CC1＝ C， BC⊂ 平面 BCC1B1， CC1⊂ 平面BCC1B1，所以 AD⊥平面 BCC1B1.因 为 AD⊂ 平面 ADF，所以平面 ADF⊥平面 BCC1B1.走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习立体几何第七章第五讲 直线、平面垂直的判定与性质 第七章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测1． 直 线 与平面垂直(1)定义：若直线 l与平面 α内的 _______一条直线都垂直，则直线 l与平面 α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 ______直线都垂直，则该直线与此平面垂直 (线线垂直 ⇒线面垂直 )．即： a⊂ α， b⊂ α， l⊥ a， l⊥ b， a∩b＝ P⇒ ____________.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ______．即： a⊥ α， b⊥ α⇒ _______.●知 识 梳理 任意相交l⊥ α平行a∥ b3． 二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的 ____________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱 _______的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．锐角 两个半平面垂直4． 平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即： a⊂ α，a⊥ β⇒ ____________.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 ____________的直线与另一个平面垂直．即： α⊥ β， a⊂ α， α∩β＝ b， a⊥ b⇒ ____________.直二面角α⊥ β交线a⊥ β●双基自 测 (5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． ( )(6)若平面 α内的一条直线垂直于平面 β内的无数条直线，则 α⊥ β.( )(7)若直线 a⊥ 平面 α，直线 b∥ α，则直线 a与 b垂直． ( )[答案 ] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√考点突破 ·互动探究与 线 面垂直关系有关命 题 真假的判断(2)对 于 选项 A， α⊥β， α∩β＝ n， m⊥n，根据面面垂直的性质 定理可知，缺少条件 m⊂ α，故不正确； 对 于 选项 B， α∩γ＝m， α⊥γ， β⊥γ，而 m与 β可能平行，也可能 m与 β斜交，故不正确； 对 于 选项 C， α⊥β， β⊥γ， m⊥α，而 m与 β可能平行，也可能 m⊂ β，故不正确； 对 于 选项 D，因 为 n⊥α， m⊥α，所以 m∥n.又因 为 n⊥β，所以 m⊥β.故 选 D.[答案 ] (1)B (2)D[规 律 总结 ] 与 线 面垂直关系有关命 题 真假的判断方法(1)借助几何 图 形来 说 明 线 面关系要做到作 图 快、准、甚至无需作 图 在 头脑 中形成印象来判断．(2)寻 找反例，只要存在反例，那么 结论 就不正确．(3)反复 验证 所有可能的情况，必要 时 要运用判定或性 质定理 进 行 简单说 明．对 于 B， l⊂ α， m⊂ β， n⊂ β，且 l⊥m， l⊥n，如 图 (2)， α，β不垂直；对 于 C， m⊂ α， n⊂ β， m∥n，且 l⊥m，直 线 l没有确定， 则α， β的关系也不能确定；对 于 D， l⊂ α， l∥m，且 m⊥β， 则 必有 l⊥β，根据面面垂直的判定定理知， α⊥β.(2)对 于面面垂直的判定，主要是两个条件，即 l⊂ α， l⊥β，如果 这 两个条件存在， 则 α⊥β.线 面垂直的判定与性 质[分析 ] 证明线面垂直的步骤(2)∵∠PDA＝ 45°， PA⊥AD， ∴AP＝ AD.∵ABCD为 矩形， ∴AD＝ BC， ∴PA＝ BC.又 ∵M为 AB的中点， ∴AM＝ BM.而 ∠PAM＝ ∠CBM＝ 90°，∴PM＝ CM，又 N为 PC的中点， ∴MN⊥PC.由 (1)知 MN⊥CD， PC∩CD＝ C， ∴MN⊥平面 PCD.[规 律 总结 ] (1)证 明 线 面垂直的常用方法① 利用 线 面垂直的判定定理．② 利用 “两平行 线 中的一条与平面垂直， 则 另一条也与 这 个平面垂直 ”．③ 利用 “一条直 线 垂直于两个平行平面中的一个， 则 与另一个也垂直 ”．④ 利用面面垂直的性 质 定理．(2)证 明 线线 垂直的常用方法① 利用特殊 图 形中的垂直关系．② 利用等腰三角形底 边 中 线 的性 质 ．③ 利用勾股定理的逆定理．④ 利用直 线 与平面垂直的性 质 ．走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习立体几何第七章第六讲 空间向量及其运算 (理 ) 第七章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测1． 空 间 向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有 ________和 ________的量叫做空间向量，其大小叫做向量的_______或 _____．(2)相等向量：方向 _______且模 _______的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ______或 _____，则这些向量叫做__________或 __________．(4)共面向量：平行于同一 _______的向量叫做共面向量．●知 识 梳理 大小 方向长度 模相同 相等平行 重合 共线向量 平行向量平面2． 