（新课标）2017版高考数学大一轮复习 第六章 数列 文（课件+习题）（打包9套）.zip

- 1 -题组层级快练(二十八)1．在数列 1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x 应取( )A．19 B．20C．21 D．22答案 C解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，∴a n＋2 ＝a n＋1 ＋a n，∴x＝8＋13＝21，故选 C.2．数列 ，， ， ，…的一个通项公式为( )1318115124A．a n＝ B．a n＝12n＋ 1 1n＋ 2C．a n＝ D．a n＝1n（ n＋ 2） 12n－ 1答案 C解析 观察知 an＝ ＝ .1（ n＋ 1） 2－ 1 1n（ n＋ 2）3．已知数列 ，，，，…，那么 0.94，0.96，0.98，0.99 中属于该数列中某一项值的有12233445( )A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个答案 C4．(2016·济宁模拟)若 Sn为数列{a n}的前 n项和，且 Sn＝ ，则 等于( )nn＋ 1 1a5A. B.56 65C. D．30130答案 D解析 ∵当 n≥2 时，a n＝S n－S n－1 ＝ － ＝ ，nn＋ 1 n－ 1n 1n（ n＋ 1）∴ ＝5×(5＋1)＝30.1a55．(2016·保定模拟)设数列{a n}满足：a 1＝2，a n＋1 ＝1－ ，记数列{a n}的前 n项之积为1anTn，则 T2 015的值为( )A．－ B．－112- 2 -C. D．212答案 B解析 由 a2＝ ，a 3＝－1，a 4＝2 可知，数列{a n}是周期为 3的周期数列，从而 T2 015＝(－1)12671×2× ＝－1.126．在数列{a n}中，已知 a1＝a，a 2＝b，a n＋1 ＋a n－1 ＝a n(n≥2)，则 a2 016等于( )A．a B．bC．b－a D．a－b答案 D解析 通过计算数列的前 12项可知，数列的周期为 6，而 2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝a－b.7．(2014·辽宁)设等差数列{a n}的公差为 d，若数列{2a 1an}为递减数列，则( )A．d0C．a 1d0答案 C解析 ∵数列{2a 1an}为递减数列，∴2a 1an2a1an＋1 ，n∈N *，∴a 1ana1an＋1 ，∴a 1(an＋1 －a n)1时，有 an＝S n－S n－1 ＝ an－ an－1 ，n＋ 23 n＋ 13整理，得 an＝ an－1 .n＋ 1n－ 1于是 a1＝1，a 2＝ a1，a 3＝ a2，…，31 42an－1 ＝ an－2 ，a n＝ an－1 .nn－ 2 n＋ 1n－ 1将以上 n个等式两端分别相乘，整理，得 an＝ .n（ n＋ 1）2综上，{a n}的通项公式 an＝ .n（ n＋ 1）2- 1 -题组层级快练(二十九)1．(2015·新课标全国Ⅱ)设 Sn是等差数列{a n}的前 n 项和．若 a1＋a 3＋a 5＝3，则 S5＝( )A．5 B．7C．9 D．11答案 A解析 ∵{a n}为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，得 3a3＝3，则 a3＝1，∴S 5＝ ＝5a 3＝5，故选 A 项．5（ a1＋ a5）22．在等差数列{a n}中，若 a1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n}的公差为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 ∵a 1＋a 5＝10＝2a 3，∴a 3＝5.故 d＝a 4－a 3＝7－5＝2.3．(2016·衡水调研卷)在等差数列{a n}中，若 S10＝4S 5，则 等于( )a1dA. B．212C. D．414答案 A4．(2014·重庆文)在等差数列{a n}中，若 a1＝2，a 3＋a 5＝10，则 a7＝( )A．5 B．8C．10 D．14答案 B解析 由等差数列的性质，得 a1＋a 7＝a 3＋a 5.因为 a1＝2，a 3＋a 5＝10，所以 a7＝8，选 B.5．设{a n}为等差数列，公差 d＝－2，S n为其前 n 项和．若 S10＝S 11，则 a1＝( )A．18 B．20C．22 D．24答案 B解析 由 S10＝S 11，得 a11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.6．