（新课标）2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何习题（打包12套）.zip

1第 1 讲 直线与圆直线的方程及应用1.(2015 贵州模拟)过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A )(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0解析:由题意,可设所求直线方程为 x-2y+C=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+C=0,解得 C=7.故选 A.2.(2015 长春调研)一次函数 y=- x+ 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件𝑚𝑛 1𝑛是( B )(A)m1 且 n0 且 n0, 0,n0)上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的2𝑥方程为( A )(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+(y-1)2=53(C)(x-1)2+(y-2)2=25 (D)(x-2)2+(y-1)2=25解析:设此圆的圆心坐标为(x 0, )(x00),2𝑥0则圆的半径 r= ≥ = ,|2𝑥0+2𝑥0+1|522𝑥0·2𝑥0+15 5当且仅当 2x0= ,x0=1 时,等号成立,2𝑥0圆的面积最小,此时圆心坐标为(1,2),半径为 ,5所以圆的方程为(x-1) 2+(y-2)2=5.故选 A.8.以双曲线 - =1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是 .𝑥29𝑦216解析:双曲线的渐近线方程为 y=± x,43不妨取 y= x,即 4x-3y=0.43双曲线的右焦点为(5,0),圆心到直线 4x-3y=0 的距离为 d= =4,|4×5|32+42即圆的半径为 4,所以所求圆的标准方程为(x-5) 2+y2=16.答案:(x-5) 2+y2=16直线与圆、圆与圆的位置关系9.(2015 资阳市高三适应性检测)对任意实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=4 的位置关系一定是 ( C )(A)相离 (B)相切(C)相交且不过圆心 (D)相交且过圆心解析:对任意的实数 k,直线 y=kx+1 恒过点(0,1),且点(0,1)在圆 x2+y2=4 内,所以对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=4 的位置关系一定是相交但直线不过圆心.故选 C.10.(2015 惠州模拟)圆(x+2) 2+y2=4 与圆(x-2) 2+(y-1)2=9 的位置关系为( B )(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离解析:两圆心的距离为 ,且 10)的位置关系是“平行相交”,则 b 的取值范围为( D )(A)( , )2322(B)(0, )2(C)(0, )322(D)( , )∪( ,+∞)2322 322解析:圆 C 的标准方程为(x+1) 2+y2=b2,由两直线平行可得 a(a+1)-6=0,解得 a=2 或 a=-3,又当 a=2 时,直线 l1与 l2重合,舍去,此时两平行线方程分别为 x-y-2=0 和 x-y+3=0;由直线 x-y-2=0 与圆(x+1) 2+y2=b2相切,得 b= = ,32322由直线 x-y+3=0 与圆相切,得 b= = ,22 2当两直线与圆都相离时,b0,即- 0,由于 k2+k+9=(k+ )2+8 0 恒成立,12 34所以 k 的取值范围是(- , ).233 233故选 D.7.(2015 河北模拟)直线 x-2y-3=0 与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E,F 两点,则△ECF 的面积为( B )(A) (B)2 (C) (D)32 5 355 34解析:由已知可得圆心到直线的距离为 d= ,5所以|EF|=4,所以 S△ECF = ×4× =2 .12 5 5故选 B.8.(2014 安徽卷)过点 P(- ,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点 ,则直线 l 的倾斜角的取值37范围是( D )(A)(0, ] (B)(0, ] (C)[0, ] (D)[0, ]𝜋6 𝜋3 𝜋6 𝜋3解析:设过点 P 的直线方程为 y=k(x+ )-1,3则由直线和圆有公共点知 ≤1.| 3𝑘‒1|1+𝑘2解得 0≤k≤ .3故直线 l 的倾斜角的取值范围是[0, ].𝜋39.(2015 江西模拟)已知两点 A(1,2),B(3,1)到直线 l 距离分别是 , - ,则满足条件的2 5 2直线 l 共有( C )(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条解析:当 A,B 位于直线 l 的同一侧时,一定存在这样的直线 l,且有两条;因为|AB|= = ,(3‒1)2+(1‒2)2 5而 A 到直线 l 与 B 到直线 l 距离之和为 + - = ,2 5 2 5所以当 A,B 位于直线 l 两侧时,存在一条与 AB 垂直且距离 A,B 分别为 , - 的直线,综2 5 2合可知满足条件的直线共有 3 条.10.