（全国通用）2018高考数学大一轮复习 阶段检测试题 理（打包6套）.zip

1阶段检测试题(一)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】知识点、方法 题号集合与常用逻辑用语 1,3函数概念与表示 2,4,10函数的基本性质 5,7,13,16指数函数与对数函数 17,18函数图象 6函数与方程 12导数在研究函数中的应用 9,11,14,15,19,20,21,22定积分及应用 8一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2017·山东师大附中高三一模)已知集合 M={x|x2-2x-8≤0},集合 N={x|lg x≥0},则M∩N 等于( C )(A){x|-2≤x≤4} (B){x|x≥1}(C){x|1≤x≤4} (D){x|x≥-2}解析:因为 x2-2x-8≤0,所以-2≤x≤4,所以 M={x|-2≤x≤4},因为 lg x≥0,所以 x≥1,所以 N={x|x≥1},所以 M∩N={x|1≤x≤4}.选 C.2.(2017·江西九江高三七校联考)函数 y= 的定义域是( D )9‒𝑥2𝑙𝑜𝑔2(𝑥+1)(A)(-1,3) (B)(-1,3](C)(-1,0)∪(0,3) (D)(-1,0)∪(0,3]解析:由 9-x2≥0,x+10,x+1≠1 知-11”的必要不充分条件1𝑎(B)“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的必要不充分条件(C)命题“∃ x∈R, 使得 x2+2x+30”(D)命题 p:“∀x∈R,sin x+cos x≤ ”,则￿p 是真命题2解析:因为 a1 时, 1.故 A 正确;当 p∧q 为真命题时,p,q 均为真命1𝑎 1𝑎题,而 p∨q 为真命题时,p,q 中至少有一个为真命题,因此“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;C 中原命题的否定是“∀x∈R,x 2+2x+3≥0”;D 中,p 是真命题,因此￿p 是假命题.4.设函数 f(x)= 则 f[f(-2)]等于( A ){𝑥+2,𝑥1) (A)[-3,0) (B)(-∞,-2](C)[-3,-2] (D)(-∞,0)解析:若 f(x)为 R 上的增函数,则应满足 所以-3≤a≤-2.选 C.{‒𝑎2≥1,𝑎0),f′(x)为单调函数,所以函数 f(x)在区间( ,e)有极值点, 即 f′(𝑎𝑥 1𝑒)f′(e)1 (B)x2f(x1)=1(C)x2f(x1)1,f(x2)=x21,1𝑥14则 x2f(x1)1,则 A 可能成立;若 01,f(x1)=x11,1𝑥2则 x2f(x1)=x2x1=1,则 B 可能成立;对于 D,若 01,x1f(x2)=1,则 D 不成立;若 01,则 D 成立.故有 C 一定不成立.故选 C.11.导学号 18702162 设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0∈D,使 f(x0)=-x0,则称 x0是 f(x)的一个“次不动点”,也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点”,若函数 f(x)=ax2-3x-a+ 在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数 a 的取值范围是( D )52(A)(-∞,0) (B)(0, )12(C)[ ,+∞) (D)(-∞, ]12 12解析:设 g(x)=f(x)+x,依题意,存在 x∈[1,4],使 g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+ =0.52当 x=1 时,g(1)= ≠0;12当 x≠1 时,由 ax2-2x-a+ =0 得 a= .52 4𝑥‒52(𝑥2‒1)记 h(x)= (10;当 x∈(2,4]时,h′(x)0,且 a≠1)在[0,+∞)上至少有 5 个不等的实根,则实数 a 的取值范围为( C )(A)(0, ) (B)(0, ]33 53(C)(0, ) (D)[ ,+∞)55 12解析:由 g(3-x)=g(3+x)知 g(x)的图象关于直线 x=3 对称,由 g(x)=g(x+2)知 g(x)的一个周期 T=2,结合 g(x)=-2x2+4x-2(x∈[1,2]),作出 g(x)的图象与函数y=loga(x+1)(x≥0)的图象,则方程 g(x)=loga(x+1)在[0,+∞)上至少有 5 个不等的实根等价于函数 g(x)的图象与函数 y=loga(x+1)(x≥0)的图象至少有 5 个交点,如图所示,则所以 0‒2, 55二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知函数 f(x)= +sin x,则 f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+𝑥𝑒𝑥+𝑥+2𝑒𝑥+1f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值是 . 解析:因为 f(x)=x+sin x+ ,2𝑒𝑥+1f(-x)=-x-sin x+ ,2𝑒𝑥1+𝑒𝑥故 f(x)+f(-x)= + =2,2𝑒𝑥+1 2𝑒𝑥1+𝑒𝑥所以 f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2×4+1=9.答案:914.记函数 f(x)= x3- x2+ 在(0,+∞)上的值域为 M,g(x)=(x+1)2+a 在13 12 12(-∞,+∞)上的值域为 N,若 N⊆M,则实数 a 的取值范围是 . 解析:f′(x)=x 2-x(x0),由 f′(x)0⇒x∈(1,+∞);由 f′(x)0,即 a∈(-∞,-6)∪(2,+∞).答案:(-∞,-6)∪(2,+∞)16.若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件:(i)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切;(ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3;②直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x;③直线 l:y=-x+π 在点 P(π,0)处“切过”曲线 C:y=sin x;④直线 l:y=x+1 在点 P(0,1)处“切过”曲线 C:y=ex.