(2016·武汉市二中)已知{a n}是等差数列，a 10＝10，其前 10 项和 S10＝70，则其公差 d 为( )- 2 -A．－ B．－23 13C. D.13 23答案 D解析 a 10＝a 1＋9d＝10，S 10＝10a 1＋ d＝10a 1＋45d＝70，解得 d＝ .故选 D.10×92 237．若 Sn是等差数列{a n}的前 n 项和，且 S8－S 3＝10，则 S11的值为( )A．12 B．18C．22 D．44答案 C解析 ∵数列{a n}是等差数列，且S8－S 3＝10，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝10，∴5a 6＝10，a 6＝2，∴S 11＝ ×11＝1a1＋ a1121a6＝22.8．(2016·山东泰安一中模拟)在等差数列{a n}中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前 n 项和Sn＝100，则 n＝( )A．9 B．10C．11 D．12答案 B9．已知等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且满足 － ＝1，则数列{a n}的公差是( )S33 S22A. B．112C．2 D．3答案 C解析 因为 Sn＝ ，所以 ＝ .由 － ＝1，得 － ＝1，即n（ a1＋ an）2 Snn a1＋ an2 S33 S22 a32 a22a3－a 2＝2，所以数列{a n}的公差为 2.10．在等差数列{a n}中，设 Sn为其前 n 项和，已知 ＝ ，则 等于( )a2a3 13 S4S5A. B.815 40121C. D.1625 57答案 A- 3 -解析 由题意可得 ＝ ＝ ＝ .S4S54（ a1＋ a4）25（ a1＋ a5）2 2（ a2＋ a3）5a3 81511．已知在等差数列{a n}中，|a 3|＝|a 9|，公差 dS6 B．S 50，a 90，a 7S5答案 B解析 ∵a 2＝－6，a 8＝6，∴a 5＝0∴S 4＝S 5，故选 B.6．(2016·衡水调研卷)在等差数列{a n}中，a 2＋a 4＝p，a 3＋a 5＝q，则 S6＝( )A．p＋q B. (p＋q)32C．2(p＋q) D. (p＋q)52答案 B解析 (a 2＋a 4)＋(a 3＋a 5)＝2(a 3＋a 4)＝2(a 1＋a 6)＝p＋q，∴a 1＋a 6＝ (p＋q)．12∴S 6＝ ＝ (p＋q)．6（ a1＋ a6）2 327．(2016·湖北八校)根据科学测算，运载神舟飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度为 1 km，以后每分钟上升的高度增加 2 km，在达到离地面 240 km 高度时船箭分离，则从点火到船箭分离大概需要的时间是( )A．20 分钟 B．16 分钟C．14 分钟 D．10 分钟- 7 -答案 B解析 本题主要考查等差数列的通项公式．设火箭每分钟上升的距离组成一个数列，显然a1＝1，而 an－a n－1 ＝2.所以可得 an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以 Sn＝ ＝n 2＝240.n（ a1＋ an）2所以从点火到船箭分离大概需要的时间是 16 分钟．故选 B.8．等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn，已知 a5＝8，S 3＝6，则 S10－S 7的值是( )A．24 B．48C．60 D．72答案 B解析 设等差数列{a n}的公差为 d，由题意可得 解得 则{a5＝ a1＋ 4d＝ 8，S3＝ 3a1＋ 3d＝ 6， ) {a1＝ 0，d＝ 2.)S10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d＝48，选 B.9．(2015·陕西)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为________．答案 5解析 由题意知，1 010 为数列首项 a1与 2 015 的等差中项，故 ＝1 010，解得a1＋ 2 0152a1＝5.10．(2016·保定模拟)设 Sn是等差数列{a n}的前 n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S16＝________．答案 －72解析 设等差数列{a n}首项为 a1，公差为 d，则有∴ ，{a1＋ 11d＝ － 89a1＋ 9×（ 9－ 1）2 d＝ － 9.) {a1＝ 3d＝ － 1)∴S 16＝16a 1＋ d＝－72.16×（ 16－ 1）2- 1 -题组层级快练(三十)1．