（新课标）2016高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识（打包12套）.zip

1第 1 讲 集合与常用逻辑用语集合的概念、关系及运算1.(2015 湖北武汉市 2 月调研)已知集合 A={y|y=log2x,x1},B={y|y=( )x,x1},则 A∩B 等12于( A )(A) {y|00},B={y|0lg x,命题 q:∀x∈R,e x1,则( C )(A)命题 p∨q 是假命题 (B)命题 p∧q 是真命题(C)命题 p∧(﹁q)是真命题 (D)命题 p∨(﹁)q)是假命题解析:取 x=10,得 x-2lg x,则命题 p 是真命题;取 x=-1,得 ex1;对命题 q,令 2-a2,则﹁q 对应的 a 的范围是(-∞,2].因为 p 且﹁q 为真命题,所以实数 a 的取值范围是 10 且 a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则￿p 成立是 q 成立的( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由命题 p 得 a≤1,则﹁p:a1;由命题 q 得 a1,则﹁p 成立是 q 成立的充要条件,故选 C.9.(2015 福建卷)“对任意 x∈(0, ),ksin xcos x0.任意 x∈(0, ),ksin xcos x0,所以 f(t)=t-sin t 在(0,π)上单调递增,所以 f(t)0,所以 tsin t0,即 1,𝑡𝑠𝑖𝑛𝑡所以 k≤1.所以任意 x∈(0, ),km+3,即 m0 时,有{x|-1≤x≤4} {x|-m+3≤x≤m+3},此时 解得 m≥4.{‒𝑚+3≤‒1,𝑚+3≥4, 综上,实数 m 的取值范围是{m|m≤-4 或 m≥4}.答案:{m|m≤-4 或 m≥4}量词、含有量词的命题的否定11.(2015 福建漳州市 3 月质检)已知命题 p:∀x∈R,sin x≤ ,则( B )12(A) ﹁p:∃ x∈R,sin x≤ (B) ﹁p:∃x∈R,sin x12 12(C) ﹁p:∀x∈R,sin x (D) ﹁p:∀x∈R,sin x≥12 124解析:命题 p 是全称命题,它的否定是特称命题,并把结论否定,故选 B.12.已知 p:∃x∈R,mx 2+2≤0,q:∀x∈R,x 2-2mx+10,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,-1](C)(-∞,-2] (D)[-1,1]解析:因为 p∨q 为假命题,所以 p 和 q 都是假命题.由 p:∃x∈R,mx 2+2≤0 为假命题,得﹁p:∀x∈R,mx 2+20 为真命题 ,所以 m≥0.①由 q:∀x∈R,x 2-2mx+10 为假命题 ,得﹁q:∃ x∈R,x 2-2mx+1≤0 为真命题,所以 Δ=(-2m) 2-4≥0⇒m 2≥1⇒m≤-1 或 m≥1.②由①和②得 m≥1.故选 A.一、选择题1.(2015 天津卷)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3,5},集合 B={1,3,4,6},则集合A∩∁ UB 等于( B )(A){3} (B){2,5} (C){1,4,6} (D){2,3,5}解析:因为∁ UB={2,5},所以 A∩∁ UB={2,5}.故选 B.2.(2015 辽宁锦州市质检一)已知集合 A={cos 0°,sin 270°},B={x|x2+x=0},则 A∩B 为( C )(A){0,-1} (B){-1,1} (C){-1} (D){0}解析:因为 A={1,-1},B={-1,0},所以 A∩B={-1}.故选 C.3.(2015 安徽马鞍山市质检)设集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集 U=A∪B,则集合∁ U(A∩B)的元素个数为( C )(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个解析:U=A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3,4}所以∁ U(A∩B)={1,2,5},即集合∁ U(A∩B)的元素个数为 3 个,故选 C.4.若 P={x|x-1},则( D )(A)P⊆Q (B)Q⊆P(C)∁RP⊆Q (D)Q⊆∁RP解析:因为 P={x|x1},所以 Q⊆∁RP.故选 D.5.下列有关命题的说法正确的是( C )(A)命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为:“若 xy=0,则 x≠0”(B)命题“∃ x0∈R, 使得 2 -1B”是“sin Asin B”的( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由正弦定理知 = ,若 sin Asin B 成立,𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵则 ab,所以 AB.