（新课标）2017版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 理（课件+习题）（打包16套）.zip

1题组层级快练(三十八)1．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是( )答案 B解析 侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故 A，D 排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为 B 中所示，故选 B.2.三视图如图的几何体是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．四棱台 D．三棱台答案 B解析 几何体底面为四边形，侧面是三角形，故选 B.3．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为( )A．圆柱和圆锥 B．正方体和圆锥C．四棱柱和圆锥 D．正方体和球答案 C4．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )2答案 D解析 根据分析，只能是选项 D 中的视图．故选 D.5．若已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A. a2 B. a232 34C. a2 D. a262 6答案 C解析 如图所示是△ABC 的平面直观图△A′B′C′.作 C′D′∥y′轴交 x′轴于 D′，则C′D′对应△ABC 的高 CD，∴CD＝2C′D′＝2· ·C′O′＝2 · a＝ a.2 232 6而 AB＝A′B′＝a，∴S △ABC ＝ ·a· a＝ a2.12 6 626．(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A．1＋ B．2＋3 3C．1＋2 D．22 2答案 B3解析 在长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥 P－ABC，表面积为 ×1×2×2＋ ×( )2×2＝2＋ .12 34 2 37．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可13以是( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为 ，可知该几何体的底面积应为131，因此符合底面积为 1 的选项仅有 D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为 D.8. (2016·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中 x 的值是( )A．2 ` B.92C. D．332答案 D解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积 S＝ ×(1＋2)124×2＝3，高 h＝x，所以其体积 V＝ Sh＝ ×3x＝3，解得 x＝3，故选 D.13 139．(2016·南京质检)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A．8 B．6 2C．10 D．8 2答案 C解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为 6，6 ，8，10，2所以面积最大的是 10，故选择 C.10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( )A. B.12 22C. D.52 62答案 C解析 由三视图知，该几何体的直观图如图所示．平面 AED⊥平面 BCDE，四棱锥 A－BCDE的高为 1.四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形，则 S△AED ＝ ×1×1＝ ，S △ABC ＝S △ABE ＝ ×1×12 12 12＝ ， S△ACD ＝ ×1× ＝ ，故选 C.222 12 5 5211．(2016·人大附中模拟)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，AB＝6，BC＝2 ，棱锥 O－ABCD 的体积为 8 ，则球 O 的表面积为( )3 3A．8π B．16π5C．32π D．64π答案 D解析 由题意可知矩形 ABCD 所在截面圆的半径 r＝ ＝2 ，S 矩形 ABCD＝12 .62＋ （ 23） 22 3 3设球心 O 到平面 ABCD 的距离为 h，则 ×12 ×h＝8 ，解得 h＝2，∴R＝ ＝4，13 3 3 r2＋ h2∴S 球 O＝4πR 2＝64π.12．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为( )答案 B解析 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是 ，故其侧视图只可能是选项 B 中的图形．313．(2016·江西九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A．6＋4 ＋2 B．8＋42 3 2C．6＋6 D．6＋2 ＋42 2 3答案 A6解析 直观图是四棱锥 P－ABCD，如图所示，S △PAB ＝S △PAD ＝S △PDC ＝ ×2×2＝2，S △12PBC＝ ×2 ×2 ×sin60°＝2 ，S 四边形 ABCD＝2 ×2＝4 ，故选 A.12 2 2 3 2 214．(2016·沧州七校联考)如图所示，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A．6 B．93 3C．12 D．