在等比数列{a n}中，a 1＝ ，q＝ ，a n＝ ，则项数 n为( )12 12 132A．3 B．4C．5 D．6答案 C2．在等比数列{a n}中，若公比 q＝2，S 4＝1，则 S8的值为( )A．15 B．17C．19 D．21答案 B3．(2016·安徽芜湖五联考)在等比数列{a n}中，a 3＝7，前 3项之和 S3＝21，则公比 q的值为( )A．1 B．－12C．1 或－ D．－1 或12 12答案 C解析 根据已知条件得 ②÷①得 ＝3.{a1q2＝ 7， ①a1＋ a1q＋ a1q2＝ 21， ② ) 1＋ q＋ q2q2整理得 2q2－q－1＝0，解得 q＝1 或 q＝－ .124．设等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，若 S1＝ a2－ ，S 2＝ a3－ ，则公比 q＝( )13 13 13 13A．1 B．4C．4 或 0 D．8答案 B解析 ∵S 1＝ a2－ ，S 2＝ a3－ ，13 13 13 13∴{a1＝ 13a1q－ 13，a1＋ a1q＝ 13a1q2－ 13， )解得 或 (舍去){a1＝ 1，q＝ 4 ) {a1＝ － 13，q＝ 0， )故所求的公比 q＝4.- 2 -5．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则 S8等于( )A．21 B．42C．135 D．170答案 D解析 方法一：S 8＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8)＝2＋8＋32＋128＝170.方法二：q 2＝ ＝4，又 q0，∴q＝2.a3＋ a4a1＋ a2∴a 1(1＋q)＝a 1(1＋2)＝2，∴a 1＝ .23∴S 8＝ ＝170.23·（ 28－ 1）2－ 16．在 14与 之间插入 n个数组成等比数列，若各项总和为 ，则此数列的项数( )78 778A．4 B．5C．6 D．7答案 B解析 ∵q≠1(14≠ )，∴S n＝ ，∴ ＝ .解得 q＝－ ， ＝14×(－ )78 a1－ anq1－ q 778 14－ 78q1－ q 12 78 12n＋2－1 ，∴n＝3.故该数列共 5项．7．(2016·沧州七校联考)设等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，若 ＝3，则 ＝( )S6S3 S9S6A．2 B.73C. D．383答案 B解析 由 ＝3 知该等比数列的公比 q≠－1，则 S3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是由S6S3S6＝3S 3，可推出 S9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴ ＝ .S9S6 738．在等比数列{a n}中，a 1＝1，公比 q≠1.若 am＝a 1a2a3a4a5，则 m等于( )A．9 B．10C．11 D．12答案 C解析 a m＝a 1a2a3a4a5＝q·q 2·q3·q4＝q 10＝a 1q10，所以 m＝11.- 3 -9．(2016·河北唐山一模)已知等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，且 a1＋a 3＝ ，a 2＋a 4＝ ，则52 54＝Snan( )A．4 n－1 B．4 n－1C．2 n－1 D．2 n－1答案 D解析 ∵ ∴{a1＋ a3＝ 52，a2＋ a4＝ 54， ) {a1＋ a1q2＝ 52， ①a1q＋ a1q3＝ 54.② )由①除以②可得 ＝2，解得 q＝ ，代入①得 a1＝2.1＋ q2q＋ q3 12∴a n＝2×( )n－1 ＝ .12 42n∴S n＝ ＝4(1－ )．2×[1－ （ 12） n]1－ 12 12n∴ ＝ ＝2 n－1，选 D.Snan4（ 1－ 12n）42n10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且 a3·a9＝2a 52，a 2＝1，则 a1＝( )A. B.12 22C. D．22答案 B解析 因为 a3·a9＝2a 52，则由等比数列的性质有：a 3·a9＝a 62＝2a 52，所以 ＝2，即( )a62a52 a6a52＝q 2＝2.因为公比为正数，故 q＝ .又因为 a2＝1，所以 a1＝ ＝ ＝ .2a2q 12 2211．设 Sn是等比数列{a n}的前 n项和，a 3＝ ，S 3＝ ，则公比 q＝( )32 92A. B．－12 12C．1 或－ D．