解析:对于①,y=x 3在点 P(0,0)处的切线为 y=0,符合题 中两个条件,所以正确;对于②,曲线C:y=ln x 在直线 l:y=x-1 的同侧,不符合题意,所以错误;对于③,由图象可知,曲线 C:y=sin x 在点 P(π,0)附近位于直线 l 的两侧,符合题意,所以正确;对于④,曲线 C:y=ex在直线l:y=x+1 的同侧,不符合题意,所以错误;即正确的有①③.答案:①③三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)导学号 18702166 已知函数 f(x)=log2 (a 为常数)是奇函数.1+𝑎𝑥𝑥‒1(1)求 a 的值与函数 f(x)的定义域;(2)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)+log 2(x-1)m 恒成立.求实数 m 的取值范围.解:(1)因为函数 f(x)=log2 是奇函数,1+𝑎𝑥𝑥‒1所以 f(-x)=-f(x),所以 log2 =-log2 ,1‒𝑎𝑥‒𝑥‒1 1+𝑎𝑥𝑥‒1即 log2 =log2 ,𝑎𝑥‒1𝑥+1 𝑥‒11+𝑎𝑥所以 a=1.令 0,解得 x1.1+𝑥𝑥‒1所以函数的定义域为{x|x1}.(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x).当 x1 时,x+12,7所以 log2(1+x)log22=1.因为 x∈(1,+∞),f(x)+log 2(x-1)m 恒成立.所以 m≤1,所以 m 的取值范围是(-∞,1].18.(本小题满分 12 分)导学号 18702167 设函数 f(x)=kax-a-x(a0,a≠1)是定义域为 R 的奇函数.(1)若 f(1)0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)0 的解集;(2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞) 上的最小值.32解:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1,f(x)=ax-a-x.(1)因为 f(1)0,所以 f(1)=a-a-10,又因为 a0,a≠1,所以 a1,故 f(x)=ax-a-x为增函数,又 f(x2+2x)-f(x-4),f(x)为奇函数,所以 f(x2+2x)f(4-x),则 x2+2x4-x,x2+3x-40,所以 x1 或 x1 或 x0).12(1)求函数 F(x)=f(x)g(x)的极值;(2)若函数 G(x)=f(x)-g(x)+(a-1)x 在区间( ,e)内有两个零点 ,求 a 的取值范围.1𝑒解:(1)F(x)=f(x)g(x)= ax2ln x(x0),12所以 F′(x)=axln x+ ax=ax(ln x+ ),12 12由 F′(x)0 得 x ,由 F′(x)0, 0,𝐺(1)0 {12𝑒2+𝑎‒1𝑒 +𝑎0,12+𝑎‒10所以{𝑎2𝑒‒12𝑒2+2𝑒,𝑎2𝑒‒𝑒22𝑒‒2,所以 0),12 𝑥200所以 f′(x)= - = .12𝑥+1 1200199‒2𝑥200(2𝑥+1)由 f′(x)0⇒199-2x0,解得 00,𝑙𝑛41‒240所以 m∈(0, ]时,该企业加工生产不会亏损 .𝑙𝑛41‒24022.(本小题满分 12 分)导学号 18702169 已知函数 f(x)= -ln x(a≠0).𝑥‒1𝑎𝑥(1)求函数 f(x)的单调区间;10(2)当 a=1 时,求 f(x)在[ ,2]上的最大值和最小值(0.690,所以 x- 0,故 f′(x)0,当 x∈(0, )时,f′(x)0,函数 f(x)单调递增;1𝑎当 x∈( ,+∞)时,f′(x)0,f(x)的单调增区间为(0, ),1𝑎单调减区间为( ,+∞).1𝑎(2)解:a=1 时,f(x)= -ln x=1- -ln x,𝑥‒1𝑥 1𝑥由(1)可知,f(x)=1- -ln x 在(0,1)上单调递增,1𝑥在(1,+∞)上单调递减,故在[ ,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,12所以函数 f(x)在[ ,2]上的最大值为 f(1)=1- -ln 1=0;12 11而 f( )=1-2-ln =-1+ln 2,12 12f(2)=1- -ln 2= -ln 2.12 12f(2)-f( )= -ln 2-(-1+ln 2)= -2ln 21.5-2×0.70=0.10,12 12 32所以 f(2)f( ),故函数 f(x)在[ ,2]上的最小值为 f( )=-1+ln 2.12 12 12(3)证明:由(2)可知,函数 f(x)=1- -ln x 在(0,1)上单调递增 ,在1𝑥(1,+∞)上单调递减,11故函数 f(x)在(0,+∞)上的最大值为 f(1)=1-1-ln 1=0,即 f(x)≤0.故有 1- -ln x≤0 恒成立,1𝑥所以 1-ln x≤ ,1𝑥故 2-ln x≤1+ ,1𝑥即 ln ≤ .𝑒2𝑥 1+𝑥𝑥1阶段检测试题(三)(时间:120 分钟 满分:150 分)选题明细表知识点、方法 题号数列的概念、证明 1,20,22等差、等比数列及应用 7,15数列求和 6,14不等式的性质及解法 2,3,4,8,17线性规划问题 5,10,11,12基本不等式及应用 9,13综合问题 16,18,19,21一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2016·沧州期末)已知数列{a n}中,a 1=3,an+1=2an+1,则 a3等于( C )(A)3 (B)7(C)15 (D)18解析:因为 a1=3,an+1=2an+1,所以 a2=2a1+1=2×3+1=7,a3=2a2+1=2×7+1=15.2.(2016·江西鹰潭模拟)若 aq (D)p≥q解析:作差.p-q= + -a-b=( -a)+( -b)= ,𝑏2𝑎𝑎2𝑏 𝑏2𝑎 𝑎2𝑏 (𝑎‒𝑏)2(𝑎+𝑏)𝑎𝑏因为 a0,所以 p-q≤0,选 B.3.