已知直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角三2角形(O 是原点),则点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的距离的最大值为( A )(A) +1 (B)2 (C) (D) -12 2 2解析:由题意知∠AOB 为直角,则原点到直线 ax+by=1 的距离为 d= = ,则212𝑎2+𝑏2 22+a2=1,显然 M(0,1)为椭圆 +a2=1 的焦点,所以点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的最大值为𝑏22 𝑏22+1,选 A.211.(2015 佳木斯模拟)已知实数 x,y 满足 x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是( A )(A)5- (B)4- (C) -1 (D)55 5 5 5解析:将 x2+y2-4x+6y+12=0 化为(x-2)2+(y+3)2=1,|2x-y-2|= × ,5|2𝑥‒𝑦‒2|5所以|2x-y-2|表示圆(x-2) 2+(y+3)2=1 上的点到直线 2x-y-2=0 的距离的 倍,5而( )min= -1= -1,|2𝑥‒𝑦‒2|5 |2×2+3‒2|5 5所以|2x-y-2|的最小值为 ×( -1)=5- .5 5 5故选 A.二、填空题12.(2015 潍坊模拟)若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是 . 解析:圆的标准方程为(x+1) 2+(y-2)2=2,8所以圆心为(-1,2),半径为 .2因为圆关于直线 2ax+by+6=0 对称,所以圆心在直线 2ax+by+6=0 上,所以-2a+2b+6=0,即 b=a-3.点(a,b)到圆心的距离为d= (𝑎+1)2+(𝑏‒2)2= (𝑎+1)2+(𝑎‒3‒2)2= 2𝑎2‒8𝑎+26= ,2(𝑎‒2)2+18所以当 a=2 时,d 有最小值 =3 .18 2此时切线长最小为 = =4.(32)2‒( 2)2 16答案:413.当且仅当 m≤r≤n 时,两圆 x2+y2=49 与 x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r0)有公共点,则 n-m 的值为 . 解析:整理 x2+y2-6x-8y+25-r2=0,得(x-3) 2+(y-4)2=r2,该圆圆心是(3,4),半径为 r,要使两圆有公共点需|r-7|≤ ≤7+r,32+42即 2≤r≤12,进而可知 m=2,n=12,所以 n-m=10.答案:1014.(2015 赤峰市高三统考)已知☉O:x 2+y2=1,若直线 y=kx+2 上总存在点 P,使得过点 P 的☉O 的两条切线互相垂直,则实数 k 的取值范围是 . 解析:因为圆心为 O(0,0),半径 R=1.设两个切点分别为 A,B,则由题意可得四边形 PAOB 为正方形,故有 PO= R= ,2 2由题意知圆心 O 到直线 y=kx+2 的距离小于或等于 PO= ,2即 ≤ ,|2|1+𝑘22即 1+k2≥2,解得 k≥1 或 k≤-1.答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)15.(2015 安徽省黄山模拟)在直角坐标系中,定义两点 P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题:①若 P,Q 是 x 轴上两点,则 d(P,Q)=|x1-x2|;②已知两点 P(2,3),Q(sin2α,cos 2α),则 d(P,Q)为定值;9③原点 O 到直线 x-y+1=0 上任意一点 P 的直角距离 d(O,P)的最小值为 ;22④若|PQ|表示 P,Q 两点间的距离,那么|PQ|≥ d(P,Q);22其中为真命题的是 (写出所有真命题的序号). 解析:①若 P,Q 是 x 轴上两点,两点纵坐标均为 0,则 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命题正确;②若两点 P(2,3),Q(sin2α,cos 2α),则 d(P,Q)=|2-sin2α|+|3-cos 2α|=2-sin 2α+3-cos 2α=4,所以命题正确;③设直线上任意一点为(x,x+1),则原点 O 到直线 x-y+1=0 上任意一点 P 的直角距离d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,即其最小值为 1,所以命题错误;④由基本不等式 a2+b2≥ (a+b)2,12得|PQ|= ≥ (|x1-x2|+|y1-y2|)= d(P,Q),所以命题成立.(𝑥1‒𝑥2)2+(𝑦1‒𝑦2)2 22 22综上所述,正确的命题为①②④.答案:①②④直线与圆、圆与圆的位置关系训练提示:(1)直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.(2)圆的弦长的常用求法①几何法:求圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则( )2=r2-d2;𝑙2②代数法:运用根与系数的关系及弦长公式:|AB|= |x1-x2|=1+𝑘2.(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2‒4𝑥1𝑥2](3)①圆与直线 l 相切的情形——圆心到 l 的距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于 l.②圆与直线 l 相交的情形——圆心到 l 的距离小于半径,过圆心而垂直于 l 的直线平分 l 被圆截得的弦;连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦;过圆内一点的所有弦中,最短的是垂直于过这点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径.(4)①判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代数法.