1 或12 12答案 C- 4 -解析 当 q＝1 时，a 1＝a 2＝a 3＝ ，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝ ，符合题意；当 q≠1 时，由题可得32 92解得 q＝－ .故 q＝1 或 q＝－ .{a3＝ a1q2＝ 32，S3＝ a1（ 1－ q3）1－ q ＝ 92， ) 12 1212．(2016·浙江湖州一模)设 Sn为等比数列{a n}的前 n项和，若 8a2－a 5＝0，则 ＝( )S4S2A．－8 B．5C．8 D．15答案 B解析 ∵在等比数列{a n}中，8a 2－a 5＝0，∴公比 q＝2.∴ ＝ ＝5，故选 B.S4S2a1（ 1－ 24）1－ 2a1（ 1－ 22）1－ 213．(2015·浙江)已知{a n}是等差数列，公差 d不为零．若 a2，a 3，a 7成等比数列，且2a1＋a 2＝1，则 a1＝________，d＝________．答案 ；－123解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 32＝a 2a7，即(a 1＋2d) 2＝(a 1＋d)·(a 1＋6d)，解得d＝－ a1①，∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d＝1②，由①②可得 a1＝ ，d＝－1.32 2314．(2013·北京)若等比数列{a n}满足 a2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比 q＝________；前 n项和 Sn＝________．答案 2 2 n＋1 －2解析 由等比数列的性质，得 a3＋a 5＝(a 2＋a 4)q，解得 q＝ ＝2，又a3＋ a5a2＋ a4∵a 2＋a 4＝a 1(q＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n＝ ＝2 n＋1 －2.a1（ 1－ qn）1－ q15．等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，若 S3＋3S 2＝0，则公比 q＝________．答案 －2解析 由 S3＋3S 2＝0，即 a1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即 4a1＋4a 2＋a 3＝0，即4a1＋4a 1q＋a 1q2＝0，即 q2＋4q＋4＝0，所以 q＝－2.16．在等比数列{a n}中，若 a1＝ ，a 4＝－4，则公比12q＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n|＝________．答案 －2，2 n－1 －12- 5 -解析 设等比数列{a n}的公比为 q，则 a4＝a 1q3，代入数据解得 q3＝－8，所以 q＝－2；等比数列{|a n|}的公比为|q|＝2，则|a n|＝ ×2n－1 ，所以12|a1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝ (1＋2＋2 2＋…＋2 n－1 )＝ (2n－1)＝2 n－1 － .12 12 1217．已知{a n}是等比数列，S n是其前 n项和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S3，S 6，S 12－S 6成等比数列．答案 略证明 由已知得 2a1q6＝a 1＋a 1q3，即 2q6－q 3－1＝0，得 q3＝1 或 q3＝－ .12当 q3＝1 即 q＝1，{a n}为常数列， ＝ 命题成立．当 q3＝－ 时，S62S3 S12－ S6S6 12＝ ＝ . ＝ －1＝ .∴命题成立．S62S3 1－ q62（ 1－ q3） 14 S12－ S6S6 1－ q121－ q6 1418．(2016·山西大同质检)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上2，5，13 后成为等比数列{b n}中的 b3，b 4，b 5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)数列{b n}的前 n项和为 Sn，求证：数列{S n＋ }是等比数列．54答案 (1)b n＝5×2 n－3 (2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为 a－d，a，a＋d.依题意，得 a－d＋a＋a＋d＝15，解得 a＝5.所以{b n}中的 b3，b 4，b 5依次为 7－d，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得 d＝2 或 d＝－13(舍去)．