反之,若 AB 成立,则有 ab,所以 sin Asin B,所以“AB”是“sin Asin B”的充要条件.故选 C.7.(2014 辽宁卷)设 a,b,c 是非零向量.已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0,则 a·c=0;命题 q:若a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( A )(A)p∨q (B)p∧q(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨(﹁q)解析:如图,若 a= ,b= ,→𝐴1𝐴 →𝐴𝐵c= ,→𝐵1𝐵则 a·c≠0,命题 p 为假命题;显然命题 q 为真命题,所以 p∨q 为真命题.故选 A.8.(2015 江西四校联考)下列命题中,真命题是( D )(A)对于任意 x∈R,2 xx2(B)若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题(C)“平面向量 a,b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是“a·bx2不成立,所以 A 是假命题;若“p 且 q”为假命题,则 p,q 可以一真一假,所以 B 是假命题;因为 a·b0,所以 x2 或 x2,故选 B.11.(2015 梅州二模)函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( C )(A)a·b=0 (B)a+b=0(C)a2+b2=0 (D)a=b解析:当 a=b=0 时,f(x)=x|x|是奇函数,若 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数,则 f(0)=b=0.f(-x)=-x|-x+a|=-f(x)=-x|x+a|,则 a=0.故选 C.12.(2015 辽宁丹东市一模)关于函数 f(x)=x2(ln x-a)+a,给出以下 4 个结论:①∃a0, ∀x0,f(x)≥0;②∃a0, ∃x0,f(x)≤0;③∀a0,∀x0,f(x)≥0;④∀a0,∃x0,f(x)≤0.其中正确结论的个数是( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①当 a= 时,f(x)=x 2(ln x- )+ ,12 12 12其定义域为(0,+∞).令 f′(x)=2xln x=0,得 x=1.当 x1 时,f′(x)0,f(x)单调递增;7当 00,f(x)≥f(1)=0,故 ①正确.②当 a=5 时,f(x)=x 2(ln x-5)+5,f(e)=e2(ln e-5)+5=-4e2+50, ∃x0,f(x)≤0 成立 .③由②知,当 a=5 时,∃x=e,满足 e0,但 f(e)0,∀ x0,f(x)≥0 不成立,③错误;④f′(x)=2x(ln x+ -a),12令 f′(x)=0,即 ln x+ -a=0,得 ln x=a- .12 12所以∀a0,函数 f(x)都存在极值点 ,且 f(1)=0,即∃x0,f(x)≤0 成立,故④正确.综上①②④正确.故选 D.二、填空题13.设 S={x|x5},T={x|a5,解得-3 ”是“x ”的 条件. 12 𝜋6解析:当 x= ,满足 x ,但 sin x= ,5𝜋6 𝜋6 12则 sin x 不成立,即必要性不成立.12若 x=-2π+ 满足 sin x= ,𝜋3 3212但 x 不成立,即充分性不成立.𝜋6故“x ”是“sin x ”的既不充分也不必要条件.12 𝜋6答案:既不充分也不必要15.已知命题 p:存在实数 x,使得不等式 x2+2ax+a≤0 成立,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 . 解析:命题 p 是假命题,则命题﹁p 为真命题,即对任意实数 x,不等式 x2+2ax+a0 恒成立,从而 Δ=4a 2-4a0,解得 0a1.答案:(0,1)16.对任意两个集合 X、Y,定义 X-Y={x|x∈X 且 x∉Y},XΔY=(X-Y)∪(Y-X).设A={y|y=x2,x∈R},B={y|y=3sin x,x∈R},则 AΔB= . 8解析:由已知得 A={y|y=x2,x∈R}=[0,+∞).B={y|y=3sin x,x∈R}=[-3,3],于是 A-B=(3,+∞),B-A=[-3,0),故 AΔB=[-3,0)∪(3,+∞).答案:[-3,0)∪(3,+∞)1第 1 讲 集合与常用逻辑用语集合的概念、关系及运算1.