183 3答案 B解析 由几何体的三视图知直观图如图所示．原几何体是底面 ABCD 为矩形的四棱柱，且 AB＝3，侧面 A1ABB1⊥底面 ABCD，A 1A＝2.过 A1作 A1G⊥AB 于 G，由三视图知 AG＝1，A 1D1＝3，A 1G＝ ＝ .A1A2－ AG2 3底面 ABCD 的面积 S＝3×3＝9，VABCD－A 1B1C1D1＝S·h＝9× ＝9 .3 315. (2016·北京西城区期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．7答案 2 3解析 由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为 2，所以高为 ，3所以正视图的面积为 2 .316．(2016·名师改编)已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中 AB＝AC，四边形 BCDE 为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．(把你认为正确的图的序号都填上)答案 ①②③④17．已知正三棱锥 V－ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．答案 (1)略 (2)6解析 (1)如右图所示．(2)根据三视图间的关系可得 BC＝2 ，3∴左视图中 VA＝ ＝2 .42－ （ 23×32 ×23） 2 3∴S △VBC ＝ ×2 ×2 ＝6.12 3 31．(2014·福建理)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱 B．圆锥C．四面体 D．三棱柱答案 A解析 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方面看均不可能是三角形，所以选 A.82．(2013·辽宁)已知直三棱柱 ABC－A 1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA 1＝12，则球 O 的半径为( )A. B．23172 10C. D．3132 10答案 C解析 由题设可知该三棱柱可以看作长方体的一部分，且该长方体同一顶点的三条棱长分别为 3，4，12，三棱柱的外接球，即为长方体的外接球，故(2R) 2＝3 2＋4 2＋12 2，R＝ ，132选 C.3.(2016·湖南怀化一中模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左(侧)视图为( )答案 B解析 由三视图定义可知选 B.4．(2014·新课标全国Ⅰ理)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．6 B．62C．4 D．42答案 B解析 将三视图还原为几何体再计算，几何体为三棱锥．如图，侧面 SBC⊥底面 ABC.9点 S 在底面 ABC 的射影点 O 是 BC 的中点，△ABC 为直角三角形．∵AB＝4，BO＝2，∴AO＝ ，SO⊥底面 ABC.20∴SO⊥AO，SO＝4.∴最长的棱 AS＝ ＝6.20＋ 165.(2016·东北四校模拟)如图所示，三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长为 4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是( )答案 B解析 三棱锥的正视图应为高为 4，底边长为 3 的直角三角形．6. (2016·衡水调研卷)如图所示，在三棱柱 ABC—A1B1C1中，AA 1⊥平面ABC，A 1A＝AB＝2，BC＝1，AC＝ ，若规定主(正)视方向垂直平面 ACC1A1，则此三棱柱的5侧(左)视图的面积为( )A. B．2455 5C．4 D．2答案 A解析 过 B 作 BD⊥AC 于 D，过点 B1作 B1D1⊥A 1C1于 D1连接 DD1，则三棱锥的侧视图就是矩形 BDD1B1，且 BD＝ ，BB 1＝2.25所以，其面积为 S＝ ×2＝ .25 4557.如图所示，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，M，E 是 AB 的三等分点，G，N 是 CD 的三等分点，F，H 分别是 BC，MN 的中点，则四棱锥 A′－EFGH的侧视图为( )答案 C10解析 注意分清三等分点可以看出，侧视图中 A′E，A′G 重合，A′H 成为A′M，A′F，A′B 重合，侧视图为向左倾斜的三角形，故选 C.8.如图所示，正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________ cm.答案 8解析 根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC 为平行四边形，且有OB⊥OA，OB＝2 ，OA＝1，所以 AB＝3.从而原图的周长为 8 cm.29．如图所示，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．答案 2 3解析 将几何体的三视图还原为直观图：四棱锥 P－ABCD，如图将直观图补成一个正方体，显然最长的一条棱的长 PB，即为正方体的对角线长，易知正方体的棱长为 2，所以对角线长为 2 .310．已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD－A 1B1C1D1的内切球，则以球心 O 为顶点，以球 O被平面 ACD1所截得的圆为底面的圆锥的体积为________．答案 3π108解析 连接 B1D，则 B1D 过点 O，设 B1D 交平面 ACD1于点 M，如图，易知 B1D⊥平面 ACD1，∴B 1M⊥平面ACD1，∵B 1D＝ ，∴B 1M＝ B1D＝ ，则 OM＝ － ＝ ，而球323 233 233 32 36O 被平面 ACD1所截得的圆是△ACD 1的内切圆，设内切圆半径为 r，则 S△ACD 111＝ × × sin60°＝ ×( ＋ ＋ )×r，即 r＝ ， ∴所求圆锥的体积 V＝ [π×( )12 2 2 12 2 2 2 66 13 662]× ＝ .36 3π10811．