(2016·齐鲁名校协作体联考)已知 ab,则下列不等式中恒成立的是( D )(A)ln aln b (B) ab (D)a2+b22ab解析:只有在 ab0 时,A 有意义,所以 A 错;B 选项需要 a,b 同号,B 错;C 只有 a0 时正确;因为 a≠b,所以 D 正确.4.(2016·天津校级模拟)已知 2a+10 的解集是( C )(A){x|x5a 或 x-a} (D){x|5a0 可化为(x-5a)(x+a)0;因为方程(x-5a)(x+a)=0 的两根为 x1=5a,x2=-a,且 2a+1-a}.5.(2016·马鞍山模拟)设变量 x,y 满足约束条件 则 z=x-3y 的最小值为( D ){𝑦≥𝑥,𝑥+2𝑦≤2,𝑥≥‒2, (A)-2 (B)-4(C)-6 (D)-8解析:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点(-2,2)取最小值-8.6. + + +…+ 的值为( C )122‒1 132‒1 142‒1 1(𝑛+1)2‒1(A) (B) -𝑛+12(𝑛+2) 34 𝑛+12(𝑛+2)(C) - ( + )(D) - -3412 1𝑛+1 1𝑛+2 32 1𝑛+1 1𝑛+2解析:原式= + +…+ = [(1- )+( - )1(2+1)(2‒1) 1(3+1)(3‒1) 1(𝑛+1+1)(𝑛+1‒1)12 13 1214+( - )+…+( - )]= (1+ - - )= - ( + ).故选 C.1315 1𝑛 1𝑛+2 12 12 1𝑛+1 1𝑛+2 3412 1𝑛+1 1𝑛+27.(2016·马鞍山模拟)等差数列{a n}前 n 项和为 Sn,且 - =3,则数列{a n}的公差为( B )𝑆55𝑆22(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设等差数列{a n}的公差为 d,因为 - =3,𝑆55𝑆22所以 - =3,5𝑎1+5×42 𝑑52𝑎1+2×12 𝑑2化简可得 2d- d=3,解得 d=2.128.已知 00 (B)2a-bN (B)M=N(C)M2+2=4,1𝑎‒2 1𝑎‒2N=lo (x2+ )≤lo =42,作出 的可行域,当 时 z=x-y 的最小值为-1,解得 m=5.{𝑦≥1,𝑦≤2𝑥‒1,𝑥+𝑦≤𝑚 {𝑥=𝑚+13 ,𝑦=2𝑚‒13 故选 D.11.已知 O 为坐标原点,A(1,2),点 P(x,y)满足约束条件 则 z= · 的最大值{𝑥+|𝑦|≤1,𝑥≥0, →𝑂𝐴→𝑂𝑃为( D )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析: 约束条件 x+|y|≤1 按 y≥0 和 y0,令 an≥0,则-n 2+10n+11≥0,所以-1≤n≤11,当 n=11 时 a11=0,故前 10 或 11 项和最大.答案:10 或 1115.(2016·唐山统考)数列{a n}的前 n 项和为 Sn(n∈N *),2Sn-nan=n,若 S20=-360,则 a2= .解析:因为 2Sn-nan=n, ①所以当 n≥2 时,2S n-1-(n-1)an-1=n-1, ②5所以①-②得,(2-n)a n+(n-1)an-1=1, ③所以(1-n)a n+1+nan=1, ④所以③-④得,2a n=an-1+an+1(n≥2),所以数列{a n}为等差数列,因为当 n=1 时,2S 1-a1=1,所以 a1=1,因为 S20=20+ d=-360,20×192所以 d=-2.所以 a2=1-2=-1.答案:-116.导学号 18702297 首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 300 吨,最多为 600 吨,月处理成本y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= x2-200x+45 000,且每处理一吨12二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元.(1)该单位每月处理量为 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)假设该单位每月能获利,则最大利润是 . 解析:(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为 = x+ -200≥2 -𝑦𝑥12 45 000𝑥 12𝑥·45 000𝑥200=100,当且仅当 x= ,即 x=300 时等号成立,12 45 000𝑥故该单位月处理量为 300 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 100 元.(2)设该单位每月获利为 S 元,则S=200x-y=- x2+400x-45 000=- (x-400)2+35 000,12 12令 S0,则 x∈(400-100 ,400+100 ),7 7又因为 x∈[300,600],所以 S∈[15 000,35 000].故该单位每月获利,最大利润为 35 000 元.答案:(1)300 (2)35 000 元三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)导学号 18702298 已知不等式 kx2-x+4k-1},求实数 k 的值;(2)若不等式的解集为⌀,求实数 k 的取值范围.解:(1)因为不等式的解集为{x|x-1},所以-1 和-4 是方程 kx2-x+4k=0 的两个实根,由韦达定理得 x1+x2= ,解得 k=- .1𝑘 15(2)不等式 kx2-x+4k0 且 Δ=1-16k 2≤0,解得 k≥ .1418.(本小题满分 12 分)已知数列{a n}的前 n 项和 Sn=- n2+kn(其中 k∈N +),且 Sn的最大值为 8.12(1)确定常数 k,并求 an;(2)求数列{ }的前 n 项和 Tn.9‒2𝑎𝑛2𝑛解:(1)当 n=k∈N +时,Sn=- n2+kn 取最大值 8,即 8=Sk=- k2+k2= k2,12 12 12故 k2=16,因此 k=4,从而 an=Sn-Sn-1= -n(n≥2).92又 a1=S1= ,72所以 an= -n.92(2)设 bn= = ,9‒2𝑎𝑛2𝑛 𝑛2𝑛‒1Tn=b1+b2+…+bn=1+ + +…+ + ,22 322 𝑛‒12𝑛‒2 𝑛2𝑛‒1所以 Tn=2Tn-Tn=2+1+ +…+ -12 12𝑛‒2 𝑛2𝑛‒1=4- - =4- .12𝑛‒2 𝑛2𝑛‒1 𝑛+22𝑛‒119.