空 间 向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a， b(b≠0)， a∥ b⇔ 存在 λ∈ R，使 a＝ λb.(2)共面向量定理：若两个向量 a， b不共线，则向量 p与向量 a， b共面 ⇔ 存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 p＝ xa＋ yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a， b， c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x， y， z}使得 p＝ xa＋ yb＋ zc.其中 {a， b， c}叫做空间的一个基底．3． 两个向量的数量 积(1)非零向量 a， b的数量积 a·b＝ |a||b|cos〈 a， b〉 ．(2)空间向量数量积的运算律① 结合律： (λa)·b＝ λ(a·b)；② 交换律： a·b＝ b·a；③ 分配律： a·(b＋ c)＝ a·b＋ a·c.4． 空 间 向量的坐 标 表示及其 应 用设 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3).a1b1＋ a2b2＋ a3b3a1＝ λb1， a2＝ λb2， a3＝ λb3a1b1＋ a2b2＋ a3b3＝ 0●双基自 测 (5)对于空间非零向量 a， b， a⊥ b⇔ a·b＝ 0.( )(6)对于非零向量 b，由 a·b＝ b·c，得 a＝ c.( )(7)在向量的数量积运算中满足 (a·b)·c＝ a·(b·c)． ( )[答案 ] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)×考点突破 ·互动探究空 间 向量的 线 性运算[规 律 总结 ] (1)用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量 时 ， 应结 合已知和所求 观 察图 形，将已知向量和未知向量 转 化至三角形或平行四 边 形中，然后利用三角形法 则 或平行四 边 形法 则 ，把所求向量用已知基向量表示出来．(2)向量加法的多 边 形法 则首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的 终 点的向量，我 们 把 这 个法 则 称 为 向量加法的多 边形法 则 ．提醒：空 间 向量的坐 标 运算 类 似于平面向量中的坐 标 运算．空 间 向量的共 线 、共面 问题[规 律 总结 ] 走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习立体几何第七章第七讲 立体几何中的向量方法 (理 ) 第七章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测1． 直 线 的方向向量与平面的法向量(1)直线 l上的向量 e以及与 ________的向量叫做直线 l的方向向量．(2)如果表示非零向量 n的有向线段所在直线 _______平面 α，那么称向量 n垂直于平面 α，记作______.此时把 _______叫做平面 α的法向量．●知 识 梳理 e共线垂直于n⊥ α 向量 n2． 线 面关系的判定设直线 l1的方向向量为 e1＝ (a1， b1， c1)，直线 l2的方向向量为 e2＝ (a2， b2， c2)，平面 α的法向量为 n1＝ (x1， y1， z1)，平面 β的法向量为 n2＝ (x2， y2， z2)．(1)如果 l1∥ l2，那么 e1∥ e2⇔ ___________ ⇔ ___________________________.(2)如果 l1⊥ l2，那么 e1⊥ e2⇔ _________＝ 0⇔ _____________________.(3)若 l1∥ α，则 e1⊥ n1⇔ e1·n1＝ 0⇔ ___________________.e2＝ λe1a2＝ λa1， b2＝ λb1， c2＝ λc1e1·e2a1a2＋ b1b2＋ c1c2＝ 0a1x1＋ b1y1＋ c1z1＝ 0(4)若 l1⊥ α，则 e1∥ n1⇔ e1＝ kn1⇔ _________________________.(5)若 α∥ β，则 n1∥ n2⇔ n1＝ kn2⇔ _______________________.(6)若 α⊥ β，则 n1⊥ n2⇔ n1·n2＝ 0⇔ ____________________.a1＝ kx1， b1＝ ky1， c1＝ kz1x1＝ kx2， y1＝ ky2， z1＝ kz2x1x2＋ y1y2＋ z1z2＝ 03． 利用空 间 向量求空 间 角(1)两条异面直线所成的角① 范围：两条异面直线所成的角 θ的取值范围是 ______．② 向量求法：设异面直线 a， b的方向向量为 a， b，直线 a与 b的夹角为 θ， a与 b的夹角为 φ，则有cosθ＝ _______.(2)直线与平面所成的角① 范围：直线和平面所成的角 θ的取值范围是 _______．② 向量求法：设直线 l的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为 θ， a与 u的夹角为 φ，则有 sinθ＝ ________或 cosθ＝ sinφ.|cosφ||cosφ|(3)二面角① 二面角的取值范围是 ____________．② 二面角的向量求法：若 AB， CD分别是二面角 α－ l－ β的两个面内与棱 l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB与CD的夹角 (如图 ① )．[0， π]设 n1， n2分别是二面角 α－ l－ β的两个面 α， β的法向量，则图 ② 中向量 n1与 n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小；而图 ③ 中向量 n1与 n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小．