一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三角形，边长为 1，左(侧)视图是直角三角形，两直角边分别为 和 ，俯视图是等腰直角三角形，斜边为 1，则此几何32 12体的体积为________．答案 324解析 根据三视图可知此空间几何体为三棱锥，其底面面积为 S＝ ×1× ＝ ，三棱锥的12 12 14高为 h＝ ，所以几何体的体积为 V＝ Sh＝ × × ＝ .32 13 13 14 32 3241题组层级快练(三十九)1．一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别是 ， ， ，这个长方体的对角线长是2 3 6( )A．2 B．33 2C．6 D. 6答案 D解析 设长方体共一顶点的三棱长分别为 a、b、c，则 ab＝ ，bc＝ ，ac＝ .∴(abc) 2＝6.2 3 6解得 a＝ ，b＝1，c＝ .2 3故对角线长 l＝ ＝ .a2＋ b2＋ c2 62．若一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A．8π B．6πC．4π D．π答案 C解析 设正方体的棱长为 a，则 a3＝8.而此内切球直径为 2，∴S 表 ＝4πr 2＝4π.3．若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. π B．π＋32 3C. π＋ D. π＋32 3 52 3答案 C解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得．∴S＝×2× ＋ ×π＋ ×2π×1＝ π＋ .12 3 12 12 32 34．(2016·山东济宁模拟)若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )2A．75＋2 B．75＋410 10C．48＋4 D．48＋210 10答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个四棱柱．两个底面面积之和为 2× ×3＝27，四个4＋ 52侧面的面积之和是(3＋4＋5＋ )×4＝48＋4 ，故表面积是 75＋4 .10 10 105．(2016·山东枣庄模拟)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．48 cm 3 B．98 cm 3C．88 cm 3 D．78 cm 3答案 B解析 由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－ × ×3×5×4＝98.故选 B.13 126.如图所示，E，F 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点，沿线 AF，AE，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为( )3A. B.13 16C. D.112 124答案 D解析 设 B，D，C 重合于 G，则 VA－EFG ＝ ×1× × × ＝ .13 12 12 12 1247. (2016·河北邯郸摸底考试)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．2 B．23 5C. D.433 533答案 D解析 观察三视图可知，这是一个正三棱柱削去一个三棱锥，正三棱柱的底面边长为 2，高为 2.截去的三棱锥高为 1，所以几何体的体积为 ×2× ×2－ × ×2× ×1＝ ，12 3 13 12 3 533故选 D.8．(2016·大连双基考试)如图所示，在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A．15 B．13C．12 D．94答案 B解析 该题中的几何体的直观图如图所示，其中底面 ABCD 是一个矩形(其中 AB＝5，BC＝2)，棱 EF∥底面 ABCD，且 EF＝3，直线 EF 到底面ABCD 的距离是 3.连接 EB，EC，则题中的多面体的体积等于四棱锥E－ABCD 与三棱锥 E－FBC 的体积之和，而四棱锥 E－ABCD 的体积等于 ×(5×2)×3＝10，13三棱锥 E－FBC 的体积等于 ×( ×3×3)×2＝3，因此题中的多面体的体积等于13 1210＋3＝13，选 B.9．(2016·沧州七校联考)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. π B. π283 163C. π＋8 D．12π43答案 A解析 由三视图可知，该几何体为底面半径是 2，高为 2 的圆柱体和半径为 1 的球体的组合体，分别计算其体积，相加得 π×2 2×2＋ π＝ π.43 28310．(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A．8 cm 3 B．12 cm 35C. cm3 D. cm3323 403答案 C解析 由三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体，其中正方体与正四棱锥的底面边长为 2 cm，正四棱锥的高为 2 cm，则该几何体的体积 V＝2×2×2＋ ×2×2×2＝13(cm3)，故选 C.32311．(2016·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A．200π B．150πC．100π D．