(本小题满分 12 分)导学号 18702299 (1)解不等式 ≤x-1;4𝑥‒1(2)求函数 y= + (x∈(0, ))的最小值.2𝑥 91‒2𝑥 12解:(1) ≤x-4𝑥‒11⇔ ≤0⇔ ≥0⇔ ⇔x≥3 或-1≤x0,1-2x0,127所以 y= + =( + )[2x+(1-2x)]=13+ + ≥25,当且仅当 x=42𝑥 91‒2𝑥 42𝑥 91‒2𝑥 9×2𝑥1‒2𝑥4×(1‒2𝑥)2𝑥时,等号成立,即函数的最小值为 25.1520.(本小题满分 12 分)(2016·衡水高三期中考试)数列{a n}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=( )2(n∈N *).𝑎𝑛+12(1)证明数列{a n}为等差数列并求其通项公式;(2)设 cn= ,数列{c n}的前 n 项和为 Tn,证明: ≤T n0,所以 an-an-1=2.所以数列{a n}是等差数列,其中 a1=1,所以 an=2n-1.(2)证明:因为 cn= = ( - ),1(2𝑛‒1)(2𝑛+1)12 12𝑛‒1 12𝑛+1所以 Tn= (1- )S2S3;72 288 234 468 518于是(S n)min=S3=- .51822.(本小题满分 12 分)导学号 18702301 已知正项数列{a n},{bn}满足:对任意 n∈N *,都有 an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且 a1=10,a2=15.(1)求证:数列{ }是等差数列;𝑏𝑛(2)求数列{a n},{bn}的通项公式;(3)设 Sn= + +…+ ,如果对任意 n∈N *,不等式 2aSn1 恒成立.故 a≤1,所以,实数 a 的取值范围是(-∞,1].1阶段检测试题(二)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号三角函数的化简求值 2,9,13,16三角函数的定义、图象与性质 4,6,8,10,20解三角形 11,15,18平面向量的运算 1,14平面向量基本定理及应用 3平面向量的数量积及应用 5,7综合问题 12,17,19,21,22一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2016·济宁高三期末)在△ABC 中, =c, =b,若点 D 满足 =2 ,则 等于( A )→𝐴𝐵 →𝐴𝐶 →𝐵𝐷→𝐷𝐶 →𝐴𝐷(A) b+ c (B) c- b23 13 53 23(C) b- c (D) b+ c23 13 13 23解析: = + = + ( - )=c+ (b-c)= b+ c,故选 A.→𝐴𝐷→𝐴𝐵→𝐵𝐷→𝐴𝐵23 →𝐴𝐶→𝐴𝐵 23 23 132.(2016·肇庆模拟)已知 sin( +α)= ,α∈(0, ),则 sin(π+α)等于( D )𝜋2 35 𝜋2(A) (B)- (C) (D)-35 35 45 45解析:sin( +α)= , 即 cos α= ,𝜋2 35 35因为 α∈(0, ),𝜋2所以 sin(π+α)=-sin α=- =- .故选 D.1‒𝑐𝑜𝑠2𝛼453.(2016·安徽十校 3 月联考)已知 A,B,C 三点不共线,且 =- +2 ,则 等于( →𝐴𝐷13→𝐴𝐵→𝐴𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷𝑆△𝐴𝐶𝐷C )(A) (B) (C)6 (D)23 32 16解析: 如图,取 =- , =2 ,以 AM,AN 为邻边作平行四边形 AMDN,→𝐴𝑀13→𝐴𝐵→𝐴𝑁→𝐴𝐶此时 = + .→𝐴𝐷→𝐴𝑀→𝐴𝑁2由图可知 S△ABD =3S△AMD ,S△ACD = S△AND ,12而 S△AMD =S△AND ,所以 =6.𝑆△𝐴𝐵𝐷𝑆△𝐴𝐶𝐷故选 C.4.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为( 2𝜋3A )(A)(- , ) (B)(- ,- )12 32 32 12(C)(- ,- )(D)(- , )12 32 32 12解析:记 α=∠POQ,由三角函数的定义可知,Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos α=cos =-2𝜋3,y=sin α=sin = .故选 A.12 2𝜋3 325.(2016·河北冀州中学检测)已知菱形 ABCD 边长为 2,∠B= ,点 P 满足 =λ ,λ∈R.若𝜋3 →𝐴𝑃 →𝐴𝐵· =-3,则 λ 的值为( A )→𝐵𝐷→𝐶𝑃(A) (B)-12 12(C) (D)-13 13解析:因为 =λ ,λ∈R,→𝐴𝑃 →𝐴𝐵所以 =(1-λ) ,又因为 = + , = + =- +(1-λ) ,→𝐵𝑃 →𝐵𝐴 →𝐵𝐷→𝐵𝐴→𝐵𝐶→𝐶𝑃→𝐶𝐵→𝐵𝑃→𝐵𝐶 →𝐵𝐴所以 · =-3,即( + )·[- +(1-λ) ]=-3,即 4×(1-λ)-4-→𝐵𝐷→𝐶𝑃 →𝐵𝐴→𝐵𝐶 →𝐵𝐶 →𝐵𝐴λ×2×2× =-3,即 λ= ,故应选 A.12 126.(2016·辽宁抚顺一中月考)已知函数 y=Asin(ωx+ )+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( D )𝜋2 𝜋3(A)y=4sin(4x+ ) (B)y=2sin(2x+ )+2𝜋6 𝜋3(C)y=2sin(4x+ )+2 (D)y=2sin(4x+ )+2𝜋3 𝜋6解析:最大值减去最小值等于 2A,所以 A=2,最小正周期为 ,𝜋23由周期公式得 ω=4,直线 x= 是其图象的一条对称轴,𝜋3则 ω· + =kπ+ ,k∈Z,𝜋3𝜋2即 =kπ- ,k∈Z,5𝜋6显然 k=1 时 = ,故选 D.𝜋67.(2016·河南百校联盟一模)在平行四边形 ABCD 中,AC=5,BD=4,则 · 等于( C )→𝐴𝐵→𝐵𝐶(A) (B)-414 414(C) (D)-94 94解析:因为 =( - )2= + -2 · , =( + )2= + +2 · ,→𝐵𝐷2 →𝐴𝐷→𝐴𝐵 →𝐴𝐷2 →𝐴𝐵2 →𝐴𝐷→𝐴𝐵→𝐴𝐶2 →𝐴𝐷→𝐴𝐵 →𝐴𝐷2 →𝐴𝐵2 →𝐴𝐷→𝐴𝐵所以 - =4 · ,→𝐴𝐶2 →𝐵𝐷2 →𝐴𝐷→𝐴𝐵所以 · = · = .故选 C.→𝐴𝐷→𝐴𝐵→𝐴𝐵→𝐵𝐶948. 