(2015 湖北武汉市 2 月调研)已知集合 A={y|y=log2x,x1},B={y|y=（ ） x,x1},则 A∩B12等于( A )(A){y|00},B={y|04},N={x|12},所以∁ RM={x|-2≤x≤2},所以 N∩(∁ RM)={x|12m2},又 A⊆∁RB,如图,所以 2m2lg x,命题 q:∀x∈R,e x1,则( C )(A)命题 p∨q 是假命题 (B)命题 p∧q 是真命题(C)命题 p∧(﹁)q)是真命题 (D)命题 p∨(﹁q)是假命题解析:取 x=10,得 x-2lg x,则命题 p 是真命题;取 x=-1,得 ex1;对命题 q,令 2-a2,则﹁q 对应的 a 的范围是(-∞,2].因为 p 且﹁q 为真命题,所以实数 a 的取值范围是 10 且 a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则﹁p 成立是 q 成立的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由命题 p 得 a≤1,则﹁p:a1;由命题 q 得 a1,则﹁p 成立是 q 成立的充要条件,故选 C.9.(2015 福建卷)“对任意 x∈（0, ）,ksin xcos x0.任意 x∈（0, ）,ksin xcos x0,所以 f(t)=t-sin t 在(0,π)上单调递增,所以 f(t)0,所以 tsin t0,即 1,所以 k≤1.𝑡𝑠𝑖𝑛𝑡所以任意 x∈（0, ）,km+3,即 m0 时,有{x|-1≤x≤4} {x|-m+3≤x≤m+3},此时 解得 m≥4.{‒𝑚+3≤‒1,𝑚+3≥4, 综上,实数 m 的取值范围是{m|m≤-4 或 m≥4}.答案:{m|m≤-4 或 m≥4}量词、含有量词的命题的否定411.(2015 福建漳州市 3 月质检)已知命题 p:∀x∈R,sin x≤ ,则( B )12(A)﹁p:∃ x∈R,sin x≤ (B)﹁p:∃x∈R,sin x12 12(C)﹁p:∀x∈R,sin x (D)﹁p:∀x∈R,sin x≥12 12解析:命题 p 是全称命题,它的否定是特称命题,并把结论否定,故选 B.12.已知 p:∃x∈R,mx 2+2≤0,q:∀x∈R,x 2-2mx+10,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,-1](C)(-∞,-2] (D)[-1,1]解析:因为 p∨q 为假命题,所以 p 和 q 都是假命题.由 p:∃x∈R,mx 2+2≤0 为假命题,得﹁p:∀x∈R,mx 2+20 为真命题 ,所以 m≥0. ①由 q:∀x∈R,x 2-2mx+10 为假命题 ,得﹁q:∃ x∈R,x 2-2mx+1≤0 为真命题,所以 Δ=(-2m) 2-4≥0⇒m 2≥1⇒m≤-1 或 m≥1. ②由①和②得 m≥1.故选 A.13.设函数 f(x)=ax+bx-cx,其中 a,b,c 为三角形的三边,且 c 为最大边,现有三个命题:①∀x∈(-∞,1),f(x)0;②∀x∈R,a x,bx,cx均能构成一个三角形的三条边长 ;③若△ABC 为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使 f(x)=0.其中的真命题为 (写出所有真命题的序号). 解析:由 f(x)=ax+bx-cx得 =（ ） x+（ ） x-1.𝑓(𝑥)𝑐𝑥 𝑎𝑐 𝑏𝑐因为 c 为最大边,所以 0 ,（ ） x ,𝑎𝑐 𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑏𝑐所以（ ） x+（ ） x =1,𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑎+𝑏𝑐 𝑐𝑐所以（ ） x+( )x-10,所以 0,𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑓(𝑥)𝑐𝑥所以∀x∈(-∞,1),f(x)0,故 ①正确;如 a=3,b=4,c=5 为三角形的三边,x=2 时,a 2+b2=32+42=52=c2,所以 a2,b2,c2不能构成三角形,故②错误;若△ABC 为钝角三角形,则 a+bc,a2+b2-c20,f(2)=a2+b2-c2-1},则( D )(A)P⊆Q (B)Q⊆P(C)∁RP⊆Q (D)Q⊆∁RP解析:因为 P={x|x1},所以 Q⊆∁RP.故选 D.5.下列有关命题的说法正确的是( C )(A)命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为:“若 xy=0,则 x≠0”(B)命题“∃ x0∈R, 使得 2 -1B”是“sin Asin B”的( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由正弦定理知 = ,若 sin Asin B 成立,则 ab,所以 AB.𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵反之,若 AB 成立,则有 ab,因为 a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以 sin Asin B,所以“AB”是“sin Asin B”的充要条件.6故选 C.7.