50π答案 D解析 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去 3 个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为 5、4、3，所以其外接球半径 R 满足 2R＝ ＝5 ，所以该几何体的外42＋ 32＋ 52 2接球的表面积为 S＝4πR 2＝4π×( )2＝50π，故选 D.52212. (2016·江西南昌模拟)如图，在正四棱柱 ABCD－A 1B1C1D1中，点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 P－BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2答案 A解析 根据题意，三棱锥 P－BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥 P－BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶1.613．已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2 ，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球 O 的体积为( )3A．4π B. π163C. π D．12π323答案 C解析 如图所示，在△ABC 中，根据余弦定理得 BC＝ ，从而有3AB2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 是直角三角形，∠ABC＝90°，BC⊥AB.由于SA⊥平面 ABC，所以 SA⊥BC.因为 AB∩SA＝A，所以 BC⊥平面 SAB，所以 BC⊥SB，所以△SBC 是直角三角形．取 SC 的中点 O′，连接O′A，O′B，则 O′S＝O′B＝O′C.在 Rt△SAC 中，有O′A＝O′S＝O′C，所以点 O′为此三棱锥外接球的球心，即 O′与 O重合．在 Rt△SAC 中，SC＝ ＝4，所以球的半径 R＝ SC＝2，球的体积SA2＋ AC212V＝ R3＝ .4π3 32π314.如图所示，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥 C－A′DD′，求棱锥 C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为________．答案 1∶5解析 方法一：设 AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体 ABCD－A′B′C′D′的体积 V＝abc.又 S△A′DD′ ＝ bc，且三棱锥 C－A′DD′的高为 CD＝a.12∴V 三棱锥 C－A′DD′ ＝ S△A′DD′ ·CD＝ abc.13 16则剩余部分的几何体积 V 剩 ＝abc－ abc＝ abc.16 56故 V 棱锥 C－A′D′D ∶V 剩 ＝ abc∶ abc＝1∶5.16 56方法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱 ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为 S，高为 h，则它的体积为 V＝Sh.而棱锥 C－A′DD′的底面面积为 S，高是 h，12因此，棱锥 C－A′DD′的体积7VC－A′DD′ ＝ × Sh＝ Sh.13 12 16余下的体积是 Sh－ Sh＝ Sh.16 56所以棱锥 C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 Sh∶ Sh＝1∶5.16 5615．已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案 173解析 由三视图知，此几何体可以看作一个棱长为 2 的正方体被截去了一个棱台而得到，此棱台的高为 2，一底为直角边长为 2 的等腰直角三角形，一底为直角边长为 1 的等腰直角三角形，棱台的两底面的面积分别为 ×2×2＝2， ×1×1＝ ，则该几何体的体积是12 12 122×2×2－ ×2×( ＋2＋ )＝8－ ＝ .13 12 2×12 73 17316.右图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥 B－CEPD 的体积．答案 (1)略 (2)2解析 (1)如图所示：8(2)∵PD⊥平面 ABCD，PD⊂平面 PDCE，∴平面 PDCE⊥平面 ABCD.∵BC⊥CD，∴BC⊥平面 PDCE.∵S 梯形 PDCE＝ (PD＋EC)·DC＝ ×3×2＝3，12 12∴四棱锥 B－CEPD 的体积 VB－CEPD ＝ S 梯形 PDCE·BC＝ ×3×2＝2.13 1317．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接 BC′，证明：BC′∥平面 EFG.答案 (1)略 (2) cm3 (3)略2843解析 (1)如图所示．9(2)所求多面体的体积是：V＝V 长方体 －V 正三棱锥 ＝4×4×6－ ×( ×2×2)×2＝ cm3.13 12 2843(3)如图所示，复原长方体 ABCD－A′B′C′D′，连接 AD′，则 AD′∥BC′.∵E，G 分别是 AA′，A′D′的中点，∴AD′∥EG.从而 EG∥BC′.又 BC′⊄平面 EFG，∴BC′∥平面 EFG.1．(2016·长春调研)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A. B.3（ 8＋ π ）6 3（ 8＋ 2π ）6C. D.3（ 6＋ π ）6 3（ 9＋ 2π ）6答案 A解析 该几何体由底面半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 的正方形的四棱锥组成，且10高都为 ，因此该几何体的体积 V＝ ×( ×π×1 2)× ＋ ×(2×2)× ＝ ＋ ＝313 12 3 13 3 3π6 433，故选 A.3（ 8＋ π ）62．