导学号 18702236 函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A0,ω0,00,tan β0,所以 tan α=tan(α+β- β)= = = ≤𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)‒𝑡𝑎𝑛𝛽1+𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)·𝑡𝑎𝑛𝛽 8𝑡𝑎𝑛𝛽1+9𝑡𝑎𝑛2𝛽 81𝑡𝑎𝑛𝛽+9𝑡𝑎𝑛𝛽= (当且仅当 =9tan β 时等号成立),82×343 1𝑡𝑎𝑛𝛽即(tan α) max= .43答案:43三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)导学号 18702239 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边经过点 P(3,4).(1)求 sin(α+ )的值;𝜋4(2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q,求 · 的值.→𝑂𝑃→𝑂𝑄解:(1)因为角 α 的终边经过点 P(3,4),所以 sin α= ,cos α= ,45 35所以 sin(α+ )=sin αcos +cos αsin 𝜋4 𝜋4 𝜋4= × + ×45 22 35 22= .7102(2)因为 P(3,4)关于 x 轴的对称点为 Q,所以 Q(3,-4).所以 =(3,4), =(3,-4),→𝑂𝑃 →𝑂𝑄所以 · =3×3+4×(-4)=-7.→𝑂𝑃→𝑂𝑄18.(本小题满分 12 分)(2016·湖北武汉质量预测)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 a2-b2-c2+ bc=0,2bsin A=a,BC 边上中线 AM 的长为 .3 14(1)求角 A 和角 B 的大小;(2)求△ABC 的面积.解:(1)由 a2-b2-c2+ bc=0,得 b2+c2-a2= bc,3 37所以 cos A= = ,𝑏2+𝑐2‒𝑎22𝑏𝑐 32所以 A= ,𝜋6由 2bsin A=a,得 b=a,所以 B=A= .𝜋6(2)设 AC=BC=x,由余弦定理,得 AM2=x2+ -2x· ·(- )=( )2,𝑥24 𝑥2 12 14解得 x=2 ,故 S△ABC = ×2 ×2 × =2 .212 2 2 32 319.(本小题满分 12 分)导学号 18702240 已知两个不共线的向量 a,b,它们的夹角为 θ,且|a|=3,|b|=1,x 为正实数.(1)若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tan θ;(2)若 θ= ,求|xa-b|的最小值及对应的 x 的值,并判断此时向量 a 与 xa-b 是否垂直.𝜋6解:(1)因为 a+2b 与 a-4b 垂直,所以(a+2b)·(a-4b)=0,所以 a2-2a·b-8b2=0,所以 32-2×3×1×cos θ-8×1 2=0,所以 cos θ= ,16又 θ∈(0,π),sin θ= = ,1‒𝑐𝑜𝑠2𝜃356所以 tan θ= = .𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 35(2)|xa-b|= (𝑥𝑎‒𝑏)2= 𝑥2𝑎2‒2𝑥𝑎·𝑏+𝑏2= ,9(𝑥‒ 36) 2+14故当 x= 时,|xa-b|取最小值为 ,36 12此时 a·(xa-b)=xa2-a·b= ×9-3×1×cos 36 𝜋6=0,故向量 a 与 xa-b 垂直.820.(本小题满分 12 分)(2016·深圳调研)函数 f(x)=Asin(ωx- )+1(A0,ω0) 的最大值为 3,其图象相邻两条对𝜋6称轴之间的距离为 .𝜋2(1)求函数 f(x)的解析式;(2)设 α∈(0, ),f( )=2,求 α 的值.𝜋2 𝛼2解:(1)因为函数 f(x)的最大值为 3,所以 A+1=3,即 A=2,因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ,𝜋2所以最小正周期 T=π,所以 ω=2,故函数 f(x)的解析式为 y=2sin(2x- )+1.𝜋6(2)f( )=2sin(α- )+1=2,即 sin(α- )= ,𝛼2 𝜋6 𝜋6 12因为 00)的最小正周期为 π.12 32(1)求 ω 的值,并在下面提供的直角坐标系中画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象;(2)函数 y=f(x)的图象可由函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到?解:(1)函数可化为 f(x)=sin(ωx+ ),𝜋3因为 T=π,所以 =π,即 ω=2,2𝜋𝜔所以 f(x)=sin(2x+ ).𝜋3列表如下:9x 0𝜋12 𝜋3 7𝜋12 5𝜋6πy321 0 -1 032画出图象如图所示.(2)将函数 y=sin x(x∈R)图象上的所有点向左平移 个单位长度 ,得到函数 y=sin(x+ )𝜋3 𝜋3(x∈R)的图象,再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变 ),可得函数 f(x)=sin(2x+ )12 𝜋3(x∈R)的图象.22.(本小题满分 12 分)导学号 18702242 已知向量 a=(sin ,cos ),b=(cos , cos ),函数 f(x)=a·b.𝑥3 𝑥3 𝑥3 3 𝑥3(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)如果△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角的大小为 x,试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域.解:(1)向量 a=(sin ,cos ),b=(cos , cos ),𝑥3 𝑥3 𝑥3 3 𝑥3则函数 f(x)=a·b=sin cos + cos2𝑥3 𝑥3 3 𝑥3= sin + cos +12 2𝑥3 32 2𝑥3 32=sin( + )+ ,2𝑥3 𝜋3 32令 2kπ- ≤ + ≤2kπ+ (k∈Z),解得 3kπ- π≤x≤3kπ+ (k∈Z),𝜋2 2𝑥3 𝜋3 𝜋2 54 𝜋4故函数 f(x)的单调递增区间为[3kπ- π,3kπ+ ](k∈Z).54 𝜋4(2)因为 b2=ac.