(2014 辽宁卷)设 a,b,c 是非零向量.已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0,则 a·c=0;命题 q:若a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( A )(A)p∨q (B)p∧q(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨(﹁q)解析:如图,若 a= ,b= ,→𝐴1𝐴 →𝐴𝐵c= ,→𝐵1𝐵则 a·c≠0,命题 p 为假命题;显然命题 q 为真命题,所以 p∨q 为真命题.故选 A.8.(2015 江西四校联考)下列命题中,真命题是( D )(A)对于任意 x∈R,2 xx2(B)若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题(C)“平面向量 a,b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是“a·bx2不成立,所以 A 是假命题;若“p 且 q”为假命题,则 p,q 可以一真一假,所以 B 是假命题;因为 a·b0,所以 x2 或 x2,故选 B.11.(2015 梅州二模)函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( C )(A)a·b=0 (B)a+b=0(C)a2+b2=0 (D)a=b解析:当 a=b=0 时,f(x)=x|x|是奇函数,若 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数,则 f(0)=b=0.f(-x)=-x|-x+a|=-f(x)=-x|x+a|,则 a=0.故选 C.12.(2015 辽宁丹东市一模)关于函数 f(x)=x2(ln x-a)+a,给出以下 4 个结论:①∃a0, ∀x0,f(x)≥0;②∃a0, ∃x0,f(x)≤0;③∀a0,∀x0,f(x)≥0;④∀a0,∃x0,f(x)≤0.其中正确结论的个数是( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①当 a= 时,f(x)=x 2（ln x- ）+ ,12 12 12其定义域为(0,+∞).令 f′(x)=2xln x=0,得 x=1.当 x1 时,f′(x)0,f(x)单调递增;当 00,f(x)≥f(1)=0,故 ①正确.②当 a=5 时,f(x)=x 2(ln x-5)+5,f(e)=e2(ln e-5)+5=-4e2+50, ∃x0,f(x)≤0 成立 .③由②知,当 a=5 时,∃x=e,满足 e0,但 f(e)0,∀ x0,f(x)≥0 不成立,③错误;④f′(x)=2x（ln x+ -a）,12令 f′(x)=0,即 ln x+ -a=0,128得 ln x=a- .12所以∀a0,函数 f(x)都存在极值点 ,且 f(1)=0,即∃x0,f(x)≤0 成立,故④正确.综上①②④正确.故选 D.二、填空题13.设 S={x|x5},T={x|a5,解得-3 ”是“x ”的12 𝜋6条件. 解析:当 x= ,满足 x ,5𝜋6 𝜋6但 sin x= ,12则 sin x 不成立,12即必要性不成立.若 x=-2π+ 满足 sin x= ,𝜋3 3212但 x 不成立,即充分性不成立.𝜋6故“x ”是“sin x ”的既不充分也不必要条件.12 𝜋6答案:既不充分也不必要15.已知命题 p:存在实数 x,使得不等式 x2+2ax+a≤0 成立,若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 . 解析:命题 p 是假命题,则命题﹁p 为真命题,即对任意实数 x,不等式 x2+2ax+a0 恒成立,从而 Δ=4a 2-4a0,解得 0a1.答案:(0,1)16.对任意两个集合 X、Y,定义 X-Y={x|x∈X 且 x∉Y},XΔY=(X-Y)∪(Y-X).设A={y|y=x2,x∈R},B={y|y=3sin x,x∈R},则 AΔB=. 解析:由已知得 A={y|y=x2,x∈R}=[0,+∞).B={y|y=3sin x,x∈R}=[-3,3],9于是 A-B=(3,+∞),B-A=[-3,0),故 AΔB=[-3,0)∪(3,+∞).答案:[-3,0)∪(3,+∞)1第 2 讲 平面向量、复数平面向量的概念及线性运算1.(2015 资阳市一诊)已知向量 =a+3b, =5a+3b, =-3a+3b,则( B )→𝐴𝐵 →𝐵𝐶 →𝐶𝐷(A)A,B,C 三点共线 (B)A,B,D 三点共线(C)A,C,D 三点共线 (D)B,C,D 三点共线解析: = + =2a+6b=2(a+3b),→𝐵𝐷→𝐵𝐶→𝐶𝐷则 =2 ,即 A,B,D 三点共线 ,故选 B.