②当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或公共弦长时,只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程,然后转化为直线与圆相交求公共弦长.1.已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0.(1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切;(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 时,求直线 l 的方程.210解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 化成标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为 2.(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 =2,|4+2𝑎|𝑎2+1解得 a=- .34(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得{|𝐶𝐷|=|4+2𝑎|𝑎2+1,|𝐶𝐷|2+|𝐷𝐴|2=|𝐴𝐶|2=22,|𝐷𝐴|=12|𝐴𝐵|=2. 解得 a=-7 或-1.故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0.2.已知圆 M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点.(1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程;(2)求四边形 QAMB 面积的最小值;(3)若|AB|= ,求直线 MQ 的方程.423解:(1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1,则圆心 M 到切线的距离为 1,即 =1,|2𝑚+1|𝑚2+1解得 m=- 或 0,43所以切线 QA,QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1.(2)因为 MA⊥AQ,所以 =|MA|·|QA|𝑆四 边 形 𝑀𝐴𝑄𝐵=|QA|= |𝑀𝑄|2‒|𝑀𝐴|2= |𝑀𝑄|2‒1≥ = .|𝑀𝑂|2‒1 3所以四边形 QAMB 面积的最小值为 .3(3)设 AB 与 MQ 交于 P,则 MP⊥AB,所以|MP|= = .1‒(223) 213易证|MB| 2=|MP||MQ|,11即 1= |MQ|,13所以|MQ|=3,设 Q(x,0),则|MQ| 2=x2+22=9,所以 x=± ,5所以 Q(± ,0),5所以 MQ 的方程为 2x+ y-2 =0 或 2x- y+2 =0.5 5 5 53.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ,在 y 轴上截得线段长为22 .3(1)求圆心 P 的轨迹方程;(2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.22解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.由题设知 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3.故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1.(2)设 P(x0,y0),由已知得 = .|𝑥0‒𝑦0|2 22又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,从而得 {|𝑥0‒𝑦0|=1,𝑦20‒𝑥20=1.由 得{𝑥0‒𝑦0=1,𝑦20‒𝑥20=1 {𝑥0=0,𝑦0=‒1.此时,圆 P 的半径 r= .3由 得{𝑥0‒𝑦0=‒1,𝑦20‒𝑥20=1 {𝑥0=0,𝑦0=1.此时,圆 P 的半径 r= .3故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.4.已知以点 C(t, )为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为2𝑡原点.(1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程.(1)证明:由题意知圆 C 过原点 O,所以|OC| 2=t2+ .4𝑡2则圆 C 的方程为(x-t) 2+(y- )2=t2+ ,2𝑡 4𝑡2令 x=0,得 y1=0,y2= ;4𝑡12令 y=0,得 x1=0,x2=2t.所以 S△OAB = |OA|×|OB|12= ×| |×|2t|=4,12 4𝑡即△OAB 的面积为定值.(2)解:因为|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,所以 OC 垂直平分线段 MN.因为 kMN=-2,所以 kOC= ,12所以直线 OC 的方程为 y= x,12所以 = t,2𝑡12解得 t=2 或 t=-2.当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),|OC|= ,5此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= ,95 5圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,所以 t=-2 不符合题意,应舍去.所以圆 C 的方程为(x-2) 2+(y-1)2=5.5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l上.