故{b n}的第 3项为 5，公比为 2.由 b3＝b 1·22，即 5＝b 1×22，解得 b1＝ .54所以{b n}是以 为首项，以 2为公比的等比数列，其通项公式为 bn＝ ×2n－1 ＝5×2 n－3 .54 54(2)证明：由(1)得数列{b n}的前 n项和 Sn＝ ＝5×2 n－2 － ，即 Sn＋ ＝5×2 n－2 .54（ 1－ 2n）1－ 2 54 54所以 S1＋ ＝ ， ＝ ＝2.54 52Sn＋ 1＋ 54Sn＋ 54 5×2n－ 15×2n－ 2因此{S n＋ }是以 为首项，以 2为公比的等比数列．54 52- 6 -1．在等比数列{a n}中，a 2 016＝8a 2 013，则公比 q的值为( )A．2 B．3C．4 D．8答案 A解析 依题意得 ＝q 3＝8，q＝2，选 A.a2 016a2 0132．在等比数列{a n}中，a 2a6＝16，a 4＋a 8＝8，则 等于( )a20a10A．1 B．－3C．1 或－3 D．－1 或 3答案 A解析 由 a2a6＝16，得 a42＝16a 4＝±4.又 a4＋a 8＝8，可得 a4(1＋q 4)＝8，∵q 40，∴a 4＝4.∴q 2＝1， ＝q 10＝1.a20a103．(2015·浙江金丽衢十二校二联)在等比数列{a n}中，a 1＝3，a 4＝24，则 a3＋a 4＋a 5＝( )A．33 B．72C．84 D．189答案 C解析 由题意可得 q3＝8，∴q＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q2(1＋q＋q 2)＝84.4．(2015·浙江温州十校联考)设等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，若 Sm－1 ＝5，S m＝－11，Sm＋1 ＝21，则 m＝( )A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析 由已知得，S m－S m－1 ＝a m＝－16，S m＋1 －S m＝a m＋1 ＝32，故公比 q＝ ＝－2.又 Sm＝am＋ 1am＝－11，故 a1＝－1.又 am＝a 1·qm－1 ＝－16，故(－1)×(－2) m－1 ＝－16，求得 m＝5.a1－ amq1－ q5．(2013·新课标全国Ⅱ)等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，已知 S3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a1＝( )A. B．－13 13- 7 -C. D．－19 19答案 C解析 由已知条件及 S3＝a 1＋a 2＋a 3，得 a3＝9a 1，设数列{a n}的公比为 q，则 q2＝9.所以 a5＝9＝a 1·q4＝81a 1，得 a1＝ ，故选 C项．196．(2016·武汉调研)在等比数列{a n}中，a n0，若 a1·a5＝16，a 4＝8，则 a5＝( )A．16 B．8C．4 D．32答案 A解析 方法一：∵数列{a n}是正项等比数列，∴a 1·a5＝a 1·a1q4＝16a 1q2＝4①，又a4＝8a 1q3＝8②，由①②得，q＝2，∴a 5＝a 4q＝8×2＝16.方法二：由 a1·a5＝a 32＝16a 3＝4，q＝2.7．(2016·上海黄浦模拟)已知{a n}是首项为 1的等比数列，若 Sn是数列{a n}的前 n项和，且 28S3＝S 6，则数列{ }的前 4项和为( )1anA. 或 4 B. 或 4158 4027C. D.4027 158答案 C解析 设数列{a n}的公比为 q.当 q＝1 时，由 a1＝1，得 28S3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当 q≠1 时，由 28S3＝S 6及首项为 1，得 ＝ ，解得 q＝3.28（ 1－ q3）1－ q 1－ q61－ q所以数列{a n}的通项公式为 an＝3 n－1 .所以数列{ }的前 4项和为 1＋ ＋ ＋ ＝ .1an 13 19 127 40278．设 a1＝2，数列{1＋2a n}是公比为 2的等比数列，则 a6＝( )A．31.5 B．160C．79.5 D．159.5答案 C解析 因为 1＋2a n＝(1＋2a 1)·2n－1 ，则an＝ ，a n＝5·2 n－2 － .5·2n－ 1－ 12 12- 8 -a6＝5×2 4－ ＝5×16－ ＝80－ ＝79.5.12 12 129．在等比数列{a n}中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则 a7＋a 8＝________．答案 240