●双基自 测 考点突破 ·互动探究利用向量 证 明平行与垂直 问题[规 律 总结 ] 用向量法 证 平行 问题 的 类 型及常用方法线线 平行 证 明两直 线 的方向向量共 线线 面平行 ① 证 明 该 直 线 的方向向量与平面的某一法向量垂直② 证 明直 线 的方向向量与平面内某直 线 的方向向量平行③ 证 明 该 直 线 的方向向量可以用平面内的两个不共 线 的向量 线 性表示面面平行 ① 证 明两平面的法向量平行 (即 为 共 线 向量 )② 转 化 为线 面平行、 线线 平行 问题提醒：用向量 结论还 原几何 结论时 ，要注意 书 写 规 范，说 明定理的条件．利用向量法 证 明垂直 问题 的 类 型及常用方法线线 垂直 问题证 明两直 线 所在的方向向量互相垂直，即 证它 们 的数量 积为 零线 面垂直 问题直 线 的方向向量与平面的法向量共 线 ，或利用 线 面垂直的判定定理 转 化 为证 明 线线 垂直面面垂直 问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理 转 化 为证 明 线 面垂直12017 高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第 1 讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列结论中正确的是 ( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线[答案] D[解析] 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故 A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B 错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必须要大于底面边长，故 C 错误．2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 ( )A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱[答案] D[解析] 球的三视图是三个全等的圆；含有互相垂直且相等的三条棱的三棱锥的三视图可以是三个全等的三角形；正方体的三视图可以是三个全等的正方形；圆柱不管如何放置，其三视图的形状都不可能全部相同．故选 D.3．如图所示，已知在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E 为棱 BB1的中点，用过点 A， E， C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为 ( )导 学 号 254015992[答案] C[解析] 如图，取 DD1的中点为 F，连接 AF， FC1，则容易得到平面 AEC1F 即截面．设AA1的中点为 G，连接 D1G，则 C1E 在平面 ADD1A1上的投影是 D1G，故剩余几何体的侧视图如选项 C 所示．4．(2015·山西四校联考)如图所示，△ A′ B′ C′是△ ABC 的直观图，那么△ ABC 是( )导 学 号 25401600A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形[答案] B5．(2015·江西景德镇第一次质检)如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1上、下底面中心分别为 O1， O2，将正方体绕直线 O1O2旋转一周，其中曲线段 BC1旋转所得图形是( )导 学 号 254016013[答案] D[解析] 由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在 B，D 中选，显然 B不对，因为 BC1中点绕 O1O2旋转得到的圆比 B 点和 C1点的小，故选 D.6．如图所示，在正方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， M， E 是 AB 的三等分点， G， N 是 CD的三等分点， F， H 分别是 BC， MN 的中点，则四棱锥 A′－ EFGH 的侧视图为( )导 学 号 25401602[答案] C[解析] 注意分清三等分点可以看出，侧视图中 A′ E， A′ G 重合， A′ H 成为A′ M， A′ F， A′ B 重合，侧视图为向左倾斜的三角形，故选 C.二、填空题7．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为____________________. 导 学 号 25401603[答案] 2 3[解析] 由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为 2，所以高为 ，34所以正视图的面积为 2 .38．(原创题)正三角形 ABC 的边长为 4，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是____________________. 导 学 号 25401604[答案] 6[解析] 画出坐标系 x′ O′ y′，作出△ ABC 的直观图△ A′ B′ C′(如图所示)．易知 O′ A′＝ OA.12所以 S△ A′ B′ C′ ＝ × S△ ABC＝ × ×42＝ .12 22 24 34 69．如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 ＝____________________.Rr 导 学 号 25401605[答案] 233[解析] 由水面高度升高 r，得圆柱体积增加 π R2r，恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因此有 π r3＝π R2r.