(2016·合肥一检)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为( )A．64，48＋16 B．32，48＋162 2C. ，32＋16 D. ，48＋16643 2 323 2答案 B解析 由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示．体积 V＝ ×4×4×4＝32，表面积 S＝2× ×42＋4×(4＋4＋4 )＝48＋16 .12 12 2 23. (2016·浙江绍兴期末统考)已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为________，该四棱锥的体积为________．答案 3 43解析 根据题意还原出四棱锥模型如图所示，O 为 BC 的中点，且 PO⊥底面 ABCD.由俯视图知，BC＝2，BO＝OC＝1，显然 BA⊥平面 PBC，DC⊥平面 PBC，所以 BA⊥BP，DC⊥PC，所以△ABP，△PCD 为直角三角形．又侧视图为直角三角形，故△PBC 为直角三角形，所以 PO＝BC＝1，所以 V＝ ×22×1＝ .12 13 43114. (2016·南通二调)如图，在长方体 ABCD－A 1B1C1D1中，AB＝3 cm，AD＝2 cm，AA 1＝1 cm，则三棱锥 B1－ABD 1的体积为________ cm 3.答案 1解析 易知三棱锥 B1－ABD 1的体积 VB1－ABD 1＝VD 1－ABB 1＝ S△13ABB1×D1A1＝ × ×3×1×2＝1(cm 3)．13 121题组层级快练(四十)1．下面三条直线一定共面的是( )A．a，b，c 两两平行 B．a，b，c 两两相交C．a∥b，c 与 a，b 均相交 D．a，b，c 两两垂直答案 C2．若 l1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l1∥l 3 B．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l1⊥l 3C．l 1∥l 2∥l 3⇒l1，l 2，l 3共面 D．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面答案 B解析 当 l1⊥l 2，l 2⊥l 3时，l 1与 l3也可能相交或异面，故 A 不正确；l1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l1⊥l 3，故 B 正确；当 l1∥l 2∥l 3时，l 1，l 2，l 3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确；l 1，l 2，l 3共点时，l 1，l 2，l 3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确．3．若 P 是两条异面直线 l，m 外的任意一点，则( )A．过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都平行B．过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都垂直C．过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都相交D．过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都异面答案 B解析 对于选项 A，若过点 P 有直线 n 与 l，m 都平行，则 l∥m，这与 l，m 异面矛盾；对于选项 B，过点 P 与 l，m 都垂直的直线，即过 P 且与 l，m 的公垂线段平行的那一条直线；对于选项 C，过点 P 与 l，m 都相交的直线有一条或零条；对于选项 D，过点 P 与 l，m 都异面的直线可能有无数条．4．已知在正四棱柱 ABCD－A 1B1C1D1中，AA 1＝2AB，E 为 AA1中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为( )A. B.1010 15C. D.31010 35答案 C解析 连接 BA1，则 CD1∥BA 1，于是∠A 1BE 就是异面直线 BE 与 CD1所成的角(或补角)．设AB＝1，则 BE＝ ，BA 1＝ ，A 1E＝1，在△A 1BE 中，cos∠A 1BE＝ ＝ ，2 55＋ 2－ 125·2 31010选 C.25．ABCD 为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点，则 MN 与( )A．AC，BD 之一垂直 B．AC，BD 都垂直C．AC，BD 都不垂直 D．AC，BD 不一定垂直答案 B解析 ∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AN＝CN.在等腰△ANC 中，由 M 为 AC 的中点知 MN⊥AC.同理可得 MN⊥BD.6.如图所示，M 是正方体 ABCD－A 1B1C1D1的棱 DD1的中点，给出下列四个命题：①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B 1C1都相交；②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B 1C1都相交；④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B 1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③答案 C解析 将过点 M 的平面 CDD1C1绕直线 DD1旋转任意不等于 (k∈Z)的角度，所得的平面kπ2与直线 AB，B 1C1都相交，故③错误，排除 A，B，D，选 C.7.