(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;(2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.解:(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3.由题意,得 =1,|3𝑘+1|𝑘2+113解得 k=0 或 k=- ,34故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为(x-a) 2+[y-2(a-2)]2=1.设点 M(x,y),因为 MA=2MO,所以 =2 ,𝑥2+(𝑦‒3)2 𝑥2+𝑦2化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上.由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即 1≤ ≤3.𝑎2+(2𝑎‒3)2整理,得-8≤5a 2-12a≤0.由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R;由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ .125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, ].1256.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线 x- y=4 相切.3(1)求圆 O 的方程;(2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 ,求直线 MN 的方程;3(3)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求 · 的→𝑃𝐴→𝑃𝐵取值范围.解:(1)依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- y=4 的距离,3即 r= =2.41+3所以圆 O 的方程为 x2+y2=4.(2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m=0.则圆心 O 到直线 MN 的距离 d= .|𝑚|5由垂径分弦定理得 +( )2=22,𝑚25 3即 m=± .5所以直线 MN 的方程为 2x-y+ =0 或 2x-y- =0.5 5(3)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),x1x2.由 x2=4 得 A(-2,0),B(2,0).14设 P(m,n),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得· =m2+n2,(𝑚+2)2+𝑛2 (𝑚‒2)2+𝑛2即 m2-n2=2.因为 · =(-2-m,-n)·(2-m,-n)=2(n2-1).→𝑃𝐴→𝑃𝐵由于点 P 在圆 O 内,故 {𝑚2+𝑛24,𝑚2‒𝑛2=2.由此得 n21.所以 · 的取值范围为[-2,0).→𝑃𝐴→𝑃𝐵1第 1 讲 直线与圆直线的方程及应用1.(2015 贵阳模拟)过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A )(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0解析:由题意,可设所求直线方程为 x-2y+C=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+C=0,解得 C=7.故选 A.2.(2015 长春调研)一次函数 y=- x+ 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件𝑚𝑛 1𝑛是( B )(A)m1 且 n0 且 n0, 0,n0)上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为 ( A )2𝑥(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+(y-1)2=5(C)(x-1)2+(y-2)2=25 (D)(x-2)2+(y-1)2=25解析:设此圆的圆心坐标为（x 0, ）(x 00),2𝑥03则圆的半径 r= ≥ = ,|2𝑥0+2𝑥0+1|522𝑥0·2𝑥0+15 5当且仅当 2x0= ,x0=1 时,等号成立,2𝑥0圆的面积最小,此时圆心坐标为(1,2),半径为 ,5所以圆的方程为(x-1) 2+(y-2)2=5.故选 A.8.以双曲线 - =1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是 .𝑥29𝑦216解析:双曲线的渐近线方程为 y=± x,43不妨取 y= x,即 4x-3y=0.43双曲线的右焦点为(5,0),圆心到直线 4x-3y=0 的距离为 d= =4,|4×5|32+42即圆的半径为 4,所以所求圆的标准方程为(x-5) 2+y2=16.答案:(x-5) 2+y2=16直线与圆、圆与圆的位置关系9.(2015 四川省资阳市高三适应性检测)对任意实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=4 的位置关系一定是 ( C )(A)相离 (B)相切(C)相交且不过圆心 (D)相交且过圆心解析:对任意的实数 k,直线 y=kx+1 恒过点(0,1),且点(0,1)在圆 x2+y2=4 内,所以对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=4 的位置关系一定是相交但直线不过圆心.故选 C.10.