故 ＝ .43 Rr 23310．(2015·江西白鹭洲中学期末)若某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为2，则俯视图中的 x＝____________________. 导 学 号 25401606[答案] 25[解析] 由三视图，可得该几何体为四棱锥， S 底 ＝ (x＋1)×2＝ x＋1，高 h＝2，则12V＝ S 底 h＝ (x＋1)×2＝2，解得 x＝2.13 13三、解答题11．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成. 导 学 号 25401607[解析] 图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．12．已知正三棱锥 V－ ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示. 导 学 号 25401608(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．[答案] (1)略 (2)6[解析] (1)如图所示．6(2)根据三视图间的关系可得 BC＝2 ，3∴左视图中 VA＝ ＝2 .42－  23×32 ×23 2 3∴ S△ VBC＝ ×2 ×2 ＝6.12 3 3B 组 能力提升1．(2015·淄博一模)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥A－ BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 ( )导 学 号 25401609A. B．22 12C. D．24 14[答案] D[解析] 由正视图与侧视图可得三棱锥 A－ BCD 的一个侧面与底面垂直，其俯视图是直角三角形，且直角边长均为 ，所以侧视图的面积为 S＝ × × ＝ ，选 D.22 12 22 22 142．(2015·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 ( )导 学 号 25401610[答案] D[解析] 易知该三棱锥的底面是直角边分别为 1 和 2 的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合 B、D 选项知，D 选项中侧视图方向错误，故选 D.3．如图，矩形 O′ A′ B′ C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′ A′＝6， O′ C′＝2，则原图形 OABC 的面积为____________________. 导 学 号 254016117[答案] 24 2[解析] 由题意知原图形 OABC 是平行四边形，且 OA＝ BC＝6，设平行四边形 OABC 的高为 OE，则 OE× × ＝ O′ C′ ，12 22∵ O′ C′＝2，∴ OE＝4 ，2∴ S▱OABC＝6×4 ＝24 .2 24．如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面为正方形， PC 与底面 ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形. 导 学 号 25401612(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.[答案] (1)36 cm 2 (2)6 cm3[解析] (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得 PD＝ ＝ ＝6 .PC2＋ CD2 62＋ 62 2由正视图可知 AD＝6，且 AD⊥ PD，所以在 Rt△ PAD 中， PA＝ ＝PD2＋ AD2＝6 cm. 62 2＋ 62 35．(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为 20 cm 和 30 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.导 学 号 25401613[答案] 4 cm3[解析] 如图所示，三棱台 ABC－ A1B1C1中， O、 O1分别为两底面中心， D、 D1分别为 BC和 B1C1的中点，则 DD1为棱台的斜高．8由题意知 A1B1＝20， AB＝30，则 OD＝5 ， O1D1＝ ，31033由 S 侧 ＝ S 上 ＋ S 下 ，得×(20＋30)×3 DD1＝ ×(202＋30 2)，12 34解得 DD1＝ ，在直角梯形 O1ODD1中，133 3O1O＝ ＝4 ，DD21－  OD－ O1D1 2 3所以棱台的高为 4 cm.312017 高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第 2 讲 空间几何体的表面积与体积习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4[答案] D[解析] 由三视图可知该几何体的直观图是截去一半的圆柱，其表面积为 S＝2π×2×＋π×1 2＋2×2＝3π＋4.122．(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A. ＋2π B.13 13π6C. D.7π3 5π2[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体为一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱与一个底面半径为1、高为 1 的半圆锥的组合体，其体积为 π×1 2×2＋ × π×1 2×1＝ ，故选 B.12 13 13π623．