→𝐵𝐷→𝐴𝐵2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则|b|等于( C )(A) (B) (C)2 (D)23 5 5 2解析:因为 a∥b,所以 1×m=2×(-2),解得 m=-4,所以 b=(-2,-4),|b|= =2 .故选 C.(‒2)2+(‒4)2 53.(2014 福建卷)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则 + + + 等于( D )→𝑂𝐴→𝑂𝐵→𝑂𝐶→𝑂𝐷(A) (B)2 (C)3 (D)4→𝑂𝑀 →𝑂𝑀 →𝑂𝑀 →𝑂𝑀解析:依题意知,点 M 是线段 AC 的中点,也是线段 BD 的中点,所以 + =2 , + =2→𝑂𝐴→𝑂𝐶 →𝑂𝑀→𝑂𝐵→𝑂𝐷,→𝑂𝑀所以 + + + =4 .故选 D.→𝑂𝐴→𝑂𝐵→𝑂𝐶→𝑂𝐷→𝑂𝑀4.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, + =λ ,则 λ= . →𝐴𝐵→𝐴𝐷 →𝐴𝑂解析:因为 O 为 AC 的中点,所以 + = =2 ,即 λ=2.→𝐴𝐵→𝐴𝐷→𝐴𝐶→𝐴𝑂答案:2平面向量的数量积5.(2014 山东卷)已知向量 a=(1, ),b=(3,m),若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m 等于( B )3𝜋6(A)2 (B) (C)0 (D)-3 3 3解析:根据平面向量的夹角公式可得 = ,即 3+ m= × ,两边平方并1×3+3𝑚2×9+𝑚2 32 3 3 9+𝑚22化简得 6 m=18,解得 m= ,经检验符合题意.故选 B.3 36.(2015 重庆卷)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为( C )(A) (B) (C) (D)𝜋3 𝜋2 2𝜋3 5𝜋6解析:因为 a⊥(2a+b),所以 a·(2a+b)=0,得到 a·b=-2|a|2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= = =- ,𝑎·𝑏|𝑎||𝑏| ‒2|𝑎|24|𝑎|2 12又 0≤θ≤π,所以 θ= ,故选 C.2𝜋37.(2015 辽宁锦州市质检)已知向量 =(2,2), =(4,1),点 P 在 x 轴上,则 · 取最小→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 →𝐴𝑃→𝐵𝑃值时 P 点坐标是( D )(A)(-3,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(3,0)解析:设 P(x,0),则 = - =(x-2,-2),→𝐴𝑃→𝑂𝑃→𝑂𝐴= - =(x-4,-1),→𝐵𝑃→𝑂𝑃→𝑂𝐵所以 · =(x-2)(x-4)+2→𝐴𝑃→𝐵𝑃=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以 x=3 时, · 取得最小值,→𝐴𝑃→𝐵𝑃此时 P(3,0).故选 D.8.(2015 厦门质检)如图,正六边形 ABCDEF 中,AB=2,则( - )·( + )等于( D ) →𝐵𝐶→𝐵𝐴 →𝐴𝐹→𝐵𝐶(A)-6 (B)-2 3(C)2 (D)63解析:由 - = ,→𝐵𝐶→𝐵𝐴→𝐴𝐶+ = + = ,→𝐴𝐹→𝐵𝐶→𝐴𝐹→𝐹𝐸→𝐴𝐸则( - )·( + )→𝐵𝐶→𝐵𝐴 →𝐴𝐹→𝐵𝐶= · =| || |cos →𝐴𝐶→𝐴𝐸→𝐴𝐶→𝐴𝐸 𝜋3=2 ×2 × =6.3 3123故选 D.9.(2015 福建卷)已知 ⊥ ,| |= ,| |=t.若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且 =→𝐴𝐵→𝐴𝐶→𝐴𝐵1𝑡 →𝐴𝐶 →𝐴𝑃+ ,则 · 的最大值等于( A )→𝐴𝐵|→𝐴𝐵|4→𝐴𝐶|→𝐴𝐶| →𝑃𝐵→𝑃𝐶(A)13 (B)15 (C)19 (D)21解析:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 B( ,0) 1𝑡(t0),C(0,t),P(1,4), · =( -1,-4)·(-1,t-4)=17-(4t+ )≤17-2×2=13(当且仅当→𝑃𝐵→𝑃𝐶1𝑡 1𝑡t= 时,取“=” ),12故 · 的最大值为 13,故选 A.→𝑃𝐵→𝑃𝐶10.(2015 湖北七市(州)3 月联考)已知向量 =(2,m), =(1, ),且向量 在向量 方向→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 3 →𝑂𝐴 →𝑂𝐵上的投影为 1,则| |= . →𝐴𝐵解析:| |·cos= = =1,→𝑂𝐴 →𝑂𝐴→𝑂𝐵→𝑂𝐴·→𝑂𝐵|→𝑂𝐵| 2+3𝑚2解得 m=0.则| |= =2.→𝐴𝐵 12+( 3)2答案:211.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 =(-1,t), =(2,2),若∠ABO=90°,则实数 t 的值为 .