所以 cos x= = ≥ = ,𝑎2+𝑐2‒𝑏22𝑎𝑐 𝑎2+𝑐2‒𝑎𝑐2𝑎𝑐 2𝑎𝑐‒𝑎𝑐2𝑎𝑐 12又-1cos x1,所以 ≤cos x1,1210所以 0x≤ ,所以 + ≤ ,𝜋3 𝜋32𝑥3 𝜋3 5𝜋9所以 sin( + )≤1,32 2𝑥3 𝜋3所以 sin( + )+ ≤1+ ,即函数 f(x)的值域为( ,1+ ].32𝑥3 𝜋3 32 32 3 321阶段检测试题(五)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】知识点、方法 题号直线与方程 1圆与方程 4直线与圆、圆与圆的位置关系 10,15椭圆 6,7,9双曲线 3,16抛物线 2,6,8,14曲线与方程 13,19直线与圆锥曲线位置关系 11,17,22圆锥曲线的综合 5,12,18,20,21一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2016·湖北模拟)若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y+2=0 平行,则 m 的值为( C )(A)-2 (B)-3(C)2 或-3 (D)-2 或-3解析:因为直线 l1与直线 l2平行,所以 m(m+1)-2×3=0,解得 m=2 或-3,经检验 m=2 或-3 符合题意.故选 C.2.(2017·广东珠海摸底)抛物线 y=-4x2的焦点坐标是( B )(A)(0,- ) (B)(0,- )18 116(C)(-1,0) (D)(- ,0)116解析:抛物线的标准方程为 x2=- y,所以焦点坐标是(0,- ),故选 B.14 1163.(2016·湖南六校联考)已知双曲线的方程为 -y2=1,则它的焦点坐标为( B )𝑥22(A)(±1,0) (B)(± ,0)3(C)(0,± ) (D)(0,±1)3解析:由 -y2=1,得𝑥22c2=a2+b2=3,所以 c=± .3故双曲线的焦点坐标为(- ,0),( ,0).3 34.(2016·肇庆模拟)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0相切,则圆 C 的方程是( A )(A)(x+1)2+y2=2 (B)(x+1)2+y2=82(C)(x-1)2+y2=2 (D)(x-1)2+y2=8解析:因为圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,所以令 x-y+1=0 中 y=0,得 x=-1.即圆心坐标为(-1,0).因为圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,所以圆心 C 到直线 x+y+3=0 的距离 d=r,即 r= = ,|‒1+0+3|2 2则圆 C 方程为(x+1) 2+y2=2.5.(2016·福建宁德模拟)已知椭圆 + =1(a0)与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值𝑥2𝑎2𝑦29 𝑥24𝑦23为( C )(A) (B) (C)4 (D)2 10 34解析:因为椭圆 + =1(a0)与双曲线 - =1 有相同的焦点(± ,0),𝑥2𝑎2𝑦29 𝑥24𝑦237则有 a2-9=7,所以 a=4.6.若抛物线 y2=2px(p0)的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为( C )𝑥26𝑦22(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由椭圆的右焦点为(2,0),所以 =2,所以 p=4,故选 C.𝑝27.已知椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( D )𝑥29 𝑦24‒𝑘 45(A)-21 (B)21(C)- 或 21 (D) 或-211925 1925解析:当 94-k0,即 4k-5 时,a=3,c2=9-(4-k)=5+k,所以 = ,5+𝑘3 45解得 k= .1925当 9b0).𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2由点 P(2, )在椭圆上知 + =1.34𝑎23𝑏2又|PF 1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF 1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2·2c, = ,𝑐𝑎12又 c2=a2-b2,所以 a2=8,b2=6.所以椭圆方程为 + =1.𝑥28𝑦2610.导学号 18702523 已知圆 C:x2+y2-2x-4y+3=0,若等边△PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦,则|PC|的最大值为( C )(A) (B) (C)2 (D)25 6 2 3解析:如图,连接 AC,BC,设∠CAB=θ,连接 PC 与 AB 交于点 D,因为 AC=BC,△PAB 是等边三角形,4所以 D 是 AB 的中点,所以 PC⊥AB,在圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2 中,圆 C 的半径为 ,2|AB|=2 cos θ,|CD|= sin θ,2 2所以在等边△PAB 中,|PD|= |AB|= cos θ,32 6所以|PC|=|CD|+|PD|= sin θ+ cos θ2 6=2 sin(θ+ )≤2 ,2𝜋3 2故选 C.11.(2017·河北定州中学检测)直线 y=x-2 与圆 x2+y2-4x+3=0 及抛物线 y2=8x 由上往下依次交于 A,B,C,D 四点,则|AB|+|CD|等于( B )(A)13 (B)14 (C)15 (D)16解析:圆(x-2) 2+y2=1,半径为 1,又 y2=8x 的焦点为(2,0),所以直线 y=x-2 过抛物线的焦点和圆心,|AB|+|CD|=|AD|-2,联立 y=x-2 与 y2=8x 得,x 2-12x+4=0,设 A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=12,|AD|=x1+x2+4=16,|AB|+|CD|=|AD|-2=14,故选 B.12.