(2015 惠州模拟)圆(x+2) 2+y2=4 与圆(x-2) 2+(y-1)2=9 的位置关系为( B )(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离解析:两圆心的距离为 ,且 10,即- 0,由于 k2+k+9=(k+ )2+8 0 恒成立,12 346所以 k 的取值范围是(- , ).故选 D.233 2337.(2015 河北模拟)直线 x-2y-3=0 与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E,F 两点,则△ECF 的面积为( B )(A) (B)2 (C) (D)32 5 355 34解析:由已知可得圆心到直线的距离为 d= ,5所以|EF|=4,所以 S△ECF = ×4× =2 .故选 B.12 5 58.(2014 安徽卷)过点 P(- ,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点 ,则直线 l 的倾斜角的取值3范围是( D )(A)(0, ] (B)(0, ] (C)[0, ] (D)[0, ]𝜋6 𝜋3 𝜋6 𝜋3解析:设过点 P 的直线方程为 y=k(x+ )-1,3则由直线和圆有公共点知 ≤1.| 3𝑘‒1|1+𝑘2解得 0≤k≤ .3故直线 l 的倾斜角的取值范围是[0, ].𝜋39.已知两点 A(1,2),B(3,1)到直线 l 距离分别是 , - ,则满足条件的直线 l 共有( C )2 5 2(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条解析:当 A,B 位于直线 l 的同一侧时,一定存在这样的直线 l,且有两条;因为|AB|== ,(3‒1)2+(1‒2)2 5而 A 到直线 l 与 B 到直线 l 距离之和为 + - = ,2 5 2 5所以当 A,B 位于直线 l 两侧时,存在一条与 AB 垂直且距离 A,B 分别为 , - 的直线,综2 5 2合可知满足条件的直线共有 3 条.10.已知直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角三2角形(O 是原点),则点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的距离的最大值为( A )(A) +1 (B)2 (C) (D) -12 2 2解析:由题意知∠AOB 为直角,则原点到直线 ax+by=1 的距离为 d= = ,则212𝑎2+𝑏2 22+a2=1,显然 M(0,1)为椭圆 +a2=1 的焦点,所以点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的最大值为𝑏22 𝑏22+1,选 A.211.(2015 佳木斯模拟)已知实数 x,y 满足 x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是( A )(A)5- (B)4- (C) -1 (D)55 5 5 5解析:将 x2+y2-4x+6y+12=0 化为(x-2)2+(y+3)2=1,|2x-y-2|= × ,5|2𝑥‒𝑦‒2|57所以|2x-y-2|表示圆(x-2) 2+(y+3)2=1 上的点到直线 2x-y-2=0 的距离的 倍,5而( )min= -1= -1,|2𝑥‒𝑦‒2|5 |2×2+3‒2|5 5所以|2x-y-2|的最小值为 ×( -1)=5- .故选 A.5 5 5二、填空题12.(2015 潍坊模拟)若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是 . 解析:圆的标准方程为(x+1) 2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为 .2因为圆关于直线 2ax+by+6=0 对称,所以圆心在直线 2ax+by+6=0 上,所以-2a+2b+6=0,即 b=a-3.点(a,b)到圆心的距离为d= (𝑎+1)2+(𝑏‒2)2= (𝑎+1)2+(𝑎‒3‒2)2= 2𝑎2‒8𝑎+26= ,2(𝑎‒2)2+18所以当 a=2 时,d 有最小值 =3 .18 2此时切线长最小为 = =4.(32)2‒( 2)2 16答案:413.当且仅当 m≤r≤n 时,两圆 x2+y2=49 与 x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r0)有公共点,则 n-m 的值为 . 解析:整理 x2+y2-6x-8y+25-r2=0,得(x-3) 2+(y-4)2=r2,该圆圆心是(3,4),半径为 r,要使两圆有公共点需|r-7|≤ ≤7+r,32+42即 2≤r≤12,进而可知 m=2,n=12,所以 n-m=10.答案:1014.(2015 赤峰市高三统考)已知☉O:x 2+y2=1,若直线 y=kx+2 上总存在点 P,使得过点 P 的☉O 的两条切线互相垂直,则实数 k 的取值范围是 . 解析:因为圆心为 O(0,0),半径 R=1.设两个切点分别为 A,B,则由题意可得四边形 PAOB 为正方形,故有 PO= R= ,2 2由题意知圆心 O 到直线 y=kx+2 的距离小于或等于 PO= ,即 ≤ ,即 1+k2≥2,2|2|1+𝑘228解得 k≥1 或 k≤-1.答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)15.(2015 安徽省黄山模拟)在直角坐标系中,定义两点 P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题:①若 P,Q 是 x 轴上两点,则 d(P,Q)=|x1-x2|;②已知两点 P(2,3),Q(sin2α,cos 2α),则 d(P,Q)为定值;③原点 O 到直线 x-y+1=0 上任意一点 P 的直角距离 d(O,P)的最小值为 ;22④若|PQ|表示 P,Q 两点间的距离,那么|PQ|≥ d(P,Q);22其中为真命题的是 (写出所有真命题的序号). 