→𝑂𝐴 →𝑂𝐵解析:若∠ABO=90°,即 ⊥ ,→𝐵𝐴→𝐵𝑂由 = - =(-3,t-2), =(-2,-2),→𝐵𝐴→𝑂𝐴→𝑂𝐵 →𝐵𝑂所以 · =(-3,t-2)·(-2,-2)→𝐵𝐴→𝐵𝑂=6-2t+4=0,t=5.答案:5复数的概念与运算412.(2015 山西太原市模拟)已知 i 为虚数单位,集合 A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4},则复数 z 等于( A )(A)-4i (B)4i (C)-2i (D)2i解析:由题意 zi=4,所以 z= =-4i.4𝑖故选 A.13.(2015 贵州七校联盟第一次联考)复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的𝑚‒2𝑖1+2𝑖点不可能位于( A )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由已知 z=𝑚‒2𝑖1+2𝑖=(𝑚‒2𝑖)(1‒2𝑖)(1+2𝑖)(1‒2𝑖)= [(m-4)-2(m+1)i].15在复平面上对应的点如果在第一象限,则 而此不等式组无解,{𝑚‒40,𝑚+1= ,332得 sin= ,12由定义知|u×(u+v)|=|u|·|u+v|sin=2×2 × =2 .312 3故选 D.10.如图,设向量 =(3,1), =(1,3),若 =λ +μ ,且 λ≥μ≥1,则用阴影表示 C 点→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 →𝑂𝐶 →𝑂𝐴 →𝑂𝐵所有可能的位置区域正确的是( D )解析:设向量 =(x,y),→𝑂𝐶由题意得 {𝑥=3𝜆+𝜇,𝑦=𝜆+3𝜇,所以{𝜆=3𝑥‒𝑦8 ,𝜇=3𝑦‒𝑥8 ,λ≥μ≥1,所以{3𝑥‒𝑦8 ≥3𝑦‒𝑥8 ,3𝑦‒𝑥8 ≥1 即 {𝑥≥𝑦,𝑥‒3𝑦+8≤0,7即选项 D 的形式.故选 D.二、填空题11.(2014 北京卷)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|= . 解析:|b|= .因为 b=-λa,5所以|b|=|λ||a|,所以|λ|= = .|𝑏||𝑎| 5答案: 512.(2015 成都市二诊)在如图所示的方格纸中,向量 a,b,c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若 c 与 xa+yb(x,y 为非零实数)共线,则 的值为 .𝑥𝑦解析:设 e1,e2为水平方向(向左)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量 c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由 c 与 xa+yb 共线,得 c=λ(3a+ b),52所以 的值为 .𝑥𝑦 65答案:6513.(2014 江西卷)已知单位向量 e1,e2的夹角为 α,且 cos α= ,若向量 a=3e1-2e2,则|a|等13于 . 解析:因为 a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a|=3.答案:314.(2015 江西南昌市第一次模拟)已知三角形 ABC 中,AB=AC,BC=4,∠BAC=120°, =3 ,若 P 是 BC 边上的动点,则 · 的取值范围是 . →𝐵𝐸→𝐸𝐶 →𝐴𝑃→𝐴𝐸解析:法一 设 =λ (0≤λ≤1),→𝐵𝑃 →𝐵𝐶= + = +λ ,→𝐴𝑃→𝐴𝐵→𝐵𝑃→𝐴𝐵 →𝐵𝐶· =( +λ )·( + )→𝐴𝑃→𝐴𝐸→𝐴𝐵 →𝐵𝐶 →𝐴𝐵34→𝐵𝐶= + λ +( +λ) ·→𝐴𝐵234 →𝐵𝐶2 34 →𝐵𝐶→𝐴𝐵8=4λ- .23因为 0≤λ≤1,所以 0≤4λ≤4,所以- ≤4λ- ≤ .23 23 103法二 如图所示,以 BC 的中点 O 为坐标原点,直线 BC 为 x 轴,直线 AO 为 y 轴建立平面直角坐标系, 由已知可得 A(0, ),B(-2,0),C(2,0),E(1,0).233设点 P(x,0)(-2≤x≤2),则 =(x,- ), = (1,- ),→𝐴𝑃 233 →𝐴𝐸 233所以 · =x+ ∈ .→𝐴𝑃→𝐴𝐸 43 [‒23,103]答案:[‒23,103]1第 2 讲 平面向量、复数平面向量的概念及线性运算1.(2015 资阳市一诊)已知向量 =a+3b, =5a+3b, =-3a+3b,则( B )→𝐴𝐵 →𝐵𝐶 →𝐶𝐷(A)A,B,C 三点共线 (B)A,B,D 三点共线(C)A,C,D 三点共线 (D)B,C,D 三点共线解析: = + =2a+6b=2(a+3b),→𝐵𝐷→𝐵𝐶→𝐶𝐷则 =2 ,即 A,B,D 三点共线 ,故选 B.→𝐵𝐷→𝐴𝐵2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则|b|等于( C )(A) (B) (C)2 (D)23 5 5 2解析:因为 a∥b,所以 1×m=2×(-2),解得 m=-4,所以 b=(-2,-4),|b|= =2 .