如图所示，正方体 ABCD－A 1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且EF＝ ，则下列结论中错误的是( )12A．AC⊥BE B．EF∥平面 ABCDC．三棱锥 A－BEF 的体积为定值 D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等答案 D解析 由 AC⊥平面 DBB1D1，可知 AC⊥BE，故 A 正确．3由 EF∥BD，EF⊄平面 ABCD，知 EF∥平面 ABCD，故 B 正确．A 到平面 BEF 的距离即 A 到平面 DBB1D1的距离为 ，且 S△BEF ＝ BB1×EF＝定值，22 12故 VA－BEF 为定值，即 C 正确．8．有下列四个命题：①若△ABC 在平面 α 外，它的三条边所在的直线分别交平面 α 于 P，Q，R，则 P，Q，R 三点共线；②若三条直线 a，b，c 互相平行且分别交直线 l 于 A，B，C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面；④若 a 不平行于平面 α，且 a⊄α，则 α 内的所有直线与 a 异面．其中正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在①中，因为 P，Q，R 三点既在平面 ABC 上，又在平面 α 上，所以这三点必在平面ABC 与平面 α 的交线上，既 P，Q，R 三点共线，所以①正确．在②中，因为 a∥b，所以 a 与 b 确定一个平面 α，而 l 上有 A，B 两点在该平面上，所以l⊂α，即 a，b，l 三线共面于 α；同理 a，c，l 三线也共面，不妨设为 β，而 α，β 有两条公共的直线 a，l，所以 α 与 β 重合，即这些直线共面，所以②正确．在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定 7 个平面，所以③错．在④中，由题设知，a 与 α 相交，设 a∩α＝P，如图，在 α 内过点 P 的直线 l 与 a 共面，所以④错．9.如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与 ED 平行；②CN 与 BE 是异面直线；③CN 与 BM 成 60°角；④DM 与 BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案 ③④4解析 如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然 BM 与 ED 为异面直线，故命题①不成立；而 CN 与 BE 平行，故命题②不成立．∵BE∥CN，∴CN 与 BM 所成角为∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面 CDNM，∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面 BCN.∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.10．在图中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案 ②④解析 图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面，但 M∉面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M，N 共面，但 H∉面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．所以图②，④中 GH 与 MN 异面．11.如图所示，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1中，M，N 分别是棱 C1D1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线 AM 与直线 C1C 相交；②直线 AM 与直线 BN 平行；③直线 AM 与直线 DD1异面；④直线 BN 与直线 MB1异面．5其中正确结论的序号为________．答案 ③④解析 AM 与 C1C 异面，故①错；AM 与 BN 异面，故②错；③，④正确．12.如图所示，在正四面体 S－ABC 中，D 为 SC 的中点，则 BD 与 SA 所成角的余弦值是________．答案 36解析 取 AC 中点 E，连接 DE，BE，则 BD 与 DE 所成的角即为 BD 与 SA 所成的角．设 SA＝a，则 BD＝BE＝ a，DE＝ .32 a2由余弦定理知 cos∠BDE＝ .3613.如图所示，在直三棱柱 ABC－A 1B1C1中，∠ACB＝90°，AA 1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是________．答案 66解析 由于 AC∥A 1C1，所以∠BA 1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角．在△BA 1C1中，A1B＝ ，A 1C1＝1，BC 1＝ ，cos∠BA 1C1＝ ＝ .6 56＋ 1－ 526×1 6614．(2016·山东枣庄期末)一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，M，N 分别为 A1B，B 1C1的中点．6下列结论中正确的是________．