解析:①若 P,Q 是 x 轴上两点,两点纵坐标均为 0,则 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命题正确;②若两点 P(2,3),Q(sin2α,cos 2α),则 d(P,Q)=|2-sin2α|+|3-cos 2α|=2-sin 2α+3-cos 2α=4,所以命题正确;③设直线上任意一点为(x,x+1),则原点 O 到直线 x-y+1=0 上任意一点 P 的直角距离d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,即其最小值为 1,所以命题错误;④由基本不等式 a2+b2≥ (a+b)2,12得|PQ|= ≥ (|x1-x2|+|y1-y2|)= d(P,Q),所以命题(𝑥1‒𝑥2)2+(𝑦1‒𝑦2)2 22 22成立.综上所述,正确的命题为①②④.答案:①②④1第 2讲 圆锥曲线的概念、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程1.(2015广东卷)已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m等于( B )𝑥225𝑦2𝑚2(A)2 (B)3 (C)4 (D)9解析:由 4= (m0)⇒m=3,故选 B.25‒𝑚22.(2015云南模拟)若圆 x2+y2-4x-9=0与 y轴的两个交点 A,B都在某双曲线上,且 A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为( A )(A) - =1 (B) - =1𝑦29𝑥272 𝑥29𝑦272(C) - =1 (D) - =1𝑥216𝑦281 𝑦281𝑥216解析:解方程组 {𝑥2+𝑦2‒4𝑥‒9=0,𝑥=0, 得 或{𝑥=0,𝑦=3 {𝑥=0,𝑦=‒3,因为圆 x2+y2-4x-9=0与 y轴的两个交点 A,B都在某双曲线上,且 A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以 A(0,-3),B(0,3),所以 a=3,2c=18,所以 b2=( )2-32=72,182所以双曲线方程为 - =1.𝑦29𝑥272故选 A.3.已知直线 l过抛物线 C的焦点,且与 C的对称轴垂直,l 与 C交于 A,B两点,|AB|=12,P 为C的准线上一点,则△ABP 的面积为( C )(A)18 (B)24 (C)36 (D)48解析:设抛物线方程 y2=2px(p0),2F为抛物线焦点,则直线 l垂直于 x轴,AF= =6,122所以△ABP 的边 AB上的高 h=6,所以 S△ABP = ×12×6=36.12故选 C.4.(2014天津卷)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2线的一个焦点在直线 l上,则双曲线的方程为( A )(A) - =1 (B) - =1𝑥25𝑦220 𝑥220𝑦25(C) - =1 (D) - =13𝑥2253𝑦2100 3𝑥21003𝑦225解析:由题意可知,双曲线的其中一条渐近线 y= x与直线 y=2x+10平行,𝑏𝑎所以 =2且左焦点为(-5,0),𝑏𝑎所以 a2+b2=c2=25,解得 a2=5,b2=20,故双曲线方程为 - =1.故选 A.𝑥25𝑦2205.已知 P为椭圆 + =1上的一点,M,N 分别为圆(x+3) 2+y2=1和圆(x-3) 2+y2=4上的点,则𝑥225𝑦216|PM|+|PN|的最小值为 . 解析:由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF 1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF 1|+|PF2|-1-2=7.答案:76.(2015佛山模拟)设 F1,F2是双曲线 x2- =1的两个焦点,P 是双曲线与椭圆 + =1的一𝑦224 𝑥249𝑦2243个公共点,则△PF 1F2的面积等于 . 解析:由题知,双曲线和椭圆焦点相同,假设点 P是两曲线在第一象限的交点,则有|PF 1|-|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=14,解得|PF 1|=8,|PF2|=6,又|F 1F2|=10,故△PF 1F2是直角三角形,则其面积为 24.答案:24圆锥曲线的几何性质7.(2014广东卷)若实数 k满足 00,16-k0,这两个方程表示的是双曲线.焦距都是 2 .故选21‒𝑘A.8.(2013北京卷)若双曲线 - =1的离心率为 ,则其渐近线方程为( B )𝑥2𝑎2𝑦2𝑏23(A)y=±2x (B)y=± x2(C)y=± x (D)y=± x12 22解析:考查双曲线的离心率 e= ,渐近线方程 y=± x及 a,b,c之间的关系 a2+b2=c2.由 = ,𝑐𝑎 𝑏𝑎 𝑐𝑎 3令 a=m,c= m(m0),则 b= = m,渐近线方程为 y=± x.故选 B.3 3𝑚2‒𝑚2 2 29.(2014新课标全国卷Ⅰ)已知 F为双曲线 C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点 F到 C的一条渐近线的距离为( A )(A) (B)3 (C) m (D)3m3 3解析: - =1,𝑥23𝑚𝑦23因为 m0,所以双曲线的焦点在 x轴上,a2=3m,b2=3,所以一条渐近线为 y= x,33𝑚即 y= x,c2=a2+b2=3m+3,则焦点 F( ,0)到直线 y- x=0的距离为1𝑚 3𝑚+3 1𝑚4d= = = .3𝑚+3𝑚1+1𝑚31+1𝑚1+1𝑚 3故选 A.10.