(2015·江西六校 3 月联考)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为 ( )导 学 号 25401636A. B. π2π3 2C．2π D.22π3[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是正八面体，棱长为 1，其外接球半径为 ，所以其22外接球的体积为 π R3＝ π·( )3＝ ，选 A.43 43 22 2π34．(2015·山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( )导 学 号 25401637A. B．22π3 42π3C．2 π D．4 π2 2[答案] B[解析] 由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为 、高为 的圆锥的组合体，2 2其体积为 2× ×π×( )2× ＝ π.13 2 2 4235．在正六棱锥 P－ ABCDEF 中，若 G 为 PB 的中点，则三棱锥 D－ GAC 与三棱锥 P－ GAC 体积之比为 ( )导 学 号 25401638A．11 B．12C．21 D．32[答案] C[解析] 设棱锥的高为 h，3VD－ GAC＝ VG－ DAC＝ S△ ADC· h，13 12VP－ GAC＝ VP－ ABC＝ VG－ ABC＝ S△ ABC· .12 13 h2又 S△ ADC S△ ABC＝21 ，故 VD－ GAC VP－ GAC＝21.6．长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6，若这个长方体的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为 ( )导 学 号 25401639A. π B．56π72C．14π D．64π[答案] C[解析] 设长方体长、宽、高分别为 a， b， c，不妨取 ab＝2， bc＝3， ac＝6，长方体的体对角线长为 .a2＋ b2＋ c2而由Error! 得Error!∴球的直径 d＝ ＝ .∴ r＝ ＝ .22＋ 12＋ 32 14d2 142∴ S 球 ＝4π r2＝4π× ＝14π.144二、填空题7．(2015·上海黄浦区期末调研)已知某圆锥体的底面半径 r＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 π 的扇形，则该圆锥体的表面积是____________________.23导 学 号 25401640[答案] 36π[解析] 由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为 2π r＝6π，从而其母线长为 l＝ ＝9，从而圆锥体的表面积为 S 侧 ＋ S 底 ＝ ×9×6π＋9π＝36π.故答案为6π2π3 1236π.8．(2015·上海杨浦区上学期学业质量调研)在底面直径为 6 的圆柱形容器中，放入一个半径为 2 的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为____________________．(相同质量的冰与水的体积比为 109) 导 学 号 25401641[答案] 1615[解析] 设容器中液面的高度为 h，则冰的体积 V1＝ ×π×2 3＝ ，则水的体积为43 32π34× ＝ ，则 9π h＝ ，解得 h＝ .32π3 910 48π5 48π5 16159．(2015·浙江绍兴上学期期末统考)已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为____________________，该四棱锥的体积为____________________. 导 学 号 25401642[答案] 3 43[解析] 根据题意还原出四棱锥模型如图所示， O 为 BC 的中点，且 PO⊥底面 ABCD.由俯视图知， BC＝2， BO＝ OC＝1，显然 BA⊥平面 PBC， DC⊥平面 PBC，所以 BA⊥ BP， DC⊥ PC，所以△ ABP，△ PCD 为直角三角形．又侧视图为直角三角形，故△ PBC 为直角三角形，所以PO＝ BC＝1，所以 V＝ ×22×1＝ .12 13 4310．(2015·云南一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为____________________. 导 学 号 25401643[答案] 932[解析] 设等边三角形的边长为 2a，则 V 圆锥 ＝ ·π a2· a＝ π a3；又13 3 33R2＝ a2＋( a－ R)2，所以 R＝ a，故 V 球 ＝ ·( a)3＝ a3，则其体积比为 .3233 4π3 233 323π27 932三、解答题11．(2015·安徽六校联考)如图所示，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ ADE，△ BCF 均为正三角形， EF∥ AB， EF＝2，求该多面体的体积.导 学 号 25401644[答案] 235[解析] 法一：如图所示，分别过 A， B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G， H，连接DG， CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱．∵三棱锥高为 ，直三棱柱柱高为 1，12AG＝ ＝ ，12－  12 2 32取 AD 中点 M，则 MG＝ ，22∴ S△ AGD＝ ×1× ＝ ，12 22 24∴ V＝ ×1＋2× × × ＝ .24 13 24 12 23法二：如图所示，取 EF 的中点 P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥 P－ AED 和三棱锥 P－ BCF 都是棱长为 1 的正四面体，四棱锥 P－ ABCD 为棱长为 1 的正四棱锥．