导学号 18702524 已知椭圆 C1: + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l1过点 F1且垂𝑥23𝑦22直于椭圆的长轴,动直线 l2垂直于直线 l1于点 P,线段 PF2的垂直平分线与 l2的交点的轨迹为曲线 C2,若 A(1,2),B(x1,y1),C(x2,y2)是 C2上不同的点,且 AB⊥BC,则 y2的取值范围是( B )(A)[-6,10] (B)(-∞,-6]∪[10,+∞)(C)(-∞,-6)∪(10,+∞) (D)(-6,10)解析:设线段 PF2的垂直平分线与 l2的交点为 M,由垂直平分线的性质,得|MP|=|MF 2|,且 MP⊥l 1,则点 M 的轨迹是抛物线,焦点为 F2(1,0),即抛物线的标准方程为 y2=4x.故 B( ,y1),C( ,y2),则由 AB⊥BC,𝑦214 𝑦224得 · =( -1)( - )+(y1-2)(y2-y1)=0(y1≠y 2≠2),→𝐴𝐵→𝐵𝐶𝑦214 𝑦224𝑦214即 +1=0,(𝑦1+2)(𝑦1+𝑦2)16即 +(2+y2)y1+2y2+16=0 有解,𝑦21则 Δ=(2+y 2)2-4(2y2+16)= -4y2-60≥0,𝑦22即 y2≥10 或 y2≤-6.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)513.导学号 18702525 平面内到定点 F(0,1)和定直线 l:y=-1 的距离之和等于 4 的动点的轨迹为曲线 C.关于曲线 C 的几何性质,给出下列三个结论:①曲线 C 关于 y 轴对称;②若点 P(x,y)在曲线 C 上,则|y|≤2;③若点 P 在曲线 C 上,则 1≤|PF|≤4.其中,所有正确结论的序号是 . 解析:设 P(x,y)是曲线 C 上的任意一点,所以|PF|+|y+1|=4.即 +|y+1|=4,解得𝑥2+(𝑦‒1)2y≥-1 时,y=2- x2,当 y0)上,且 AB∥CD,CD=2AB=4,∠ADC=60°,则点 A 到抛物线的焦点的距离是 . 解析:由题意可设点 B(x0,1),C(x0+ ,2),由其在 y2=2px(p0)上,3得 解得{2𝑝𝑥0=1,2𝑝(𝑥0+3)=4 {𝑝=32,𝑥0=33,A 到焦点的距离为 x0+ = + = .𝑝2 33 347312答案:731215.(2016·商丘二模)已知圆 C:(x-a)2+(y-a)2=1(a0)与直线 y=2x 相交于 P,Q 两点,则当△CPQ 的面积最大时,实数 a 的值为 . 解析:因为圆 C:(x-a)2+(y-a)2=1(a0)的圆心为(a,a),半径为 1,圆心到直线 y=2x 的距离d= = ,|2𝑎‒𝑎|22+(‒1)2𝑎5弦 PQ 的长为 2 =2 ,1‒(𝑎5) 2 1‒𝑎25所以△CPQ 的面积 S= ×2 × = × ≤ = .12 1‒𝑎25 𝑎5 1‒𝑎25 𝑎5 (1‒𝑎25) 2+(𝑎5) 22 12当且仅当 = ,1‒𝑎25 𝑎5即 a= 时等号成立,1026此时△CPQ 的面积取得最大值 .12答案:10216.导学号 18702526 设双曲线 - =1(0a,得 e2= =1+ 2,𝑎2+𝑏2𝑎2 𝑏2𝑎2所以 e2=4.又 e1,故 e=2.答案:2三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)(2016·浙江嘉兴月考)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2 12经过点 F2且倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A,B 两点.(1)若△ABF 1的周长为 16,求直线 l 的方程;(2)若|AB|= ,求椭圆 C 的方程.247解:(1)由题设得 4a=16⇒a=4,又 = 得 c=2,𝑐𝑎12所以 F2(2,0),所以 l:y=x-2.(2)由题设得 = ,得 a=2c,b= c,𝑐𝑎12 3则椭圆 C:3x2+4y2=12c2,又有 l:y=x-c,设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 {𝑦=𝑥‒𝑐,3𝑥2+4𝑦2=12𝑐2,消去 y,得 7x2-8cx-8c2=0,7则 x1+x2= c,x1x2=- c2且 Δ0,87 87所以|AB|= 2(𝑥1+𝑥2)2‒4𝑥1𝑥2=26449𝑐2+327𝑐2= c247= ,247解得 c=1,从而得所求椭圆 C 的方程为 + =1.𝑥24𝑦2318.(本小题满分 12 分)导学号 18702527 已知抛物线 C:x2=2py(p0),其焦点为 F,C 上的一点 M(4,m)满足|MF|=4.(1)求抛物线 C 的标准方程;(2)过点 E(-1,0)作不经过原点的两条直线 EA,EB 分别与抛物线 C 和圆 F:x2+(y-2)2=4 相切于点 A,B,试判断直线 AB 是否经过焦点 F.解:(1)抛物线 C 的准线方程为 y=- ,𝑝2所以|MF|=m+ =4,又因为 16=2pm,𝑝2所以 p2-8p+16=0,得 p=4,所以抛物线 C 的标准方程为 x2=8y.(2)设 A(xA,yA),EA:x=ky-1,联立 {𝑥=𝑘𝑦‒1,𝑥2=8𝑦, 消去 x 得 k2y2-(2k+8)y+1=0,因为 EA 与 C 相切,所以 Δ 1=(2k+8)2-4k2=0,即 k=-2,所以 yA= ,xA=-2,得 A(-2, ),12 12设 B(xB,yB),EB:x=ty-1,联立 {𝑥=𝑡𝑦‒1,𝑥2+(𝑦‒2)2=4,消去 x 得(t 2+1)y2-(2t+4)y+1=0,因为 EB 与圆 F 相切,所以 Δ 2=(2t+4)2-4(t2+1)=0,即 t=- ,34所以 yB= ,xB=- ,得 B(- , ),45 85 8545所以直线 AB 的斜率 kAB= ,可得直线 AB 的方程为 y= x+2,经过焦点 F(0,2).34 34819.(本小题满分 12 分)导学号 18702528 已知曲线 C 的方程为 ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a 为常数).