(2015黑龙江模拟)已知椭圆 + =1(ab0),以 O为圆心 ,短半轴长为半径作圆 O,过椭𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2圆的长轴的一端点 P作圆 O的两条切线,切点为 A,B,若四边形 PAOB为正方形,则椭圆的离心率为( B )(A) (B) (C) (D)32 22 53 33解析:由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA⊥AP,所以 2b2=a2, = ,𝑏2𝑎212故 e= = ,1‒𝑏2𝑎2 22故选 B.11.(2015福建卷)已知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2l:3x-4y=0交椭圆 E于 A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点 M到直线 l的距离不小于 ,则椭圆 E的45离心率的取值范围是( A )(A) (B) (C) (D)(0, 32] (0,34] [ 32,1) [34,1)解析:设椭圆的左焦点为 F1,半焦距为 c,连接 AF1,BF1,则四边形 AF1BF为平行四边形,所以|AF 1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF 1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以 8=4a,解得 a=2.因为点 M到直线 l:3x-4y=0的距离不小于 ,455即 ≥ ,b≥1,所以 b2≥1,4𝑏5 45所以 a2-c2≥1,4-c 2≥1,解得 00)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1相交于 A,B两点,若△ABF 为等𝑥23𝑦23边三角形,则 p= . 解析:如图,在等边三角形 ABF中,DF=p,BD= p,33所以 B点坐标为( p,- ).33 𝑝2又点 B在双曲线上,故 - =1.13𝑝23𝑝243解得 p=6.答案:66一、选择题1.(2014安徽卷)抛物线 y= x2的准线方程是( A )14(A)y=-1 (B)y=-2(C)x=-1 (D)x=-2解析:抛物线的方程化为 x2=4y,其准线方程为 y=-1.故选 A.2.(2015江西景德镇模拟)已知△ABC 的顶点 B,C在椭圆 + =1上,顶点 A是椭圆的一个𝑥225𝑦216焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC边上,则△ABC 的周长是( B )(A)10 (B)20 (C)8 (D)16解析:设椭圆的另一焦点为 F,由椭圆的定义知|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC 的周长为 4a=4×5=20.3.(2015江西省重点中学协作体模拟)已知椭圆 G的中心在坐标原点,长轴在 x轴上,离心率为 ,且椭圆 G上一点到其两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G的方程为( A )32(A) + =1 (B) + =1𝑥236𝑦29 𝑥29𝑦236(C) + =1 (D) + =1𝑥24𝑦29 𝑥29𝑦24解析:据题意知 2a=12,得 a=6,离心率 e= = ,𝑐𝑎 32所以 c=3 ,3于是 b2=9,故椭圆 G的方程为 + =1.𝑥236𝑦294.(2015济宁模拟)若椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,则双曲线 - =1的渐近线方程𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2 32 𝑦2𝑎2𝑥2𝑏2为( A )(A)y=±2x (B)y=± x12(C)y=±4x (D)y=± x147解析:设椭圆的焦距为 2c,由题意知 = ,𝑐𝑎 32所以 c= a,b= = a,32 𝑎2‒34𝑎212双曲线 - =1的渐近线为 y=± x=±2x.𝑦2𝑎2𝑥2𝑏2 𝑎𝑏5.已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C上恰好有 6个不同的点𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2P使得△F 1F2P为等腰三角形,则椭圆 C的离心率的取值范围是( D )(A)( , ) (B)( ,1)1323 12(C)( ,1) (D)( , )∪( ,1)23 1312 12解析:根据题意,结合椭圆的图形得 a-c0,b0)的左焦点 ,点 P是双曲线右支上一点,若𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2线段 PF1与 y轴的交点 M恰为 PF1的中点,且|OM|=a(O 为坐标原点),则双曲线 C的离心率为( B )(A) (B) (C)2 (D)32 3解析:因为 M是线段 PF1的中点,|OM|=a,所以 OM∥PF 2,PF2⊥x 轴且|PF 2|=2a,又由|PF 1|-|PF2|=2a知,|PF1|=4a,在直角三角形 F1PF2中,sin∠PF 1F2= = ,|𝑃𝐹2||𝑃𝐹1|12所以∠PF 1F2=30°,故双曲线 C的离心率 e= = = = .故选 B.2𝑐2𝑎|𝐹1𝐹2||𝑃𝐹2| 1𝑡𝑎𝑛30° 37.(2015江西上饶模拟)已知抛物线 y2=8x,P为其上一点,点 N(5,0),点 M满足| |=1, · =0,则| |的最小值为( C )→𝑀𝑁 →𝑀𝑁→𝑀𝑃 →𝑀𝑃8(A) (B)4 (C) (D)23 23 6解析:设点 P( ,y0)由题意知 M点的轨迹是以 N(5,0)为圆心,1 为半径的圆,PM 为该圆的一18𝑦20条切线,所以| |=→𝑀𝑃|→𝑃𝑁|2‒1=(18𝑦20‒5) 2+𝑦20‒1= ≥ .