①直线 MN 与 A1C 相交；②MN⊥BC；③MN∥平面 ACC1A1；④三棱锥 N－A 1BC 的体积VN－A 1BC＝ a3.16答案 ②③④解析 由题图可知，此几何体为直棱柱，底面是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形，连接AB1，AC 1，由 M，N 是中点，得 MN∥AC 1，AC 1与 A1C 相交，所以 MN 与 A1C 异面，故①错误；BC⊥平面 AC1，∴BC⊥AC 1，MN∥AC 1，∴BC⊥MN，又∵MN⊄平面 ACC1A1，∴MN∥平面 ACC1A1，故②③正确；VN－A 1BC＝VA 1－NBC＝ × ×a×a×a＝ a3，故④正13 12 16确．故填②③④.15．如图所示，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD 且 BC＝ AD，BE∥AF 且 BE＝ AF，G，H 分别为 FA，FD 的中12 12点．(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？答案 (1)略 (2)共面，证明略解析 (1)证明：∵G，H 分别为 FA，FD 的中点，∴GH 綊 AD.又∵BC 綊 AD，12 12∴GH 綊 BC.∴四边形 BCHG 为平行四边形．(2)C，D，F，E 四点共面．理由如下：由 BE 綊 AF，G 是 FA 的中点，得 BE 綊 GF.12所以 EF 綊 BG.7由(1)知，BG 綊 CH，所以 EF 綊 CH.所以 EC∥FH.所以 C，D，F，E 四点共面．16. (2016·邯郸一中模拟)已知三棱柱 ABC－A 1B1C1的侧棱长和底面边长均为 2，A 1在底面ABC 内的射影 O 为底面△ABC 的中心，如图所示．(1)连接 BC1，求异面直线 AA1与 BC1所成角的大小；(2)连接 A1C，A 1B，求三棱锥 C1－BCA 1的体积．答案 (1) (2)π 4 223解析 (1)连接 AO，并延长与 BC 交于点 D，则 D 是 BC 边上的中点．∵点 O 是正△ABC 的中心，且 A1O⊥平面 ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A 1O.∵AD∩A 1O＝O，∴BC⊥平面 ADA1.∴BC⊥AA 1.又 AA1∥CC 1，∴异面直线 AA1与 BC1所成的角为∠BC 1C.∵CC 1⊥BC，即四边形 BCC1B1为正方形，∴异面直线 AA1与 BC1所成角的大小为 .π 4(2)∵三棱柱的所有棱长都为 2，∴可求得 AD＝ ，AO＝ AD＝ ，A 1O＝ ＝ .∴VABC－A 1B1C1＝S △ABC ·A1O＝2323 233 AA12－ AO2 263， VA1－B 1C1CB＝VABC－A 1B1C1－VA 1－ABC＝ .2423∴VC 1－BCA 1＝VA 1－BCC 1＝ VA1－BCC 1B1＝ .12 2231．在空间中，下列命题中不正确的是( )A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点8B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C．若点 A 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则 α 与 β 相交于直线 b，且点 A 在直线 b 上D．任意两条直线不能确定一个平面答案 D解析 对于 A 项，由公理 3 得，两个平面有一个公共点，则相交于过这一点的一条直线，因此有无数个公共点，正确；对于 B 项，若任意三点共线，则此四点共面，正确；对于 C项，满足公理 3，正确；对于 D 项，如果两条直线平行或相交，那么可以确定一个平面，故 D 项错误．2．设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，α，β 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒ a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒ b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①② B．②③C．①④ D．③④答案 D解析 当 a∩α＝P 时，P∈a，P∈α，但 a⊄α，∴①错；a∩β＝P 时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a.∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α.又 a∥b，由 a 与 b 确定唯一平面 β，但 β 经过直线 a 与点 P，∴β 与 α 重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．3．(2016·上海杨浦质量调研)若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b∥c，则直线 a 与 c( )A．一定平行 B．一定相交C．一定是异面直线 D．一定垂直答案 D解析 两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选 D.4．(2016·浙江金丽衢十二校二联)已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a⊂平面 M，b⊂平面 N，M∩N＝c.①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交；②若 a 不垂直于c，则 a 与 b 一定不垂直；③若 a∥b，则必有 a∥c；④若 a⊥b，a⊥c，则必有 M⊥N.其中正确命题的个数是( )9A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析 命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中 a 和 b 有可能垂直；命题④中当 b∥c时，平面 M，N 有可能不垂直，故选 C.