∴ V＝ ×12× ＋2× × × ＝ .13 22 13 34 63 2312．(2015·杭州一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积.导 学 号 25401645[答案] 1900 cm 3[解析] 如图所示，在三棱台 ABC－ A′ B′ C′中， O′， O 分别为上、下底面的中心，D， D′分别是 BC， B′ C′的中点，则 DD′是等腰梯形 BCC′ B′的高．又 A′ B′＝20 cm， AB＝30 cm，所以 S 侧 ＝3× ×(20＋30)× DD′＝75 DD′.126S 上 ＋ S 下 ＝ ×(202＋30 2)＝325 (cm2)．34 3由 S 侧 ＝ S 上 ＋ S 下 ，得 75DD′＝325 ，3所以 DD′＝ cm，133 3又因为 O′ D′＝ ×20＝ (cm)，36 1033OD＝ ×30＝5 (cm)，36 3所以棱台的高 h＝ O′ O＝ D′ D2－  OD－ O′ D′  2＝ ＝4 (cm)， 1333  2－  53－ 1033  2 3由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝ (S 上 ＋ S 下 ＋ )h3 S上 S下＝ ×(325 ＋ ×20×30)433 3 34＝1 900(cm 3)．故棱台的体积为 1 900 cm3.B 组 能力提升1．如图(1)，在三棱锥 P－ ABC 中， PA⊥平面 ABC， AC⊥ BC， D 为侧棱 PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图(2)所示，则下列命题正确的是 ( )导 学 号 25401646A． AD⊥平面 PBC，且三棱锥 D－ ABC 的体积为83B． BD⊥平面 PAC，且三棱锥 D－ ABC 的体积为83C． AD⊥平面 PBC，且三棱锥 D－ ABC 的体积为163D． BD⊥平面 PAC，且三棱锥 D－ ABC 的体积为163[答案] C7[解析] 由正视图可知， PA＝ AC，且点 D 为线段 PC 的中点，所以 AD⊥ PC.由侧视图可知， BC＝4.因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥ BC.又 BC⊥ AC，且 AC∩ PA＝ A，所以 BC⊥平面PAC，所以 BC⊥ AD.又 PC∩ BC＝ C，所以 AD⊥平面 PBC， VD－ ABC＝ ×( PA)×S△ ABC＝ .13 12 1632．如图，直三棱柱 ABC－ A1B1C1的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， AB＝ AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1的面积为 ( )导 学 号 25401647A．2 B．1C. D．222[答案] C[解析] 由题意知，球心在侧面 BCC1B1的中心 O 处， BC 为截面圆的直径，所以∠ BAC＝90°，△ ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点处，同理△ A1B1C1的外心 M 是 B1C1的中点．设正方形 BCC1B1的边长为 x，Rt△ OMC1中， OM＝ ， MC1＝ ， OC1＝ R＝1( R 为球的半径)，x2 x2所以( )2＋( )2＝1，即 x＝ ，则 AB＝ AC＝1，所以 S 矩形 ABB1A1＝ ×1＝ .x2 x2 2 2 23．(原创题)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )导 学 号 25401648A. B． 4＋ π  33  4＋ π  32C. D．(4＋π) 4＋ π  36 3[答案] C[解析] 由该几何体的三视图可知，该几何体是左面为底面半径为 1、高为 、母线长3为 2 的半圆锥，右边是底面为等腰三角形(底边为 2、高为 2)、高为 的三棱锥拼成的一个38组合体．所以此组合体的体积为： × ×π×1 2× ＋ × ×2×2× ＝ × ＋ × ＝13 12 3 13 12 3 π 6 3 46 3.故选 C. 4＋ π  364．如图为一简单组合组，其底面 ABCD 为正方形， PD⊥平面 ABCD， EC∥ PD，且PD＝ AD＝2 EC＝2. 导 学 号 25401649(1)画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥 B－ CEPD 的体积．[答案] (1)略 (2)2[解析] (1)如图所示：(2)∵ PD⊥平面 ABCD， PD⊂平面 PDCE，∴平面 PDCE⊥平面 ABCD.∵ BC⊥ CD，∴ BC⊥平面 PDCE.∵ S 梯形 PDCE＝ (PD＋ EC)·DC＝ ×3×2＝3，12 12∴四棱锥 B－ CEPD 的体积 VB－ CEPD＝ S 梯形 PDCE·BC＝ ×3×2＝2.13 135．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm). 导 学 号 254016509(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接 BC′，证明： BC′∥平面 EFG.[答案] (1)略 (2) cm3 (3)略2843[解析] (1)如图所示．(2)所求多面体的体积是：V＝ V 长方体 － V 正三棱锥 ＝4×4×6－ ×( ×2×2)×2＝ cm3.13 12 2843(3)如图所示，复原长方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′，连接 AD′，则 AD′∥ BC′.∵ E， G 分别是 AA′， A′ D′的中点，∴ AD′∥ EG.从而 EG∥ BC′.又 BC′⊄平面 EFG，∴ BC′∥平面 EFG.