(𝑦208‒1) 2+23 23故选 C.8.(2015山西大学附中模拟)若 m是 2和 8的等比中项,则圆锥曲线 x2+ =1的离心率是( 𝑦2𝑚D )(A) (B)32 5(C) 或 (D) 或32 52 32 5解析:因为 m是 2,8的等比中项,所以 m2=2×8=16,所以 m=±4,若 m=4时,则椭圆 x2+ =1的方程为 x2+ =1,𝑦2𝑚 𝑦24所以其离心率 e= ,32若 m=-4,则双曲线方程为 x2- =1,𝑦24离心率 e= = .故选 D.1+4 59.(2015吉林模拟)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点 F,直线 x= 与其渐近线交于𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2 𝑎2𝑐A,B两点,且△ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( D )(A)( ,+∞) (B)(1, )3 3(C)( ,+∞) (D)(1, )2 2解析:由题意设直线 x= 与 x轴的交点为 D,𝑎2𝑐因为三角形 ABF为钝角三角形,且∠BFD=∠AFD,所以∠AFD ,𝜋49又|DF|=c- = ,𝑎2𝑐𝑏2𝑐双曲线的渐近线方程为 y=± x,𝑏𝑎所以可得 A,B两点坐标分别为( , ),( ,- ),𝑎2𝑐𝑎𝑏𝑐 𝑎2𝑐 𝑎𝑏𝑐所以 tan∠AFD= = = 1,|𝐴𝐷||𝐷𝐹|𝑎𝑏𝑐𝑏2𝑐𝑎𝑏即 b0,b0)的左焦点 F引圆 x2+y2=a2的切线,切点为 T,𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2延长 FT交双曲线右支于 P点,若 M为线段 FP的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|与 b-a的关系为( C )(A)|MO|-|MT|b-a(B)|MO|-|MT|0)的焦点为 F,已知点 A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦 AB的中点 M作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则的最大值为( A )|𝑀𝑁||𝐴𝐵|10(A) (B)1 (C) (D)233 233解析:设|AF|=r 1,|BF|=r2,则|MN|= ,|AB|= ,𝑟1+𝑟22 𝑟21+𝑟22+𝑟1𝑟2所以 =|𝑀𝑁||𝐴𝐵| 𝑟1+𝑟12𝑟21+𝑟22+𝑟1𝑟2= ×12 (𝑟1+𝑟2)2𝑟21+𝑟22+𝑟1𝑟2= ×12 1+ 𝑟1𝑟2𝑟21+𝑟22+𝑟1𝑟2≤ ×12 1+𝑟1𝑟23𝑟1𝑟2= .33故选 A.二、填空题12.(2015宁夏石嘴山高三联考)已知双曲线 - =1(a,b0)的一条渐近线方程为 2x+3y=0,𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2则双曲线的离心率是 . 解析:双曲线 - =1的渐近线方程为 y=± x,𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2 𝑏𝑎2x+3y=0可化为 y=- x,所以 = ,23 𝑏𝑎23e= = =𝑐𝑎 𝑐2𝑎2 𝑎2+𝑏2𝑎2= = = .1+(𝑏𝑎) 2 1+49 133答案:13313.(2015江西九江二模)已知直线 2x-(m+ )y-2=0(m0)与直线 l:x=-1,抛物线 C:y2=4x13𝑚及 x轴分别相交于 A,B,F三点,若 =2 ,则 m= . →𝐴𝐵→𝐵𝐹解析:如图所示,点 F及直线 l分别是抛物线 C的焦点和准线,过点 B作 BD⊥l 于 D,则11|BD|=|BF|,因为 =2 ,→𝐴𝐵→𝐵𝐹所以∠ABD=60°,所以 =tan 60°,2𝑚+13𝑚解得 m= .33答案:3314.已知点 P(m,4)是椭圆 + =1(ab0)上的一点,F 1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF 1F2的内𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2切圆的半径为 ,则此椭圆的离心率为 . 32解析:一方面△PF 1F2的面积为 (2a+2c)r;12另一方面△PF 1F2的面积为 |yP|·2c,12所以 (2a+2c)·r= |yP|·2c,12 12所以(a+c)·r=|y P|·c,所以 = ,𝑎+𝑐𝑐 |𝑦𝑃|𝑟所以( +1)= ,𝑎𝑐 |𝑦𝑃|𝑟又 yP=4,所以 = -1= -1= ,𝑎𝑐|𝑦𝑃|𝑟 432 53所以椭圆的离心率为 e= = .𝑐𝑎35答案:351215.(2015大连市模拟)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)左、右顶点为 A1,A2,左、右焦点为𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2F1,F2,P为双曲线 C上异于顶点的一动点,直线 PA1斜率为 k1,直线 PA2斜率为 k2,且 k1k2=1,又△PF 1F2内切圆与 x轴切于点(1,0),则双曲线的方程为 . 解析:A 1(-a,0),A2(a,0),F1(-c,0),F2( c,0),直线 PA1的方程为 y-0=k1(x+a),直线 PA2的方程为 y-0=k2(x-a),于是有 y2=k1k2(x2-a2),又 k1k2=1,所以 x2-y2=a2,因此 a=b,又由△PF 1F2内切圆与 x轴切于点(1,0),知||PF 1|-|PF2||=|1+c-(c-1)|=2a,解得 a=1.故双曲线的方程为 x2-y2=1.答案:x 2-y2=1