故选 C.(‒2)2+(‒4)2 53.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, + =λ ,则 λ= . →𝐴𝐵→𝐴𝐷 →𝐴𝑂解析:因为 O 为 AC 的中点,所以 + = =2 ,即 λ=2.→𝐴𝐵→𝐴𝐷→𝐴𝐶→𝐴𝑂答案:2平面向量的数量积4.(2015 广西柳州市、北海市、钦州市 1 月模拟)已知向量 a 与 b 的夹角为 30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|等于( C )(A) (B) (C) (D)6 5 3 2解析:由题意得|2a-b| 2=4-4|b|× +|b|2=1,32即|b| 2-2 |b|+3=0,3解得|b|= .故选 C.35.(2015 重庆卷)若非零向量 a,b 满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b), 则 a 与 b 的夹角为( 223A )(A) (B) (C) (D)π𝜋4 𝜋2 3𝜋4解析:因为(a-b)⊥(3a+2b),所以(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a| 2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·cos-2|b|2=0.2又因为|a|= |b|,223所以 |b|2- |b|2·cos-2|b|2=0.83 223所以 cos= ,22因为∈[0,π],所以= .故选 A.𝜋46.(2015 辽宁锦州市质检)已知向量 =(2,2), =(4,1),点 P 在 x 轴上,则 · 取最小→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 →𝐴𝑃→𝐵𝑃值时 P 点坐标是( D )(A)(-3,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(3,0)解析:设 P(x,0),则 = - =(x-2,-2),→𝐴𝑃→𝑂𝑃→𝑂𝐴= - =(x-4,-1),→𝐵𝑃→𝑂𝑃→𝑂𝐵所以 · =(x-2)(x-4)+2→𝐴𝑃→𝐵𝑃=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以 x=3 时, · 取得最小值,→𝐴𝑃→𝐵𝑃此时 P(3,0).故选 D.7.(2015 福建卷)已知 ⊥ ,| |= ,| |=t.若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且 =→𝐴𝐵→𝐴𝐶→𝐴𝐵1𝑡 →𝐴𝐶 →𝐴𝑃+ ,则 · 的最大值等于( A )→𝐴𝐵|→𝐴𝐵|4→𝐴𝐶|→𝐴𝐶| →𝑃𝐵→𝑃𝐶(A)13 (B)15 (C)19 (D)21解析:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 B( ,0)1𝑡(t0),C(0,t),P(1,4), · =（ -1,-4）·(-1,→𝑃𝐵→𝑃𝐶 1𝑡t-4)=17-（4t+ ）≤17-2×2=13（当且仅当 t= 时,取“=” ）,故 · 的最大值为 13,故1𝑡 12 →𝑃𝐵→𝑃𝐶选 A.8.(2015 湖北七市(州)3 月联考)已知向量 =(2,m), =(1, ),且向量 在向量 方向→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 3 →𝑂𝐴 →𝑂𝐵上的投影为 1,则| |= . →𝐴𝐵3解析:| |·cos= = =1,→𝑂𝐴 →𝑂𝐴→𝑂𝐵→𝑂𝐴·→𝑂𝐵|→𝑂𝐵| 2+3𝑚2解得 m=0.则| |= =2.→𝐴𝐵 12+( 3)2答案:29.(2014 山东卷)在△ABC 中,已知 · =tan A,当 A= 时,△ABC 的面积为 . →𝐴𝐵→𝐴𝐶 𝜋6解析:根据平面向量数量积的概念得 · =| |·| |cos A,当 A= 时,根据已知可得|→𝐴𝐵→𝐴𝐶→𝐴𝐵 →𝐴𝐶 𝜋6|·| |= ,故△ABC 的面积为 | |·| |·→𝐴𝐵 →𝐴𝐶23 12 →𝐴𝐵 →𝐴𝐶sin = .𝜋616答案:16复数的概念与运算10.(2015 山西太原市模拟)已知 i 为虚数单位,集合 A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4},则复数 z 等于( A )(A)-4i (B)4i (C)-2i (D)2i解析:由题意 zi=4,所以 z= =-4i.故选 A.4𝑖11.(2015 贵州七校联盟第一次联考)复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的𝑚‒2𝑖1+2𝑖点不可能位于( A )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由已知 z=𝑚‒2𝑖1+2𝑖=(𝑚‒2𝑖)(1‒2𝑖)(1+2𝑖)(1‒2𝑖)= [(m-4)-2(m+1)i].15在复平面上对应的点如果在第一象限,则 {𝑚‒40,𝑚+1= ,32得 sin= ,12由定义知|u×(u+v)|=|u|·|u+v|sin=2×2 ×312=2 .3故选 D.10.