(1)判断曲线 C 的形状;(2)设曲线 C 分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B(A,B 不同于原点 O),试判断△AOB 的面积 S 是否为定值?并证明你的判断;(3)设直线 l:y=-2x+4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,且|OM|=|ON|,求曲线 C 的方程.解:(1)将曲线 C 的方程化为 x2+y2-2ax- y=0⇒(x-a)2+(y- )2=a2+ ,4𝑎 2𝑎 4𝑎2可知曲线 C 是以点(a, )为圆心,以 为半径的圆.2𝑎 𝑎2+4𝑎2(2)△AOB 的面积 S 为定值.证明如下:在曲线 C 的方程中令 y=0,得 ax(x-2a)=0,得点 A(2a,0),在曲线 C 方程中令 x=0,得 y(ay-4)=0,得点 B(0, ),4𝑎所以 S= |OA|·|OB|= ·|2a|·| |=4(定值).12 12 4𝑎(3)因为圆 C 过坐标原点,且|OM|=|ON|,所以 OC⊥MN,所以 = ,2𝑎212所以 a=±2.当 a=-2 时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为 .5圆心到直线 l:y=-2x+4 的距离d= = ,|‒4‒1‒4|5 95 5直线 l 与圆 C 相离,不合题意舍去,a=2 时符合题意.这时曲线 C 的方程为 x2+y2-4x-2y=0.20.(本小题满分 12 分)导学号 18702529 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 C(2,0)的直线与抛物线 y2=4x 相交于 A,B两点,A(x 1,y1),B(x2,y2).(1)求证:y 1y2为定值;(2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求该直线方程和弦长;如果不存在,说明理由.(1)证明:设直线 AB 的方程为 my=x-2.由 得 y2-4my-8=0,{𝑚𝑦=𝑥‒2,𝑦2=4𝑥 所以 y1y2=-8.9因此 y1y2为定值-8.(2)解:存在.假设存在直线 x=a 满足条件,则AC 的中点 E( , ),AC= ,𝑥1+22 𝑦12 (𝑥1‒2)2+𝑦21因此以 AC 为直径的圆的半径r= AC= = ,12 12(𝑥1‒2)2+𝑦2112𝑥21+4又 E 点到直线 x=a 的距离 d=| -a|,𝑥1+22所以所截弦长为2 =2𝑟2‒𝑑214(𝑥21+4)‒(𝑥1+22 ‒𝑎)2= 𝑥21+4‒(𝑥1+2‒2𝑎)2= ,‒4(1‒𝑎)𝑥1+8𝑎‒4𝑎2当 1-a=0 即 a=1 时,弦长为定值 2,这时直线方程为 x=1.21.(本小题满分 12 分)(2017·广东珠海调研)设椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 A(2, )在𝑥2𝑎2𝑦2𝑏22椭圆上,且满足 · =0.→𝐴𝐹2 →𝐹1𝐹2(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ,是否存在圆 x2+y2=r2使得 l 恰好是该圆的切线,若存在,求出 r;若不存在,说明理由.解:(1)因为 · =0,→𝐴𝐹2 →𝐹1𝐹2A(2, ),F1(-c,0),F2(c,0),2所以(c-2,- )·(2c,0)=0,所以 c=2 或 0(舍去),2因为 A 在椭圆上,所以 + =1,4𝑎22𝑏2又 a2=b2+c2,所以 a2=8,b2=4,所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.𝑥28𝑦24(2)存在.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),10将 l:y=kx+m 代入 C: + =1 得(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-8=0,𝑥28𝑦24因为 Δ0,所以 8k2-m2+40,且 x1+x2=- ,x1x2= ,4𝑘𝑚1+2𝑘2 2𝑚2‒81+2𝑘2所以 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= ,𝑚2‒8𝑘21+2𝑘2因为 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 + =0,2𝑚2‒81+2𝑘2𝑚2‒8𝑘21+2𝑘2所以 k2= ,3𝑚2‒88由 ≥0 和 8k2-m2+40,得 m2≥ .3𝑚2‒88 83因为 l 与圆 x2+y2=r2相切,所以 r2= = ,|𝑚|21+𝑘283所以存在圆 x2+y2= 符合题意,此时 r= .83 26322.(本小题满分 12 分)导学号 18702530 设椭圆 E 的方程为 +y2=1(a1),O 为坐标原点 ,直线 l 与椭圆 E 交于 A,B𝑥2𝑎2两点,M 为线段 AB 的中点.(1)若 A,B 分别为 E 的左顶点和上顶点,且 OM 的斜率为- ,求 E 的标准方程;12(2)若 a=2,且|OM|=1,求△AOB 面积的最大值.解:(1)由题意知 A(-a,0),B(0,1),M(- , ),𝑎212则 =- ,得 a=2,12‒𝑎2 12故 E 的标准方程为 +y2=1.𝑥2411(2)设直线 l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组 得(4+m 2)y2+2mny+n2-4=0,{𝑥=𝑚𝑦+𝑛,𝑥2+4𝑦2=4y1+y2=- ,y1y2= ,x1+x2= .2𝑚𝑛4+𝑚2 𝑛2‒44+𝑚2 8𝑛4+𝑚2则 M( ,- ),4𝑛4+𝑚2 𝑚𝑛4+𝑚2由|OM|=1 得 n2= ,(4+𝑚2)216+𝑚2设直线 l 与 x 轴的交点为 D(n,0),则 S△AOB = |OD||y1-y2|= |n||y1-y2|,12 12则 = n2(y1-y2)2= ,𝑆2△𝐴𝑂𝐵14 48(4+𝑚2)(𝑚2+16)2设 t=m2+4(t≥4),则 =𝑆2△𝐴𝑂𝐵48(4+𝑚2)(𝑚2+16)2=48×𝑡𝑡2+24𝑡+144=48𝑡+144𝑡 +24≤ =1,482𝑡·144𝑡 +24则 S△AOB ≤1,当且仅当 t=12 时,△AOB 的面积取得最大值 1.