如图,设向量 =(3,1), =(1,3),若 =λ +μ ,且 λ≥μ≥1,则用阴影表示 C 点→𝑂𝐴 →𝑂𝐵 →𝑂𝐶 →𝑂𝐴 →𝑂𝐵所有可能的位置区域正确的是( D )解析:设向量 =(x,y),→𝑂𝐶由题意得 {𝑥=3𝜆+𝜇,𝑦=𝜆+3𝜇,所以{𝜆=3𝑥‒𝑦8 ,𝜇=3𝑦‒𝑥8 ,λ≥μ≥1,所以{3𝑥‒𝑦8 ≥3𝑦‒𝑥8 ,3𝑦‒𝑥8 ≥1 即 {𝑥≥𝑦,𝑥‒3𝑦+8≤0,7即选项 D 的形式.故选 D.11.设△ABC,P 0是边 AB 上一定点,满足 P0B= AB,且对于边 AB 上任一点 P,恒有 · ≥14 →𝑃𝐵→𝑃𝐶· ,则( D )→𝑃0𝐵 →𝑃0𝐶(A)∠ABC=90° (B)∠BAC=90°(C)AB=AC (D)AC=BC解析:设 AB=4,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0),则 P0(1,0),设 C(a,b),P(x,0),所以 =(2-x,0),→𝑃𝐵=(a-x,b).→𝑃𝐶=(1,0), =(a-1,b).→𝑃0𝐵 →𝑃0𝐶则 · ≥ · ⇒(2-x)·(a-x)≥a-1 恒成立,→𝑃𝐵→𝑃𝐶 →𝑃0𝐵 →𝑃0𝐶即 x2-(2+a)x+a+1≥0 恒成立.所以 Δ=(2+a) 2-4(a+1)=a2≤0 恒成立.所以 a=0.即点 C 在线段 AB 的中垂线上,所以 AC=BC.故选 D.12.(2015 河南郑州市级第一次质量预测)在 Rt△ABC 中,CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN= ,则 · 的取值范围为( B )2→𝐶𝑀→𝐶𝑁(A)[3,6] (B)[4,6] (C)[2, ] (D)[2,4]52解析:以点 C 为坐标原点,边 CA,CB 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,直线 AB 的方程为 x+y=3.设 M(x,3-x),则 N(x+1,2-x),(0≤x≤2),所以 · =x(x+1)+(3-x)(2-x)→𝐶𝑀→𝐶𝑁=2x2-4x+6=2(x-1)2+4(0≤x≤2),当 x=0 或 2 时,取最大值 6,当 x=1 时,取最小值 4.二、填空题13.(2014 北京卷)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|= .解析:|b|= .因为 b=-λa,58所以|b|=|λ||a|,所以|λ|= = .|𝑏||𝑎| 5答案: 514.(2014 江西卷)已知单位向量 e1与 e2的夹角为 α,且 cos α= ,向量 a=3e1-2e2与 b=3e1-13e2的夹角为 β,则 cos β= . 解析:因为 a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a|=3,又 b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×cos α+1=8,所以|b|=2 ,2a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9 -9e1·e2+2𝑒21 𝑒22=9-9×1×1× +213=8,所以 cos β= = = .𝑎·𝑏|𝑎||𝑏| 83×22223答案:22315.(2015 山西大同市三模)已知 a,b 是非零向量,f(x)=(ax+b)·(bx-a)的图象是一条直线,|a+b|=2,|a|=1,则 f(x)= . 解析:f(x)=a·bx 2-(a2-b2)x-a·b 的图象是一条直线,可得 a·b=0.因为|a+b|=2,所以 a2+b2=4.因为|a|=1,所以 a2=1,b2=3,所以 f(x)=2x.答案:2x16.(2015 江西南昌市第一次模拟)已知三角形 ABC 中,AB=AC,BC=4,∠BAC=120°, =3 ,若 P 是 BC 边上的动点,则 · 的取值范围是 . →𝐵𝐸→𝐸𝐶 →𝐴𝑃→𝐴𝐸解析:法一 设 =λ (0≤λ≤1),→𝐵𝑃 →𝐵𝐶= + = +λ ,→𝐴𝑃→𝐴𝐵→𝐵𝑃→𝐴𝐵 →𝐵𝐶· =( +λ )·( + )→𝐴𝑃→𝐴𝐸→𝐴𝐵 →𝐵𝐶 →𝐴𝐵34→𝐵𝐶= + λ +( +λ) ·→𝐴𝐵234 →𝐵𝐶2 34 →𝐵𝐶→𝐴𝐵=4λ- .239因为 0≤λ≤1,所以 0≤4λ≤4,所以- ≤4λ- ≤ .23 23 103法二 如图所示,以 BC 的中点 O 为坐标原点,直线 BC 为 x 轴,直线 AO 为 y 轴建立平面直角坐标系,由已知可得 A(0, ),B(-2,0),C(2,0),E(1,0).233设点 P(x,0)(-2≤x≤2),则 =(x,- ), =(1,- ),→𝐴𝑃 233 →𝐴𝐸 233所以 · =x+ ∈ .→𝐴𝑃→𝐴𝐸 43 [‒23,103]答案:[- , ]23103